第2講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

選擇題

1.(2023?甲卷)曲線、=工一在點(diǎn)

A.y--xB.y--x—x+—-x-\----

42

【答案】C

【解析】因?yàn)閥=￡,

x+1

xxrx

r_e(x+l)-e(x+l)_xe

y~(X+1)2―(X+1)2，

故函數(shù)在點(diǎn)(1,-)處的切線斜率k=~,

24

切線方程為y--=—(x-l),BPy=—x+—.

2444

故選：C.

2.(2023?乙卷)已知/(%)=——是偶函數(shù)，則〃=()

*_]

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】?."。)=孝一的定義域?yàn)閧回工/0},又/(無(wú))為偶函數(shù)，

e-1

；?/(-X)=/(x)，

:.ax-x=x,:.a=2.

故選：D.

3.(2023?上海)已知aeR,記y=sinx在［a,2a］的最小值為力，在［2a,3a］的最小值

為則下列情況不可能的是()

A.、>0，>0B.%<0,<0C.$。>0，<0D.%<0,>0

【答案】D

【解析】由給定區(qū)間可知，a>Q.

區(qū)間［a,2a］與區(qū)間［2a,3al相鄰，且區(qū)間長(zhǎng)度相同.

取0=工，則[a,2a]=區(qū)間[2a,3a]=可知（>0,ta>0,故A可能；

66332

取“=也，則[a,2a]=L-,—J,區(qū)間[2a,3a]=[—,—],可知s“>0,ta<0,故

1212664

C可能；

取。=衛(wèi)，則[a,2a]=[―,—],區(qū)間[2a,3a]=[―,—],可知力<0,ta<0,故

66332

3可能.

結(jié)合選項(xiàng)可得，不可能的是.<0,。>0.

故選：D.

4.(2023?天津)函數(shù)/(元)的圖象如圖所示，則/(X)的解析式可能為()

5sinx

B.

x2+1

5(/+e")5cosx

?爐+2?-TTr

【答案】D

【解析】由圖象可知，/(%)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，故AB錯(cuò)誤,

當(dāng)x>0時(shí)，5￡+1)恒大于0,與圖象符合，故c錯(cuò)誤.

無(wú)2+2

故選：D.

5.(2023?新高考I)設(shè)函數(shù)/(x)=2'<，e在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+8)

【答案】D

【解析】設(shè)t=M尤-a)=Y-辦，對(duì)稱軸為無(wú)=9，拋物線開(kāi)口向上，

2

?.?y=2'是/的增函數(shù)，

，要使/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

則f=/-6在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

HP—..1,即a..2,

2

故實(shí)數(shù)”的取值范圍是［2,+00).

故選：D.

6.(2023?天津)已知函數(shù)/(x)的一條對(duì)稱軸為直線x=2,一個(gè)周期為4,則〃幻的解析

式可能為()

A*/冗、,TC、八.,71、門(mén).TC、

A.sin(—x)B.cos(—x)C.sin(—x)D.cos(—x)

【答案】B

【解析】A：若f(x)=sin(—x)，則T=—=4,

2至

2

7

令Lx=Jk兀、keZ,貝l」x=l+2左，keZ,顯然工=2不是對(duì)稱軸，不符合題意；

22

B：若/(x)=cos(1x),則T==4,

~2

令三x=k兀，keZ,貝!J九=2左，keZ,

2

故％=2是一條對(duì)稱軸，B符合題意；

C:/(%)=sin(—%),則T=—=8,不符合題意；

4兀

4

D:/(x)=cos(—x),貝1JT="=8,不符合題意.

4兀

4

故選：B.

7.(2023?新高考H)7知函數(shù)/(%)=泡-加在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則，的最小值為(

)

A./B.eC.e~xD.e~2

【答案】C

【解析】對(duì)函數(shù)/(%)求導(dǎo)可得，f\x)=aex

x

依題意，ae'-L.0在(1,2)上恒成立,

%

即乙.」一在(1,2)上恒成立，

xex

設(shè)修心一(/+叱)ex(x+l)

g(x)(1,2),則g'(尤)=

")2”)2

易知當(dāng)xe(l,2)時(shí),g'(尤)<0,

則函數(shù)g。)在(1,2)上單調(diào)遞減,

則a.g(x)2=g⑴」=e1

e

故選：C.

