第17章勾股定理（單元測試?培優(yōu)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.5,12,13C.3,4,5D.7,24,25

2.在平面直角坐標系中，點尸在第三象限，點尸到x軸的距離為3,到原點的距離為5,則點尸的坐標

為（）

A.（-3,-5）B.（—5,—3）C.（—3,-4）D.（-4,-3）

3.以AABC的頂點A為圓心，大于二分之一AC為半徑畫弧與AC,■分別交于兩點，分別以這兩點為

圓心，以大于二分之一兩點間距離為半徑（半徑不變）畫弧，ZC=90°,ZB=30°,AB=4,那么AD的

A指R2有「4石口5石

3333

4.如圖，某學校舉辦元旦聯(lián)歡會，準備在舞臺側長5m,高3m的臺階上鋪設紅地毯，已知臺階的寬為

5.如圖（1）是一把折疊椅實物圖，支架A3與交于點。，OD=OB.如圖（2）是椅子打開時的

側面示意圖（忽略材料的厚度），椅面與地面水平線/平行，BD=2AC,ZCAO=60°,BD=20cm,

那么折疊后椅子比完全打開時高（）cm.

A.30B.15A/3C.15D.30-15白

6.如圖,AO是AABC的中線，過點B作AO的垂線，垂足記作點E,連接CE,若AE=2,BE=3,CE=5,

則"RC的周長為（）

A.713+12B.3a+36C.713+5A/5D.5岳

7.早在公元前100年，我國古算書《周髀算經(jīng)》就記載了歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理一一

勾股定理.如圖，分別以Rt^ABC的各邊為邊在8C的上方作正方形.已知=（根為大于0的常數(shù)）,

BC=2,若圖中的兩個陰影三角形全等，則療的值為（）

8.在平面直角坐標系中，已知點A（0,2）,C（3,0）,若AABC恰為等腰直角三角形，則8點坐標不可能

是（）,

A.（6,2）B.（5,3）C.D.

9.如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，盒子的頂點C處有一小

塊糖粒,螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為20cm,高為30cm,

則螞蟻爬行的最短距離為（）cm.

A.lO^nC.IOA/29

10.如圖，/ABC的平分線5D與/ACS鄰補角的平分線CD相交于點。，CE平分NACB于點E,

CD//BA,DE=5,CE=3,則AB的長度為（）

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.如圖，AABC的頂點A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則AC邊上的高是

c\\\\

1111

12.如圖，四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點O.若AC，BD,AB=4,8=后，則

BC2+AD2^.

A

“D

13.如圖，在財BC中，AB=10,AC=13,ADSBC,垂足為。，M為A。上任一點，則MC2-Affi2等

14.如圖，池塘邊有兩點A,B,點C是與BA方向成直角的AC方向上的點，測得BC=25m,AC=15m,

則A,B兩點間的距離是—m.

15.如圖，一個長方體建筑物的長、寬、高分別為3米、1米和6米，為了美觀，現(xiàn)要在該建筑物上纏

繞燈線以便安裝小彩燈，燈線的繞法是從下底面的頂點A開始經(jīng)過四個側面繞到上底面的頂點8,如果纏繞

的圈數(shù)是“，那么用在該建筑物上的燈線最短需要米.

16.如圖所示，在4x4的網(wǎng)格，依次連接A、B、C、。形成一個正方形，若以網(wǎng)格的底端所在直線

建立數(shù)軸，每個小方格的邊長為單位長度1,原點距離點A一個單位長度.用圓規(guī)在點A左側的數(shù)軸上截取

AE=AB,則點E所代表的實數(shù)是.

17.如圖，"RC是等邊三角形，。為的中點，點E是點。關于直線AC的對稱點，連接AE,BE,

BE交AC于點、P.

（1）若AB=2,則AD=；

（2）若點K在線段AE上，連接PK,CK,則尸K+CK的最小值等于的長度.（用圖中的某一

條線段表示）

18.如圖，AABC是等邊三角形，ACDE是等腰三角形，且CE=CD=C4=4,ZD=30°,點H為直線

ED上一點,BH=EH,將N鉆C繞點C按逆時針方向旋轉一周，當時，請直接寫出的

長.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）如圖，每個小正方形的邊長為1,A,B,C是小正方形的頂點.求NABC的度數(shù).

