2024北京重點(diǎn)校高一(下)期末數(shù)學(xué)匯編

三角函數(shù)章節(jié)綜合(解答題)

一、解答題

1.(2024北京東城高一下期末)設(shè)函數(shù)/(x)=sin。x+辰osox(0>O).從下列三個(gè)條作中選擇兩個(gè)作為

已知，使得函數(shù)存在.

(1)求/(%)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意的xe-,K,都有/(x)Wc,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

條件①：函數(shù)"X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一2)；

條件②：/(無(wú))在區(qū)間-1|限上單調(diào)遞增；

條件③：》=色足“X)的一條對(duì)稱軸.

2.(2024北京西城高一下期末)若存在實(shí)數(shù)%和周期函數(shù)使得〃力=米+”(耳，則稱“尤)是好

函數(shù).

(1)判斷“(%)=$3#(%)=彳+%2是否是好函數(shù)，證明你的結(jié)論；

⑵對(duì)任意實(shí)數(shù)X,函數(shù)〃x),g(x)滿足g(〃x))=x,/(g(x))=x.若"X)是好函數(shù)，

⑴當(dāng)〃x)=2x時(shí)，求g(x)；

(ii)求證：/(無(wú))不是周期函數(shù)；

(iii)求證：g(x)是好函數(shù).

3.(2024北京懷柔高一下期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義向量。4=(私〃)為函數(shù)

/(x)=msinx+〃cosx的有序相伴向量.

⑴設(shè)/z(x)=2sin］x-：j(xeR),寫(xiě)出函數(shù)八(久)的相伴向量Q0;

⑵若/(%)的有序相伴向量為03=(0,1),若函數(shù)/z(x)=/(x)+MM，xe［0,2兀］,與直線y=上有且僅有2個(gè)

不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

⑶若/(%)的有序相伴向量為08=(祖,0)，當(dāng)函數(shù)/(X)在區(qū)間可上時(shí)值域?yàn)椋邸?國(guó)，則稱區(qū)間目為函

數(shù)的“和諧區(qū)間當(dāng)加=-3時(shí)，/(x)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出〃x)的所有“和諧區(qū)間”，若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2024北京石景山高一下期末)如圖，以O(shè)x為始邊作角a與￡(0<￡<a<7i),它們的終邊與單位圓0

分別交于尸、。兩點(diǎn)，已知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［-d，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

(1)求sina-sin尸的值；

(2)求tan26的值.

5.(2024北京北師大附中高一下期末)已知函數(shù)/?(x)的定義域?yàn)镽.若存在正整數(shù)也使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,都有以工+^^二必幻+版面:%則稱加幻具有性質(zhì)/左).

⑴判斷函數(shù)，(x)=2x,g(x)=cosx是否具有性質(zhì)尸(2),并說(shuō)明理由；

3571

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(0x+°)其中5<0<5/勿<1?是否存在。、9，使得具有性質(zhì)尸⑶？若存在，

求。，9的值；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)已知函數(shù)/(x)具有性質(zhì)尸(外(左為正偶數(shù))，且/'(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?(O)J(E)].設(shè)函數(shù)

g(x)=sin(f(x)),且滿足下列條件：①g(兀)*。；②對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有g(shù)(x+2兀)=g(無(wú))；③g(x)在區(qū)

間(0,fat)上的零點(diǎn)不超過(guò)01個(gè).求證：存在正偶數(shù)使得于(kK)=rm.

仝士八3.~.(x+/3a—B...a—Ba+B

參考公式：sina+smpn=2sin---cos-sina-sinp=2sin---cos—.

6.(2024北京北師大附中高一下期末)某玩具廠為測(cè)試一款可升降玩具炮臺(tái)的性能，建立了如下的數(shù)學(xué)

模型：①如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，炮口A的坐標(biāo)為(0,%),炮臺(tái)從炮口向右上方發(fā)射玩具彈，發(fā)射仰

角為]'初速度％=l°m/s；②設(shè)玩具彈在運(yùn)行過(guò)程中單位：s)時(shí)刻的橫縱坐標(biāo)分別為

fx=lOZcos^/、

x，y(單位：m),且滿足；°，③玩具彈最終落在點(diǎn)。％。).根據(jù)上述模型，解決下列

I=—5t+lO^sin^+h'7

(1)當(dāng)〃=0時(shí).

(i)若r=l時(shí)，玩具彈剛好落在點(diǎn)O,求d及此次的發(fā)射仰角6的值;

(ii)求d的最大值及此時(shí)的發(fā)射仰角仇

(2)當(dāng)〃=2.5時(shí)，求證：d<\3.