8.(2023?新高考^)若/(x)=(x+a)歷|^，為偶函數(shù)，則a=()

A.-1B.0C.-D.1

2

【答案】B

【解析】由生口＞0,得％＞工或x＜—!，

2x+l22

由/(%)是偶函數(shù)，

f(-x)=f(x),

得(-x+a)ln—^--=(%+a)In——-,

-2x+l2x+l

日口72x+172x—l,2x—l2x—l

R|J(—x+a)In-------=(—x+a)ln{--------)1=(x—a)ln--------=(x+a)i7n--------

2JV—12x+12x+12x+1

:.x-a=x+a,得—a=a,

得a=0.

故選：B.

9.(2022?乙卷)已知函數(shù)/(%),g(%)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,

22

g(x)--4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線犬=2對(duì)稱，g(2)=4，則￡/(左)=(

k=l

)

A.-21B.—22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】?.,y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則g(2-x)=g(2+x),

vf(x)+g(2-x)=5,/.f(-x)+^(2+x)=5,/.f(-x)=f(x),故/(%)為偶函數(shù)，

?.?g(2)=4,/(0)+g(2)=5,得/(0)=1.由——4)=7,得g(2-%)=/(-%—2)+7,

代入y(x)+g(2-x)=5,W/(x)+/(-x-2)=-2,故f(x)關(guān)于點(diǎn)(-L-1)中心對(duì)稱,

(1)=/(-1)=-1，由“X)+/(—x—2)=—2,f(-x)=f(x),得/?(元)+/(尤+2)=-2,

f{x+2)+f(x+4)=-2,故/(x+4)=/(x),/(尤)周期為4,

由7(0)+/(2)=-2,得/(2)=-3,又/(3)=/(-I)=f(1)=一1,

22

所以Z/(Q=6/⑴+6/(2)+5/(3)+5/(4)=llx(-l)+5xl+6x(-3)=-24,

k=\

故選：D.

10.(2022?乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)

x3-x

B.

2xcosx2sin%

D.

【答案】A

【解析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，

其次觀察函數(shù)在(1,3)存在零點(diǎn)，

尤3—x、

而對(duì)于5選項(xiàng)：令y=0,即工-0,解得尤=0,或%=1或尤=-1,故排除5選項(xiàng)；

x2+l

C選項(xiàng)：當(dāng)%>0時(shí)，2x>0,x2+1>0,因?yàn)閏osxw[-l,1],

故學(xué)三,，勺=芻，且當(dāng)天>0時(shí)，x+L.2,故;,,1,

尤？+1/+1X+1無(wú)X+!

XX

而觀察圖像可知當(dāng)％>0時(shí)，,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

。選項(xiàng)，丫=學(xué)空中，當(dāng)x=3時(shí)，>=空吧>0,故排除。選項(xiàng).

x2+l10

故選：A.

11.(2022?新高考II)已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)閇，且/(尤+y)+f(x-y)=,/(I)

22

=1，則2/伏)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】令y=l,貝U/(x+l)+/(x_l)=/(x),即/(x+l)=/(x)_/(x_l),

:.f(x+2)^f(x+l)-f(x),/(x+3)=/(x+2)-/(x+l),

.??/(x+3)=-/(%),則f(x+6)=-f{x+3)=f(x),

：.f(x)的周期為6,

令x=l,y=0得/(1)+f(1)=f(1)x/(0),解得f(0)=2,

又/(尤+1)=/(尤

.?./(2)=f(1)-f(O)=-l,

f(3)=f(2)-f(1)=一2,

f(4)=f(3)-f(2)=-l,

f(5)=f(4)-f(3)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=2,

6

2/伏)=1-1-2-1+1+2=0,

k=l

22

f(k)=3x0+/(19)+/(20)+/(21)+/(22)=f(1)+f(2)+于(3)+/(4)=-3.

