機械振動廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一數值附近反復變化。

振動分類非線性振動線性振動受迫振動自由振動機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。4-1

簡諧振動的動力學特征最簡單最基本的線性振動。簡諧振動：一個作往復運動的物體，如果其偏離平衡位置的位移x（或角位移

）隨時間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動。一、彈簧振子模型彈簧振子：彈簧—物體系統(tǒng)平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質量忽略不計，形變滿足胡克定律物體—可看作質點簡諧振動微分方程單擺結論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率,振動的周期分別為：當時二、微振動的簡諧近似擺球對C點的力矩復擺：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體結論：復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。當時其通解為：一、簡諧振動的運動學方程4-2

簡諧振動的運動學簡諧振動的微分方程簡諧振動的運動學方程二、描述簡諧振動的特征量1、振幅A簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。初始條件頻率

：單位時間內振動的次數。2、周期、頻率、圓頻率對彈簧振子角頻率

固有周期、固有頻率、固有角頻率周期T：物體完成一次全振動所需時間。單擺復擺

0

是t=0時刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)位相差兩振動位相之差。當

=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動步調相同,稱同相當

=

(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動步調相反,稱反相

2

超前于

1

或

1滯后于

2

位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落三、簡諧振動的旋轉矢量表示法

0t=0x

t+

0t=toX用旋轉矢量表示相位關系

同相反相諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系toTa

vxT/4T/4由圖可見：x

t+

o

·

例:如圖m=2×10-2kg,

彈簧的靜止形變?yōu)?/p>

l=9.8cm

t=0時x0=-9.8cm,v0=0

⑴

取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；（2）若取x0=0，v0>0為計時零點，寫出振動方程,并計算振動頻率。XOmx解：⑴確定平衡位置

mg=k

l

取為原點

k=mg/

l

令向下有位移x,則f=mg-k(

l+x)=-kx

作諧振動設振動方程為由初條件得由x0=Acos

0=-0.098<0cos

0<0,取

0=振動方程為：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按題意t=0

時x0=0，v0>0x0=Acos

0=0,cos

0=0

0=/2,3/2v0=-Asin>0,

sin

0

<0,取

0=3/2

x=9.810-2cos(10t+3/2)m對同一諧振動取不同的計時起點

不同，但、A不變XOmx固有頻率例:如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數為k的輕彈簧、一半徑為R、轉動慣量為I的定滑輪和一質量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.mm解：取位移軸ox，m在平衡位置時，設彈簧伸長量為

l，則mm當m有位移x時聯(lián)立得物體作簡諧振動例已知某簡諧振動的速度與時間的關系曲線如圖所示，試求其振動方程。解：方法1設振動方程為故振動方程為方法2：用旋轉矢量法輔助求解。v的旋轉矢量與v軸夾角表示t時刻相位由圖知以彈簧振子為例諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數4-3

簡諧振動的能量動能勢能情況同動能。機械能簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒xtTEEpoEtEk(1/2)kA2由起始能量求振幅實際振動系統(tǒng)系統(tǒng)沿x軸振動，勢能函數為Ep(x)，勢能曲線存在極小值，該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。在該位置（取x=0）附近將勢能函數作級數展開微振動系統(tǒng)一般可以當作諧振動處理一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動,其頻率仍為

質點同時參與同方向同頻率的諧振動:合振動:4-4

簡諧振動的合成*振動的頻譜分析如A1=A2,則A=0兩分振動相互加強兩分振動相互減弱分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:合振動不是簡諧振動式中隨t緩變隨t快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二.同方向不同頻率簡諧振動的合成分振動合振動當

2

1時,拍

合振動忽強忽弱的現象拍頻:單位時間內強弱變化的次數

=|

2-

1|

xtx2tx1t*三、振動的頻譜分析振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率為:

0則各分振動的頻率為:

0、20、30(基頻,二次諧頻,三次諧頻,…)按傅里葉級數展開方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x0xot鋸齒波A

03

05

0鋸齒波頻譜圖一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動。xot阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖o

A*四、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內的直線質點離開平衡位置的位移討論合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內的直線質點離開平衡位置的位移合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質點沿橢圓的運動方向是順時針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。

=5

/4

=3

/2

=7

/4

=0

=

=

/2

=3

/4Q

=

/4P

·.時，逆時針方向轉動。時，順時針方向轉動。*五、垂直方向不同頻率可看作兩頻率相等而

2-

1隨t緩慢變化合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。軌跡稱為李薩如圖形yxA1A2o-A2-A1簡諧振動的合成兩分振動頻率相差很小兩振動的頻率成整數比李薩如圖形一、阻尼振動阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。4-5

阻尼振動受迫振動共振阻尼振動的振動方程（系統(tǒng)受到弱介質阻力而衰減）振子動力學方程振子受阻力系統(tǒng)固有角頻率阻尼系數弱介質阻力是指振子運動速度較低時，介質對物體的阻力僅與速度的一次方成正比

—阻力系數弱阻尼弱阻尼每一周期內損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動。阻尼振動的振幅按指數衰減阻尼振動的準周期臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置二、受迫振動受迫振動振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程令周期性外力——策動力穩(wěn)定解(1)頻率:等于策動力的頻率

(2)振幅:(3)初相:特點:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化阻尼振動簡諧振動三、共振在一定條件下,振幅出現極大值,振動劇烈的現象。1、位移共振(1)共振頻率:(2)共振振幅:2、速度共振一定條件下,速度振幅極大的現象。速度共振時，速度與策動力同相，一周期內策動力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。不能用線性微分方程描述的振動稱為非線性振動。1、內在的非線性因素發(fā)生非線性振動的原因：振動系統(tǒng)內部出現非線性回復力