2.2.3一元二次不等式的解法高中數(shù)學(xué)人教B版(2019)必修一主講人：1．經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．2．借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)方程的聯(lián)系．1．能從教材實(shí)例中抽象出一元二次不等式的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．結(jié)合具體題目探求解一元二次不等式的方法：因式分解法與配方法．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)3．會(huì)求簡(jiǎn)單的一元二次不等式的解集．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)課標(biāo)解讀素養(yǎng)目標(biāo)甲車的剎車距離略超過(guò)6m，乙車的剎車距離略超過(guò)10m.情境與問(wèn)題不難看出，要判斷甲、乙兩車是否超速，就是要得到它們車速的取值范圍，也就是要解不等式即已知甲、乙兩種車型的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關(guān)系分別為試判斷甲、乙兩車有無(wú)超速現(xiàn)象知識(shí)點(diǎn)一、一元二次不等式形如ax2+bx十c>0的方程為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0一元二次不等式中的不等號(hào)也可以是“<”“≤”“≥”二次項(xiàng)系數(shù)：a一次項(xiàng)系數(shù)：b常數(shù)項(xiàng)：c由符號(hào)法則可知ab>0當(dāng)且僅當(dāng)；ab<0當(dāng)且僅當(dāng)故我們可得到求解“ab>0（“<”“≤”“≥”）”型不等式例：（1）x(x-1)>0（2）

(x+1)(x-1)<0

嘗試與發(fā)現(xiàn)x(x-1)>0

解：不等式

可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組.解得x>1或x<0，?不等式

的解集為(一∞，0)U(1，十∞).解：不等式

可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組不難解得x∈?或-1<x<1因此不等式

的解集為(-1,1)(x+1)(x-1)<0

正：同號(hào)負(fù)：異號(hào)知識(shí)點(diǎn)二、一元二次不等式的解法一般地，如果x1＜x2，則不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．例1(教)求不等式x2-x-2>0的解集解?x2-x-2=(x-1)(x-2),?原不等式等價(jià)于(x+1)(x-2)>0，?解集為(-∞，-1)U(2，十∞).2.回到情境與問(wèn)題中的不等式，v2-10v-600>0可以化為(v+20)(v-30)>0，?甲車的車速v>30;而v2-10v-2000>0可以化為(v+40)(v-50)>0?乙車的車速v>50由此可見(jiàn)，乙車肯定超速了1.因式分解法(結(jié)合符號(hào)法則)上述我們介紹的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解,當(dāng)然，這種方法只有在一元二次不等式是特殊類型時(shí)才比較方便，那么一般情況該怎么辦呢?通過(guò)代入數(shù)值驗(yàn)證的方法，猜測(cè)以下一元二次不等式的解集，由此總結(jié)求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x2<-1;(2)x2>-2(3)x2<9嘗試與發(fā)現(xiàn)?任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，?上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中：(1)的解集為?，(2)的解集為R對(duì)于x2<9來(lái)說(shuō)，兩邊同時(shí)開(kāi)根號(hào)可得，即|x|<3因此-3<x<3，從而得到(3)的解集為(-3，3)這就是說(shuō)，一般的一元二次不等式可以通過(guò)配方法來(lái)求得解集。2.配方法一般步驟：先將一元二次不等式化為(x＋h)2＞k或(x＋h)2＜k(h，k為常數(shù))的形式，再求解集．當(dāng)k＞0時(shí)，用直接開(kāi)方法化為絕對(duì)值不等式從而求出不等式的解集．當(dāng)k＜0時(shí)，(x＋h)2＞k的解集為R；(x＋h)2＜k的解集為?；當(dāng)k＝0時(shí)，(x＋h)2＞k的解集為{x|x≠－h(huán)}，(x＋h)2＜k的解集為?例2.求下列不等式的解集:(1)x2+4x+1≥0;(2)x2-6x-1≤0;(3)-x2+2x-1<0;(4)2x2+4x+5>0.解(1)?x2+4x+1=(x+2)2-3?原不等式可化為(x+2)2-3≥即(x+2)2≥3，兩邊開(kāi)平方得|x+2l≥，?x≤-2-或x≥-2+，?原不等式的解集為(2)x2-6x-1=(x-3)2-10,?原不等式可化為(x-3)2≤10,兩邊開(kāi)平方得|x-3|≤?3-≤x≤3+，?原不等式的解集為[3-，3+].解：(3)原不等式可化為x2-2x+1>0，又?x2-2x+1=(x-1)2?上述不等式可化為(x-1)2>0注意到只要x≠1，上述不等式就成立，?原不等式的解集為(-∞，1)U(1，+∞).(4)原不等式可以化為

