2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

向量的數(shù)量積（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京昌平高三上期末）在ABC中，AC=BC=4,。為AB的中點(diǎn)，P為線段8上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，貝I（西+麗）?定的最小值為（）

A.-6B.-4C.-3D.-2

2.（2025北京西城高三上期末）在4A3C中，則“/.通=通2，，是“ABC是直角三角形”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2025北京東城高三上期末）已知平面向量和瓦工為兩兩不共線的單位向量，貝！|“?-可?1=0"是"2+B

與"共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2025北京順義高三上期末）已知向量。=（1,0）,5=（m,l）,若Z+25與a垂直,則m的值為（）

A-4B.0

D.2

5.（2024北京朝陽高三上期末）在△ABC中，AB=AC=4^2,當(dāng)aeR時(shí)，|通+%網(wǎng)的最小值為4.若

AM=MB,AP=sin20AB+cos20AC,其中。e,則|旃|的最大值為（）

A.2B.4C.2y/5D.4.x/2

6.（2024北京石景山高三上期末）已知向量Z=（5Mz=（2,-2）,若則加=（）

A.-1B.1C.2D.-2

7.（2024北京豐臺(tái)高三上期末）已知是兩個(gè)不共線的單位向量，向量：=+

（2,/zeR）.112>0,且〃>?！笔恰?gt;Q+B）>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2024北京東城高三上期末）已知非零向量Z，b，滿足同=忖，且7B=0,對(duì)任意實(shí)數(shù)幾，〃，下列

結(jié)論正確的是（）

A.=0B.?（〃〃+"）=0

C.（丸1-〃葉（癡+4方）=0D.（癡+=0

9.（2024北京房山高三上期末）已知向量Z=（2,0）,5=（m,l）,且2與B的夾角為:，則機(jī)的值為（）

A.一組B.里C.-石D.V3

33

10.（2024北京大興高三上期末）設(shè)向量2,5,若忖=1,方=（-3,4）石=股（/1>0）,則々=（）

11.（2023北京通州高三上期末）已知向量8,5滿足2+石=（2,-4）,33-5=（-10,16）,貝等于

（）

A.-13B.13C.-29D.29

12.（2023北京西城高三上期末）在△ABC中，AC=BC=1,ZC=90°.尸為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則方.正

的取值范圍是（）

「「「二

A?1J1],1B?1則1J0?卜丁1c]]口.卜于12

二、填空題一

13.（2025北京海淀高三上期末）已知向量Z=（x,l）,a-25=（x,-l）,貝喘=,卜+解的最小值

為.

14.（2025北京通州高三上期末）已知第5忑是同一平面上的三個(gè)向量，滿足同=忖=2,a-b=-2,則萬

與5的夾角等于；若1-萬與的夾角為則同的最大值為.

15.（2025北京西城高三上期末）折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而得名.某折

扇的扇面是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)AD=2OD=2,ZAOB=-TI,則扇面（圖中扇環(huán)）部分的

面積是,\OD-CB\=.

16.（2025北京朝陽高三上期末）己知。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足況+礪+詼=6，且

|OA|=2,|OB|=3,|OC|=4,設(shè)e為向量函的夾角，則cose=；

OAOB+OAOC=.

17.（2024北京一六六中高三上期末）設(shè)向量G=（1,2）,B=（八1）,且卜+5卜卜-5|,則5=,苕和5所

成角為________

18.（2024北京豐臺(tái)高三上期末）矩形ABCZ）中，AB=2,BC=\,且耳尸分為8C,C￡（的中點(diǎn)，則

AEEF=—?

參考答案

1.B

【分析】設(shè)I而卜X,由平行四邊形法則得到西+而=24，將（西+方）?亞表示成X的函數(shù)，并利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.

【詳解】RfAABC中，AC=3C=4,。為AB的中點(diǎn)，

所以AB=2C￡）=40,PA+PB=2PD

設(shè)附=x,貝眄=2點(diǎn)-》，xe[0,2@,

（PA+PB）PC=2PDPC=-2|PD||PC|

=_2尤（2應(yīng)_天）=2尤2_4岳=2（尤_0了_42_4,

即當(dāng)x=應(yīng)時(shí)，（西+麗）?比的最小值為T.

