專題02常用邏輯用語

【命題方向目錄】

命題方向一：充分條件與必要條件的判斷

命題方向二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

命題方向三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

命題方向四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

命題方向五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【2024年高考預(yù)測】

2024年仍將與其他知識結(jié)合，考查命題及其關(guān)系、含簡單邏輯聯(lián)接詞的命題真假判

斷、存在量詞命題與全稱命題真假判斷及其否定的書寫、充要條件的判定，其中充要條件

判定為重點(diǎn).

【知識點(diǎn)總結(jié)】

一、充分條件、必要條件、充要條件

設(shè)0：X6A,4：》€(wěn)8貝!]

p是q的充分條件pnqA^B

P是4的必要條件qnpAoB

P是4的充要條件p=>q且q=>pA=B

p是q的充分不必要條件,=>q且pAVB

“是q的必要不充分條件p書q旦qnpBVA

p是q的既不充分也不必要

p與q旦q與p453且25A

條件

二.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量

詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中的

任意一個x,有p(x)成立"可用符號簡記為“VxeM,p(x)”，讀作“對任意x屬于有

p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存

在量詞，并用符號"m'表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在

M中的一個％,使°(毛)成立”可用符號簡記為“三七讀作“存在M中元素%,

使p(%)成立“(存在量詞命題也叫存在性命題).

三.含有一個量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p-.Xfx&M,p(x)的否定「p為三/eAf,->p(x0).

(2)存在量詞命題p:3x0e",p(Xo)的否定-1P為.

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.

【方法技巧與總結(jié)】

1、充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)4={工|2(%)},B={x\q{x)}

(1)若p是4的充分條件，則AqB；

(2)若p是4的充分不必要條件，則

(3)若2是q的必要不充分條件，則BtiA；

(4)若p是“的充要條件，則4=5.

2、含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

3、命題p與p的否定的真假性相反.

【典例例題】

命題方向一：充分條件與必要條件的判斷

【通性通解總結(jié)】

1、要明確推出的含義，是P成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集

合.

3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個知識面的培養(yǎng).

例1.(2023?湖南長沙?湖南師大附中?？寄M預(yù)測)已知P：方程d-4x+4a=0有實根；

4：函數(shù)/。)=(2-°)、為增函數(shù)，則p是q的()條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】方程x?-4x+4a=0有實根，故A=16-16aN0,

aG(—oo,1]

函數(shù)/(x)=(2-。)”為增函數(shù)，故2—a>l,

.,.々￡(-00,1)

???(-00,1)真包含于(-00,1],

??.P是4的必要不充分條件.

故選：B

例2.(2023?全國?長郡中學(xué)校聯(lián)考二模)早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖晅在求球的體積

時，就創(chuàng)造性地提出了一個原理：“募勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的

兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積S1、S,總

相等，則這兩個幾何體的體積X、匕相等.根據(jù)“祖晅原理”，“匕=%"是的（）

B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】根據(jù)祖眶原理可知，當(dāng)岳=邑時，一定有匕=匕成立,

反之，當(dāng)匕=匕成立時，不一定有向=邑成立,

比如兩個完全相同的三棱錐，正置和倒置時，"，邑不一定相等，

故"K=匕''是=邑”的必要不充分條件.

故選：B

例3.（2023?全國?模擬預(yù)測）若尤>0,貝廣尤+、<4"的一個必要不充分條件是

（）

A.x2+y2<8B.&<j4-yC.xy<4D.1+y<l

【答案】C

【解析】對于選項A：x2+y2<8,則（x+yj=?。?y?+2盯<8+2町<8+2］無；'）,

所以（x+y）2<16,又x>0,y>0,所以。<x+y<4,所以/<8”是“尤+y<4”的

充分條件，故選項A錯誤；

對于選項B：若&<j4-y,貝<（44-y）,所以x<4-y,即x+y<4,所以

“石<斤？”是“x+"4”的充要條件，故選項B錯誤；

對于選項C：由x+y<4得孫<（亨）<4,

另一方面取X=J,y=8,滿足孫<4,但無+y>4,

所以“孫<4”是“x+y<4”的一個必要不充分條件，故選項C正確；

對于選項D：取x=1,y=3,滿足尤+y<4,但'+,>1,所以“工+工<1”不是

5xyxy

“x+yv4”的必要條件，故選項D錯誤.

故選：C.