7.(2024北京北師大附中高一下期末)設(shè)函數(shù)尤)=sin@xcos@x+且sin,色x-3cos,吆x,其中

v7222222

0>o,Ax)的最小正周期為兀.

⑴求①；

⑵當(dāng)xe［0，M時(shí)，/(X)-#WO恒成立，求根的最大值；

(3)將/(無(wú))的圖象向左平移9兀個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的32倍，縱坐標(biāo)不變，得到函

數(shù)g(x)的圖象.直接寫(xiě)出方程g(x)=hix的根的個(gè)數(shù).

8.(2024北京清華附中高一下期末)在△/BC中，。，b,c分別為-A,ZB,NC所對(duì)的邊，已知

asinC=c(2-6cosA).

(1)求A的大?。?/p>

⑵若a?-5?=c?-6c且S“c=46，求。的長(zhǎng).

9.(2024北京昌平高一下期末)已知函數(shù)/⑺=sinx+cos^,先將/(無(wú))圖象上所有點(diǎn)向右平移;個(gè)單

位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的血倍，得到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴求g(x)的解析式和零點(diǎn)；

(2)已知關(guān)于x的方程/(x)+g⑺=機(jī)在區(qū)間［0,2TI)內(nèi)有兩個(gè)不同的解a、B.

(i)求實(shí)數(shù)皿的取值范圍；

(ii)求cos(a-/7)的值.(用含機(jī)的式子表示)

10.(2024北京101中學(xué)高一下期末)已知函數(shù)/(x)=asinxcosx+cos(2x+。，且

(1)求a的值和/(x)的最小正周期；

(2)求在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間.

11.(2024北京懷柔高一下期末)已知函數(shù)/'(x)=N6sin(yx?COS6<9X+COS2tyX

從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)f(x)存在且唯一.

條件①：f^=-1;

條件②：“X)在區(qū)間-屋單調(diào)，且叱-/(-5=2；

1JT

條件③：函數(shù)g(x)=/(x)-］相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的距離為,

選作為條件

⑴求。值;

jrjr

(2)求〃x)在區(qū)間-彳冶上的最大值與最小值及對(duì)應(yīng)的x的值.

12.(2024北京順義高一下期末)設(shè)函數(shù)/(x)=2Asinxcosx+2cos2x(AeR,AH0),從條件①、條件②、

條件③這三個(gè)條件中選擇可個(gè)作為己知，使函數(shù)存在且唯一確定.

條件①：/(0)=0;

條件②：/(x)的最大值為a+1;

條件③：直線x=J是函數(shù)/(*)的圖象的一條對(duì)稱軸.

O

⑴求函數(shù)/(X)的最小正周期；

⑵求函數(shù)/(尤)在區(qū)間[0,兀]上的單調(diào)遞增區(qū)間.

13.(2024北京海淀高一?下期末)已知函數(shù)/(x)=sin[xq]+sin[x+]J.

⑴求/(O)的值和“X)的零點(diǎn)；

⑵求的單調(diào)遞增區(qū)間.

14.(2024北京西城高一下期末)己知函數(shù)〃句=25皿妙+協(xié)(。＞0,0＜。＜兀)的部分圖象如圖所示.

⑴求的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=〃x)sinx,

⑴求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(ii)求函數(shù)g@)在區(qū)間[0/。]內(nèi)的所有零點(diǎn)的和.

15.(2024北京西城高一下期末)在平面直角坐標(biāo)系中，角a以。x為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4).

⑴求tantz及tan2i的值；

(2)求cos2a+sin[a+]J的值.

16.(2024北京昌平高一下期末)已知函數(shù)/1(xbzJGsinBxcos5x-cos0x3＞O),圖象的相鄰兩

條對(duì)稱軸之間的距離為

⑴求“X)的解析式;

JTJT

(2)求〃力在區(qū)間上的最小值；

4o

⑶若/（X）在區(qū)間［0,回上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值.

3

17.（2024北京昌平高一下期末）已知sina=g,且。為第二象限角.

（1）求+的值；

cos2a

⑵求后W-1的值.

18.（2024北京東城高一?下期末）已知cos（z=g,a.

⑴求tang-'的值；

zy

（2）求sin2萬(wàn)+sin2。的值.

7T

19.（2024北京石景山局一下期末）如圖，在扇形。PQ中，半徑OP=1,圓心角ZPOQ=§,A是扇形弧

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作OP的平行線交。。于3.記/AOP=a.

⑴求AB的長(zhǎng)（用。表示）；

（2）求△OAB面積的最大值，并求此時(shí)角a的大小.

20.（2024北京第八中學(xué)高一下期末）已知sin（兀-a）=2cosa.

