第16章二次根式（單元測(cè)試-基礎(chǔ)卷）

【要點(diǎn)回顧】

【知識(shí)點(diǎn)一】二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如4a{a>0）的式子叫做二次根式，

2.二次根式的性質(zhì)

（1）石20（a之0）（2）（點(diǎn)）2=a320）；（3）=\a|=<^之?.

\>[-以（a<0）

3.最簡(jiǎn)二次根式

（1）被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方的因數(shù)或因式.

滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

4.同類(lèi)二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類(lèi)二次

根式.

【知識(shí)點(diǎn)二】二次根式的運(yùn)算

1.乘除法

（1）乘除法法則:

類(lèi)型法則逆用法則

積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

二次根式的乘法4ax-Jb=4ab{a>0,i>>0)

4ab=\Jax網(wǎng)（a>0,Z?>0）

商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

魯島川b>0)

二次根式的除法8親a?0,b>0）

2加.減法

將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類(lèi)二次根式的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指

數(shù)不變，即合并同類(lèi)二次根式.

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2024上?四川眉山,九年級(jí)統(tǒng)考期末）若式子注與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取

值范圍是（）

A.x>-3B.x<3C.x>3D.x>-3

2.（2023上?江蘇蘇州?八年級(jí)蘇州市平江中學(xué)校校聯(lián)考期中）下列二次根式是最簡(jiǎn)二

次根式的是（）

A.5/2B.J15C.D.Jo.7

3.（2023下?四川廣安?八年級(jí)校考期中）設(shè)&="，^3=b,用含。，6的式子表示而，

則下列表示正確的是（）

A.ab2B.labC.abD.a2b

4.（2023下?湖北咸寧?八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列二次根式能與后合并的是（）

A.V12B.瓜C.724D.730

5.（2023上?廣東茂名?八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知J12.34=3.512,J123.4=11.108,則

71234=()

A.35.12B.351.2C.111.08D.1110.8

6.（2024上?四川遂寧?九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.應(yīng)+石=君B.272x73=6A/2C.次十&=2D.3A/2-A/2=3

7.（2024上?重慶沙坪壩?九年級(jí)統(tǒng)考期末）估計(jì)有x（岔+q）的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

8.（2022下?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)雙語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某直角三

角形的面積為5君，其中一條直角邊長(zhǎng)為加，則其中另一直角邊長(zhǎng)為（）

A.2石B.5A/2C.5A/5D.2A/10

9.（2011上,安徽蕪湖?九年級(jí)統(tǒng)考期中）把％口根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是（）

Va

A.yj—aB.->J—aC.y/aD.-y/a

10.（2024上?四川樂(lè)山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a=，3+若,6=,3-石，則（）

A.72B.&C.75D.2加

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（2020下?福建南平?七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知同是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最小值是.

12.（2024上?河南洛陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）寫(xiě)一個(gè)實(shí)數(shù)x,使（G+1）無(wú)運(yùn)算的結(jié)果為有

理數(shù)，x可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

13.（2022下?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算石（指+5）=.

14.（2023下?云南楚雄?八年級(jí)統(tǒng)考期中）方程&x=l的解為.

15.（2020上?江西景德鎮(zhèn)?七年級(jí)景德鎮(zhèn)一中校考期中）化簡(jiǎn)J14-86=

16.（2023下?上海嘉定,七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較大小：-2瓜-3A/2.

17.（2024上?江西南昌?八年級(jí)南昌市育新學(xué)校校聯(lián)考期末）已知y=+應(yīng)--3，

貝/__________

6二7七，則力2+/+7的值為—

18.（2019下?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知”=7=

三'解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（2023下?浙江杭州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：斤圓圓的做法是

A/52+122=^/F+^/12?=5+12=17.

圓圓的解答正確嗎？如果不正確，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.

20.（8分）（2024上?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算

⑴厲-岳+厄;(2)(有+2@(石-2⑹.

21.（10分）（2024上?陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)〃=3+20,6=3-2&,求

代數(shù)式3必的值.

22.(10分)(2022上?福建寧德?八年級(jí)?？计谥?根據(jù)學(xué)習(xí)"數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn),

探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律.