變式L（2023?山東東營?東營市第一中學(xué)?？级＃┮阎?，〃表示空間內(nèi)兩條不同的直

線，則使根〃〃成立的必要不充分條件是（）

A.存在平面有m〃a,n//aB.存在平面有機(jī)_La,

C.存在直線/,有機(jī)J_/,n\\lD.存在直線/,有機(jī)〃/,n\\l

【答案】A

【解析】對A,若相〃a,a,則直線機(jī)，〃可以平行，也可以相交，還可以異面；若

m//n,則存在平面a,有m〃a,n//a,

即存在平面a,有機(jī)〃a,八〃a是使相〃場成立的必要不充分條件，故A正確；

對B,若m_La,ri-La,則zn〃幾；若m〃n、則存在平面。，有機(jī)_La,

即存在平面a,有m_La,是使機(jī)〃孔成立的充分必要條件，故B錯誤；

對C,若m_1_/,川|/,則直線機(jī)_1_〃；若n、則不存在直線/,有機(jī)_1_/,，

即存在直線/,有機(jī)，/,〃||，是使桃〃川成立的既不充分又不必要條件，故C錯誤；

對D,若小〃/,〃||/,則加〃九；若m〃n、則存在直線/,有機(jī)〃/,

即存在直線/,有機(jī)〃/,川口是使加〃〃成立的充分必要條件，故D錯誤.

故選：A.

變式2.（2023?海南?？??？寄M預(yù)測）已知集合尸=卜，-2X<0},Q=,VT^<1},則

PUQ=P的充要條件是（）

A.0<?<1B.0<a<lC.0<^<1D.Q<a<\

【答案】B

【解析】由題設(shè)，P={x|0<x<2},Q={x\a<x<a+V\,

..[a>0

若PUQ=P,則Q=故c，可得0<aWL

[a+l<2

所以0<aVl是PUQ=P的充要條件.

故選：B

變式3（2023?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）命題P：“V尤eR,V-皿+1>0”，命題4：“加<2”，則p

是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要

條件

【答案】A

【解析】對于命題P：「VxwR,/_皿+1>0,A=_4<0,得-2<m<2,

-2<m<2可以推出加<2,但是機(jī)<2不能推出-2<加<2,

，0是q的充分不必要條件.

故選：A.

變式4.（2023?天津?校聯(lián)考二模）已知4力0,命題P：x=l是一元二次方程以2+法+°=0

的一個根，命題q：a+6+c=。，則P是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】對于命題乙x=l為方程的根，則a+6+c=0,充分性成立；

對于命題4，a+/?+c=0且awO,則x=l必是題設(shè)方程的一個根，必要性成立；

所以。是9的充分必要條件.

故選：C

命題方向二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

【通性通解總結(jié)】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關(guān)系.

2、在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時，要注意端點(diǎn)是否能取到問題，容易出錯.

例4.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考二模）已知集合4=[-2,5],B=[m+l,2m-l\.若“xeg”是

“xeA”的充分不必要條件，則優(yōu)的取值范圍是（）

A.（f,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【解析】若“xeB”是“xeA”的充分不必要條件，則BA,

m+1<2m-1

所以卜z+12-2,解得2<〃叱3,即機(jī)的取值范圍是（2,3].

2m-1<5

故選：B.

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若"l<x<2”是“不等式（x-a）2<l成立”的充分不必要條

件，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[1,2）B.（1,2]C.[1,2]D.（1,2）

【答案】C

【解析】由（x-aA<1得a-l<x<a+l,

Ql<x<2是不等式（x-a）2<l成立的充分不必要條件，

a-l<l

???滿足a+1”且等號不能同時取得，

解得14aW2,

故選：C.

例6.（2023?全國?高三對口高考）已知集合4={》|/一3工+240},2=］工|\|>0,。>0

若“xeA”是“xeZT的充分非必要條件，則。的取值范圍是（）

A.0<?<1B.a>2C.l<a<2D.a>l

【答案】A

【解析】由題意可得：A={x|l<x<2},B={x\x<-2^x>a},

若“xeA”是“xeB”的充分非必要條件，則A是2的真子集，

所以O(shè)vavl.

故選：A.

