游園會中的鴿巢智慧年級：六年級

單

元：第

五單元

數(shù)學廣角——鴿巢問題一、單元學習主題分析主題名稱：游園會中的鴿巢智慧游園會中的鴿巢智慧

素養(yǎng)要求內(nèi)容要求學業(yè)要求

學生要能將具體的鴿巢問題抽象為數(shù)學模型，并用數(shù)學語言和符號來表達和解決問題。通過對鴿巢問題的探究和分析，能夠運用假設(shè)法、枚舉法等方法推導出結(jié)論，判斷事件發(fā)生的必然性和可能性。體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，并運用所學知識解決問題，感受數(shù)學在實際生活中的應用價值。學生要了解“鴿巢原理”的基本形式。經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，掌握枚舉、假設(shè)等方法，理解“總有”“至少”等關(guān)鍵詞的含義。能運用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題，學會將實際問題轉(zhuǎn)化為“鴿巢問題”的數(shù)學模型。

學生能夠準確判斷給定情境是否屬于鴿巢問題，能找出情境中的“鴿巢”和“鴿子”，并確定其數(shù)量。能熟練運用鴿巢原理的公式和方法進行計算和推理。在解決問題的過程中，能清晰地表達自己的思路和想法，用數(shù)學語言解釋推理過程和結(jié)論，能夠與他人進行有效的交流和討論。

單元內(nèi)容分析

小學人教版數(shù)學六年級下冊“數(shù)學廣角——鴿巢問題”單元，先從基本原理探究入手，以把4支鉛筆放進3個筆筒為例用枚舉法直觀呈現(xiàn)，結(jié)合5支鉛筆放進4個筆筒的假設(shè)法推理，得出把n+1個物體放進n個抽屜，總有一個抽屜至少有2個物體的簡單形式，還拓展到物體數(shù)比抽屜數(shù)倍數(shù)多的情況，總結(jié)“至少數(shù)=商+1”規(guī)律；在實際問題應用方面，引導學生運用鴿巢原理解決如安排座位、撲克牌抽牌等實際問題，讓學生經(jīng)歷從實際到數(shù)學建模再解決問題的過程，培養(yǎng)邏輯推理能力與數(shù)學應用意識，提升數(shù)學思維水平。游園會中的鴿巢智慧單元內(nèi)容框架圖游園會中的鴿巢智慧主題學情分析已有基礎(chǔ)分析思維障礙分析擬采用策略

六年級學生已經(jīng)掌握了簡單的整數(shù)運算、平均分的概念，具備初步的邏輯思維能力和分析問題的能力。在以往的學習中，學生積累了一定的數(shù)學活動經(jīng)驗，如分類、歸納等，這為學習鴿巢問題奠定了基礎(chǔ)。

鴿巢問題較為抽象，學生理解“總有”“至少”的含義存在一定困難，難以將實際問題與鴿巢原理建立聯(lián)系，把具體情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。同時，對于鴿巢原理中“至少數(shù)=商+1（有余數(shù)時）”這一計算方法，學生容易忽視余數(shù)的影響，機械套用公式。

利用直觀教具和生活實例，幫助學生直觀理解鴿巢原理。組織小組合作探究活動，讓學生在交流討論中分享想法，加深對知識的理解，共同突破思維障礙。設(shè)計多樣化的練習，從簡單到復雜，逐步引導學生掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的方法。游園會中的鴿巢智慧主題概述