20.（8分）如圖，把一張長方形ABCD紙片沿對角線4c折疊，點B落在點E處，CE交AD于點、F,

重合部分是CD=2,點尸是對角線AC上一點，尸加_140于點“，PN1CE千點、N.

（1）求證：AE4c是等腰三角形；

（2）求PM+PN的值；

（3）若A￡>=5.求AE4c的面積.

21.（10分）如圖，在AABC中，ZS4C=90°,AB=AC,。為BC邊上一點，CEYAD,交AD的延

長線于點E.

（1）若=

①直接寫出-54。的度數(shù)；

②已知力℃=25,求線段AD的長；

（2）若點。在線段8C上移動，是否存在一個常數(shù)無，使34+82=上短＞2恒成立？若存在，請求出

常數(shù)怎若不存在，請說明理由.

22.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，A（l,0）,3（1,1）,C（0,l）,點尸在線段。4上（不與點。，A

重合），連接PC,將沿PC折疊得到APCD,延長交A3于點E,連接CE.

（1）求證：KEB學ACED.

（2）當點尸位于不同位置時，的周長是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出其周

長.

（3）設尸（辦0）,￡（1,?）,直接寫出當點A,O的距離最小時，根+”的值.

23.（10分）已知：如圖，線段A3、點尸是線段A3上方一動點，且上4_LPB,線段A3和線段AC關

于直線AP對稱，過點8作與線段AP的延長線交于點D,點尸和點E關于直線3D對稱，作射

線”交AC于點尸，交BD于點C.

（1）當尸8=3,AB=5時，求PD的長.

（2）請用等式表示線段跖與尸尸之間的數(shù)量關系，并證明.

（3）當線段E尸的長取最大值時，言的值為.

24.（12分）【問題提出】

（1）如圖1,AABC和都是等邊三角形，連接SO,AE

①求證：ABD8AAEC

②若NAED=60。，CE=2,CB=4,求BE的長.

【問題拓展】

（2）如圖2,"RC和△DCE都是等邊三角形，連接3DAD,AE,^ZADC=30°,AD=3,BD=5,

求ABDC的面積

圖1圖2

參考答案：

1.A

【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義：滿足/+62=02的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定

義是解題的關鍵.

根據(jù)判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需滿足兩小邊的平方和等于最長邊的平方，

逐一判斷即可.

解：A、0.32+0.42=0.5,但不是整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，符合題意，故正確；

B、52+122=132,是勾股數(shù)，故選項不符合題意；

C、32+42=52,是勾股數(shù)，故選項不符合題意；

D、72+2不=252,是勾股數(shù)，故選項不符合題意；

故選：A.

2.D

【分析】本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的

絕對值是解題的關鍵.先根據(jù)勾股定理求出點P到y(tǒng)軸的距離為4,根據(jù)第三象限點的橫坐標是負數(shù)，縱坐

標是負數(shù)即可求解.

解：團點尸到無軸的距離為3,到原點的距離為5,

回點P到y(tǒng)軸的距離為，5?-3?=4，

回點尸在第三象限，

回點P的橫坐標為T,縱坐標為-3,

回點P的坐標為(T,—3).

故選D.

3.C

【分析】本題考查的是角平分線的作圖，勾股定理的應用，二次根式的化簡，根據(jù)角平分線的作圖可

得NC4D=30。，利用勾股定理和30。角的直角三角形的性質求出OC的長，再根據(jù)含30度角的直角三角形

的性質可得答案.

解：在RtaACB中，ZB=30°,AB=4

回AC=2,ABAC=60°

0ZC4D=-ZBAC=-x6Oo=3O°

22

團在RtaACD中，AD=2CD

0AC2+C￡)2=4CD2

03CZ)2=22

0CO=—,

3

4J3

^AD=2CD=-^-；

3

故選：C.

4.A

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，善于觀察題目的信息求出地毯的長度是解題關鍵.首先利

用勾股定理解得圖中直角三角形的另一直角邊長，進而可得所需購買紅地毯的總長度，即可獲得答案.