々=1

故選：A.

二.多選題

12.(2023?新高考I)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲

壓級(jí)4=20x/g二，其中常數(shù)4(%>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，0是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級(jí):

聲源與聲源的聲壓級(jí)

距離/山/dB

燃油汽車(chē)1060?90

混合動(dòng)力汽1050?60

車(chē)

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10機(jī)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為“，p2,Pi,

則（）

A.Pi.RB.p2>10p3C.p3=100/?0D.P],,loop2

【答案】ACD

【解析】由題意得，60i?0/g包90,1000p01kWpQ,

Po

5

5砥如/g&60,105Po轟歸lOOOPo，

Po一

20lg—=40,p3=IO。區(qū),

Po

可得P1..P2，A正確；

〃2，,1?！?=1。。。4)，5錯(cuò)誤;

p3=100p0,。正確；

95

Pi轟！io2P0=100x102po10022,%,loop2,Z）正確.

故選：ACD.

13.（2023?新高考n）若函數(shù)/（尤）=4濃+2+二m/o）既有極大值也有極小值，貝1|（）

XX

A.bc>0B.ab>0C.Z?2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函數(shù)定義域?yàn)镼zo）,

2

口Qb2cax-bx-2c

-tLJ（x）=-------T三二------------,

XXXX

由題意，方程r(%)=0即ox?-阮-2c=0有兩個(gè)正根，設(shè)為玉，12，

A-2c

則有x+x=—>0,>0,△二人2+8。。>0,

i2a

:.ab>09ac<0,

ab-ac=a2bc<0,即bev0.

故選：BCD.

14.(2022?新高考I)已知函數(shù)/(尤)=d一九+1,則()

A.7(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B./(%)有三個(gè)零點(diǎn)

C?點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2尤是曲線y=/(%)的切線

【答案】AC

【解析】f\x)=3x2-l,令r(x)>0,解得x<_,或x>迫,令r(x)<0,解得

f(x)在(-CO,-,+oo)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且

中,。，吟=號(hào)＞°,

.?./(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)3錯(cuò)誤;

X/(%)+/(-%)=x3-X+1-X3+X+1=2,則/(%)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,故選項(xiàng)C正確；

假設(shè)y=2x是曲線y=f(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為"，則尸々=2,解得或『一1，

[2a=b[b=2=-2

顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=/(x)上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

15.(2022?新高考I)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為R,記g(x)=/(x).若

f(--2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B,g(-;)=0C.f(-l)=f(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

a2aa

【解析】?."(5-2幻為偶函數(shù)，.?.可得/(5-2x)=/q+2x),，/(彳)關(guān)于％=弓對(duì)稱，

令尤=：,可得/g-2x：)=fg+2x：),即/(-l)=y(4),故C正確；

?.?8(2+*)為偶函數(shù)，，8(2+尤)=8(2-尤)，g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，故。不正確；

aa

??"(%)關(guān)于對(duì)稱，％=萬(wàn)是函數(shù)/w的一個(gè)極值點(diǎn)，

函數(shù)/(幻在弓，。處的導(dǎo)數(shù)為0,即g(|)=/(|)=0,

又；.g(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，.?.g(|)=g(|)=0,.?.函數(shù)/(x)在(|,/)的導(dǎo)數(shù)為0,

;.x=|是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，又/(x)的圖象關(guān)于尤=|對(duì)稱，。關(guān)于尤=|的對(duì)稱

點(diǎn)為(g，f),

由x=g是函數(shù)〃尤)的極值點(diǎn)可得尤=；是函數(shù)/(幻的一個(gè)極值點(diǎn)，.?'('=r§)=0,

進(jìn)而可得g(g)=gg)=0,故x是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，又/(尤)的圖象關(guān)于x=|對(duì)稱，

.?.《，力關(guān)于x=T的對(duì)稱點(diǎn)為(J,f),.?.g(-J=/(一3)=0，故3正確；

了(幻圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，即每一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故A錯(cuò)誤.