學生作為“游園會策劃小分隊”，在籌備游園會的過程中，通過探索“鴿巢原理”解決道具分配、人員安排、游戲設(shè)計等實際問題，確?；顒庸礁咝АＳ螆@會中的鴿巢智慧單元目標1.借助實際操作深度理解“總有”和“至少”含義，掌握物體數(shù)比抽屜數(shù)多1時的鴿巢原理簡單形式，學會用枚舉法和假設(shè)法分析問題。在記錄、分析裝袋結(jié)果的過程中，培養(yǎng)動手、歸納能力，構(gòu)建數(shù)學模型，激發(fā)探究興趣，增強合作與交流能力，感受數(shù)學應用趣味。2.學生深入探究鴿巢原理一般形式，掌握“物體數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)，至少數(shù)=商+1”的算法，能精準識別物體數(shù)和抽屜數(shù)。運用除法與“平均分”思路計算分配方案，制作分配表并小組討論優(yōu)化，鍛煉邏輯與運算能力，培養(yǎng)探索精神，體會數(shù)學實用與邏輯，增強學習自信。3.學會逆向思維反推條件，融合鴿巢原理與概率、公平性概念。培養(yǎng)創(chuàng)新、實踐與批判性思維，獨立設(shè)計新穎抽獎方式保證公平，提升綜合應用能力，激發(fā)創(chuàng)新與應用熱情，感受數(shù)學對創(chuàng)造公平有趣活動的重要意義，體會數(shù)學與生活的緊密關(guān)聯(lián)。甜品屋中的奇妙幾何單元學習評價評價維度

水平劃分與描述預備級中級高級認知領(lǐng)域?qū)W業(yè)質(zhì)量描述

在鴿巢問題學習中，學生能初步理解“總有”“至少”的含義，并會用枚舉法羅列所有分配情況來驗證結(jié)論。運用鴿巢原理簡單形式，計算把若干蘋果放進若干抽屜時，至少有一個抽屜中蘋果的數(shù)量，解決同類型基礎(chǔ)題目。

學生已理解鴿巢原理一般形式的推導過程，能從復雜情境中抽象出鴿巢模型，學會用假設(shè)法分析問題，對不同分配方案進行比較、分析與優(yōu)化，還能解決生活里常見的、有一定變化的鴿巢問題。

學生能靈活運用鴿巢原理進行逆向思考，已知至少有一個抽屜的物品情況，反推物品總數(shù)或抽屜數(shù)。還能把鴿巢原理與統(tǒng)計、概率等其他數(shù)學知識綜合運用，解決復雜實際問題.人際領(lǐng)域溝通與協(xié)作

學生參與小組討論時，能認真傾聽同學對簡單鴿巢問題案例的看法。在小組活動中，愿意配合組長安排，完成基礎(chǔ)任務。能簡單說出自己對鴿巢原理基礎(chǔ)概念的理解，開始初步感受團隊合作解決數(shù)學問題的氛圍。能主動且有條理地闡述自己的解題思路，清晰表達運用鴿巢原理的計算過程。積極參與角色分工，并能與小組成員協(xié)商，根據(jù)各自優(yōu)勢優(yōu)化分工。能敏銳捕捉成員觀點中的閃光點，引領(lǐng)小組構(gòu)建全面且創(chuàng)新的解決方案。主動協(xié)調(diào)小組矛盾，鼓勵成員充分表達，引導討論方向，確保討論高效有序。自我領(lǐng)域?qū)W會學習與學習心志

對鴿巢問題充滿好奇，在課堂上愿意嘗試思考簡單問題，如分鉛筆場景。在小組中能遵守規(guī)則，不排斥合作。初步體會數(shù)學能解決生活小事，產(chǎn)生進一步了解鴿巢原理的意愿，有主動探索的萌芽。

主動迎接鴿巢問題挑戰(zhàn)，享受解題帶來的成就感。積極參與小組討論，重視團隊成果。意識到鴿巢原理在生活中應用廣泛，感受到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，提升用數(shù)學眼光看世界的意識。

對鴿巢問題有深入探究熱情，面對難題堅持不懈。在合作中充分發(fā)揮領(lǐng)導力，推動團隊創(chuàng)新。深刻理解鴿巢原理的價值，能從數(shù)學角度為生活決策提供依據(jù)，形成數(shù)學服務生活、創(chuàng)造價值的理念。甜品屋中的奇妙幾何