⑴若a為銳角，求cos（a+。的值；

⑵求tan（2a-/J的值.

21.（2024北京第八中學(xué)高一下期末）已知函數(shù)/（￡）=852妙+25M585〃比一5皿25（0＜刃＜4）,且

從以下①②③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面條件中，并回答問(wèn)題：①過(guò)點(diǎn)②函數(shù)/（X）圖

象與直線y+收=0的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離為?、酆瘮?shù)/（X）圖象中相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為

n

⑴求函數(shù)“X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=2cos12尤-gj,則是否存在實(shí)數(shù)m,使得對(duì)于任意占e[0,申，存在馬耳0,今,

m=g（%）-/（%）成立？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（2024北京延慶高一下期末）已知函數(shù)/（X）=2V^sinxcosx+2cos2x-1.

（1）求函數(shù)/■（"的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

JT

（2）當(dāng)xe0,-時(shí)，求函數(shù)/（X）的最值及取得最值時(shí)自變量x的值.

參考答案

7T771

1.(1)T=71,單調(diào)遞減區(qū)間為正+如豆+也(keZ)；

⑵[6,+可

【分析】(1)利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合所選條件，利用周期與單調(diào)性求出。，求函數(shù)解析式即可;

JT

(2)由x的范圍求出2無(wú)+2的范圍，即可求出函數(shù)的值域，依題意c2/(x).

鼻\/mnx

【詳解】(1)因?yàn)?(X)=sin+^3COS69X=2sinCDX+^-cosa)x^=2sin,

若選①②：由①函數(shù)/。)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)[-2，2),

貝|一^^+色=^+2E,ksZ,即G=—1—12左，ksZ,

632

由②/(X)在區(qū)間-蔣.上單調(diào)遞增，有十(-1|1；，即T?兀,

又切>0且7=—,即—之兀，所以0<GW2,此時(shí)切不存在；

CDCD

選條件②③：由②/(X)在區(qū)間冷若上單調(diào)遞增，有?(專)弓，即T2兀,

又0>0且T=」27r，即2」冗所以0<0<2,

coa)

由③尤="是f(x)的一條對(duì)稱軸，則+￡=5+而，keZ,

121232

所以口=2+12左，keZ,所以G=2,

所以f(x)=2sin(2X+,則“X)的最小正周期T=］=無(wú)，

jrTT3JT7T/兀

由5+2E<2%+—<—+2kli(kGZ),解得—+Z：7i<x<—+kn(kGZ),

7177r

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［丘+E,m+E及eZ)；

若選①③：由①函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)［-2，2),

7T〃)717E

貝"---1—=—卜2kli,kGZ,即G=—1—12左，kGZ,

632

由③尤=三是f(x)的一條對(duì)稱軸，則三。+5==+配，keZ,所以0=2+124，keZ,

121232

此時(shí)。不存在；

(2)由(1)可知/(無(wú))=2sinj2x+|^,

Ed71b7c714兀7兀

因?yàn)?,兀，所以+3-，至'

所以sin(2x+m1e—,/(%)￡1—2,6],

因?yàn)閷?duì)于任意的xe*兀,都有/(x)Wc,所以

即c的取值范圍為[G,+幼.

2.(1)“("是好函數(shù)，v(x)不是好函數(shù)，證明見(jiàn)解析；

⑵(i)g(無(wú))=:尤(ii)證明見(jiàn)解析(iii)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)好函數(shù)的定義直接判斷即可；

(2)(i)由所給條件直接得出g(x)=g尤(ii)假設(shè)函數(shù)為周期函數(shù)，推出矛盾可證明函數(shù)不是周期函數(shù)

(iii)證明函數(shù)為好函數(shù)轉(zhuǎn)化為證明廠(尤)=g(“-1尤為周期函數(shù)，再由函數(shù)周期的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得證.

【詳解】(1)因?yàn)椤∣)=0x+sinx,其中sinx為周期函數(shù)，所以a(x)為好函數(shù)，、

若v(x)=x+x2為好函數(shù)，則存在實(shí)數(shù)上和周期函數(shù)/z(x),使得v(x)=fcr+/?(x),

所以〃(司=f+(1一發(fā)卜為周期函數(shù)，又由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)且僅當(dāng)x=?時(shí)，

版x)取最小值，這與〃(x)是周期函數(shù)矛盾，

所以v(x)不是好函數(shù).

⑵(i)由g(〃x))=x,f(g(x))=x,f(x)=2x,

可得g(x)=gx.

(ii)若/Xx)是周期函數(shù)，設(shè)T(T>。)是/(x)的一個(gè)周期，

貝|尤=g(f(x))=g(/(x+T))=尤+T,這與T>0矛盾，

所以f(x)不是周期函數(shù).