解法二：構(gòu)造函數(shù)法，

令/(x)=l-sin?x,則/(—-2x)=1+cosITCX,則g(x)=f\x)=-TTcos7rx,

g(x+2)=一萬(wàn)cos(2;r+TTX)=一萬(wàn)cosTIX，

滿足題設(shè)條件，可得只有選項(xiàng)5C正確，

故選：BC.

三.填空題

16.(2023?甲卷)若/(x)=(x—l)2+ox+sin(x+])為偶函數(shù)，貝!]。=.

【答案】2.

【解析】根據(jù)題意，設(shè)/(%)=(%—+ax+sin(x+^)=x2-2x+or+1+cosx，

若/(x)為偶函數(shù)，貝！J/(-x)=x2+2x-ox+1+cosx=x2-2x+ox+1+cosx=f(x),

變形可得(。-2)%=0在R上恒成立，必有a=2.

故答案為：2.

17.(2023?甲卷)若y=(兀-1)2+ox+sin(x+])為偶函數(shù)，則。=.

【答案】2.

【解析】根據(jù)題意，iS/(x)=(x-l)2+ar+sin(x+^)=x2-2x+ar+l+cosx,

其定義域?yàn)镽，

若/(x)為偶函數(shù)，貝！J/(一元)=f+2x-ox+l+cosx=x2-2x+ox+l+cosx=/(x),

變形可得(。-2)x=0,必有a=2.

故答案為：2.

18.(2023?上海)已知函數(shù)/(尤)=(1;'°',則函數(shù)/(X)的值域?yàn)開(kāi)_________.

[2,%〉0

【答案】[1,+00).

【解析】當(dāng)用,0時(shí)，/(x)=l.

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=2*>l,

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)榭冢?oo).

故答案為：[1，+?)).

19.(2023?天津)若函數(shù)/(尤)=依2-2>|--依+1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍

為.

【答案】(-00,0)U(0,1)U(1,+00).

【解析】①當(dāng)4=0時(shí)，/(X)=-lx-IX2+11=-2.x-x2-1,不滿足題意;

②當(dāng)方程尤2一6+1=0滿足awo且△,,()時(shí)，

有。2-4,,0即ae[-2,0)5。，2],

止匕時(shí)，/(尤)=(a-l)尤2+(a—2)無(wú)一]

,當(dāng)a=l時(shí)，不滿足，

當(dāng)時(shí)，A=(a-2)2+4(a-l)=a2>0,滿足；

③X>0時(shí)，ae(-co,-2)D(2，+oo),

記尤2-av+l的兩根為m,〃，不妨設(shè)根<”,

則/(口=[("一1"一U(x+1)，xw(-8,河U^，+00)

[[(?+l)x-l](x-1),xG(m,ri)

當(dāng)a>2時(shí)，2=1,x2=-1_S,xG(-co,m]lJ[n,+8),

a-1J

但此時(shí)其-叼+1=<0，舍去七，

(。一1)

W=---，/=1，且%W(W),

a+1

但此時(shí)%3一依3+1="+2>0，舍去X3,

(。一1)

故僅有1與-1兩個(gè)解，

于是，〃￡(-00,0)D(0,1)kJ(1,+oo).

故答案為：(-co,0)U(0,1)(1,+oo).

20.(2023?乙卷)設(shè)a￡(0,1),若函數(shù)/(%)=卷+(l+a)］在(0,yo)上單調(diào)遞增,則。的取值

范圍是.

【答案】。的取值范圍是［與1).

【解析】???函數(shù)/(幻=優(yōu)+(1+〃尸在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

，/'(%)=axlna+(1+a)x妨(1+a)..0在(0,+oo)上恒成立,

即(1+d)xln(\+a)...-a'lna,化簡(jiǎn)可得(―)x...-一強(qiáng)一在(0,^o)上恒成立,

aln(l+d)

而在(0,+oo)上(上世廠

>1,

a

故有1…...——，由Q￡(O,1),化簡(jiǎn)可得加(1+

ln(l+a)a

即1+6Z..;-,儲(chǔ)+?！?..0,

a

解答鋁,,

Q<1,

故。的取值范圍是1).