二、課時活動方案設(shè)計說明

本次鴿巢問題課時活動方案設(shè)計，以游園會為情境主線，貫穿三個課時。第一課時借玩具裝袋，引導學生在動手操作中理解“總有”“至少”，掌握基礎(chǔ)原理與分析方法

。第二課時通過志愿者分配，讓學生深入探究鴿巢原理一般形式，學會運用公式解決問題。第三課時圍繞抽獎游戲設(shè)計，促使學生靈活運用原理，從逆向思維考慮問題，融合概率、公平性概念。各課時通過小組合作、模擬等活動，培養(yǎng)學生邏輯思維，讓學生在趣味情境中感受數(shù)學魅力，提升應用能力。

學生作為“游園會策劃小分隊”，在籌備游園會的過程中，通過探索“鴿巢原理”解決道具分配、人員安排、游戲設(shè)計等實際問題，確?；顒庸礁咝?。讓我們一起來看看同學們在在游園會都有什么奇妙經(jīng)歷和哪些數(shù)學問題吧！大情境介紹道具分配小妙招

——鴿巢原理初探【課時目標】1.學生能透徹理解“總有”“至少”的概念，牢固掌握物體數(shù)比抽屜數(shù)多1時，總有一個抽屜至少有2個物體這一簡單鴿巢原理形式。熟練運用枚舉法、假設(shè)法剖析鴿巢問題，精準無誤地運用鴿巢原理簡單形式，解決像游園會禮品分配這類簡單實際數(shù)學問題。2.在把毛絨玩具放進禮品袋的實操里，學生完整經(jīng)歷從具體情境抽象出數(shù)學模型的過程，極大提升數(shù)學抽象能力。分析裝袋方法、總結(jié)數(shù)量關(guān)系時，有效鍛煉觀察、分析、歸納與邏輯推理能力，熟練掌握從特殊到一般的探究法。3.決趣味十足的游園會禮品分配問題，充分激發(fā)學生對數(shù)學的熱愛，深切感受數(shù)學與生活的緊密關(guān)聯(lián)，體會數(shù)學實用價值。探究鴿巢原理期間，培養(yǎng)學生勇于探索、敢于質(zhì)疑的科學精神，讓學生在不斷嘗試思考中收獲成就感，進一步增強學習數(shù)學的自信心。

情境導入

游園會策劃小分隊負責準備游園會的小禮品，要把這些毛絨玩具放進禮品袋里。

情境導入

有小熊、兔子、猴子、青蛙四種毛絨玩具若干，要把這些玩具放進禮品袋，若有5個禮品袋，怎樣裝袋能保證至少有一個袋子里有2種不同玩具？

小組活動11.將學生分組，為每組提供毛絨玩具和禮品袋模型。2.小組合作，動手裝袋，記錄不同裝袋方法。3.認真傾聽其他小組分享，對比自己小組和其他小組的實驗結(jié)果。（n+1）只鴿子飛進n個鴿巢里（n為非0自然數(shù)）,總有1個鴿巢里至少飛進2只鴿子。鴿巢原理禮品袋……鴿子玩具……鴿巢

知識講解抽屜原理是組合數(shù)學中的一個重要原理，它最早由德國數(shù)學家狄里克雷（Dirichlet）提出并運用于解決數(shù)論中的問題，所以該原理又稱“狄里克雷原理”。抽屜原理有兩個經(jīng)典案例，一個是把10個蘋果放進9個抽屜里，總有1個抽屜里至少放了2個蘋果，所以這個原理又稱為“抽屜原理”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巢，總有1個鴿巢至少飛進2只鴿子，所以也稱為“鴿巢原理”。

知識講解

解決問題1若有5個禮品袋，只有4種毛絨玩具，怎樣裝袋能保證至少有一個袋子里有2種不同玩具？我們可以先在4個禮品袋中分別放入一種毛絨玩具（小熊、兔子、猴子、青蛙各放一個袋子），那么第5個禮品袋無論放入哪種毛絨玩具，都能保證至少有一個袋子里有2種不同玩具。、分步展示裝袋過程，先在4個袋子里各放一種玩具。

解決問題2如果有8個禮品袋，4種毛絨玩具，每個袋子至少有1個玩具，那么至少需要多少個玩具？8÷4=2，此時至少需要8個玩具，每個袋子放1個同一種玩具，剛好分完4種玩具，每個袋子都有1個玩具。、運用平均分的概念.

