極化恒等式的應(yīng)用極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的eq\f(1,4).在平行四邊形ABDC中，O是對角線的交點，則(1)平行四邊形模式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BC,\s\up6(→))|2)．(2)三角形模式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2.(3)關(guān)聯(lián)定理之平行四邊形定理(4)推廣定理之矩形大法題型一求數(shù)量積[典例1](1)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A．1 B．2C．3 D．5(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為.(1)A(2)eq\f(7,8)[(1)因為a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\f(1,4)×(10－6)＝1，所以a·b＝1.(2)設(shè)eq\o(DC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝9b2－a2＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝|eq\o(FD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝b2－a2＝－1，解得b2＝eq\f(5,8)，a2＝eq\f(13,8)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4b2－a2＝eq\f(7,8).]利用極化恒等式求數(shù)量積的步驟(1)取第三邊的中點；(2)利用極化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊邊長的一半的平方差；(3)求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積的值．[跟進訓練]1．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F(xiàn)為線段BD的四等分點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝___________________________.27[由題意得BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝12，所以AO＝6，OE＝3，所以由極化恒等式知eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\o(OE,\s\up6(→))2＝36－9＝27.]題型二求數(shù)量積的最值(范圍)[典例2]已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2 B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3) D．－1B[法一(極化恒等式)：結(jié)合題意畫出圖形，如圖1所示，設(shè)BC的中點為D，連接AD，設(shè)AD的中點為E，連接PE，PD，則有eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))·(eq\o(PE,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→)))＝2(eq\o(PE,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2)．而eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，當點P與點E重合時，eq\o(PE,\s\up6(→))2有最小值0，故此時eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－2eq\o(EA,\s\up6(→))2＝－2×eq\f(3,4)＝－eq\f(3,2).故選B．法二(坐標法)：如圖2，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，eq\r(3))，B(－1，0)，C(1，0)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq\r(3)－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq\r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－eq\f(3,2)，當x＝0，y＝eq\f(\r(3),2)時，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值為－eq\f(3,2).故選B．]利用極化恒等式求數(shù)量積的最值(范圍)的關(guān)鍵在于求中線長的最值(范圍)，可通過觀察圖形或用點到直線的距離等求解.[跟進訓練]2．(1)(2022·北京高考)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－5,3] B．[－3,5]C．[－6,4] D．[－4,6](2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))滿足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，且向量eq\o(OB,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影向量為eq\o(OA,\s\up6(→)).若動點C滿足|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的最小值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(4－2\r(6),3)C．eq\f(1－\r(7),2) D．eq\f(5－2\r(7),4)(1)D(2)D[(1)由題意易知，點P是單位圓C(C為圓心)上的動點．設(shè)線段AB的中點為D，則由極化恒等式易得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(DA,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(25,4)，又eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\f(25,4)，即|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，故eq\o(PD,\s\up6(→))eq\o\al(2,min)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－1))2＝eq\f(9,4)，eq\o(PD,\s\up6(→))eq\o\al(2,max)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋1))2＝eq\f(49,4)，所以(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))min＝eq\f(9,4)－eq\f(25,4)＝－4，(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))max＝eq\f(49,4)－eq\f(25,4)＝6.故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是[－4,6]．故選D.(2)如圖，根據(jù)投影向量知，OA⊥AB，則∠AOB＝60°，且AB＝eq\r(3).因為|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)，所以點C在以O(shè)為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)的圓上運動．設(shè)M是AB的中點，由極化恒等式得eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|2－e