第10講單線段最值問題

表10.1

最值類型圖示原理（及結(jié)論）

點到點AB兩點之間線段最短

A

點到線垂線段最短

I

ph

線到線平行線間垂線段最短

l

12

￡

A(

最小值:AP=OA-r

點到圓

最大值:AQ=OA+r

B

c

最小值:AC=OA-r

線到圓

最大值:AB=OA+r

rC/

4

最小值:BC=OO,-r-r

J12

圓到圓

f

最大值：AD=OO+ri+r2

模塊2場景演練

模型的識別：單線段最值

類型1：點到點

1.已知AB是圓錐（圖10.2）底面的直徑,P是圓錐的頂點，此圓錐的側(cè)面展開圖如圖10.3所示.一只螞蟻從A

點出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面經(jīng)過PB上一點，最后回到A點.若此螞蟻所走的路線最短，則M,N,S,T(均在PB上)

四個點中，它最有可能經(jīng)過的點是().

2.如圖10.4所示，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm、高為9cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它

所走的最短路線的長是一

3.如圖10.5所示，圓柱形容器的高為0.9m,底面周長為1.2m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點B處有一

蚊子.此時，一只壁虎正好在容器外壁離容器上沿0.2m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為

圖10.5

類型2：點到線

4.如圖10.6所示，在△4BC中，AC=3,BC=4,AB=5,點P在AB上（不與A,B重合），過點P作PE1AC,

PF1BC,垂足分別為點E,F,連接EF,M為EF的中點，則CM的最小值為.

圖10.6

變式：如圖10.7所示，已知D是長為2的線段AB上的動點（不與A,B重合），分別以AD,DB為邊在線段

AB的同側(cè)作等邊△4DE和等邊ABDF?G為EF的中點，連接DG廁GD的最小值為.

圖10.7

5.如圖10.8所示線段AB的長為10,C為AB上的一個動點，分別以AC,BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直

角三角形△4CD和△BCE,,那么DE長的最小值是________.

E

AC8

圖10.8

變式：如圖10.9所示，在Rt△ABC中,Z.C=90°,AB=:4V3,F是線段AC上一點，過點A的OF交AB于

點D,E是線段BC上一點且ED=EB,,則EF的最小值為一

c

圖10.9

6.如圖10.10所示在Rt△4BC中，NA=90°,M為BC的中點,H為上一點過點C作CG||力B,交HM

的延長線于點G,若AC=8,AB=6,,則四邊形ACGH周長的最小值是一

圖10.10

變式：如圖10.11所示，在△ABC中，Z.BAC=45。,4B=AC=8?PAB邊上一動點，以PA,PC為邊作

平行四邊形PAQC,則對角線PQ的最小值為.

B

圖10.11

模型的識別：拔高特訓(xùn)

7.如圖10.12所示，已知。。經(jīng)過點A(2,0),C(0,2),直線y=心與。O分別交于點B,D.則四邊形ABCD面積的

最大值為.

8.如圖10.13所示,在等邊△力中，=4,,點P是BC邊上的動點，點P關(guān)于直線AB,AC的對稱點

分別為M,N,則線段MN長的取值范圍是________.

圖10.13

9.如圖10.14所示，在AABC中，4BAC=60a,AABC=45°,AB=2或,D是線段BC上的一個動點，以AD

為直徑作。O分別交AB,AC于點E,F,連接EF,則線段EF長度的最小值為.

A

10.如圖10.15所示，在Rt△ABC中，ZC=90。,BC=3,AC=4,D,E分別是AC.BC上的一點，且.DE=3..若

以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于點M,N,則MN的最大值為

圖10.15

11.如圖10.16所示，在RCA4BC中，AACB=90°,ZB=30°,AC=2,點D是BC邊上的動點，連接AD,過

點D作DE，4D,,交AB于點E,則線段AE的最小值為.

圖10.16

類型3:點、線到圓(圓已知)

類①：線到圓

12.如圖10.17所示，在△4BC中，AB=10,AC=8,BC=6,,以邊AB中點O為圓心，作半圓與AC相切，點

P,Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ,則PQ長的最小值是_______;PQ長的最大值是_________.

13.如圖10.18所示，已知直線y=9-3與x軸、y軸分別交于A,B兩點，P是以點C(0,l)為圓心、1為半徑

4

的圓上一動點，連接PA,PB廁△P4B面積的最大值是.

類②：點到圓

14.如圖10.19所示，在Rt△ABC中，乙4cB=90。,4c=BC=2,,以BC為直徑的半圓交AB于點D,P是

-上的一個動點，連接AP,則AP的最小值是_________.