解決問題3要是每個袋子要裝2種不同玩具，現(xiàn)有10個禮品袋，最少需要準備多少個玩具，又該如何分配？假設(shè)先把4種玩具兩兩組合，有6種組合方式（小熊和兔子、小熊和猴子、小熊和青蛙、兔子和猴子、兔子和青蛙、猴子和青蛙）、為了保證每個袋子有2種不同玩具且玩具數(shù)量最少，我們從最不利的情況考慮.10個袋子，平均每種組合至少出現(xiàn)10÷6=1……4，即每種組合先出現(xiàn)1次，還剩4個袋子，再將這4個袋子分配給不同組合，所以最少需要11個玩具。

解決問題4當禮品袋數(shù)量不斷增加，玩具種類不變時，玩具總數(shù)和袋子數(shù)量有怎樣的關(guān)系？當玩具總數(shù)比禮品袋數(shù)量多1時，根據(jù)鴿巢原理，總有一個禮品袋里至少有2個玩具。當玩具總數(shù)是禮品袋數(shù)量的整數(shù)倍時，設(shè)倍數(shù)為n，則每個禮品袋里平均有n個玩具。例如玩具總數(shù)是禮品袋數(shù)量的3倍，那么每個禮品袋平均放3個玩具。當玩具總數(shù)不是禮品袋數(shù)量的整數(shù)倍時，設(shè)玩具總數(shù)為m，禮品袋數(shù)量為n，用m÷n=a…÷b（a為商，b為余數(shù)，0<b<n），那么總有一個禮品袋里至少有a+1個玩具。比如玩具總數(shù)17個，禮品袋5個，17÷5=3……2，那么至少有一個禮品袋里有3+1=4個玩具。人員安排的智慧

——深入鴿巢原理【課時目標】1.學生將全面且深入地理解鴿巢原理的一般形式，不僅熟知把多于kn（k為正整數(shù)）個物體放進n個抽屜，總有一個抽屜至少有（k+1）個物體的原理內(nèi)涵，還能精準區(qū)分在不同情境下物體數(shù)與抽屜數(shù)的對應關(guān)系。2.熟練掌握運用“物體數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù)

，至少數(shù)=商+1”公式解題的技巧，能快速且準確地運用公式分析并得出答案，為今后處理更具挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題筑牢根基。3.學生通過自主探究、小組協(xié)作以及教師引導，深度經(jīng)歷將各類實際問題轉(zhuǎn)化為鴿巢原理數(shù)學模型的全過程。

情境導入

游園會有猜燈謎、套圈、投壺、拔河四個游戲項目，策劃小分隊要安排志愿者到各個項目中，保證每個項目都有志愿者，且人員分配合理。

情境導入

現(xiàn)在有9名志愿者，4個游戲項目，怎樣分配才能保證至少有一個項目有3名志愿者？

小組討論1.小組合作討論，嘗試運用除法運算和“平均分”的思路計算志愿者分配方案。2.討論結(jié)束后，邀請小組代表分享思路，講解鴿巢原理的一般形式。鴿巢問題的一般形式：把m個物體放入n個抽屜里（m＞n），如果m÷n＝k……b，那么總有一個抽屜里至少放入（k＋1）個物體。

知識講解

解決問題1

現(xiàn)在有9名志愿者，4個游戲項目，怎樣分配才能保證至少有一個項目有3名志愿者？9÷4=2……1，平均每個項目先分2名志愿者，剩余1名志愿者再任意分配到一個項目，使得至少有一個項目有2+1=3名志愿者。、可以運用平均分的思路來解決這個問題。