(iii)因?yàn)?(x)是好函數(shù)，所以存在實(shí)數(shù)%和周期函數(shù)〃(X),使得/'(x)=^+/z(x),

由(ii)知左片0,否則由X)是周期函數(shù),矛盾.

令r(無(wú))=g(尤)一〈尤,

以下證,⑴是以匕為周期的周期函數(shù)，T是以幻的周期，

1Y

廠(％+左T)=r(x)<^>g(x+-(x+^T)==g(x+kT)=g(%)+T

假設(shè)存在玉。入2，使得%=/(為)=/(12)，

則g(y())=g(/a))"，g(yo)=g(/(x2))=x2，矛盾.

所以g(x+kT)=g(尤)+To/(g(x+kT))=f(g(尤)+T)

<^>x+kT=左(g(x)+T)+/z(g(x)+T)=x=依(x)+〃(g(x))=/(g(x)),

所以r(x+kT)^r(x).

所以g(x)=<x+r(x)是好函數(shù).

K

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明g(x)是好函數(shù)，即證存在實(shí)數(shù)?和周期函數(shù)4X),使得

k

g(x)=1x+r(x),據(jù)此可構(gòu)造函數(shù)r(x)=g(x)-；龍，轉(zhuǎn)化為證明「⑶是以立為周期的周期函數(shù)，再由周

KK

期函數(shù)的定義證明即可.

3.(D(l，-A/3)

⑵k=yfl或-1<左<1

(3)答案見(jiàn)詳解

【分析】(1)根據(jù)兩角差的正弦公式即可求解；

(2)畫(huà)出〃("=/(彳)+卜：114彳《0,2可的圖像以及直線'=左的圖像，數(shù)形結(jié)合可得上的取值范圍；

(3)結(jié)合函數(shù)圖像，對(duì)。涉進(jìn)行分類討論即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?2sin［x-'］=2卜inxcos'-cosxsing］=2gsinx—^^c°sx］=sinx—Gcosx,

所以函數(shù)h(x)的相伴向量。河=(1,-石)；

(2)若“X)的有序相伴向量為08=(0,1),貝|/(x)=cosx,

A/2sin[x+])xE[0,71]

cosx+sinx,xe[0,兀]

所以"(x)="x)+卜inx|=cosx+卜inx|=

cosx-sinx,xe(兀，2兀]

-A/2sinx--,%￡(兀,2兀]

如圖所示,

當(dāng)0,：時(shí)，/l(x)￡［：,兀］時(shí)，虛］

xel時(shí)，無(wú)(力￡(—1,及］；兀￡［弓,2兀］時(shí)，/z(x)￡(l,夜］;

由圖像可知，若函數(shù)以%)與直線y=左有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則上二行或-1〈左<1；

(3)若/(x)的有序相伴向量為。3=(加,0),貝i]/(x)=msinx,

當(dāng)m=一3時(shí)，/(x)=-3sinx,

當(dāng)相=一3時(shí)，假設(shè)存在/'(x)是否存在“和諧區(qū)間”，則由—3V/(x)<3,得—3Va?bV3,

①若則由［凡6仁［0,兀)，知〃x)<0,與值域卜,6仁［0,兀)矛盾，故存在“和諧區(qū)間”，

②同理，。/<0時(shí)，也，不存在；

下面討論a

③若Z>W，則°微曰.涉］，故〃尤)的最小值為一3,于是°=一3,所以一|，5^［a,b］,所以〃x)的

最大值為3,故匕=3,此時(shí)/⑺的定義域?yàn)椋?3,3］,值域?yàn)椋?3,3］,符合題意，

④若0<6<二，

2

JT

當(dāng)一=時(shí)，同理可得。=-3,6=3,舍去，

2

當(dāng)心-］時(shí)，/⑺在［a,可上單調(diào)遞減，

所以a=-3sinZ?=—3sina,于是a+Z?=-3(sin〃+sinZ?),

若一a,即。+〃>0,sin&>sin(-a),故sina+sinZ?>0,-3(sina+sinZ?)<。，

^+/?=-3(sintz+sinZ7)^^,

若b〈-a,同理，矛盾，

b

所以辦=_"，即1=sinb,

由圖像可知，當(dāng)xe(03時(shí)，sin%>|,

因?yàn)槿f(wàn)?［。，萬(wàn)］,所以6=0,從而。=0,從而a=6,矛盾，

綜上所述,〃力有唯一“和諧區(qū)間”［-3,3］.

【點(diǎn)睛】此題為向量和三角函數(shù)相結(jié)合的新定義問(wèn)題；主要把握住它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即可，熟記三角恒

等變換的有關(guān)公式；求取值范圍轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.