解：根據(jù)題意，圖中直角三角形一直角邊為3m,斜邊為5m,

根據(jù)勾股定理，可得另一直角邊長為右子=4m，

則需購買紅地毯的長為4+3=7m,

又因為紅地毯的寬，即臺階的寬為3m,

所以共需購買紅地毯3x7=Zin?.

故選：A.

5.D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，先求得

DC=30cm,再根據(jù)勾股定理求得完全打開時的高度，相減即可求解.

解：如圖所示，過點。作CE，/于點E,

(2)

0ZC4O=6O°,AC//BD

^ZOBD=ZCAO=60°

^\OD=OB

回/陽是等邊三角形，則">=BD=20cm

國NBOD=NCDB=60。

^ZAOC=ZBOD=60°

團△AOC是等邊三角形，

團BD=2AC,BD=20cm,

回CD=AC=10cm

團CD=CO+OD=30cm,

0ZCDJB=60°

[2ZDCE=30°

0D￡=-CD=15cm

2

在RtZXCDE中，CE=JCD2-DZ=156cm

0DC-CE=30-1573(cm)

故選：D.

6.B

【分析】過點。作CG〃跖，交射線AD于點G.證明△EBZ運△GCD(AAS)得到

CG=3,EG=^CE2-CG1=4,ED=DG=^EG=2,再運用勾股定理計算即可.

解：過點C作。G〃郎，交射線于點G.

⑦ZBED=/CGD=90。,/BDE=/CDG,

團AZ)是△ABC的中線，

國BD=CD,

ABED=ZCGD

^<ZEDB=ZGDC,

BD=CD

回△￡皮白△GCD(AAS)；

OBE=CG,ED=DG,

團BE—3,CE=5,

團CG=3,EG=^CE2-CG2=4,ED=DG=-EG=2,

2

團AE=2,

回AG=AE+EG=6,

0AC=VAG2+CG2=3A/5,BC=2BD=2CD=2yjBE2+DE2=2屈，

AB^^jBE2+AE2=A/13>

13AABC的周長為36+2舊+舊=3舊+3指，

故選B.

【點撥】本題考查了三角形全等的判定和性質，中線的意義，勾股定理，熟練掌握三角形全等的證明,

靈活用勾股定理是解題的關鍵.

7.D

【分析】先證明V5環(huán)gVCBD(ASA),再由兩個陰影三角形全等即可求出3。的長，由

DC1ABBC?BD求出的長，即可求出答案.

解：??,四邊形￡BCG是正方形，

\?DBC?￡90?,BE=BC,

:.ZEBF+ZABC=90°,

vZS4C=90°,

:.ZACB+ZABC=90°,

NEBF=ZACB,

\NBEFmCBD<ASA),

:.BD=EF,

兩個陰影三角形全等，

:.BD=FG,

:.EF=FG,

QEG=BC=2

\BD=EF=1,

\DC=1BU+5027f+2z=5

/DC?ABBC?BD,

\小AB=2?1,

\AB=述,

5

4

\m92=9AB2=~.

5

故選：D.

【點撥】本題考查了全等三角形的性質，勾股定理，正方形的性質，熟練掌握相關知識是解題關鍵.

8.A

【分析】根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的定義逐一判斷選項即可.

解：由題意得AC=+(0-2)~=>/13,

A、13AB=J(6-0『+(2-2)2=6,BC=,J(3-6)2+(0-2)2=V13=AC,

又回AC-+BC2=(V13)2+(V13)2=26wAB2=36,

團AABC為等腰三角形不是等腰直角三角形，符合題意，故該選項正確；

B、AB=^(5-0)2+(3-2)2=726,3C=J(3-5『+(0-3『=屈=AC,

又回AC2+BC2=(V13)2+(A/13)2=26=AB2,

國AABC為等腰直角三角形，不符合題意，故該選項錯誤；

j回即my二耍。小-歲］畤=孚"

y^\AB2+BC2==13=AC2,

回AABC為等腰直角三角形，不符合題意，故該選項錯誤；

D、=-2-Op+(-1-2)2=舊=AC,BC=43+2『+(0+1『=后,

又回AC'+AB2=(A/13)2+(V13)2=26=BC1=26,

團AABC為等腰直角三角形，不符合題意，故該選項錯誤.

故選A.