【分析】根據(jù)充分不必要條件的判定和向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可得到答案.

【詳解】ACAB=AB2,則同網(wǎng)cos4=|研,因?yàn)樵凇鰽BC中,

貝"網(wǎng)肛貝I]國cosA=|西，貝此2=1，則4ABC是直角三角形，則充分性成立；

IT

反過來若“△ABC是直角三角形”，則不一定是N3=w，

比如/C=g,貝！]畫cosA=|四，則畫甌gsA=|阿，貝!]*.荏=則必要性不成立，

則“*.通=通2”是，，△A3C是直角三角形”的充分不必要條件.

故選：A.

3.C

【分析】由題設(shè)有設(shè)2=函，b=OB，c=OC，如下圖，Q4DB為邊長(zhǎng)為1的菱形，數(shù)形結(jié)合及向量加

減、數(shù)乘的幾何意義判斷條件間的推出關(guān)系，即可得答案.

【詳解】由平面向量Z,瓦工為兩兩不共線的單位向量，

設(shè)Z=函，b=OB，c=OC，如下圖，Q4DB為邊長(zhǎng)為1的菱形，

A

\7B

若（力"=0,即］］與2垂直，a-b=BA，

即麗_L前，^a+b=OD,且罰_L麗，

所以詬，玄共線，即Z+B與"共線；

若2+B與"共線，即功=彳灰1且而加_L麗，即反_L麗，

所以與"垂直，故僅-5"=o.

所以“（"孫1=0”是“2+B與】共線”的充要條件.

故選：C

4.A

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式可求刑的值.

【詳解】因?yàn)槲?25=0+2私2）且4+2行與商垂直，

故（1+2機(jī)）xl+0x2=0,故m=一;,

故選：A

5.C

【分析】由|荏+的最小值為4可得△A3C的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐

標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及6的取值范圍表示出|稱|的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得

爪=2右.

【詳解】如下圖所示：

在直線上取一點(diǎn)。，使得麗=/LBC,

所以麗+疝5=荏+而=而，當(dāng)AD13C時(shí)，|荏+彳網(wǎng)取得最小值為4,即|而|=4；

又AB=AC=4后，所以可得仆ABC是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

^Cx

又血=施可得M為A8的中點(diǎn)，

由存=sin26^AB+cos20AC以及sin20+cos2。=1可得尸在5c上，

可得A（0,0）,2（0,40）,C（4及,0）,M（0,20）,

所以加=（0,4@,正=（472,0）,可得網(wǎng)40cos26,4A/2sin20）,

貝！]標(biāo)=（4&cos26,40sin26-20）,

人。.?7L7C_o13

令cos2d=f,由。e—,—可得cos-6=fe-,,

63J[474」

所以標(biāo)=（4萬,2&-4"），畫=J（4&]+僅0一4萬）2=,64r-32T+8,

64x

由二次函數(shù)y=64/-32/+8在fe上單調(diào)遞增可得，|MP|max=^^-32x|+8=2拓.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用|荏+幾：^|的最小值為4判斷出△ABC的形狀，將向量坐標(biāo)化并表

示出模長(zhǎng)表達(dá)式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.

6.B

【分析】求出13,利用,向小即可得出加的值.

【詳解】由題意,?=（5,m）,S=（2,-2）,

〃一萬=（3”+2）,

二（〃一萬）,

1?3x2+（m+2）x（—2）=0,解得：m=l,

故選：B.

7.A

【分析】舉例驗(yàn)證必要性，通過向量的運(yùn)算來判斷充分性.

【詳解】當(dāng)2>0,且">。時(shí)，

0（々+石）=（丸々+〃石）?（々+6）=4々+（4+〃）々.方+〃方=4+〃+（4+〃）cos（a,5）

>X+〃-（4+〃）=0,充分性滿足；

當(dāng)2.伍+B）>0時(shí)，

L（a+B）=/L+〃+（/i+//）cos（a,b），當(dāng)幾>0,〃=0時(shí)，

1（Z+B）=/1+Xcos（￡,方）是可以大于零的，

即當(dāng)~（2+石）>0時(shí),可能有4>0,"=。,必要性不滿足，

故“4>0,且〃>0"是“c（a+b）>0”的充分而不必要條件.

