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文檔簡介
第5章三角函數(shù)章末測(cè)試(提升)
一、單選題(每題5分,每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案,8題共40分)
1.(2022?江蘇南通?高一期末)若sin[a+wj=§,則sin20=()
A.二B.-C.匕在D.也
9933
【答案】A
_,..?兀]兀?7C?_.oI7L?42/
【解析】sin2a=sin2\a+—\~—=-cos2l?+-!=-1+2sin\a+-\=-l+—=--.
故選:A
2.(2022?江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí))把函數(shù)y=sin[2x+t]的圖像向右平移°(9>0)個(gè)單位長度,所
得圖像關(guān)于>軸對(duì)稱,則。的最小值是()
5兀一2兀-5兀一兀
A.—B.——C.—D.-
63126
【答案】c
(Ajr、/I■rr
【解析】將函數(shù)y=si42x+wj的圖象向右平移。(0>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=sin2(x-(P)+—,
???所得函數(shù)圖象關(guān)于,軸對(duì)稱,
47rTT
即可一2夕=5+而,(左eZ),
:。>0,
當(dāng)左=0時(shí),。的最小值為一.
12
故選:C
3.(2022?遼寧)若tan(:-①=一2,則「一四J——=()
4sinacos。+3cosa
【答案】c
.,/兀、小一r/t=,1-tanoc__
【解析】由tan(:—a)=-2可倚^------=—2,tana=-3,
41+tana
故sina_sina_tana
sin2。cosa+3cos3acoscr(sin2a+3cos2a)sin2a+3cos2a
sin2a+3cos2a_tan2a+3_6
而sin2a+3cos2a-
sin2or+cos2atan2a+15
tancr__3_5
故sin?a+3cos2a62,
5
sina5
a即n丁空------------L=一,
sinacosa+3cosa2
故選:C
IT
4.(2022?陜西)函數(shù)〃x)=cos-(1-x)+log5尤(x>。)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
71
〃)^-(1-x)+logx=sin
【解析】X=COS5—X+log5x;
71
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)g(x)=sin—X和h(x)=-log5x(x>0)的圖象,
3兀7K
又h(3)=-log53>-l,/z(7)=-log57<-l,g(3)=sin-l,g(7)=sin-1:
所以函數(shù)g(x)和Mx)恰有3個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)/(X)有3個(gè)零點(diǎn),
jrjr
5.(2022.湖南)奇函數(shù)/(x)=cos3x+0),(0>O,0e(O,i))在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值1和一個(gè)最
小值-1,則。的取值范圍是()
A.[2,6)B.2,1]39
C.
2,2
【答案】B
【解析】由)(%)為奇函數(shù),則e=丘+叁,keZ,又?!?。㈤,故°=
ll>>/?/x?,7C7C.(OTCCOTC
所以/(%)=-SH1GX,在%£,則0X£'。>0,
一八con7iLt57rCOTC37r.,
當(dāng)0<?。级?」一?。糭=一〈一丁,故口無解;
42232
、“71,con3乃3兀①兀,7U一口與,9
當(dāng)一W---<—,貝ni!l]----<----W---,可得2WG<一;
2422322
、“71CD71八n?3%371571——
當(dāng)一,<一?。?,貝才<萬,無解.
綜上,0的取值范圍是2,1\
故選:B
6.(2022?河南)將函數(shù)/(x)=sinx的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)不變,再將所得圖象向左平
移看個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為()
171171
A.g(x)=sin-x-\---B.g(x)=sin-x-\---
212224
C.g(x)=sin12x+WD.g(x)=sin2%+看
【答案】D
【解析】將"x)=sinx圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅得,=$山2/再向左平移程個(gè)單位長度后得
g(x)=sin2卜+巳=sin12x+?J,
故選:D.
兀-等(。>0)的最小正周期為兀,則“X)在
7.(2022,江西)已知函數(shù)〃尤)=6sir?G%+sinsin|a)x—^
2
區(qū)間0胃上的值域?yàn)?)