【點撥】本題考查了等腰直角三角形的定義，解決本題的關鍵是運用勾股定理解決問題.等腰直角三

角形：有一個角是直角的等腰三角形，或兩條邊相等的直角三角形是等腰直角三角形.

9.B

【分析】根據(jù)圖形可知長方體的四個側面都相等，所以分兩種情況進行解答即可.

解：分兩種情況：(其它情況與之重復)

①當螞蟻從前面和右面爬過去時，如圖1,連接AC',

CC'=30cm,

根據(jù)勾股定理得：EC=^AB2+CC'2=j302+402=50cm;

②當螞蟻從前面和上面爬過去時，如圖2,連接AC',

D\----------------/,C

//

//

/

/

A'——-i—B'

Q

圖2

在RtZSABC中，BC=BB'+=30+20=50cm,AB=20cm,

根據(jù)勾股定理得：AC'=<BC。+AB。=J50。+20,=10后cm>50cm;

螞蟻爬行的最短距離為50cm.

故選：B.

【點撥】本題考查了勾股定理的實際應用一求最短距離，讀懂題意，熟悉立體圖形的側面展開圖是解

本題的關鍵.

10.B

【分析】延長CE交于F,過點E作琢/_L8G于H,利用角平分線的定義和角的數(shù)量關系并利用"HL

"證明&BEF/ABEH,得到3尸=3”,設所=尤，BF=y,則==EH=EF=x,在RtACE/Z和

RtZkCB尸中根據(jù)勾股定理列關于x和y的方程組，解出》即可得到A3的長.

解：延長CE交于尸，過點E作EHLBG于H,如圖：

D

回8平分/ACG,

SZACD=ZGCD,

^CD//BA,

回NA=NACD,ZABC=ZGCD,

^ZA=ZABC,

0BC=ACf

回CE平分ZACB,

?BF=AF,ZACF=ZBCF,

回NDCF=NACF+NACD=90。，

0CF1AB,

團BD平分/ABC,

國NABD=NCBD,

^CD//BA,

⑦ZABD=ND,

團NCBD=/D,

回CD=BC,

在Rt2\EC￡）中，CD=^DE2-CE2=4,

國BC=CD=4,

⑦EF上AB,EHLBC,BD平分ZABC,

國EF=EH,

?BE=BE,

回RtABEF=RtAB￡W（HL）,

田BF=BH,

設石尸=%,BF=y,則3H=BF=y,EH=EF=x,

13+J+y2=42

[—『=32

OQ

解得:y=||，

0AB=2BF=—,

25

故答案為：B.

【點撥】本題考查了平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，

角平分線的性質，角平分線的定義，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

11.6

【分析】本題考查勾股定理，三角形的面積計算.利用等積法求解是解題關鍵.由圖可知3c=2,且

其邊上的高為3,即可求出S"BC=3.由勾股定理可求出AC=3&,設AC邊上的高為心結合三角形面積

公式可列出關于X的方程，解出X的值即可.

解：由圖可知BC=2,且其邊上的高為3,

回=Jx2x3=3.

由圖可知AC="+32=372，

設AC邊上的高為x,

0S^ABC=2*3*\/2x,

El—x3\[7.x=3,

2

解得：x=42>

回AC邊上的高是血.

故答案為：&.

12.21

【分析】根據(jù)勾股定理即可解答.

解：：AC人BD,AB=4,CD=45,

.,.在RtZ\AO3中，042+032=432=42=16,

.,.在Rt“w中，oc2+?！?c》=(g?=5,

又,在RtAAO￡>中，OA2+OD2=AD2,

在RMBOC中，。長+心二叱，

\BC2+AD2

=^OB2+OC)+(OA2+OD2)

=(OB2+OA2)+(OC2+亦)

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【點撥】本題考查了勾股定理的應用，靈活應用勾股定理是解題關鍵.

13.69

【分析】在RtBABD及RtOADC中可分別表示出BD2及CD2,在RtSBDW及RtBCDM中分別將B?及

CD2的表示形式代入表示出8冊和MC2,然后作差即可得出結果.