4.(1)-|

【分析】(1)由任意角三角函數(shù)定義結(jié)合題意可得答案.

(2)由題結(jié)合二倍角正切公式可得答案.

【詳解】(1)由題結(jié)合任意角三角函數(shù)定義可得：

341

sina=—,sinB=—nsina-sinB=----；

555

4

5-4

tan夕-

(2)由題可得:33-

5-

8

2tan[324

貝ljtan2/?=3

l-tan2/7I-37

9

5.(l)/(x)具有，g(x)不具有，理由見(jiàn)解析；

(2)0=2,。=0,具有性質(zhì)尸(3)；

(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用給定的定義分別驗(yàn)證，即可判斷得解.

(2)利用給定的定義，再利用和差化積，結(jié)合恒成立得5皿3710+9)=$皿；一=。，由給定范圍求出。，夕.

(3)利用給定的定義，結(jié)合反證法推理得〃W3再按〃取奇偶探討即得.

【詳解】(1)由/。)=2無(wú)，得了(尤+2兀)=2(》+2兀)=2尤+4兀，而/'(2無(wú))=4兀，

因此/(x+2兀)=/(x)+/(2TT),函數(shù)/(%)具有性質(zhì)產(chǎn)⑵；

由g(x)=cosx,(x+2TI)=cos(x+2K)=cosx,而g(27i)=cos2TT=1,

因此gQ)+9(2兀)=cosx+1W+2冗)，所以g(X)不具有性質(zhì)尸⑵.

(2)若函數(shù)/(%)具有性質(zhì)P(3),貝?。?(%+3兀)=/(%)+/(3兀)，而/(%)=sin(G%+e),

因止匕sin(69x+3兀啰+夕)=sin(69x+0)+sin(37i0+(p),

2Gx+3兀&+2。

即sin(37iG+0)=sin(s+371G+0)一sin(啰x+(p)=2sincos

2

由對(duì)任意實(shí)數(shù)%上式恒成立，得sin(3?uy+°)=sin;一二0,

35

則存在整數(shù)P,使得3兀啰=28，即3^=2p,30為偶數(shù)，而不＜G＜Z，

22

于是0=2,止匕時(shí)sin(6兀+。)=0,則存在整數(shù)＜7,使得6兀+0=51,即。二/1一6兀，

TT

5L\(P\<~,則。=0,此時(shí)/'(x)=sin2x,

所以存在0=2,。=。使函數(shù)具有性質(zhì)尸⑶.

(3)由函數(shù)/(x)具有性質(zhì)尸(左)，得/(x+E)=/(x)+/(E),

則/(0+E)=/(0)+/(E),解得/(0)=0,由對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有g(shù)(x+22=g(x),

得g(27t)=g(0),g(砌=g(0),而g(x)=sin(f(x)),

于是sin(y(硝)=g(E)=g(0)=sin(/(O))=0,

因此存在整數(shù)〃，使得f(E)=mr,而f(x)在區(qū)間。也]上的值域?yàn)?(O)J(E)],

從而/(x)在區(qū)間[0,fai]上的值域?yàn)閇0,mt],且"為正整數(shù).

①當(dāng)〃,后時(shí),存在玉w(0,E),使得/(xj=/,i=l,2,3,,k,

且ga)=sin(/a))=O與g(x)在區(qū)間(0,E)上的零點(diǎn)不超過(guò)%-1個(gè)矛盾,因此=；

②當(dāng)nWk,且“為正奇數(shù)時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x,g(尤+2?t)=g(尤)，則g(防t+7t)=g(7t),

又g(hi+兀)=sin(/(^7i+7i))=sin(/(兀)+f(kn))=sin(/(7i)+rm)=—sin(/(兀))=—g(7i),

因此g(2=-g(兀)，即g5)=o與g(兀)片。矛盾，

所以存在正偶數(shù)正后使得/(也)=〃兀.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)新定義問(wèn)題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方

法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作答.

6.(1)(i)d=56,e=F；(ii)10

6

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)⑴根據(jù)人=0,y1,求得sin"；,進(jìn)而求得。；

(ii)根據(jù)題意，得，=2sin。，進(jìn)而求得d=10sin2。，即可求解；

(2)根據(jù)y=0,整理得d2—iodsin2e-25cos28—25=0,再由輔助角公式化簡(jiǎn)得

JlOOd'+625sin(26+°)=屋-25,即可求解.