A.B.6B
2;2~~r,~r
凡
C.一T』D.-4
【答案】D
.71
【解析】/(%)=百sir?Gx+sinssincox——_J3
I2一萬
l-cos2s1.c=-sinl269X+y1,
=A/3x-------------sin2cox-
22
27r
因?yàn)閒(x)的最小正周期為兀,所以三=兀,得0=1,
2a)
所以/(%)=-sin2x+J
71兀y4兀,所以sin(2x+力-
由工£得2x+gG
333
從而"x)=-sin(2x+4
e一T33
故選:D.
8.(2022?廣西)已知函數(shù)/(x)=351。工+1^(。>0)在區(qū)間:,!■兀上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為
()
A.[。,|[B.(1,2]
C.(0,1]D.1,|
【答案】A
【解析】由題意有7=型上無,可得0<。42,又由1〈蜉+弓4",必有¥+[<兀,可得0<0<2.
。3436439
故選:A
二、多選題(每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案,少選且正確得2分,每題5分。4題共20分)
9.(2022?安徽)函數(shù)〃x)=Asin(ox+e)(其中A>0,o>0,闞苦)的圖象如圖所示,則下列說法正確的是
()
A.函數(shù)的周期是27t
c兀
B.(p=一
3
C.為了得到g(x)=cos2x的圖象,只需將“X)的圖象向左平移(個(gè)單位長度
D.為了得到g(x)=cos2尤的圖象,只需將〃力的圖象向左平移展個(gè)單位長度
【答案】ABD
【解析】對(duì)A,由圖可知,A=L,最小正周期T滿足T:=7q兀-?71=;71,所以7=萬,
41234
所以函數(shù)“X)的周期是2兀,故A正確;
對(duì)B,a>=—=2,即/(x)=sin(2x+0),將%=」代入可得2x」+0=」+2fai,kwZ,得。=工+2也,又
兀121223
H<f>所以夕=],故B正確;
對(duì)C,由上述結(jié)論可知/(苫)=$皿(2苫+3,為了得至1」8(%)=8$2工=$也(2工+/1,應(yīng)將函數(shù)〃x)向左平移
3個(gè)單位長度.故C錯(cuò)誤,D正確.
故選:ABD.
10.(2022?湖北)已知函數(shù)“xbsinxcosx+sin、,則下列說法中正確的有()
A./(尤)的最大值為2
B.“X)的最小正周期為無
C.“X)的圖像關(guān)于直線尤=-9對(duì)稱
O
D.〃x)在]0,[上單調(diào)遞增
【答案】BCD
【解析】f{x}=—sin2x--cos2x+—=sin(2x-—)+—,
222242
故函數(shù)〃x)的最大值為冬1,A錯(cuò)誤;
函數(shù)的周期為兀,B正確;
TTTT
sin(——x2——)二-1,C正確;
84
—,/(x)單調(diào)遞增,D正確.
故選:BCD.
n.(2022?遼寧)已知e是第二象限角,下列結(jié)論正確的是()
A.tan6<0
「?ee
B.sm—>cos—
22
C.sine-cos。的取值范圍為(1,0]
2
D.若扇形AQB的圓心角6=w兀,半徑廠=6,則扇形所含弓形的面積為1271-97^
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?是第二象限角,所以tan6<0,A正確;
若ge倍■私"I兀]時(shí),由三角函數(shù)線知:singvcosg,B錯(cuò)誤;
2142J22
因?yàn)?是第二象限角,則sin夕>0、cos6v0且sin夕一cos3>1,
2222
(sin6—cos6)2=sin0+cos6—2sin6cos0<2(sin6+cos6)=2,
3
所以sine—COS9W血,當(dāng)且僅當(dāng)6=w兀+2E,左£Z時(shí)取得等號(hào),C正確;
扇形所含弓形的面積為%x36-64x3)=12兀一94,D正確.
故選:ACD.
12.(2022.全國?高一單元測(cè)試)下列選項(xiàng)中正確的有()
A.若a是第二象限角,則=T
Vsina
c71-2sin100°cos280°,
cos3700-VI-cos2170°
C2cos10°-sin20°_
?sin70°—
D。l+tan15°_73
l-tanl50-V
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍是第二象限角,所以sina>0,cosa<0,從而tanaJ——-1=tane出烏=一1,
Vsinasina
所以A正確;
Jl-2sin100°cos280°71-2sin80°cos80°sin800-cos800
對(duì)于B,=1,所以B正確;
cos370°-A/1-COS2170°cos10°-sin10°cos100-sin100
2cos10°-sin20°_2cos(30°-20°)-sin20°_73cos20°
對(duì)于C,=73,所以C正確;
sin70°cos20°cos20°
對(duì)于D,=+6,所以D錯(cuò)誤?