故答案為：1,1).

21.(2022?新高考I)若曲線y=(x+a)e，有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則”的取值范圍

是.

【答案】(-00，-4)0(0,+00).

【解析】y=ex+(x+a)ex,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(毛，(/+〃)1),

x

切線的斜率k=e°+(x0+a)e^,

x

.,?切線方程為y-(%+〃)/=(e°+(x0+a)e^)(x-x0),

xx

又??,切線過(guò)原點(diǎn)，+a)e"=(e°+(x0+a)e°)(-x0)，

整理得：+ax0-a=0,

?「切線存在兩條，.?.方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

.?.△=/+4々＞0,解得qvY或々＞0,

即。的取值范圍是(—8,-4)U(0,+8),

故答案為：(-co,-4)0(0,+oo).

22.(2022?新高考H)曲線y=ln\x\過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為

x—ey=0.

【答案】尤-ey=0rx-Fey=0.

【解析】當(dāng)尤＞0時(shí)，y=lnx,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(毛，lnxQ),

=.,.切線的斜率上=’,

%不

二.切線方程為丁-瓦\(yùn))=，0-％0)，

%

又???切線過(guò)原點(diǎn)，/.-/g)=-1,

/.x0=ef

切線方程為y-l=-(x-e),即工-紗=0,

當(dāng)x<0時(shí)，j=ln(-x),與y=/nx的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

.??切線方程也關(guān)于y軸對(duì)稱，

切線方程為尤+◎=0,

綜上所述，曲線y=/〃|x|經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為x-ey=O,x+ey=O,

故答案為：x-ey=O,x+ey=O.

23.(2022?乙卷)已知尤=藥和x=%分別是函數(shù)/(x)=2優(yōu)一"2(°>0且的極小值點(diǎn)

和極大值點(diǎn).若王<馬，則“的取值范圍是.

【答案】(』』).

e

【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)/'(x)=2(a*M!-ex),分析可知：廣(x)在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)

零點(diǎn)，

對(duì)其再求導(dǎo)可得：f'\x)=1ax{Indy-2e,

當(dāng)a>1時(shí)，易知/"(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在尤。使得f"(x0)=0,

則1(x)在(-oo,x°)單調(diào)遞減，(%,+oo)單調(diào)遞增，

此時(shí)若函數(shù)/(x)在x=為和x=%分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足占>%,不滿足題意；

當(dāng)0<a<l時(shí)，易知廣(x)在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在與使得尸(%)=0,

則廣(無(wú))在(-oo,x。)單調(diào)遞增，(%,+oo)單調(diào)遞減，S.x0=loga—^,

(Ind)

此時(shí)若函數(shù)/(X)在％=%和%=々分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且石<%2，

故僅需滿足/(飛)>0,

ee-^e1

8P：——>elog“----=alna<------7nIn*<----y=>——Ina<1-ln(lna)2,

Ina(Ina)2(Ina)2(Ina)2Ina

解得：—<a<e9又因?yàn)镺va<l,故!<a<l

ee

綜上所述：。的取值范圍是d,i).

e

24.(2022?天津)設(shè)aeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記/(尤)=〃位{|尤|一2,x2-ax+3a-5].若/(尤)

至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】[10,+00).

【解析】設(shè)g(x)=f-辦+3。一5,/z(x)=|x|-2,由|x|-2=0可得x=12.

要使得函數(shù)/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，

則△=/一4(3°-5)..0,

解得6,2或a.10.

