定安中學(xué)2023級高二年級第一學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A1 B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算法則可求得，進(jìn)而可求得，可求.【詳解】，所以.故選：.2.在中，已知，，，則等于（

）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理即可求得.【詳解】由正弦定理，,解得.故選：A3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得到命題：“”的否定是””，故選：B.4.某公司在職員工有1200人，其中銷售人員有400人，研發(fā)人員有600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)加樣的方法抽取120人進(jìn)行調(diào)研，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多（）A20 B.30 C.40 D.50【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意求出被到的研發(fā)人員人數(shù)和銷售人員人數(shù)，從而可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人，銷售人員有人，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多.故選：A5.如圖，是水平放置的直觀圖，其中，軸，軸，則的周長為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面圖與直觀圖的聯(lián)系，分別判斷三角形在兩坐標(biāo)系中的邊、角關(guān)系計(jì)算即得.【詳解】依題意，因軸，軸，故,在平面圖直角坐標(biāo)系中，有,又，則,,于是，,故的周長為：.故選：C.6.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則的平均數(shù)和方差分別為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用平均數(shù)和方差的公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是10，方差是10，則，，所以的平均數(shù)是，方差是故選：A.7.若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求得，即可求解.【詳解】因?yàn)閷θ我?，不等式，即不等式恒成立，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號成立，所以，所以.故選：D.8.函數(shù)的定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，若，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將不等式化為，再利用的單調(diào)性即可列不等式組求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)的定義域?yàn)椋以诙x域內(nèi)是增函數(shù)，所以有，解得故選：C二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列運(yùn)算中正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)換底公式判斷A，將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算B，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則判斷C，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】解：對于選項(xiàng)A，由換底公式可得，故A不正確；對于選項(xiàng)B，，故B正確；對于選項(xiàng)C，設(shè)，兩邊分別平方可得，因?yàn)?，所以，故，故C不正確；對于選項(xiàng)D，，故D正確．故選：BD．10.已知關(guān)于的不等式的解集為或x≥4，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集為C.不等式的解集為D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題中不等式取兩邊且是大于等于號判斷二次函數(shù)的開口方向，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)題意由韋達(dá)定理可得，代入不等式，根據(jù)即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)，代入不等式求解，即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)，代入不等式，根據(jù)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，所以二次函數(shù)的開口方向向上，即，故A正確；且方程的兩根為、4，由韋達(dá)定理得，解得.對于B，，由于，所以，所以不等式的解集為，故B不正確；對于C，因，所以，即，所以，解得或，所以不等式的解集為，故C正確；對于D，，故D不正確.故選：AC.11.下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.最小正周期是C.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D.圖象關(guān)于直線成軸對稱【答案】AC【解析】【分析】代入正切函數(shù)的結(jié)論求解判斷A選項(xiàng)；由正切函數(shù)周期公式求解判斷B，利用正切函數(shù)對稱性判斷C、D選項(xiàng).【詳解】對于A，令，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確；對于B，最小正周期為，錯(cuò)誤；對于C，令得，，所以對稱中心為，當(dāng)時(shí)，是對稱中心，正確；對于D，函數(shù)不成軸對稱，沒有對稱軸，錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，則，若，則，解得.故答案為：.13.函數(shù)（且）的圖像恒過定點(diǎn)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)的性質(zhì)，令指數(shù)冪等于零即可.【詳解】由，.此時(shí).故圖像恒過定點(diǎn).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)的性質(zhì)，屬于簡單題.14.已知某圓錐的底面半徑為2，體積為，則該圓錐的母線長為_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的體積求出圓錐的高，根據(jù)勾股定理即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐的高為h，則由圓錐的底面半徑為2，體積為，可得，故該圓錐的母線長為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)；(2)分子分母同時(shí)除以cosθ，化弦為切﹒【小問1詳解】，sinθ＝2cosθ，；【小問2詳解】原式﹒16.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的面積．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊化簡，結(jié)合兩角和的正弦公式即可推出，即可求解；（2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，結(jié)合三角形面積公式即可求得答案.【小問1詳解】在中，，由正弦定理得，．又，，，，，，．【小問2詳解】在中，，，，由正弦定理得，，由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），的面積為．17.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，得，再由線面平行的判定定理得證線面平行；（2）證明是二面角的平面角，然后計(jì)算出其正切值即可得．【小問1詳解】設(shè)，則是中點(diǎn)，連接，又∵是中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；【小問2詳解】∵，∴，平面，平面，∴，同理，，平面，∴平面，而平面，故，∴是二面角的平面角，在直角中，，，，∴二面角正切值為．18.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在50,60的平均成績是54，方差是7，落在60,70的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.【答案】（1）（2）84（3）總平均數(shù)為；總方差為【解析】【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；（2）由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槊拷M小矩形的面積之和為1，所以，則.【小問2詳解】成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84.【小問3詳解】由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故這兩組成績的總平均數(shù)為，由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為：.19.現(xiàn)定義“維形態(tài)復(fù)數(shù)”：，其中為虛數(shù)單位，，.（1）當(dāng)時(shí)，證明：“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；（2）若“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等，求的值；（3）若正整數(shù)，，滿足，，證明：存在有理數(shù)，使得.【答案】（1）證明見解析；（2）（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)當(dāng)時(shí),,???,，由,即可證明“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；(2)由“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等,可得，利用復(fù)數(shù)相等的條件得到,即可求；(3)由得,利用復(fù)數(shù)相等的條件得到和,則,則,進(jìn)一步得,即可證明存在有理數(shù),使得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,???????則???,.因?yàn)?，故?維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1