[x=lOcos。1

【詳解】(1)(i)當(dāng)%=0/=1時(shí)，,爪由y=。，得sin。、，

[y=-5+10sin<92

因?yàn)楣?奇，所以此次的發(fā)射仰角為。吟小。、吟=55

x=\Qtcosd

(ii)當(dāng))=0時(shí),

y=—5』+10/sin6

由y=。，得，=2sin。，J=20sin^cos0=lOsin23,

jr77r7T77rTT

因?yàn)?，e,所以26e三，所以。=:時(shí)，d取得最大值10.

624|_312」4

x=10/cos。

(2)當(dāng)力=2.5時(shí),

y=—512+10/sin。+2.5

由y=0,得一5『+10/sine+2.5=0(l),

因?yàn)閐=10/cos。，所以----,

lOcos^

代入(1)式整理得d2-10dsin20-25cos20-25=0,

得10dsin2。+25cos28=笛—25,

所以J100屋+625sin(26+0)=陵-25,其中tan0=；^，夕

|j2-25|

所以卜in(29+e)|=<1,解得d<5的<13.

7100J2+625

7.(1)2

(3)3

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得"x)=sin[0x-2],再由周期公式求解即可;

(2)先求得的范圍，再利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解;

(3)先利用三角函數(shù)變換得到g(%)=sin◎,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)與y=Inx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,

數(shù)形結(jié)合即可得解.

w、辛々刀Y/1、r(\<8373.4①V34①

【角?！?1)f(x)=sin—xcos—xH-----sin—x-------cos—x

v7222222

1.v3(CD.CDV2G.[CD)

=—sms------cos—2x+sm-2xcos-x-sin-x

22122人22)

1.G.(始

=—sins------cos<yx=sincox——,

22L3j

/(x)的最小正周期為無(wú).

2兀

則兀=三，得切=2；

CO

(2)由(1)得/(x)=sin[2x-]

因?yàn)閤e[0,州所以,

由/⑺一日40,得2加一三隹，得掰V],

故加的最大值為：

(3)由題意得，g(x)=/(gx+m]=sin尤+—W=sin7?,

(2o)\2o/3

由sin7tx=lnx,作出函數(shù)的圖象，如圖所示:

\y=\wcy=smivc

方程g(x)=lm'的根的個(gè)數(shù)：3.

71

8.(DA=-

⑵°=26

【分析】(1)運(yùn)用正弦定理邊角互化即可；

(2)用余弦定理，結(jié)合已知式子求出6,再結(jié)合面積公式，可以求出*最后代入已知的式子可以求出口

【詳解】(1)由泅11。=《2-岳0必)和正弦定理得，csinA=c(2-J5cosA),

貝!|sinA=2-GcosA,即sinA+V§cosA=2,貝!12sin(A+g)=2,

即sin(A+工)=1,由于Ae(0,7i),則4則A」.

3326

(2)由余弦定理得，a2=b2+c2-2Z?ccosA=b2+c2-y/3bc.

Xa2-&2=C2-6C,貝I一技C=-6C,求的6=26.

由54M=46,即^bcsinA=4?,即工x2石xcx工=4且，則c=8.

?曲222

代入〃6c得，a2-12=64-48，解得a=2近.

9.(l)g(x)=2sinx；kn(kGZ)

____2

(2)卜加炯；^1-1

【分析】(1)用輔助角公式化簡(jiǎn)/(x),由三角函數(shù)的圖象變換可得g(x),繼而可得零點(diǎn)；

(2)(i)由(1)得〃x)+g(x)=&5sin(x+e)(其中sin0,cos(p=3y,從而可得加的取值

范圍.

mm

(ii)由題意可得5也(&+0)=不,5也(〃+°)=-^,當(dāng)04”2＜加時(shí)，可求a-/?=7i-2(￡+9)；當(dāng)

\J10A/10

一〈根＜0時(shí)，可求。一/=3兀-2(/+夕)，由cos(a-尸)=一cos2((3+夕)=2sir?(尸+°)-1,從而可以求解.

【詳解】(1)/(X)=sinx+cosx二&sin(x+：］,

將“X)圖象上所有點(diǎn)向右平移］個(gè)單位得&Sin(x-：+()=血sinx,

再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的四倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，

則g(x)=2sinx,

y=sinx的零點(diǎn)為2E和兀+2E(GeZ),

故g(x)=2sinx的零點(diǎn)為for(左eZ).