①當(dāng)。=2時(shí)，g(x)=x2-2x+l,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如圖所示:

此時(shí)函數(shù)/(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為為、x2(x,<x2),

要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則-2,

一<—2

所以，2,解得oc0；

g(-2)=5a-l..O

③當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=/-10x+25,作出函數(shù)g(x)、4(x)的圖象如圖所示:

由圖可知，函數(shù)〃尤)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,滿足題意；

④當(dāng)(2>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(X)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為三、王(無(wú)3<尤4)，

要使得函數(shù)/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則看.2,

￡>2

可得《2，解得。>4,此時(shí)a>10.

g(2)=a-1..0

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是口0,+00).

故答案為：［10,+00).

_%2+2,1,

25.(2022?浙江)已知函數(shù)/(x)={1貝I/(/1))=—二

xH---------1,x>1,228

、x

【答案】—:3+73.

28

—X2+2,x?1

【解析】??,函數(shù)/(%)=11，/./(一)=一一+2=-,

x+--l,x>l244

、x

177437

/(/(-))=/(-)=-+——1一；

244728

作出函數(shù)/(%)的圖象如圖：

由圖可知，若當(dāng)切時(shí)，11/(%)3,貝Ijb—。的最大值是2+石—(―1)=3+6.

故答案為：—；3+百.

28

26.(2022?乙卷)若/(%)=歷匕是奇函數(shù)，則〃=_一1.

1-x2

【答案】一工；ln2.

2

［解析】f(x)=In\a———|+b，

1-x

若。=0,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧x|xwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不具有奇偶性，

aw0,

由函數(shù)解析式有意義可得，XW1且a+」一聲0,

1-X

％W1XW1H---，

a

-函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

.-.1+-=-1,解得a=_,，

a2

1y

f（x）=ln\------\+b,定義域?yàn)椋鹸|尤wl且xw-1｝，

2（1-x）

由/'（0）=0得，ln^+b=0,

:.b=ln2,

故答案為：-L；/〃2.

2

27.（2022?北京）設(shè)函數(shù)/（尤）=["+產(chǎn)"'若/（元）存在最小值，則

a的一個(gè)取值為

[（尤一2）,x..a-

0.

【答案】0,1.

【解析】當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)/（尤）圖像如圖所示，不滿足題意，

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/（元）圖像如圖所示，滿足題意;

當(dāng)0<a<2時(shí)，函數(shù)/（X）圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足+1..0,解得:

當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)/（無(wú)）圖像如圖所示，不滿足題意,

當(dāng)。>2時(shí)，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)/(x)有最小值，需(4-2)2”+1,無(wú)

解，故不滿足題意；

綜上所述：。的取值范圍是[0,1],

故答案為：0,1.

四.解答題

28.(2023?新高考II)(1)證明：當(dāng)0cx<1時(shí)，x-x2<sinx<x；

(2)已知函數(shù)/(x)=cosax-質(zhì)(1-x?),若尤=0為/(x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

【分析】

⑴分另ll構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-x2-sinx,h(x)=x-sinx,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最

值，即可證明；

(2)分類(lèi)討論二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而可得一階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，

從而可得極值點(diǎn)，即可得解.

【詳解】

(1)證明：設(shè)g(x)=了-丁-sinx,xe(0,1),

則g'(x)=l-2x-cosx,g''(x)=-2+sinx<0,

g，(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

.?.g，(x)<g，(0)=0,

;.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

.,.g(x)<g(0)=。，

BPx-x1-sinx<0,xe(0,1),

x-x2<sinx,xe(0,1),

設(shè)h(x)=x-sin尤，xe(0,1),

則hr(x)=1—cosx>0,

「，(%)在(。,1)上單調(diào)遞增,

/.h(x)>h(0)=0,xe(0,l),

即九一sin;r>0,XG(0,1),

.\sinx<xJxG(0,1),

綜合可得：當(dāng)0〈光vl時(shí)，x-x2<sinx<x；

2x2+2x2

(2)?<,fr(x)=-asinax-\--------,/.fr,(x)=-a2cosax-----丁,

1-x2(1-x2)2

且廣(0)=0,r，(o)=_〃2+2,

①若〃(x)=2-4>0,即-應(yīng)<”應(yīng)時(shí)，

易知存在fi>0,使得xe(0，G時(shí)，f"(x)>0,

廣⑴在(0工)上單調(diào)遞增，二廣(力〉/(0)=。，

.??/(X)在(0工)上單調(diào)遞增，這顯然與x=0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；