解：在RtElABD和RtElADC中,

BD2=AB2-AD2,

CD2=AC2-AD2,

在RtHBDM和RtECDM中，

BM2=BD-+MD2=AB2-AD2+MD2,

MC2^CD2+MD2=AC2-AD2-]-MD2,

^\MC2-MB2=CAC2-AD2+MD2)-{AB2-AD2+MD2\

=132-102,

=69.

故答案為：69.

【點撥】此題考查了勾股定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運用勾股定理求出

4和

14.20

【分析】在直角三角形中已知直角邊和斜邊的長，利用勾股定理求得另外一條直角邊的長即可.

解：QCB=25m,AC=15m,ACYAB,

\AB=VfiC2-AC2=V252-152=20(m),

即A,B兩點間的距離是20

故答案為：20.

【點撥】本題考查的是勾股定理的應用，熟悉相關性質是解題的關鍵.

15.2J16//+9

【分析】本題主要考查最短路徑問題，畫出展開圖，運用勾股定理求解即可.

解：如圖,

B'

6米

Ac--------A'

313

、米___米__米、_

8〃米

AA'=8〃米，A2=6米,

由勾股定理得，AB=+AB?=J4"）?+6?=2，16*+9（米）；

故答案為：2A/16〃2+9?

16.-1-或1-廂

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸.由勾股定理求出A2的長，即可得出AE的長，然后分情況討論：當

原點。在點A左邊一個單位長度時，計算出0E的長，即可得出點E所代表的實數(shù)；當原點。在點A右邊一

個單位長度時，計算出OE的長，即可得出點E所代表的實數(shù).

解：由勾股定理得，AB=A/32+12=710-

當原點。在點A左邊一個單位長度時，如圖,

:.OA=1,

QAE=AB,

：.AE=M,

:.OE=AE-OA=y/lO-l,

???點E在原點左邊，

.??點E所代表的實數(shù)是l-M；

當原點。在點A右邊一個單位長度時，如圖,

:.OA=\,

QAE=AB,

：.AE=M,

:.OE=AE+OA=y/10+l,

,??點E在原點左邊，

???點E所代表的實數(shù)是-1-癡；

綜上，點E所代表的實數(shù)是1-如或-l-W；

故答案為：1-JQ或-1-質.

17.6PB

【分析】本題考查的是等邊三角形的性質，勾股定理的應用，軸對稱的性質，理解軸對稱的性質構建

線段和的最小值時點的位置是解本題的關鍵；

(1)利用等邊三角形的性質結合勾股定理可得答案；

(2)如圖，記AD與巫的交點為連接PK,CK,HK,記"K與AC的交點為由點E是點。

關于直線AC的對稱點，可得當H與點K關于直線AC的對稱時，此時尸K+CK最短，且PK+CK=PB.

解：(1)回AA5c是等邊二角形，。為3C的中點，AB=2,

^\AD1BC,BD=CD=1

0AD=A/3,

(2)如圖，記AD與班的交點為連接尸K,CK,HK,記HK與AC的交點為M,

ADIBC,BD=CD,

回BH=CH,

團點E是點D關于直線AC的對稱點，

回當H與點K關于直線AC的對稱時，

@PH=PK,CH=CK,

0PK+CK=PH+CH=PH+BH=PB,

此時尸K+CK最短，且PK+CK=PB,

故答案為：上,PB

18.2A/3+2/2A/3-2

【分析】本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質，平行線的判定與性質等知識，分兩種情況討論,

結合圖形，靈活應用各性質是解題的關鍵.

解：①如圖，過點C作CGLED交ED于點G,延長3H交AC于點

MC

4

R

0CG±￡D,CE=CD=4,ZD=30°,

團CG=2,0G=2。

國BH工ED,

^\BM±AC,GH=CM

又回AABC是等邊三角形，AB=AC=4,

回CM=2,

?GH=CM=2,

^\DH=DG+GH=26+2,

②如圖：BHLDE,過點C作CG_L￡￡＞交互＞于點G,

0ZDCE=120°,DG=,ZCEZ)=30°,

出BH=EH,BH±DE,

^ZBEH=45°,

⑦/DEC=/BEH-/CED=15。,

又聞BC=CE,

0ZBCE=180O-ZBEC-ZEBC=150°,

團△ABC是等邊三角形，

o

0ZBC4=6Oz

0ZDCA=360°-ZBCA-ZEBC-ZDCE=30°,

^\ZDCA=ZD,

^\AC//DE,

BNLAC,

又回3C=AB=4,

0GV=2,

又國CGLDE,BHLDE,

SGH^CN=2,

0DH=DG-GH=22.