A

圖10.19

15.如圖10.20所示,已知點A（l,0）?B（l-a，0）,C（l+a，0）（a〉0）,點P在以點D（4,4）為圓心、1為半徑的圓上

運動，目始終滿足乙BPC=90。,則a的最大值是,

16.如圖10.21所示，一次函數(shù)y=2%與反比例函數(shù)y="什。）的圖像交于A,B兩點，點P在以點C（-2,0）

為圓心、1為半徑的。C上，Q是AP的中點,已知OQ長的最大值為|,,則k的值為.

圖10.21

類型4:點、線到圓（輔助圓）

17.如圖10.22所示.正方形ABCD的邊長為10,點G是邊CD的中點點E是邊AD上一動點，連接BE,

將.△ABE沿BE翻折得到△連接GF,貝GF的最小值為

圖10.22

18.如圖10.23所示,四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=4,點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上

一點,^ADM=/.BAP,,貝BM的最小值為.

圖10.23

19.如圖10.24所示，在正方形ABCD中，AB=2,,動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D

出發(fā)向點C運動，點E,F運動的速度相同,當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF,BE相交于

點P,則線段DP的最小值為.

圖10.24

20.如圖10.25所示,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4?E為邊BC上一動點,F為AE的中點，G為DE上

一點，BF=FG,,則CG的最小值為.

圖10.25

21.如圖10.26所示，線段BC的兩個端點分別在x軸與直線y=8%（幻0）上（點B,C均與原點O不重合）滑

動，且BC=2g,分別作BP1x軸,CPL直線y=kx.經(jīng)探究，在整個滑動過程中，P,O兩點間的距離為定值—

22）如圖10.27所示,A（-2,0）,B（0,2）,00的半徑為1,點C為。。上一動點，過點B作BP,直線AC,垂足為

點P,則點P縱坐標的最大值為.

1.B.

如圖J10.1所示，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖，要使此螞蟻所走的路線最短，四個點中，它最有可能經(jīng)過的點是N.

當展開前面和右面時，最短路線長是

)》(7+5產(chǎn)+92=V52+72+92+2x5x7=15(cm);

當展開前面和上面時，最短路線長是

+(9+5)2=近2+72+92+2x5x9=7V5(cm);

當展開左面和上面時，最短路線長是

,52+(9+7)2=V52+72+92+2x7x9=V281(cm),

因為15<7代<同！所以它所走的最短路線的長是15cm.

3.1m.

如圖J10.2所示，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，,連接.AB,則4B即為最短距離，A'B=

y/A'D2+BD2=+償Y=l（m）.

4.1.2.

如圖J10.3所示，連接CP,因為四邊形EPFC為矩形，所以CP=EF,CM=\CP.

當CP,AB時,CP最短,此時，^-AC-BC=^-AB-CP,則CP=喑=昔，CM="p=1.2,即CM的最小值為

ZZAD5Z

1.2.

變式:f.

如圖J10.4所示，分別延長AE,BF交于點C,連接CD,易得四邊形CEDF為平行四邊形，則CD,EF互相平分.

因為點G是EF的中點，所以點G是CD的中點，則DG=\CD.

當CDLAB時,CD最短.

因為△ABC為等邊三角彩CDJ_AB,所以CD=^AC2-AD2=&匚N=遍，故GD的最小值為當

5.5.

解法1如圖J10.5所示延長AD,BE交于點F,易證四邊形DCEF為矩形,DE最小即CF最小.

當CFXAB時CF最小，此時CF==5.

圖J10.5

解法2設(shè)AM=MC=x,CN=NB=y,如圖J10.6所示，作DM_LAC,EN_LBC,DF_LEN.在RtADEF中,DENDF,而DF

=MN=%+y==5,故DE的最小值為5.

如圖J10.7所示，連接FD作FGLAB于點G,EH，AB于點H,FM，EH于點M,則四邊形FGHM是矩形,△AF

D,ADEB為等腰三角形，所以FG//EH.

因為EF>FM,所以EF的最小值為2V3

6.22.

易證△BMH絲/XCMG,則BH=CG,所以四邊形ACGH的周長=AC+CG+AH+GH=AC+AB+GH=14+GH,^

GH最小，即MH±AB時,四邊形ACGH的周長最小，此時GH=AC=8,故四邊形ACGH周長的最小值為14+8=22.

變式：4V2.

如圖J10.8所示，因為AB〃CQ,所以當PQ±AB時,PQ最小而PQ=FC,在等腰RtAAFC中，CF=借=

~=4魚,故PQ的最小值為4V2.