1-tan15°1-tan45°.tan15°v7
故選:ABC
三、填空題(每題5分,4題共20分)
7
13.(2022?云南)已知sina+cosa=m,貝|tana=
【答案】|4■或3.
749
【解析】將sina+cosa=《兩邊平方得l+2sinacosa=云,
.12sinacosa12
所以smacosa:;^,所以一^------「
25sincr+cosa25
tancr_12
分式上下同除cos21得:
tan2or+125
43
整理得:12tan2a_25tanc+12=0,解得:tana或tana二:
34
故答案為:(4或3
14.(2022.河南濮陽)已知函數(shù)/(x)=cos"q](o>0)在值]上有且僅有1個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取
值范圍為.
【解析】由函數(shù)/(X)=cos(6y%—看](口>0),且令a=cox—■
則0J一一令],故函數(shù)y=cosa在區(qū)間(-當(dāng),;0一令]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
V646y1646/
匚匚?71715兀,兀切/日4,16
所以一77<二公一-7?大,解得彳vgK:-.
246233
工心3士生f416
故答案為:I.
1jr12a"
15.(2022?全國?高一)已知函數(shù)/(x)=x3+--+1,若/(sin(--cr))=,則/(cos(cr--))=
2018
【答案】
2019
【解析】函數(shù)/⑺=v+£+i,
則有〃r)+“x)
=(-x)3+x3+---+---+2
173^-137
i-y
+2=1,
3%-1
2%2TT
又COS(6Z--)=COS--cr
兀27r
.,/(sin(--?))+/(Cos(?-T))
7T7T
=/(sin(--a))+/(-sin(--a))=l,
oo
977
則/(cos(a——^-))
=l-/(sin(--a))
o
I12018
一~2019-2019
2018
故答案為:
2019
16.(2022?北京市第十二中學(xué)高一期末)一半徑為4m的水車,水車圓心。距離水面2m,已知水車每分鐘
轉(zhuǎn)動(dòng)(按逆時(shí)針方向)3圈,當(dāng)水車上P點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)時(shí),即從圖中片點(diǎn)開始計(jì)算時(shí)間,當(dāng)7=10秒
時(shí),點(diǎn)尸離水面的高度是m.
【答案】4
【解析】因?yàn)椤?=4,圓心。到水面的距離為2,
所以1到x軸的距離為2,
所以x軸與。4所成角為1,
由題知水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為寥=2radIs
因?yàn)樗嚨陌霃綖?,設(shè)P點(diǎn)到水面的距離為y,
根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型有:
y=4sin(—Z--)+2
'106
當(dāng)仁10秒時(shí),y=4,所以點(diǎn)尸離水面的高度是4〃?.故答案為:4.
四、解答題(17題10分,其余每題12分,6題共70分)
17.(2022?黑龍江)已知函數(shù)〃x)=asin0xcos0x(a>O,0>O).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知,使
函數(shù)f(x)存在且唯一確定.