故答案為：2右+2或2百-2

19.45°

【分析】本題考查勾股定理在網(wǎng)格中的應用，根據(jù)勾股定理算出AC?、BC\AB2,得到鉆=BC,

222

AB+BC=AC,再結合勾股定理逆定理判斷AABC為直角三角形，最后利用等腰三角形性質，即可解題.

解：由題知，AB2=12+32=10,

BC2=l2+22=5,

AC2=l2+22=5,

AC=BC,AC2+BC2=AB2,

:.ZABC=NBAC,AABC為直角三角形，即NBC4=90。，

;.ZABC=90°+2=45°.

29

20.（1）證明詳見分析；（2）2；（3）—.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質和折疊的性質得到A/=CF,即可證明出AE4c是等腰三角形；

（2）連接P/L根據(jù)邑皿=凡加+￡皿代數(shù)求解即可；

29

（3）設”=%,則凡）=5r,CF=x,在RQEDC中根據(jù)勾股定理求出Ab=正，然后利用三角形面

積公式求解即可.

解：（1）證明：???把一張長方形ABCD紙片沿對角線AC折疊，點B落在點E處，

,\ZECA=ZBCA

又???長方形ABC。，

/.AD//BC

.\ZFAC=ZBCA,

:.ZFAC=ZECA

.\AF=CF,

4c是等腰三角形

(2)如圖所示，連接尸尸,

:.-xAFxCD=-xAFxPM+-xCFxPN

222

AF=CF,

.-.CD=PM+PN=2

(3)設AF=x,則FD=5-尤，CF=x

在RtAFDC中，由勾股定理可知：FD2+CD2=FC2

.-.(5-X)2+22=X2,

129

5白m=Q**CD=—.

【點撥】此題考查了折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的性質等知識，解題的關鍵

是熟練掌握折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定定理.

21.(1)①67.5。；②10；(2)存在，見分析

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和，等腰三角形性質及判定，勾股定理.

(1)①根據(jù)題意利用三角形內(nèi)角和和等腰三角形性質即可得到本題答案；②過點A作Ab/BC,設

AB=x,用含x的代數(shù)式分別將CD表示出來，再利用勾股定理表示出")2,再利用面積求出爐的

值，即可求出本題答案；

(2)過點A作AF13C,根據(jù)條件求出0”,證明△的是等腰直角三角形，然后結合勾

股定理即可求解.

解：(1)①解：回/B4c=90。，AB^AC,

0ZB=ZACB=45°,

^AB=BD,

EABAD=(180°-45°)+2=67.5°；

②解：過點A作設AB=x,

0Z5AC=90°,AB=AC,AB=BD,

應

^CF=BF=—x,

2

回DF—x———x,CD-一xt

2

團在△"口中應用勾股定理：AD-=DF2+AF~=（X-

回S,DC=25,

5=C￡），AF=25,

0AAnc4即：（缶一尤）?克尤工=25，整理得：/=50（2+應），

222

團AD2=(2-V2)x2=50(2-應)(2+72)=100,

0AD=1O；

（2）解：存在常數(shù)3理由如下:

過點A作A尸15C,

0AD2=DF2+AF2,

⑦DF=CF—CD=BF—CD=(BD—DF)—CD,

BD-CD

回。尸=

2

回所誓勺+年

回/區(qū)4c=90°,AB=AC,

0AABF是等腰直角三角形,

回”=竿BD+CD

2

BD2+CD?

回MR。）*"*

2

^BD2+CD2=2AD2,

回左=2,

綜上所述：存在一個常數(shù)公使E52+。2="M)2恒成立.

22.(1)見分析；(2)△曲的周長不變；C?PEA=2；(3)加+〃=1

【分析】(1)根據(jù)HL證明ACEB/ACED即可；

(2)根據(jù)折疊得出ACPD2ACPO,得出。尸=尸￡),根據(jù)ACEB絲ACED,得出DE=5E,根據(jù)

QAPE=AP+PD+OE+AE求出結果即可；

(3)點。在以C為圓心，以1為半徑的圓上，連接AC,得出當。在AC上時，AD最小，根據(jù)等腰三

角形的判定和性質，求出m=>/^-1，n=l—yfl.1最后求出機+〃=-1+2-=1即可.