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】???非零向量Z,石，滿足同=何，且￡4=0,

對(duì)于A,（丸4一4萬）.（/1〃-4可=一2"〃.在+,q=（^22+不恒為0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,（4〃_〃4?（〃々+4石）=/1〃忖+22<7-^-//2￡Z-^-2//|S|=M（W-|^|j=0,故B正確；

對(duì)于C,（2〃_//B）.（%〃+//可二+Ajua-b-Ajua-b-1//&|=-//2）|^|不恒為0,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,（4〃+〃沖?（4〃+4彼）=/1“4+丸2〃?石+42〃.石+4“q=22//1^|不恒為0,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

9.B

【分析】先表示出7即M，然后根據(jù)=|犧cosg求解出加的值.

【詳解】因?yàn)?5=2加，忖=2，W=J療+1,

所以|聞^cosg,所以2n1=2乂\/府+1xg,

解得加=4^或機(jī)=一避^（舍去）,

33

故選：B.

10.D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘公式和模的公式代入即可求解.

【詳解】因?yàn)槭?荷=（—3,4）（丸>0）,所以5=（二,外

\ZZJ

因?yàn)橥?=1（4>°），所以幾=5,所以a=[m，￡].

故選：D

11.C

【分析】先求得向量苕，b,進(jìn)而求得小B.

【詳解】依題意方+5=（2,T）,3a（-10,16）,

兩式相加得4花=(-8,12),6=(-2,3),

所以B=(2,-4)V=(4,-7),

所以無5=_8_21=_29.

故選：C

12.B

【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合理直角坐標(biāo)系，求出直線A3所在直線方程為丁=-尤+1,設(shè)P&f+l),

得到行.定=21-利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其值域.

【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,CB所在直線分別為x軸，)軸，建立直角坐標(biāo)系,

則4(0,1),8(1,0),直線AB所在直線方程為y=f+1,

設(shè)尸&T+1),?e[0,l],則麗=1),PC=(-t,t-^,

PB-PC=-z(l-z)+(r-l)2=2^-11

8

當(dāng)仁0時(shí)，CPBPC)=1,當(dāng)t=?時(shí)，(PBPC)

\，max4'/ming

故其取值范圍為一!」，

_8一

故選：B.

13.(0,1)2

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出從而求出再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)椤?(x,l),a-2b=(x,-l),

所以心“土=(MIU)=(Qi),

22v7

則Z+B=(X,1)+(O,1)=(X,2),所以歸+萬卜，f+22N2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

所以口+@的最小值為2.

故答案為：(。,1);2

2兀

14.4

3

一1a-b

【分析】第1空，利用《?。/=麗可得；

第2空，根據(jù)向量夾角的關(guān)系，利用向量的幾何表示，設(shè)前=。，AC=&，詬確定AO為△ABC的

外接圓直徑時(shí)最大，進(jìn)而可得.

a-b-21_7TT

【詳解】第1空：c°sa，br=WJ=公5=-彳，因乙be[0,可，故圓石=寧，

2萬

第2空：設(shè)須=4，AC=b，貝54c=。-,

設(shè)AD=1，則CZ)=3-",BD=c-b因H與1-5的夾角為I，

而落6=寧27r，故。在兩段優(yōu)弧上，如下圖，

2X1-2

右上方的弧所在圓的半徑為12一，左下方的弧所在的圓的半徑為2且圓心為A,

2

結(jié)合圖形可得同即|AD|可取得最大值為直徑即為4,

故答案為:

【分析】根據(jù)扇形面積公式，即可求解扇面的面積；根據(jù)向量數(shù)量積公式求模.

2兀

【詳解】由條可知，AO=2+1=3,ZAOB=—,

所以扇形AOB的面積H=^x^x32=3無,扇形DOC的面積$2=1x=xl2=g,

23233

所以扇面的面積是4-§2=,；

|OD-CB|=A/BD：+CB