2

變式5.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)p:2%2—3%+l<0,q:x-(2a+l)x+a(a+l)<0f

若4是〃的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）

C.(-OO,0]Ug'+8

A.D.(-oo,0)U2，+°°

【答案】A

【解析】由題設(shè)，p：^<x<l,q:a<x<a+l,

是P的必要不充分條件，

',1

aS—1

2,解得OWaW另.

a+l>l

故選：A

變式6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）方程a?+2元+1=0至少有一個負(fù)實根的充要條件是

（）

A.0<a<lB.a<1C.a<lD.0<aWl或a<0

【答案】C

【解析】當(dāng)a=。時，方程為2x+l=0有一個負(fù)實根x=-g,反之，x=時，則。=0,

于是得a=0；

當(dāng)時，A=4-4〃，

若a<0,則A>0,方程有兩個不等實根不，9=-<0,即不與演一正一負(fù)，

反之，方程有一正一負(fù)的兩根時，則這兩根之積,小于0,a<0,于是得a<0,

a

2

%+%2=----<0

a

若。>0,由ANO,即0<。<1知，方程有兩個實根外,三,必有，，此時七

xx=—>0

r2a

與巧都是負(fù)數(shù)，

A=4-4。20

2

反之，方程o?+2尤+1=0兩根不，%都為負(fù)，則（尤1+%=—<。，解得于是得

a

xx=—>0

x2a

0<tz<l,

綜上，當(dāng)時，方程小+2彳+1=0至少有一個負(fù)實根，反之，方程依2+2%+1=0至少

有一個負(fù)實根，必有aVI.

所以方程OJC2+2X+1=0至少有一個負(fù)實根的充要條件是a<i.

故選：C

變式7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）命題“也€[-2,-1],尤2-。>2”為假命題的一個充分不必

要條件是（）

A.a<1B.a>-2C.a>lD.a<2

【答案】C

【解析】由命題“VxG[—2,-l],x2-a>2”為假命題，

則該命題的否定：“女e[-2,-1],尤2-aW2”為真命題，

也即a+22，）1nhi=1,所以aN-1,

所以為該命題的一個充分不必要條件，

故選：C.

命題方向三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

【通性通解總結(jié)】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學(xué)結(jié)論.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細(xì)節(jié)即可.

例7.（2023?河北?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知命題pHxeN,e，<0（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

",q:\/xGR,x2+|x|>0,則下列為真命題的是（）

A.〃真，q假B.。真，q真

C.。假，q真D.P假，q假

【答案】C

【解析】???>0,.,.命題P為假命題，QVxeR,必有/2。，E之。，所以

X2+|x|>0,

,命題q為真命題.

故選：C.

例8.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考二模）已知集合人={尤|0<尤<2},B=（X|4X2-4X-15<0},則

（）

A.3XGA,X^BB.VxeB,XEA

C.3x^B,xeAD.VxeA,x^B

【答案】C

［解析］B=（X|4X2-4X-15<0}=jx|-|<x<|j,

則集合A是集合B的真子集，

所以X/xeA,xeB,3x&B,xeA,

故ABD錯誤，A正確.

故選：C.

例9.（2023?重慶?高三重慶市長壽中學(xué)校?？计谀┮阎狿,。為R的兩個非空真子集，

若電。二尸，則下列結(jié)論正確的是（）

A.\/x&Q,x&PB.3x0x0

C.*oSQ,%0ePD.Vxe^P,xwaQ

【答案】B

【解析】因為第。縱P,所以尸Q,如圖，

對于選項A：由題意知P是。的真子集，故HxwQ,xiP,故不正確，

對于選項B：由是二尸的真子集且，二尸都不是空集知，3x0e^P,x°e\。，故

正確.

對于選項C：由電。是二尸的真子集知，VxwQ,X^P,故不正確，

對于選項D：。是軟尸的真子集，故女€々尸，x史4Q,故不正確，

故選：B

變式8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合&="上20},集合8={HX>1},則以下命

題為真命題的是（）

A.3XGA,xeBB.,x^A

C.VxGA,BD.VxeB,X^A

【答案】A

【解析】由題知，集合A={#20},集合8={#>1},

所以B是A的真子集，

所以HxeA,xeB或HxeA,xgB^4VxGB,xeA,

只有A選項符合要求，

故選：A.

變式9.（2023?河南鄭州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中的假命題是（）

A.HxeR,sinx=B.HxeR,lnx=—1

2

C.VxeR,%2>0D.VxeR,3X>0

【答案】C

【解析】對于A,VsinxVl,R,sinx=",A正確；

2

對于B,當(dāng)兀=’時，lnx=-l,B正確；

e

對于C,當(dāng)x=0時，x1=0,C錯誤；

對于D,?.?丫=3工值域為（0,+8）,VxeR,y>0,D正確.