?原不等式可化為該不等式恒成立，即原不等式解集為R例2（教材）.求下列不等式的解集:(1)x2+4x+1≥0;(2)x2-6x-1≤0;(3)-x2+2x-1<0;(4)2x2+4x+5>0.3.二次函數(shù)圖像法通過(guò)求解下列一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)并猜測(cè)三個(gè)“二次”的關(guān)系，由此總結(jié)利用二次函數(shù)圖像求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x2-x-2=0;(2)x2-x-2>0;(3)y=x2-x-2.嘗試與發(fā)現(xiàn)(1)原方程化為(x-2)(x+1)=0?解集為{-1,2}(2)原不等式化為(x-2)(x+1)>0?不等式的解集為{x|x<-1或x>2}(3)令y=0，得二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，2

令y>0，得二次函數(shù)圖像在x軸上方的x取值范圍為x<-1或x>2判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等實(shí)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集(-∞,x1)U(x2,+∞)R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集

(x1，x2)??1、二次函數(shù)、二次不等式與相應(yīng)二次方程的關(guān)系2、x1,x2的三個(gè)“身份”

x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根

x1,x2是一元二次不等式ax2+bx+c>0(“<”“≤”“≥)解集的端點(diǎn)值

x1,x2是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)練：已知ax2＋2x＋c＞0的解集為,試求a，c的值，并解不等式－cx2＋2x－a＞0.解：由根與系數(shù)的關(guān)系知，a<0且

?－cx2＋2x－a＞0即2x2－2x－12＜0，解得－2＜x＜3，故不等式－cx2＋2x－a＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．例3（教材）求不等式的解集解：由題意知x-2≠0，?(x-2)2>0，原不等式兩邊同時(shí)乘以解(x-2)2可得(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0,即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集為(一∞，-3]U(2，十∞).知識(shí)點(diǎn)三、分式不等式的解法分式不等式的解法(3)當(dāng)分式不等式的一邊是非0的常數(shù)時(shí)，可以將常數(shù)移到不等式的另一邊通分后，變?yōu)?1)(2)的形式．鞏固訓(xùn)練解：原不等式可化為2x2＋x－6＝(x＋2)(2x-3)≤0，?不等式的解集為[-2,]1.解下列不等式：(1)－2x2－x＋6≥0；(2)x2＋x＋1＞0；解：由題意，可得x2＋x＋1＝＞0，所以不等式的解集為R．解：?不等式的解集為{x|x≤-2或x>0}解：?不等式的解集為{x|x≥5或x<2}解析：①③把各項(xiàng)移到“＞”左邊，右邊變?yōu)?，滿足一元二次不等式的概念特征，是一元二次不等式；②化簡(jiǎn)后不含二次項(xiàng)，不是一元二次不等式；④中含有分式，不是一元二次不等式．2．下列各式：①x2＋3＞x；②2x2－3x＞2x(x－1)－1；③3x2－4x＞5；④x2＞－＋2．其中一元二次不等式有(B)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：?不等式ax2＋x－3＞0的解集為{x|x＞1或x＜b}，?1，b是方程ax2＋x－3＝0的兩根，3．若不等式ax2＋x－3＞0的解集為{x|x＞1或x＜b}，則a＋b＝(

C

)A．0 B．1C． D．

解析：不等式4x2＋ax＋4＞0的解集為R，∴Δ＝a2－4×4×4＜0，解得－8＜a＜8，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－8，8)．故選D．4．若不等式4x2＋ax＋4＞0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

D

)A．(－16，0) B．(－16，0]C．(－∞，0) D．(－8，8)5．對(duì)于給定實(shí)數(shù)a，不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集不可能是(

D

)A.{x|-1<x<}B．{x|x≠－1}C．{x|x＞－1} D．R