解決問題2

如果每個項目每天需要2名志愿者，活動持續(xù)3天，最少需要多少名志愿者？2×3=6名因為有4個項目，所以總共需要6×4=24名志愿者。、先計算每個項目3天的需求。

解決問題3

若臨時增加一個游戲項目，志愿者人數(shù)不變，如何重新分配才能保證每個項目至少有1名志愿者？原來有9名志愿者，現(xiàn)在有4+1=5個游戲項目。9÷5=1……4，先平均每個項目分配1名志愿者，還剩下4名志愿者?？梢詫⑦@4名志愿者分別分配到4個不同的項目中（分配方式不唯一）

。、先平均分，再分配余數(shù).

解決問題4

隨著游戲項目和志愿者人數(shù)的變化，如何快速確定每個項目至少分配的人數(shù)？用志愿者人數(shù)（物體數(shù)）除以游戲項目數(shù)（抽屜數(shù)），得到商和余數(shù)

。若整除，商就是每個項目至少分配的人數(shù)；若有余數(shù)，至少數(shù)就是商+1。例如志愿者有15人，游戲項目有3個，15÷3=5，每個項目至少分配5人；若志愿者有16人，游戲項目有3個，16÷3=5……1，那么至少有一個項目要分配5+1=6人。

設(shè)計抽獎保公平

——鴿巢原理的綜合應用【課時目標】1.學生能夠牢固掌握鴿巢原理，精準辨別抽獎等實際問題里的物體數(shù)和抽屜數(shù)。學會從逆向思考，依據(jù)中獎結(jié)果反向確定合理的抽獎條件，能夠清晰區(qū)分不同獎項等級的設(shè)置依據(jù)，切實提升運用數(shù)學知識解決復雜實際問題的能力。2.學生經(jīng)歷將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型又回歸生活驗證的完整流程，有效鍛煉邏輯推理與數(shù)學建模能力。在小組交流、互評方案時，學生積極分享思路，掌握運用鴿巢原理分析和解決實際問題的方法技巧。3.面對復雜抽獎難題，培養(yǎng)學生勇于探索、堅持不懈的精神，在成功設(shè)計公平抽獎規(guī)則后收獲成就感，樹立學好數(shù)學、用好數(shù)學的信心。

情境導入

策劃小分隊設(shè)計游園會的抽獎游戲，有一等獎、二等獎、三等獎和紀念獎四個獎項，要根據(jù)參與人數(shù)合理設(shè)置獎項數(shù)量和中獎規(guī)則，保證游戲公平且有趣！

情境導入

若有35人參與抽獎，至少要設(shè)置多少個獎項，才能保證至少有1人中獎？

小組討論1.小組內(nèi)展開討論，運用鴿巢原理分析問題。2.討論過程中記錄思路和計算過程。利用鴿巢原理解決實際問題的方法1.根據(jù)題意，分析最不利情形。2.根據(jù)最不利情形列式。3.說明理由，得出結(jié)論。

知識講解

若有35人參與抽獎，至少要設(shè)置多少個獎項，才能保證至少有1人中獎？、大家想想最糟糕的抽獎情況是怎樣的呢？

解決問題1運用最不利原則，考慮最糟糕的情況，即前面34人都不中獎，那么只要設(shè)置35-34+1=2個獎項，就可以保證至少有1人中獎。因為當有2個獎項時，即便前34人都未抽中，第35人必定會抽中其中一個獎項。

把獎項分為一、二、三等獎3個等級，若想保證每個等級都有獲獎者，當有50人抽獎時，每個等級至少要設(shè)置幾個獎項？、從平均分配和最不利情況出發(fā)思考。

解決問題2從最不利的情形出發(fā)，先假設(shè)盡量讓獎項集中在兩個等級，為了保證每