第10講單線段最值問(wèn)題

表10.1

最值類(lèi)型圖示原理（及結(jié)論）

點(diǎn)到點(diǎn)AB兩點(diǎn)之間線段最短

A

點(diǎn)到線垂線段最短

I

ph

線到線平行線間垂線段最短

l

12

￡

A(

最小值:AP=OA-r

點(diǎn)到圓

最大值:AQ=OA+r

B

c

最小值:AC=OA-r

線到圓

最大值:AB=OA+r

rC/

4

最小值:BC=OO,-r-r

J12

圓到圓

f

最大值：AD=OO+ri+r2

模塊2場(chǎng)景演練

模型的識(shí)別：?jiǎn)尉€段最值

類(lèi)型1：點(diǎn)到點(diǎn)

1.已知AB是圓錐（圖10.2）底面的直徑,P是圓錐的頂點(diǎn)，此圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖10.3所示.一只螞蟻從A

點(diǎn)出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面經(jīng)過(guò)PB上一點(diǎn)，最后回到A點(diǎn).若此螞蟻所走的路線最短，則M,N,S,T(均在PB上)

四個(gè)點(diǎn)中，它最有可能經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是().

2.如圖10.4所示，一只螞蟻從長(zhǎng)為7cm、寬為5cm、高為9cm的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它

所走的最短路線的長(zhǎng)是一

3.如圖10.5所示，圓柱形容器的高為0.9m,底面周長(zhǎng)為1.2m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點(diǎn)B處有一

蚊子.此時(shí)，一只壁虎正好在容器外壁離容器上沿0.2m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為

圖10.5

類(lèi)型2：點(diǎn)到線

4.如圖10.6所示，在△4BC中，AC=3,BC=4,AB=5,點(diǎn)P在AB上（不與A,B重合），過(guò)點(diǎn)P作PE1AC,

PF1BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,連接EF,M為EF的中點(diǎn)，則CM的最小值為.

圖10.6

變式：如圖10.7所示，已知D是長(zhǎng)為2的線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），分別以AD,DB為邊在線段

AB的同側(cè)作等邊△4DE和等邊ABDF?G為EF的中點(diǎn)，連接DG廁GD的最小值為.

圖10.7

5.如圖10.8所示線段AB的長(zhǎng)為10,C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC,BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直

角三角形△4CD和△BCE,,那么DE長(zhǎng)的最小值是________.

E

AC8

圖10.8

變式：如圖10.9所示，在Rt△ABC中,Z.C=90°,AB=:4V3,F是線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的OF交AB于

點(diǎn)D,E是線段BC上一點(diǎn)且ED=EB,,則EF的最小值為一

c

圖10.9

6.如圖10.10所示在Rt△4BC中，NA=90°,M為BC的中點(diǎn),H為上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作CG||力B,交HM

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6,,則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是一

圖10.10

變式：如圖10.11所示，在△ABC中，Z.BAC=45。,4B=AC=8?PAB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA,PC為邊作

平行四邊形PAQC,則對(duì)角線PQ的最小值為.

B

圖10.11

模型的識(shí)別：拔高特訓(xùn)

7.如圖10.12所示，已知。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0),C(0,2),直線y=心與。O分別交于點(diǎn)B,D.則四邊形ABCD面積的

最大值為.

8.如圖10.13所示,在等邊△力中，=4,,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB,AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

分別為M,N,則線段MN長(zhǎng)的取值范圍是________.

圖10.13

9.如圖10.14所示，在AABC中，4BAC=60a,AABC=45°,AB=2或,D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD

為直徑作。O分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,連接EF,則線段EF長(zhǎng)度的最小值為.

A

10.如圖10.15所示，在Rt△ABC中，ZC=90。,BC=3,AC=4,D,E分別是AC.BC上的一點(diǎn)，且.DE=3..若

以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于點(diǎn)M,N,則MN的最大值為

圖10.15

11.如圖10.16所示，在RCA4BC中，AACB=90°,ZB=30°,AC=2,點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD,過(guò)

點(diǎn)D作DE，4D,,交AB于點(diǎn)E,則線段AE的最小值為.

圖10.16

類(lèi)型3:點(diǎn)、線到圓(圓已知)

類(lèi)①：線到圓

12.如圖10.17所示，在△4BC中，AB=10,AC=8,BC=6,,以邊AB中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)

P,Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ,則PQ長(zhǎng)的最小值是_______;PQ長(zhǎng)的最大值是_________.