71
條件①:f1:
條件②:"X)為偶函數(shù);
條件③:“X)的最大值為1;
條件④:/(X)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為
⑴求“X)的解析式;
⑵設(shè)g(x)=〃x)-2cos2ox+l,求函數(shù)g(x)在(0,71)上的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)選擇①④或③④均可得到/(X)=sin2x
(2)單調(diào)遞增區(qū)間有g(shù)兀)和10,告;
asin3xcos如(〃>0,60>0)
【解析】(1)解:
所以/(%)=—asin2CDX
2
顯然當(dāng)aNO時(shí)為奇函數(shù),故②不能選,
若選擇①③,即"x)=;asin2o尤最大值為1,所以ga=l,解得a=2,
所以"x)=sin2ox,又=
所以/[:]=sin[2ox:]=l,即]0=]+2fai,kwZ,
解得刃=1+4左,keZ,故/(%)不能唯一確定,故舍去;
若選擇①④,即,(無)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為g,所以三=兀,
22co
解得刃=1,
所以“x)=;asin2x,又=gasin(2x:j=1,所以;a=i,解得.=2,
所以〃x)=sin2x;
若選擇③④,即/'(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為g,所以==兀,解得。=1,
22a)
所以/(x)=gasin2%,
又/(%)的最大值為1,所以;。=1,解得〃=2,
所以〃%)=sin2x;
(2)由(])可得g(x)=/(x)-2cos25+l=sin2x—2cos2x+l=sin2x-cos2x
cos2x=A/2sin\2x——
24
7
令2fal--<2x-—<2fal+—,keZ,
242
TT371
角軍得kit—W%WEH-----,kGZ,
88
TT37r
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為+—,keZ,
_oo
又X€(0,7t),所以g(x)在(o㈤上的單調(diào)遞增區(qū)間有g(shù),兀)和[o,笥
18.(2022?遼寧?東北育才雙語學(xué)校一模)已知函數(shù)/(%)=2cos2Gx+2Gsin?xcosG%+a(0>0,acR).
再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)八%)解析式的兩個(gè)合理?xiàng)l件作為已知,條件①:
Ax)的最大值為1;條件②:Ax)的一條對(duì)稱軸是直線一自;條件③:Ax)的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的
距離為會(huì)求
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;并求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱中心坐標(biāo);
(2)若將函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?,再向右平移7三T單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,
/12
若g(x)在區(qū)間[。,加上的最小值為g(。),求m的最大值.
【答案】(1)/(%)=2sin(2x+B)—l;[--^+far,y+fai](左eZ);(-二+:,一1)(左EZ)(2)g
6361223
[解析](1)(x)~2cos2tyx+2y/3sina)xcoscox+a
=cos2s+V§sin2°x+a+1=2sinI2cox+已)+〃+1,
當(dāng)選條件①時(shí),a+3=1,解得a=—2;
兀
當(dāng)選條件②時(shí),2。+—=0^—+kji,keZ
12G62f
顯然條件②不合理;
當(dāng)選條件③時(shí),|兀Q|-|rr<2兀
一,BPT=—=7i,
22G
解得。=1;
綜上所述,條件①③能確定函數(shù)/■(》)解析式,
且/(x)=2sin+3-1;
令一二+2foi<2x+—<—+2kji,
262
-JI兀
-----F/CTIW%<—Fkn,kGZ
36
7T7T
所以函數(shù)A?的單調(diào)遞增區(qū)間為[-彳+阮,:+阮](左£Z);
36
*_兀T,口兀kit
令2%H—=ku,x=-------1,%£Z,
6122
jr
所以函數(shù)/(%)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為(-乃+E,-1),keZ;
(2)將函數(shù)八九)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼娜f,
TTTT
得至ljy=2sin(4x+z)—1的圖象,再向右平移有單位,
612
得到函數(shù)y=2sin[4(x—=)+3—1=2sin(4x—當(dāng)T的圖象,
12o6
即g(x)=2sinf4%-^-1-1;
LLr\IA兀兀714兀71
因?yàn)?所以4尤一:€--,4m--
oo6o6
因?yàn)間(X)在區(qū)間[0,771]上的最小值為g(0),
.71771
4m----<——,,兀
所以66,解得?!锤讹w.
m>0
所以優(yōu)的最大值為三.
19.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列各式的值:
一、n27r37r4萬
(l)cos—cos——cos——cos——;
9999
91
⑵,mF。-2
cos10°-cos80°
(3)sin50°(1+6tan10°).