故選：C.

命題方向四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

【通性通解總結(jié)】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論

變否定.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例10.（2023?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）命題“土?[-!,2],/<1，，的否定是

（）

22

A.Hr6[-1,2],x>1B.3xg[-l,2],x<]

22

C.Vxe[-1,2],X<1D.Vxe[-1,2],X>1

【答案】D

【解析】由存在量詞命題的否定知：原命題的否定為Vxe[T,2],x2>l.

故選：D.

例IL(2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模)命題p：VxeR,2X+X2-X+1>0,則刀為()

A.VxeR,2r+x2-x+l<0B.VxeR,2A+x2-x+l<0

C.3%0eR,2'。+x；-無o+l<OD.3x0eR,2^+Xg-X0+l<0

【答案】D

【解析】因為對全稱量詞的否定用存在量詞，

所以命題p：VxeR,2，+x2-x+l>0的否定為：訓(xùn)eR,2%>+X：-%+1W0.

故選:D

例12.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知命題p：V尤>0,ln(x+2)>0,則力為()

A.Hx<0,ln(x+2)>0B.3x>0,ln(x+2)<0

C.3x>0,ln(x+2)>0D.玉WO,ln(x+2)<0

【答案】B

【解析】由題意知，p：Vx>0,ln(x+2)>0,

所以T7：Hx>0,ln(x+2)<0.

故選：B.

變式10.(2023?全國?高三專題練習(xí))命題“Va,b>0,a+和b+222至少有一個成

ba

立”的否定為()

i+，<2和b+-<2至少有一個成立

A.Va,b>0,

ba

B.Va,b>0,a+^>2和人+工22都不成立

ba

C.3a,b>0,a+y<2和b+-<2至少有一個成立

ba

D.3a,b>0〃+—22和b+—>2都不成立

fb

【答案】D

【解析】“V。，b>0,和。+工22至少有一個成立”的否定為：

ba

3a,b>09〃+和b+』22都不成立.

ba

故選：D

變式11.(2023?河南關(guān)B州?統(tǒng)考二模)命題：VXGR,x+lnx>0的否定是()

A.Vx^R,x+lnx>0B.V尤eR,x+lnx<0

C.R,x+lnx>0D.3XGR,x+lnx<0

【答案】D

【解析】由全稱命題的否定為存在量詞命題，則原命題的否定為*eR,x+lnx<0.

故選：D

命題方向五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【通性通解總結(jié)】

1、在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命

題，去求真命題的補(bǔ)級即可.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取

到.

例13.（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知命題p:VxeR,a<3x2024+l,若。為真命

題，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】（f,l）

【解析】若依€&。<3鏟24+1為真命題，等價于。<（3婷24+1）1m/

,.,^024>0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

2024

A3X+1>1,即（3鏟24+1）=1,

\/nun

可得a<l,故實數(shù)。的取值范圍是

故答案為：

例14.（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若命題F/eR,。=兇+1”為真命題，則實數(shù)a

的取值范圍為,（用區(qū)間表示）

【答案】［1,+8）

【解析】因為W+121,即函數(shù)y=|x|+l的值域為［1,+a））,

所以實數(shù)。的取值范圍為［L—）?

故答案為：［1,+℃）

例15.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）命題“若則土1>0”是真命題，實數(shù)〃的取值范

X

圍是.

【答案】［1,+8）

【解析】由F>0可得：x（x-l）>0,解得：x>l或x<0,

“若x>a,貝是真命題，貝ljx>a能推出或無<。成立，

X

則故實數(shù)。的取值范圍是［1,+8）.

故答案為：［1,+8）

變式12.（2023?吉林?統(tǒng)考二模）命題“二￡R,加+%+1<0”為假命題，則實數(shù)。的取值范

圍為?

【答案】a>i

4

【解析】由題意可知，命題“VxwR,/+%+120”為真命題.

當(dāng)a=0時，由X+120可得元之一1,不合乎題意；

[a>01

當(dāng)時，由題意可得人?//八，解得aN：.

[△=1一4。<04

因此，實數(shù)。的取值范圍是a2：.