②若廣(無(wú))=2-〃<0,即應(yīng)或°>應(yīng)時(shí)，

存在芍>0,使得xe(-f2，芍)時(shí)，/"(x)<。，

,廣⑺在(-小外上單調(diào)遞減，又廣(。)=。，

.?.當(dāng)t2Vx<。時(shí)，ro)>。，/(元)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<》<與時(shí)，廣(尤)<0,/(元)單調(diào)遞減，滿足尤=0為/(元)的極大值點(diǎn)，符合題意；

③若"(元)=2-/=0,即a=±0時(shí)，.."(x)為偶函數(shù)，

只考慮a=夜的情況，

止匕時(shí)/''(?=-J^sin(后x)+二,尤e(0,1)時(shí)，

1-X

2r1

/(無(wú))>-2x+—=2x(--l)>0,

.?.Ax)在(0,1)上單調(diào)遞增，與顯然與尤=0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去.

綜合可得：。的取值范圍為Joo,-A/2)U(V2,+00).

29.(2023?乙卷)已知函數(shù)/(x)=(L+o)/〃(l+x).

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線》=匕對(duì)稱，若存在，求。，6的值，若

X

不存在，說(shuō)明理由；

(3)若/(x)在(0,+oo)存在極值，求。的取值范圍.

【解析】(1)。=-1時(shí)，f(1)=0,

f\x)=-ln{x+1)+(--1)(^-),f(1)=-ln2,

XXx+1

，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=-歷2(元-1).

1y1

(2)/(—)=(彳+。)例(——),定義域?yàn)?-8,-l)D(0,+00),

XX

要使函數(shù)/d)的圖像關(guān)于x=6對(duì)稱，則由xr0,且XH-1,可知6=」，

x2

即/(1)=(%+?)/?(—)的圖像關(guān)于尤=-工對(duì)稱，

xx2

貝［1/(1)=(1+。)加2,/(-2)=(-2+a)ln^={a-2)ln2,

得l+a=2—a,解得a=—.

2

綜上，a=—Jb=——；

22

1111-i-x

⑶f'(x)=「ln(x+l)+(-+?)(--)=一二［ln(x+1)-——］，

XXx+1Xx+1

2

要使/(x)在(0,+oo)存在極值點(diǎn)，則方程友(x+1)-空■二=0有正根，

X+1

Z7V2+無(wú)X

記g(%)=/〃(x+l)-----------,%>0,g'(x)=-----------7x+2a-l),

x+1(1+x)

①當(dāng)心0時(shí)，gr(x)>0,故g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,不符合題意；

②當(dāng)a.g時(shí)，gH)vO,故g(x)在(0,yo)上單調(diào)遞減，g(x)<g(0)=0,不符合題意;

③當(dāng)0<a<,時(shí)，令夕(尤)>0,0<x<-——,令g<x)vO,x>-——,

2aa

故g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,不符合題意；

易矢口%f+00時(shí)，g(x)T-00,

2

(l-2tz)?l-2a

故只需g(x),,=I躍匕"+1)--------——J=//7(--1)+4“一2>0,

aa1-.a十1a

a

414(7—

t己h(t)=歷Q—1)H-----2,t>2,h'(f)=-----------=-------->0,

tt—1t［t-1)/

故h(t)在(2,+a))上單調(diào)遞增,

/.h(t)>h(2)=0,

故取/=?1,0<a<-,有/〃(L-l)+4a—2>0,即g(^^)>0,符合題意；

a2aa

綜上所述，oe(0,g)時(shí)，/(元)在(0,y)存在極值點(diǎn).

30.(2023?新高考I)已知函數(shù)/(x)=a(e"+。)一x.

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，f{x}>2lna+-.