(1)將題目中的橫線(xiàn)處補(bǔ)充完整；

(2)若〃為正整數(shù)，用含〃的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律，并加以證明;

(3)計(jì)算：J2021+—^—xV4046

V2023

23.(10分)(2024上?江西南昌?八年級(jí)南昌市育新學(xué)校校聯(lián)考期末)規(guī)定用符號(hào)[司

表示一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如[9]=3,[1.23]=1,并且規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)減

去它的整數(shù)部分表示這個(gè)實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，按此規(guī)定解答問(wèn)題：

(1)[VM]=_,而的小數(shù)部分為二

(2)若a,b分別是(2君-20)x&的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求0,6的值.

(3)求:=_(直接寫(xiě)出結(jié)果)

b一

24.（12分）（2023上?山東荷澤?八年級(jí)校考階段練習(xí)）小明在解決問(wèn)題：已知。=5出,

求2/-8〃+1的值，他是這樣分析與解答的:

_1_2-73萬(wàn)

回a-2=—yfi-

團(tuán)(a—2)2=3,BPa2-4a+4=3.

回°?_4。=_],回2a~—8a+1=2(。一一4。)+1=2x(—1)+1=_1.

請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題:

⑴計(jì)算：高

+++，，+；

(2)計(jì)算：727I73W2V473'A/2024+V2023

若"金2，求2a2—8。+1的值.

(3)

參考答案:

1.A

【分析】本題考查二次函根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式

的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即可求解.

【詳解】解：若式子向^在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

貝!I無(wú)+3>0

x的取值范圍是：^>-3.

故選：A.

2.B

【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的判斷，根據(jù)："被開(kāi)方數(shù)不含分母，不含能開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式的二

次根式是最簡(jiǎn)二次根式”，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、不是二次根式，不符合題意；

B、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；

C、被開(kāi)方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

D、后=后,被開(kāi)方數(shù)含有分母’不是最簡(jiǎn)二次根式’不符合題意；

故選B.

3.C

【分析】根據(jù)二次根式的乘法得到四、石=面，又由血及6=b即可得到答案.

【詳解】解：^^2x^/3=y/69V2=a?A/3=b,

0=ab，

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的乘法，得到收義道=痣是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】本題考查了同類(lèi)二次根式，幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫

同類(lèi)二次根式，同類(lèi)二次根式可以進(jìn)行合并，將選項(xiàng)依次化簡(jiǎn)即可確定.

【詳解】解：A,712=273,不能與布合并；

B,樞=2版,不能與否合并；

C,724=2^,能與布合并；

D,國(guó)不能與"合并；

故選c.

5.A

【分析】本題主要考查算術(shù)平方根的知識(shí)，根據(jù)&i§Z=J12.34xl00計(jì)算得出結(jié)論即可.

【詳解】解：EIJ12.34=3.512,

EIJ1234=112.34x100=3.512x10=35.12,

故選：A.

6.C

【分析】本題考查二次根式計(jì)算.根據(jù)題意逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得到本題答案.

【詳解】解：回&+g已是最簡(jiǎn)不可計(jì)算，故A選項(xiàng)不正確；

02A/2X>/3=2A/6,故B選項(xiàng)不正確；

團(tuán)次+收=2,故C選項(xiàng)正確；

回3后-忘=2正，故D選項(xiàng)不正確，

故選：C

7.C

【分析】本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算，二次根式的乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則以及估算方法是解本題的關(guān)鍵.先

計(jì)算二次根式的乘法再估算即可.

【詳解】解：6、(&+&)=3,

03<V1?<4,

06<3+715<7,

073x(73+75)的值應(yīng)在6和7之間，

故選C

8.B

【分析】利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得，其中另一直角邊長(zhǎng)為：2x5百十9=*=2=5近，

V10V2

故選:B.

【點(diǎn)撥】此題考查二次根式的除法，掌握三角形的面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

9.C

【分析】利用二次根式的性質(zhì)直接化簡(jiǎn)得出即可.

【詳解】解：由題意可知：aX),

@Ja?x—=.

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)，正確確定二次根式的符號(hào)是解題關(guān)鍵.

10.A

【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，將。、b的值代入式子少中，轉(zhuǎn)化成完全平方的形式化簡(jiǎn)根號(hào),

再進(jìn)行開(kāi)方即可求得答案.

【詳解】解：???〃=[3+百,b=b有

ci—b—^3+A/5—^3—y/s

—鄧3+同_2?3+⑹[3—灼+(53—可

=3+75-2x2+3-75

=6—4

=2

a—b=±5/2

a>b

.,.a—b=\/2

故答案選A

1

11.——

18

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行分析求值.