4

故答案為：，d-~7-

4

（五、1

變式13.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)命題P：V尤e-，&,x+—>a.若力是假命

I2）x

題，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（,,2）

【解析】因為力是假命題，

所以。是真命題，

當(dāng)且僅當(dāng)x=L即x=l時，等號成立，

X

所以a<2,

所以實數(shù)。的取值范圍是（—,2）,

故答案為：（3,2）

變式14.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考一模）若“玉:eR,x2-6ax+3a<0”為假命題，則實數(shù)。的取

值范圍為.

【答案】0,1

【解析】由條件可知“VxeR,/_6辦+3a>0”為真命題，

貝ljA=36a2-i2a<0,即OWawg.

故答案為：oj

變式15.（2023?四川成都?成都七中?？寄M預(yù)測）命題2],使得尤?+山>040”

為假命題，則。的取值范圍為.

【答案】（一。,1）

【解析】若“入目1,2],使得f+lnx-aWO”為假命題，

可得當(dāng)xe[l,2]時，d+lnx>a恒成立,只需。<代+足彳%11.

又函數(shù)y=/+lnx在[L2]上單調(diào)遞增，所以a<l.

故答案為：（-e1）

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?四川成都?石室中學(xué)?？既＃┮阎?（x）=f—分+斯貝廣a>4”是“〃x）有兩個

不同的零點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】A

【解析】若/'（x）有兩個不同的零點(diǎn)，貝必=（-“）2-4“>0,解得。>4或“<0,所以“a>4”

是“y（x）有兩個不同的零點(diǎn)”的充分不必要條件.

故選：A

2.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓弓：/+9=1和圓

2

C2：（X-?）+/=16,其中。>0,則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（）

A.3<a<5B.3<a<6C.4<a<5D.2<a<5

【答案】c

【解析】由G（。，。）且半徑6=1,G（a,o）且半徑弓=4,結(jié)合。大于0,

所以弓-弓+4時，兩圓相交，則3<。<5,

由選項可得A選項為3<a<5的充要條件；

B、D選項為3<a<5的必要不充分條件；

C選項為3<。<5的充分不必要條件；

故選：C

3.（2023?四川德陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知。：0WaW2,q-任意xeR,--ax+l20,則

是q成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】A

【解析】命題4：一元二次不等式依2一辦+120對一切實數(shù)X都成立,

當(dāng)。=0時，1>0,符合題意;

a>0fa>0

當(dāng)°片0時，有即2,解為。e(0,4],

A<0[a2-4a<0

:.q：0<a<4.又P：0<a<2,

設(shè)A=[0,2],B=[0,4],則A是8的真子集，

所以p是q成立的充分非必要條件，

故選：A.

4.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知命題P：log?%<1,命題q：Jx-1<1，則P是的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由題意得，命題p：0<x<2,命題①1<%<2,故。是q的必要不充分條件.

故選:B.

5.（2023?安徽?校聯(lián)考三模）給出下列四個命題，其中正確命題為（）

A."Vx>0,的否定是“玉0>0,x；+x0<l”

B."a>/?”是“sina>sin￡”的必要不充分條件

C.3a,￡eR,使得sin（（z+，）=sina+sin/7

口.“〃>6”是“2。>2"’的充分不必要條件

【答案】C

【解析】對于A,"Vx>0,尤2+x>i”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，該命題

的否定為土o>。，x1+x0<l,A錯誤；

TTSirjr571

對于B,“若sine>sin￡,則尸”是假命題，如sin：>sin?,而￡<三，B錯誤；

3636

對于C,取。=尸=0,貝I」sin（a+￡）=sinO=sinO+sinO=sina+sin分，C正確；

對于D,因為函數(shù)y=2,是R上的增函數(shù)，貝是“2。>2"'的充要條件，D錯誤.

故選：C

6.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知p：Vxe[l,5],尤?-4x+a-2>0恒成立，則。的一個充

分不必要條件是（）

2

A.a>lB.a>36C.T>64D.log2a>3

【答案】D

【解析】Vxe=1.5,f-4x+a-2>0=。>--+4x+2,得a>6,A是P的必要不充分

條件，B是"的必要不充分條件，C：2">64oa>6是P的充要條件，D：

log?a>3oa>8是P的充分不必要條件.

故選：D.