7.4V2.

如圖J10.9所示，連接AC,交BD于點K.易知當BD±AC時.四邊形ABCD的面積最大，此時

S四邊形ABCD_SAABC+SAACD

=--AC-BK+--AC-DK

22

-1-1

=^-AC-(DK+BK)AC-Bl

=|x2V2x4=4V2.

圖J10.9

8.6<MN<4V3.

如圖J10.10所示,/MAN=120。,易得.AAMN為等腰三角形，此時MN=^AM=6Ap.

當AP±BC時,MN最小，當AP=AB時,MN最大.故MNmin=V3XPmin=6,MNmax=y[3APmax=473.

9.V3.

如圖J10.ll所示，連接OEQF過點O作OH回EP,垂足為點H,此時/EOF=2NBAC=120。.又OE=OF,則EF

=V30￡=V3r.

圖J10.10圖J10.11

當ADXBC時,AD最小，此時AD——==2—2r,即r=l,故￡Tmin=V3r=V3.

10.—.

5

如圖J10.12所示，取DE的中點O,過點O作OGLAB于點G,連接OC.

又C。=卓則只有點C,O,G共線時，點G到圓心。的距離最小，此時OG達到最小.在△OMG中,MG最

大,所以MN達到最大.

作CFXAB于點F,易得CF=差所以0G=CF-0C=y-1=巳則MG=<OM2-OG2=*故MN=

12

2MG=—.

5

11.-

3

如圖J10.13所示，取AE的中點F,連接FD,過點F作FGLBC,垂足為點G.

根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)易得FD=AF=FE,設(shè)FD=AF=FE=x,則FB=4-x.

因為/B=30。,所以FG=『，又FGWFD,即等<久，解得%>3，故AE的最小值為|

如圖J10.14所示，設(shè)。。與AC相切于點E,連接0日作(OPMBC,垂足為點Pi且交OO于點Qi.此時垂線段

OPi最短，PiQimin=OPi-OQr

因為AB=10,AC=8,BC=6,所以0P1=Uc=4,故PrQlmin=0P1-0Q1=1.

如圖J10.14所示.當點Q2在AB邊上,P2與B重合時也Q2經(jīng)過圓心.經(jīng)過圓心的弦最長，故P2Q2max=5+

3=8.

如圖J10.15所示過點C作CMLAB于點M,連接AC.

由等面積法可得^AB.CM=的(：.即5xCM=(3+l)x4,解得CM=y.

圓C上的點到直線y=1x-3的最大距離為號+1=個擊如PAB面積的最大值為：x5x胃=今

455252

14.V5-1.

如圖J10.16所示，找到BC的中點E,連接AE,交半圓于點P2,在半圓上取點，P],連接APi,EPi,可見

4P1+EPi>2E,,即AP2是AP的最小值.

22

因為AE=V2+I=V5,P2E=1,所以XP2=V5-1.

15.6.

因為A(l,0),B(l-a,0),C(l+a,0)(a>0),所以AB=L(l-a)=a,CA=a+l-l=a，即AB=AC.

又/BPC=90。,則PA=AB=AC=a.

如圖J10.17所示，延長AD交。D于點P,此時AP最大

因為A(l,0),D(4,4),所以AD=5,則AP'=5+1=6,故a的最大值為6.

32

16.—.

25

如圖J10.18所示，連接BP,由對稱性得OA=OB.

因為Q是AP的中點，所以0Q=|BP.

又0Q長的最大值為|,則BP長的最大值為|x2=3.

如圖J10.18所示，當BP過圓心C時,BP最長，過點B作BDLx軸于點D.

圖J10.18

因為CP=1,所以BC=2.

又點B在直線y=2x上，設(shè)B(t,2t),則CD=t-(-2)=t+2,BDw2t.

在RtABCD中，由勾股定理得BC2=CD2+即22=(t+2)2+(一2t尸,解得t=0(舍去)或-芻故B

(YT)

因為點B在反比例函數(shù)y=：(k>0)的圖像上，所以k=-：X32

25

17.5V5-10.

易得點F在以點B為圓心、10為半徑的圓上運動，所以當G,F,B三點共線時，GF最小，由勾股定理得BG

=5有，故GFmin=5V5-10.

18.V13-2.

易得NAMD=90。,如圖J10.19所示，取AD的中點O,點M在以AD為直徑的。。上，當點O,M,B共線時,BM

最小，故BMmin=OB-0M=履—2.

19.V5-1.

如圖J10.20所示，易證△ABE^4口人f則/ABE=NDAF.

因為/ABE+NBEA=90。,所以/F