解：（1）證明：國4（1,0）,5（1,1）,C（0,l）,

SOA=AB=BC=OC=1,ZABC=ZOAB=ZOCB=ZAOC=90°,

根據(jù)折疊可知，CD=OC,ZCDP=ZCOP=90°,

0ZCDE=180°-90°=90°,

團CB=CD,

0CE=CE,

[?]RtACEB=RtACED（HL）,

即^CEB^CED.

（2）解：VARE的周長不變；

根據(jù)折疊可知，ACPD冬ACPO,

國OP=PD,

國ACEB均CED,

國DE=BE,

團CAPE=AP+PD+DE+AE

=AP+PO+BE+AE

=AO+AB

=1+1

=2.

(3)解:回CD=CO=1,

團點。在以。為圓心，以1為半徑的圓上,

回連接AC,當。在AC上時，最小，

^AC=y/OC2+OA2=V12+12=^2，

0AD=V2-b

^\OA=OB,^AOC=90°,

團NQ4C=NOC4=45。，

田/CDP=90°,

0ZA￡>P=9O°,

團ZAPD=90°-45°=45°,

BZAPD=ZDAP,

^PD=AD=42-1^

^AP=^AD2+PD2=42AD^

0AP=^AD=72x(V2-l)=2-V2,

^OP=OA-AP=l-(2-y/2)=yf2-l,

0m=A/2—1,

團/PAE=90。，ZAPE=45°f

回NA￡P=90。一45。=45。，

^\ZAPE=ZAEP,

^AE=AP=2-y[2,

0ra=2-V2，

團m+n=y/2—1+2—V2=1-

【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，坐標與圖

形，折疊的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，數(shù)形結合.

23.(1)尸￡)=4；(2)EF=3PF,證明見詳解；(3)-

【分析】本題主要考查了軸對稱的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、線段

垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o

助線是解此題的關鍵.

(1)根據(jù)軸對稱的性質可得NC4P="4P,由平行線的性質可得NC4P=從而得到

ZBAD=ZADB,由等角對等邊可得=,由等腰三角形的性質可得AP=PD,由勾股定理計算出針=4,

即可得解；

(2)由軸對稱的性質可得3。是線段PE的垂直平分線，從而得到PG=GE,證明AAPF/ADPG(ASA),

得出PF=PG,即可得證；

(3)當上4=尸5時，尸〃的值最大，即FP的值最大，由跖=3杯'可得此時E尸的長達到最大值，設

PA=PB=a,則筋=，必+止=5+/=缶,證明為等腰直角三角形，結合勾股定理得出

AF=PF=^a,從而得出所=3/^=述0,即可得出答案.

22

(1)解：???線段AB,AC關于直線AP對稱，

:.ZCAP=ZBAP,

-.-BD//AC,

.\ZCAP=ZADB,

.\ZBAD=ZADB,

AB=BD,

\-PA±PB,

:.AP=DP,

vZAPS=90°,AB=5,PB=3,

：.AP2^-BP2=AB2FBPAP=^AB2-PB2=4

.\PD=4；

(2)解：EF=3PF,

證明：?.?點。關于直線30的對稱點為E,

是線段PE的垂直平分線，

:.PG=EG,

在△"尸和△。尸G中，

ZCAP=ZADB

<AP=PD,

ZAPF=ZDPG

..△APF段ADPG(ASA),

：.PF=PG=EG,

.\EF=3PF；

(3)解：?.?點尸關于直線的對稱點為E,

BD是線段PE的垂直平分線，

:.BD^PE,

?：BM//AC,

:.AC-LEFf

如圖，作尸于X,

???線段AB,AC關于直線AP對稱,

:.ZCAP=ZBAP9

vACYEF,PHLAB,

：.PH=FP,

當=時，尸H的值最大，即EP的值最大，由石尸=3尸尸可得此時石方的長達到最大值,

如圖，當B4=