7.（2023?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）條件p:士e[1,3],x2-^+3>0,

則夕的一個必要不充分條件是（）

A.a<5B.a>5C.a<4D.a>4-

【答案】A

【解析】若*elr,3i,使得f一6+3>o,貝|辦</+3,可得"x+L3則

X

（,3）

I"max

因為函數(shù)〃X）=X+：在[1,6]上單調(diào)遞減，在[退,3]上單調(diào)遞增，

且〃1）=/（3）=4,

故當(dāng)xe[l,3]時，“X）1mx=4,即p:a<4,

所以，。的一個必要不充分條件是。<5.

故選：A.

8.（2023?安徽亳州?高三?？茧A段練習(xí)）已知命題T：+3/+〃>0?為真命

題，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-00,-2）B.（-oo,4）C.（-2,+oo）D.（4,+oo）

【答案】C

【解析】因為命題“玉o￡[-1』，-片+3%o+a>0”為真命題，

所以，命題“王0￡[-1』，為真命題，

所以，時,°>（片-3飛）斜,

因為，y=x2-3%=—%

所以，當(dāng)時，Jmin=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取得等號.

所以，時,。>（其-3引礴=-2,即實數(shù)。的取值范圍是（-2,y）

故選：C

二、多選題

9.（2023?廣東深圳?高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知P：VxeR,一一分+i>0恒

成立；q：Vx>0,x+9>2恒成立.則（）

X

A."a<2”是。的充分不必要條件B."a<2”是。的必要不充分條件

C.“a>2”是4的充分不必要條件D.“a>2”是4的必要不充分條件

【答案】BC

【解析】已知P：VxeR,--依+i>o恒成立，則方程尤2一仆+1=。無實根，

所以A=a2-4<0恒成立，即-2<。<2,故"a<2”是P的必要不充分條件，故A錯誤，B

正確；

又4：Vx>0,x+@>2恒成立，所以a>-f+2x在彳>0時恒成立，

X

又函數(shù)y=_/+2尤=_（X—1）2+]的最大值為y=1,

所以。>1,故“a>2”是4的充分不必要條件，故C正確，D錯誤.

故選：BC.

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知平面a,p,直線/,相，則下列命題正確的是（）

A.若a-L/?,ac/3=m,lua,貝。/_L￡

B.若&〃/?,lua,mu。，則/〃加

C.若-ua,則“ZJ_a”是“/_L加”的充分不必要條件

D.若根ua,l^a,則“/〃0”是“/〃機(jī)”的必要不充分條件

【答案】ACD

【解析】由面面垂直的性質(zhì)定理可知A正確，

對于B,若?！?，lua,mu。,貝I]/〃加，或者/,他異面，故B錯誤，

對于C,若根ua,/_1_0貝[|/，根,故充分性成立,但是/_1_帆，mua,不能得到/_La,故C

正確，

對于D,若mua,lua,/〃c,不能得到，〃加，因為/,根有可能異面，但是/〃加，

mua,l<za,貝U〃a,故D正確，

故選：ACD

3

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）命題“VxeR,2履?+阮--<0”為真命題的一個充分不必要

8

條件是（）

A.（—3,0）B.（—3,0]C.（―3,—1）D.（—3,+“）

【答案】AC

°3

【解析】因為V%ER,2AX+履--<0為真命題，

8

伏<0

所以左=0或，2八。一3〈心0,

女+3左<0

3

所以（-3,0）是命題“V尤eR,2小+丘-g<?！睘檎婷}充分不必要條件，A對，

O

3

所以（-3,0]是命題“X/尤eR,2&+值-g<0”為真命題充要條件，B錯，

8

3

所以（-3,-1）是命題“V尤eR,2履2+"--<0”為真命題充分不必要條件，C對，

8

所以（-3,+。）是命題“VxeR,2丘2+履一=<0，，為真命題必要不充分條件，D錯,

8

故選：AC

12.（2023?云南德宏?高三統(tǒng)考期末）在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為左的所有整數(shù)組成

一個“類，，，記為因={4%+一|〃eZ},k=0,1,2,3,則下列結(jié)論正確的為（）

A.2021e[3]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[l]U[2]U[3]D.整數(shù)。力屬于同一“類”的充要條件是

“a—be[0]”

【答案】BCD

【解析】對于A,i2021=4x505+1W2021e[l],故A錯誤；

對于B,由-2=4x（-l）+2得-2e[2],故B正確；

對于C,所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有0,123四種情況，即剛好分成四川,[2],[3]共4

類，故2=[0]141川[2]或3],故C正確.