(2)(i)/(x)+g(x)=sinx+cosx+2sinx=3sinx+cosx=\/10sin(x+cp)(其中

.A/103回、

sin(p—-----,cos(p—-------),

1010

方程/(X)+g(%)=m在區(qū)間［。，2兀)內(nèi)有兩個(gè)不同的解a、B,

即Jidsin(x+9)=根在區(qū)間［0,2兀)內(nèi)有兩個(gè)不同的解a、B,

(ii)。、尸是方程JT^sin(x+O)=m(其中sin。=1^,以九夕=)

在區(qū)間［0,2兀)內(nèi)有兩個(gè)不同的解，

sin(a+°)=—i=,sin(/?+夕)=-y=,

MVio

當(dāng)OW用時(shí)，。+。+￡+。=兀，即a=兀一/一2。，即傘一/二兀一2(/+。)；

當(dāng)一＜0時(shí)，1+0+4+。=3兀，即a=3兀一〃一2。，

即CL—p—37c—2(/3+(p)；

」.cos(6z-P)--cos2(/3+(p)=2sin2(/7+^)-l=2xj-1=q——1.

2

故cos(a一夕)=-^--1.

10.(l)a=4,T=n；

八兀]「2兀

(2)0,—,—,7：.

_oj|_J_

【分析】(1)根據(jù)=T求出。，然后利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，由周期公式可得;

(2)利用整體代入法求出“X)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合x(chóng)e[0,兀]可得.

【詳解】(1)因?yàn)閒z卜不,所以/]="sinzCOS]+cosK+1=5,

1I3

即尸廠5,解得”4,

c.c6c1.c

所以/(%)=4sin%cosx+cos12%+￡=2sin2xH-----cos2x——sin2x

22

=—sin2x+^^cos2x=J3

sin2x+-,

22I6

所以“X)的最小正周期為三=九

(2)由---1-2/CJI<2x+—<—+2kji,A:GZ,解得——+kn<x<—+kn,kE：7J,

26236

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為-5+E(+析《eZ,

所以/(x)在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間為°謂］］g，兀

11.⑴。=1

⑵當(dāng).號(hào)時(shí)，"4?=。；當(dāng)尤=￡時(shí)，山『|

【分析】先化簡(jiǎn)/'(X),(1)若選條件，分別求解。，舍掉不滿足/■(%)存在且唯一，逐一檢驗(yàn)即可得解,

(2)由(1)得到了(x)解析式，求出相位范圍即可求解.

V3.c1+cos2Gx1

【詳解】(1)/(X)=石sins:?COS69X+COS%X=——Sin269XH----------=sin2cox+—+-,

22I62

若選條件①，/，)=-l,sin(20x1+=Bpsinf2?xj+^=-|,無(wú)解，不合題意;

若選條件②，因?yàn)?國(guó)一小#2,f(x)max=|,/(x)mm=-1

所以x=2過(guò)“X)圖象的最高點(diǎn)，x=苫過(guò)/⑴圖象的最低點(diǎn)，

又因?yàn)椤癤)在區(qū)間卜品］單調(diào),所以口后

解得口=±1,

當(dāng)①=—1時(shí)，/(x)=sin(―2x+—+—=—sin,

當(dāng)xJ-*］時(shí)，外所以〃x)在區(qū)間「-我1不單調(diào),不符合題意,所以0=1；

若選條件③，因?yàn)間(x)=sin120尤+于相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的距離為g,

［，兀_

所以;7=5JT，即7=兀，又r7ri=—=兀，解得。=±1,不合題意;

綜上，。=1；

1

(2)由(1)知/(%)=sin2x+-+-,

I2'

71Tt兀5兀

當(dāng)時(shí),2x+(

6,366

所以，當(dāng)%+聿=一/即尤=一崇時(shí)，/(xL=sin［4］+；=°；

sin

當(dāng)2x+2=3即x=：時(shí)，/Wraax=^M=|.

O2OI，/，，

12.⑴兀；

(2)喉］庠旭.

OO

【分析】(1)由f(0)=2可得條件①不滿足，利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(*),由條件②③

結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出/(*),進(jìn)而求出最小正周期.

(2)由(1)求出/Q)的單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而求出在給定區(qū)間上的遞增區(qū)間.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=2Asin尤cos尤+2COS2X,有f(0)=2,因此條件①不滿足，

/(x)=Asin2x+cos2x+l=y/A2+1sin(2x+(p)+\，其中—彳,

函數(shù)/(x)的最大值為"Ti+I，由條件②得"ZT+1=0+1，解得A=±1,

當(dāng)A=1時(shí)，fW=\/2sin(2x+—)+1,/(可)=A/5+1滿足條件③，

當(dāng)A=—l時(shí)，/(x)=-V2sin(2x-^)+l,公)=1不滿足條件③，

因此函數(shù)了(%)滿足條件②③，且/(%)=Visin(2x+?)+l唯一確定，

4

所以函數(shù)/(X)的最小正周期為7=247r=除

2

jrjrjrSjrjr

(2)由(1)知，---F2ATI<2X+—<—+2fai,^eZ,解得----t-kii<x<—+/cji,keZ

24288f

37r7T

即函數(shù)f(x)在［一+配+kn］(keZ)上單調(diào)遞增，

88

所以函數(shù)/(尤)在區(qū)間［0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,勺TT,［?5冗,兀］.