13.如圖10.18所示，已知直線y=9-3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C(0,l)為圓心、1為半徑

4

的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PB廁△P4B面積的最大值是.

類(lèi)②：點(diǎn)到圓

14.如圖10.19所示，在Rt△ABC中，乙4cB=90。,4c=BC=2,,以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D,P是

-上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則AP的最小值是_________.

A

圖10.19

15.如圖10.20所示,已知點(diǎn)A（l,0）?B（l-a，0）,C（l+a，0）（a〉0）,點(diǎn)P在以點(diǎn)D（4,4）為圓心、1為半徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，目始終滿(mǎn)足乙BPC=90。,則a的最大值是,

16.如圖10.21所示，一次函數(shù)y=2%與反比例函數(shù)y="什。）的圖像交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以點(diǎn)C（-2,0）

為圓心、1為半徑的。C上，Q是AP的中點(diǎn),已知OQ長(zhǎng)的最大值為|,,則k的值為.

圖10.21

類(lèi)型4:點(diǎn)、線到圓（輔助圓）

17.如圖10.22所示.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)點(diǎn)E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,

將.△ABE沿BE翻折得到△連接GF,貝GF的最小值為

圖10.22

18.如圖10.23所示,四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=4,點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上

一點(diǎn),^ADM=/.BAP,,貝BM的最小值為.

圖10.23

19.如圖10.24所示，在正方形ABCD中，AB=2,,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D

出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)的速度相同,當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF,BE相交于

點(diǎn)P,則線段DP的最小值為.

圖10.24

20.如圖10.25所示,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4?E為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),F為AE的中點(diǎn)，G為DE上

一點(diǎn)，BF=FG,,則CG的最小值為.

圖10.25

21.如圖10.26所示，線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸與直線y=8%（幻0）上（點(diǎn)B,C均與原點(diǎn)O不重合）滑

動(dòng)，且BC=2g,分別作BP1x軸,CPL直線y=kx.經(jīng)探究，在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，P,O兩點(diǎn)間的距離為定值—

22）如圖10.27所示,A（-2,0）,B（0,2）,00的半徑為1,點(diǎn)C為。。上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BP,直線AC,垂足為

點(diǎn)P,則點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最大值為.

1.B.

如圖J10.1所示，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，要使此螞蟻所走的路線最短，四個(gè)點(diǎn)中，它最有可能經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是N.

當(dāng)展開(kāi)前面和右面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是

)》(7+5產(chǎn)+92=V52+72+92+2x5x7=15(cm);

當(dāng)展開(kāi)前面和上面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是

+(9+5)2=近2+72+92+2x5x9=7V5(cm);

當(dāng)展開(kāi)左面和上面時(shí)，最短路線長(zhǎng)是

,52+(9+7)2=V52+72+92+2x7x9=V281(cm),

因?yàn)?5<7代<同！所以它所走的最短路線的長(zhǎng)是15cm.

3.1m.

如圖J10.2所示，將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，,連接.AB,則4B即為最短距離，A'B=

y/A'D2+BD2=+償Y=l（m）.

4.1.2.

如圖J10.3所示，連接CP,因?yàn)樗倪呅蜤PFC為矩形，所以CP=EF,CM=\CP.

當(dāng)CP,AB時(shí),CP最短,此時(shí)，^-AC-BC=^-AB-CP,則CP=喑=昔，CM="p=1.2,即CM的最小值為

ZZAD5Z

1.2.

變式:f.

如圖J10.4所示，分別延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)C,連接CD,易得四邊形CEDF為平行四邊形，則CD,EF互相平分.

因?yàn)辄c(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，則DG=\CD.

當(dāng)CDLAB時(shí),CD最短.

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角彩CDJ_AB,所以CD=^AC2-AD2=&匚N=遍，故GD的最小值為當(dāng)

5.5.

解法1如圖J10.5所示延長(zhǎng)AD,BE交于點(diǎn)F,易證四邊形DCEF為矩形,DE最小即CF最小.

當(dāng)CFXAB時(shí)CF最小，此時(shí)CF==5.

圖J10.5

解法2設(shè)AM=MC=x,CN=NB=y,如圖J10.6所示，作DM_LAC,EN_LBC,DF_LEN.在RtADEF中,DENDF,而DF

=MN=%+y==5,故DE的最小值為5.