對于D,若整數(shù)。力屬于同一''類"，則a=47&+%,7Z|wZ,b=4%+4,%wZ,

故a-6=4（4-%）+0,所以a-Ac網(wǎng);

反之，不妨設(shè)。=4%+6,4eZ,b=4%+k2，%eZ,貝！j。-6=4（〃|一為）+（匕一網(wǎng)）,

若a-be[0],貝岫-心=0,即匕=僅，所以整數(shù)。力屬于同一“類”；

故整數(shù)。力屬于同一“類”的充要條件是-640]”，即D正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）若"x=a”是“sinx+co&x>l”的一個充分條件，則夕的一個

可能值是.

【答案】:（只需滿足+（左eZ）即可）

【解析】由sinx+cosx>1可得應(yīng)sinL+則sin"￡|>f'

所以，2fai+：<<2E+~^（左￡Z）,解得2E<%<￡Z）,

jr

因為“x=a”是“sinx+co&x>l”的一個充分條件，故。的一個可能取值為二.

4

故答案為：:(只需滿足ae］2E,2E+3(keZ)即可).

14.(2023?江蘇南京?高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考階段練習(xí))“tana=3”是

4,

“cos2a=-《”的條件.(請從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分

也不必要”中選擇一個)

【答案】充分不必要.

【解析】若tana=3,則cos2a=cos?a—sin?a=cos,a-sin,a=lTan,a=上￡=一曰,

cosa+sina1+tana1+95

41—tpin~ry4

反之，若cos2a=-=,則--------=一-,貝Utan2a=9,貝!］tancz=±3,

51+tan-a5

4

則tana=3"是"cos2a=--"的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要.

15.(2023?高三課時練習(xí))己知P是廠的充分非必要條件，,是「的必要條件，9是s的必要

條件，那么p的一個條件是q.

【答案】必要非充分

【解析】用雙箭頭符號表示。、q、r、S的關(guān)系：P=r,qus,rns,即

p=r,r=s,s=q,即。=q,又q不能推出P,故9是P的一個必要非充分條件.

故答案為：必要非充分

16.(2023?全國?模擬預(yù)測)若“be(1,2)”是“函數(shù)y=log2/+疝龍+十對一切xeR

I42)

恒有意義”的充分條件，則。的取值范圍是.

【答案】［1+3+8)

【解析】函數(shù)y=log?卜+疝x+(-g］對一切xeR恒有意義，

即x2+5/^X+式-2>0在xeR上恒成立，

42

即A=a人=+恒成立.

(2八

由汕e(l,2)”是“函數(shù)y=log2x2+4abx+^--~］對一切xeR恒有意義”的充分條件，

故(a+2)》-Y<o在衣(I2)上恒成立,

令/0)=g+2)b-4s為關(guān)于。的一次函數(shù)，

/⑴工。

要使/。)<0在北(1,2)上恒成立,只需

/(2)<0

2+。/<0

注意到,

4+2〃—/<0

解得〃￡[1+,+00).

所以a的取值范圍是[1+百,收).

故答案為：[1+V5,+°°).

四、解答題

17.(2023?河南許昌?高三?？计谀?已知集合4={%|%2+2%-840},

B={x\m—4<x<3m+3}.

⑴求A;

(2)若是匕￡5”的充分不必要條件，求m的取值范圍.

【解析】(1)由％2+2%—840,可得(x+4)(x—2)W0,

所以所以集合A=[-4,2].

(2)若“xeA”是的充分不必要條件,

則集合A是集合B的真子集，

由集合A不是空集，故集合3也不是空集，

m>--

m-4<3m+321

所以〈根一4<一4=>m<0=>—<m<0,

3

3m+3>2

m>——

3

113

當(dāng)機(jī)=-1時，B=[x\--滿足題意,

當(dāng)機(jī)=0時，3={x|-4Kx?3}滿足題意，

故-:4加V0,即機(jī)的取值范圍為-g,o.

18.(2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試)已知命題P：實數(shù)x滿足a<x<4a,其中a>0,命題4：

實數(shù)x滿足2Vx<4.

(1)若。=1,則〃是q的什么條件？

⑵若。是q的必要條件，求。的取值范圍.

【解析】⑴由〃=1,得p:l<x<4,記集合A={%[l<x<4},

q-.2<x<4,1己集合5={%[2<%<4}.

因為B是A的真子集，所以"是q的必要不充分條件.（注：必要條件也正確）

故p是q的必要不充分條件.

（2）p:a<x<4a,'己集合A=vx