【詳解】解：團(tuán)呵是正整數(shù)，且最小的正整數(shù)是1,

團(tuán)當(dāng)〃=■，此時(shí)[18n=1,

18

的最小值為上，

18

故答案為：—.

lo

【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式的定義和二次根式的化簡(jiǎn)，屬于?？碱}型，熟練掌握二次根式的基本知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

12.(73-1)(答案不唯一).

【分析】本題考查了二次根式的計(jì)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】解：?.?（百+1）（G-1）=3-1=2.

可以是（6-1）（答案不唯一）.

故答案為：（班-1）（答案不唯一）.

13.5+5A/5/5A/5+5

【分析】利用二次根式的乘法運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】解：原式=布乂#+#x5=5+5垂

故答案為：5+575

【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的乘法運(yùn)算.掌握二次根式運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

14.x=----

2

【分析】化系數(shù)為1,即可求解.

【詳解】解：回缶=1，

Ex=—.

2

故答案為：x=^--

2

【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

15.2A/2-A/6

【分析】將原式化為《峋2+附-2x屈乂般,再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：714-873

=6+8-2><#><際

=J（@+（2,限遮

=J（"一2可

=20-通

故答案為：2虎-癡.

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

16.<

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：0-2A/6=-V24,-3A/2=-V18,

回扃〉如，

0-V24<-A/18,

故答案為：<.

【點(diǎn)撥】此題主要考查二次根式的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的性質(zhì).

1

17.-

4

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，積的乘方，幕的乘方逆用法則，熟記二次根式被開(kāi)方數(shù)為非

負(fù)數(shù)并熟練掌握積的乘方，幕的乘方逆用法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件求出X,進(jìn)而得出外根據(jù)積的乘方，幕的乘方逆用法則將無(wú)2儂/變形為

（孫產(chǎn)2,代入X,y求解即可.

【詳解】解：

解得：J[x>'2

團(tuán)％=2,

0y=0+0——=——,

22

將x=2,y=_：代入,

故答案為:

18.5.

【分析】將。與6分母有理化后，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】加=石匕=石+2b=y/5+2=y^~2,回原式=,9+4石+9-4有+7=后=5.

故答案為5.

【點(diǎn)撥】本題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵.

19.不正確，過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，即可得到答案.

【詳解】解：不正確，解題過(guò)程如下：

^52+122=^/25+144=^/i69=13-

【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.注意如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)式

和的形式，不能直接拆分.

20.(1)0

⑵-7

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算.

(1)先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行二次根式的加減即可求解；

(2)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：V27-V75+V12=3A/3-5^+2A/3=0；

(2)解：(若+2g)(君-26)=(新『-(26『=5-12=-7.

21.31

【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，由已知條件可得。-6=4亞，ab=l,將代數(shù)式化為(a-》)?-然后

代入運(yùn)算即可求解；掌握整體代換法求代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?4+3+2應(yīng)，b=3-2日

:.a-b

=3+20-3+20

=4\/2)

"=(3+20)(3-2衣

原式=(a——cib

=(4A/2)2-1

25

22.(1)

(3)2022近

【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可;

1

（2）分析所給的等式不難得第"個(gè)等式為:n-\-------對(duì)等式左邊進(jìn)行整理即可得證;

n+2V及+2

（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可.

證明：左邊=(〃+1).―--=右邊,

yn+2

故等式成立;

72x2023

=2022應(yīng).

【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的

規(guī)律.

23.(1)3,V14-3

(2)a=2,b=2A/10—6

(3)710+3

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和無(wú)理數(shù)的估算，正確進(jìn)行無(wú)理數(shù)的大小的估算是解題的關(guān)鍵.

（1）估算出無(wú)理數(shù)的范圍，從而得到無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分；

（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，估算出無(wú)理數(shù)的范圍，得到無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分.

（3）根據(jù)（2）將0、6的值代入求解即可.

【詳解】(1)09<14<16,

03<A/14<4.

回[呵=3,

0A/14的小數(shù)部分為-3，

故答案為：3,V14-3;

(2)(2A/5-2A/2)XA/2=(720-78)x72=740-716=2A/10-4,

EI6<-\/40<7,

02<2>/10-4<3,

0a=2,6=2廂-4-2=29-6.

(