北大競賽數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.方程\(x^2-5x+6=0\)的根是（）A.\(x=2\)B.\(x=3\)C.\(x=2\)或\(x=3\)D.\(x=1\)2.函數(shù)\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.-1D.-23.一個三角形內(nèi)角和是（）A.\(90^{\circ}\)B.\(180^{\circ}\)C.\(360^{\circ}\)D.\(720^{\circ}\)4.圓的面積公式是（）A.\(S=2\pir\)B.\(S=\pir^2\)C.\(S=\pid\)D.\(S=4\pir^2\)5.若\(a=3\)，\(b=4\)，則\(a^2+b^2\)的值為（）A.25B.12C.14D.176.化簡\(\sqrt{16}\)得（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.87.一次函數(shù)\(y=-x+3\)與\(y\)軸交點坐標(biāo)是（）A.\((0,-3)\)B.\((0,3)\)C.\((3,0)\)D.\((-3,0)\)8.直角三角形兩直角邊分別為\(3\)和\(4\)，斜邊是（）A.5B.6C.7D.89.數(shù)據(jù)\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(4\)，\(5\)的眾數(shù)是（）A.2B.3C.4D.510.拋物線\(y=x^2\)的頂點坐標(biāo)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((0,1)\)D.\((1,0)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是無理數(shù)（）A.\(\pi\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(0\)D.\(0.333\cdots\)2.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）A.\(y=3x^2\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=x^2+2x\)D.\(y=\frac{1}{x^2}\)3.三角形按角分類可以分為（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形4.以下屬于基本幾何體的有（）A.正方體B.長方體C.圓柱D.圓錐5.以下哪些是方程\(x^2-3x-4=0\)的解（）A.\(x=4\)B.\(x=-1\)C.\(x=3\)D.\(x=1\)6.計算\((a+b)^2\)展開正確的有（）A.\(a^2+2ab+b^2\)B.\((a+b)(a+b)\)C.\(a^2+b^2\)D.\(a^2-2ab+b^2\)7.以下哪些直線經(jīng)過原點（）A.\(y=2x\)B.\(y=x+1\)C.\(y=-3x\)D.\(y=4\)8.四邊形中是平行四邊形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形9.數(shù)據(jù)\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的統(tǒng)計量正確的有（）A.平均數(shù)是\(3\)B.中位數(shù)是\(3\)C.方差是\(2\)D.標(biāo)準(zhǔn)差是\(\sqrt{2}\)10.以下哪些點在函數(shù)\(y=2x-1\)圖象上（）A.\((0,-1)\)B.\((1,1)\)C.\((2,3)\)D.\((-1,-3)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（）2.直線比射線長。（）3.把一個三角形按\(2:1\)放大，它的內(nèi)角和也擴(kuò)大\(2\)倍。（）4.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）5.圓的周長和直徑成正比例。（）6.方程一定是等式，但等式不一定是方程。（）7.圓柱的體積是圓錐體積的\(3\)倍。（）8.一個數(shù)的倒數(shù)一定比這個數(shù)小。（）9.中位數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)。（）10.角的兩邊越長，角就越大。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述勾股定理內(nèi)容。答案：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。若直角邊為\(a\)、\(b\)，斜邊為\(c\)，則\(a^2+b^2=c^2\)。2.求函數(shù)\(y=3x-2\)與\(x\)軸的交點坐標(biāo)。答案：令\(y=0\)，即\(3x-2=0\)，解得\(x=\frac{2}{3}\)，所以交點坐標(biāo)為\((\frac{2}{3},0)\)。3.化簡\(\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：\(\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\)（\(x\neq1\)）。4.已知一個圓錐底面半徑為\(3\)，高為\(4\)，求圓錐體積。（\(\pi\)取\(3.14\)）答案：圓錐體積公式\(V=\frac{1}{3}\pir^2h\)，\(r=3\)，\(h=4\)，則\(V=\frac{1}{3}\times3.14\times3^2\times4=37.68\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）中\(zhòng)(a\)、\(b\)、\(c\)的取值對函數(shù)圖象的影響。答案：\(a\)決定開口方向和大小，\(a\gt0\)開口向上，\(a\lt0\)開口向下；\(b\)與\(a\)共同決定對稱軸位置；\(c\)是函數(shù)與\(y\)軸交點的縱坐標(biāo)。2.在平面幾何中，證明三角形內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)有哪些方法？答案：可以通過過三角形一個頂點作其對邊的平行線，利用平行線的性質(zhì)將三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角，從而證明內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)；也可把三角形三個角剪下來拼在一起成平角證明。3.舉例說明生活中哪些地方用到了統(tǒng)計知識？答案：如商場統(tǒng)計不同商品的銷量來安排進(jìn)貨；學(xué)校統(tǒng)計學(xué)生成績了解教學(xué)效果；醫(yī)院統(tǒng)計病人各項數(shù)據(jù)輔助診斷病情等。4.討論一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系。答案：一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）可以看作二元一次方程\(kx-y+b=0\)。二元一次方程的解是對應(yīng)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，一次函數(shù)圖象是二元一次方程所有解的集合。答案一、單項選擇題1.C2.B3.B4.B5.A6.A7.B8.A9.C