【答案】(1)上(2)-1(3)1
1O
7127r37r4?1〃27r4乃
cos—cos——cos——cos——=—cos—cos——cos——
【解析】(1)99992999
.717t2萬4TT(.2萬2%4%
18osin—cos-cos——cos.4sin——cos——cos一
19999=1999
2Q.兀2
8sin—8sin—
99
個(gè).47r47r.71
2sm——cos——sin—
199191
22Q.萬16
8sin-8sin—
99
sin235?!猤(2sin235。-1),l(i-2sin235°)
cos100-cos80°cos10°-cos(90°-80°)—cos10°-sin10°
(2)
-cos70°_-cos(70°-20°)_-sin20°
2cos100?sin10°—sin20°-sin20°
sin5O0(l+A/3tanlO°)sin10°)
=sin50°1+73cos10°J
(3)
2(-cosl00+—sinlO0
=sin50。.28s(6。-。。)2sin50°cos50°
22
=sin50°-c°sl0°+8sml0。=sin5Q0.cos10°cos10°
cos10°cos10°
_sin100°_sin(9。。+10。)_cos10。_1
cos10°cos10°cos10°
20.(2022?全國?高一單元測(cè)試)已知函數(shù)/(x)=2sin]x+5),且函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=的圖
象關(guān)于直線W對(duì)稱.
⑴求函數(shù)g(x)的解析式;
⑵若存在xe°,、],使等式加⑺1-mg(尤)+2=0成立,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;
(3)若當(dāng)xe--TT,2y7r時(shí),不等式:1"x)_ag(T)>a-2恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
【答案】⑴83=25出卜+5];(2)[272,3];(3)f-2,|j.
【解析】(1)因函數(shù)y=g(尤)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線"I對(duì)稱,則一"萬一”)
所以g(x)=2sin(--x+—)=2sin[;i-(%+—)]=2sin(x+—).
2366
71712兀)
g(x)=2sinx+—e
則IWg(x)<2,
(2)由(1)知,當(dāng)L"時(shí),6
令g(%)=/,則IV.存在犬£使[g(x)]2—mg(x)+2=。成立,
9
即存在使?_儂+2=0成立,則存在re[l,2],=成立,
2
而函數(shù)機(jī)=/+-在re[l,正]上遞減,在此[血,2]上遞增,
當(dāng)r=后時(shí),砥11n=2E,當(dāng),=1或2時(shí),根max=3
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[20,3].
[7171
—f(x)-a2(-x)>a—2=sin(x+—)+2asin(x——)>a-2
(3)由(1)知,不等式236,
、t,「兀2TC?7C7TTtTt
當(dāng)——,一]時(shí),0?X+—?兀,——<X——<—,
333262
冗71
右a=0,因OWsin(x+1)W1,即sin(%+§)>—2恒成立,貝|a=0,
若a>0,因sin(x-F)在[-三,二]上單調(diào)遞增,則當(dāng)x=-;時(shí),sin(x+g)+2asin(尤-£)取得最小值,
633336
冗冗7T冗2
原不等式T旦成立可轉(zhuǎn)化為sin(-----1—)+2asin(---------)>a—2怛成立,即一2a>a—2,因此0<。<一,
33363
若avO,當(dāng)尤=§時(shí),sin(x+q)+2asin(x-二)取得最小值,
336
原不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為sin(^+工)+2asin(0-馬-2恒成立,即a>-2,因此-2<a<0,
3336
2
所以〃的取值范圍是(-2,§).
21.(2022?全國?高一單元測(cè)試)設(shè)xeR,函數(shù)/(x)=cos(ox+9)(0>0,-]<。<0)的最小正周期為萬,且
佃考
x
⑴求。和。的值;
(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)/(X)在[0,句上的圖像;
⑶若〃x)>#,求x的取值范圍.
【答案】(1)刃=2,
(2)作圖見解析
17%
(3){九|左刀"H<x<k7i-\-----,ksZ}
2424
.二2萬二乃
【解析】(1)函數(shù)/(X)的最小正周期一。一",,0=2.
/圖=8$]2*?+9"/+9)=_$足9=身
0冗
且一571<夕<c0,...(p=--.
(2)由(1)知(3人列表如下:
715兀271WTI
X071
6n-3~~V2
71K3〃5冗
2x--0n
3~2~2T
〃j_
x)~210-10~2
“X)在[0,句上的圖像如圖所示:
f(x)吟,即cos|2無一?j>正
2
TTTTTT
2k/c----<2x------<2左)H——GZ),
434
rr77r
貝lj2k兀H----<2x<2k兀H------(左£Z),
1212
rr77r
BPk7c-\----<x<k冗T---(左£Z).
2424
jr77r
%的取值范圍是{%Ik7i-\-----<x<k?r-\------,keZ}
2424
22.(2022?
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