OO

17r

13.(1)/(0)=-,/(x)的零點(diǎn)為“=也-',左eZ；

26

⑵〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為-亨,2E+：卜eZ.

【分析】(1)先應(yīng)用誘導(dǎo)公式及兩角和差化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出零點(diǎn)即可;

(2)應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.

【詳解】(1)/(O)=sinf-^|+sin||=-^+l=i

.71.71

=sinxcos—cosxsin—+cosx

66

.71.71

=sinxcos--Fcosxsin—

66

.(兀)

=smx+—

I6J

TTqr

令x+—=E,所以x=E——.

66

所以/(x)的零點(diǎn)為工=%兀-：左￡Z

(2)因?yàn)閥=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為(2左兀-',2①;+曰]/￡2

ll7T7L-,7T

月f以2kli----<XH<2kliH.

262

27rTT

所以2kli------<x<2kli+—

33

所以函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)遞增區(qū)間為12E-笄,2E+[],建Z

14.⑴〃x)=2sin卜+：

(2)(i)—+kn(keZ)(ii)-----

【分析】(1)由圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)可以得到這。，進(jìn)而得到了(x)的解析式；

(2)根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)g(x),進(jìn)而利用正弦函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得出零點(diǎn),

即可求和.

【詳解】(1)由圖象可知：r=4x^—--一二—.G)=\,

X)G)

將點(diǎn)6,2)代入y=/㈤得U2sin1L，

兀

/.(p=—+2kji,kGZ

八兀

\J<(P<Tl：.(P=—

/(x)=2sin^x+^

9(sinlx-coslx)+=sin-

(2)g(x)=/(x)sinx=叵sinx(sinx+cosx)=-

j?j?j?

(i)令---F2ATI?2x—?—F2kji,keZ,

242

冗3冗

解得---vkn<x<-----\-kn,

88

jr-sjr

所以函數(shù)8(元)的單調(diào)遞增區(qū)間為-《+也,k+E(AeZ).

oo

(ii)令g(x)=O,即sin'T”^,

所以2%一色=2fai+—=2H+—GZ,

4444

即兀=fai+——或X=E+&Z：￡Z,

4

由％40,10］可得，gQ)零點(diǎn)為芋，兀，與,2兀,號(hào),3兀,

故零點(diǎn)之和為乎+無(wú)+*2無(wú)+乎+3%=6兀+乎=等

424

15.(l)tana<=—；tan26z=--—

嗚

【分析】(1)根據(jù)任意角的三角函數(shù)值的定義求tana,再利用倍角公式求tan2a；

(2)根據(jù)任意角的三角函數(shù)值的定義求cosa,再利用倍角公式、誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.

【詳解】(1)由題意可知：tana='=g,

x3

2tancr24

所以tan20二

1-tan2a7

x3

(2)由題意可得：cosa=2

4％+y5J

Z,sma+工713

貝|Jcos2a=2cos2a-l=-=coscr=—

25I25

所以cos2a+sinIcr+^-1=___7_?__3___8

255~25

16.(1)/(x)=2sin(2x-—)

6

⑵-2

嗚

【分析】(1)根據(jù)條件，利用輔助角公式得到〃x)=2sin(s-B),再結(jié)合條件，即可得到。=2,從而

O

求出結(jié)果；

(2)令t=2x-g得至ijy=2sinr,利用y=sinx的圖象與性質(zhì)，即可求出結(jié)果；

O

(3)利用y=sinx的圖象與性質(zhì)，求出〃x)=2sin(2x-1)的單調(diào)增區(qū)間，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=2石sin葭xcos~x~COSGX=Vasins-coss=2sin(s-《),

又了(%)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為m，且切＞0,所以\=得到幻=2,

所以/(x)=2sin(2%-..

(2)由(1)知/(x)=2sin(2%-*,令才=2九一巳，貝|y=2sin/

TTTT2ITTT

因?yàn)閤e,所以fe,得至b2V2sinYl,

_46」|_5o_

所以在區(qū)間號(hào)弓上的最小值為-2.

(3)因?yàn)?(%)=2sin(2x-馬,

6

JTjrITjrjr

由---F2knK2x---K—F2ATT,%￡Z,至U----FkuW%W—Fku,kQZ,

26263

令人=0,得到又〃x)在區(qū)間[0,問(wèn)上單調(diào)遞增,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為半

1

17.(Dy

【分析】(1)根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到cosa