【分析】

(1)先求出導(dǎo)函數(shù)尸(無(wú))，再對(duì)。分%0和”>0兩種情況討論，判斷尸(x)的符號(hào)，進(jìn)而得

到/(%)的單調(diào)性；

13

(2)由(1)可知，當(dāng)a>0時(shí)，/(%).=/(仇―)=1+/+加〃，要證了(%)>2加7+—,只需

a2

3i]、

證1+a2+Ina>2lruiH—，只需證a2—Irtci—>0,設(shè)g(a)=片—Iria—，a>0,求導(dǎo)可

222

得§(%),?,?=g)>0,從而證得了(x)>21m+1.

【詳解】

(1)f(x)=a(ex+a)—x,

貝IfXx)=aex-1,

①當(dāng)@0時(shí)，/(%)<0恒成立，/(%)在H上單調(diào)遞減，

②當(dāng)a>0時(shí)，令/(x)=0得，x=ln~,

a

當(dāng)無(wú)€(-8,歷工)時(shí)，r(x)<0,單調(diào)遞減；當(dāng)xe(仇L,+8)時(shí)，fr(x)>0,〃尤)單調(diào)

aa

遞增，

綜上所述，當(dāng)自,0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，y(x)在(-8,加工)上單調(diào)遞減，

a

在(山工,+8)上單調(diào)遞增.

a

證明：(2)由(1)可知，當(dāng)a>0時(shí)，=f(ln—)=a(—+a)-In—=l+a2+Ina,

aaa

、33

要證f(x)>2lrui+—,只需證1+4+Ina>2歷a+—>

只需證[2一6"L>o,

2

g(a)=a2—Inct—->a>0,

則g'(a)=2“-L型」，

aa

令屋(a)=0得，a/，

當(dāng)aw((),￡■)時(shí),gr(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，當(dāng)+oo)時(shí),g'(a)>0,g(a)

單調(diào)遞增，

所以g(x)..g(^)=；-1rl與一g二一勿白>。'

即g(%)>0，

所以〃_加2一工>0得證，

2

3

即/(%)>2lna+—得證?

31.(2022?天津)已知。，beR,函數(shù)/(%)=e*-asin%,g(x)=bG.

(1)求函數(shù)y=/(x)在(0,7(0))處的切線方程；

(2)若y=/(%)和y=g(%)有公共點(diǎn).

(i)當(dāng)1=0時(shí)，求b的取值范圍；

2

(ii)求證：a+/>e.

xrx

【解析】(1)f(x)=e-asinx9f(x}=e-acosx,

.?"(o)=i，r(o)=i-〃，

?,?函數(shù)y=/(X)在(0,1)處的切線方程為y=(1—〃)％+1；

(2)(i)?.?々=0,/.f(x)=ex,又y=/(%)和y=g(x)有公共點(diǎn),

方程/(%)=g(%)有解,

即/有解，顯然xwO,

:.b=在(0,+oo)上有解,

4x

設(shè)h(x)=，(x>0),

yjx

產(chǎn)(2%—1)

/.hr(x)=

2xy[x

.?.當(dāng)xe(O,g)時(shí),

〃(x)<0當(dāng)尤造+8)時(shí)，h\x)>0，

./(x)在(0。上單調(diào)遞減，在(g,+00)上單調(diào)遞增，

1,—

/.h(x).=/z(—)=y/2e,且當(dāng)tx-0時(shí)，/2(%)—+oo；當(dāng)rxf+oo時(shí)，h(x)+oo,

2

/.h(x)G[>/2e，+oo),

「2的范圍為[后，+oo)；

(ii)證明：令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為元0,貝I*=asinxo+八后",

22

/.由柯西不等式可得/與=(Osin%。+久瓦汽(/+/?)(sinx0+x0)

e2M

t/2+/72..:----------,

sinxQ+x0

又易證無(wú)>0時(shí)，x>sinx,ex..ex,ex>x+1,

2%0xx

e_e°?e°ex0-(x0+1)_

??2=2〉2=e，

sinx0+x0sinx0+xQx0+x0

故儲(chǔ)+b2>e.

32.(2022?上海)f