如圖J10.7所示，連接FD作FGLAB于點(diǎn)G,EH，AB于點(diǎn)H,FM，EH于點(diǎn)M,則四邊形FGHM是矩形,△AF

D,ADEB為等腰三角形，所以FG//EH.

因?yàn)镋F>FM,所以EF的最小值為2V3

6.22.

易證△BMH絲/XCMG,則BH=CG,所以四邊形ACGH的周長(zhǎng)=AC+CG+AH+GH=AC+AB+GH=14+GH,^

GH最小，即MH±AB時(shí),四邊形ACGH的周長(zhǎng)最小，此時(shí)GH=AC=8,故四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值為14+8=22.

變式：4V2.

如圖J10.8所示，因?yàn)锳B〃CQ,所以當(dāng)PQ±AB時(shí),PQ最小而PQ=FC,在等腰RtAAFC中，CF=借=

~=4魚(yú),故PQ的最小值為4V2.

7.4V2.

如圖J10.9所示，連接AC,交BD于點(diǎn)K.易知當(dāng)BD±AC時(shí).四邊形ABCD的面積最大，此時(shí)

S四邊形ABCD_SAABC+SAACD

=--AC-BK+--AC-DK

22

-1-1

=^-AC-(DK+BK)AC-Bl

=|x2V2x4=4V2.

圖J10.9

8.6<MN<4V3.

如圖J10.10所示,/MAN=120。,易得.AAMN為等腰三角形，此時(shí)MN=^AM=6Ap.

當(dāng)AP±BC時(shí),MN最小，當(dāng)AP=AB時(shí),MN最大.故MNmin=V3XPmin=6,MNmax=y[3APmax=473.

9.V3.

如圖J10.ll所示，連接OEQF過(guò)點(diǎn)O作OH回EP,垂足為點(diǎn)H,此時(shí)/EOF=2NBAC=120。.又OE=OF,則EF

=V30￡=V3r.

圖J10.10圖J10.11

當(dāng)ADXBC時(shí),AD最小，此時(shí)AD——==2—2r,即r=l,故￡Tmin=V3r=V3.

10.—.

5

如圖J10.12所示，取DE的中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OGLAB于點(diǎn)G,連接OC.

又C。=卓則只有點(diǎn)C,O,G共線時(shí)，點(diǎn)G到圓心。的距離最小，此時(shí)OG達(dá)到最小.在△OMG中,MG最

大,所以MN達(dá)到最大.

作CFXAB于點(diǎn)F,易得CF=差所以0G=CF-0C=y-1=巳則MG=<OM2-OG2=*故MN=

12

2MG=—.

5

11.-

3

如圖J10.13所示，取AE的中點(diǎn)F,連接FD,過(guò)點(diǎn)F作FGLBC,垂足為點(diǎn)G.

根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)易得FD=AF=FE,設(shè)FD=AF=FE=x,則FB=4-x.

因?yàn)?B=30。,所以FG=『，又FGWFD,即等<久，解得%>3，故AE的最小值為|

如圖J10.14所示，設(shè)。。與AC相切于點(diǎn)E,連接0日作(OPMBC,垂足為點(diǎn)Pi且交OO于點(diǎn)Qi.此時(shí)垂線段

OPi最短，PiQimin=OPi-OQr

因?yàn)锳B=10,AC=8,BC=6,所以0P1=Uc=4,故PrQlmin=0P1-0Q1=1.

如圖J10.14所示.當(dāng)點(diǎn)Q2在AB邊上,P2與B重合時(shí)也Q2經(jīng)過(guò)圓心.經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，故P2Q2max=5+

3=8.

如圖J10.15所示過(guò)點(diǎn)C作CMLAB于點(diǎn)M,連接AC.

由等面積法可得^AB.CM=的(：.即5xCM=(3+l)x4,解得CM=y.

圓C上的點(diǎn)到直線y=1x-3的最大距離為號(hào)+1=個(gè)擊如PAB面積的最大值為：x5x胃=今

455252

14.V5-1.

如圖J10.16所示，找到BC的中點(diǎn)E,連接AE,交半圓于點(diǎn)P2,在半圓上取點(diǎn)，P],連接APi,EPi,可見(jiàn)

4P1+EPi>2E,,即AP2是AP的最小值.

22

因?yàn)锳E=V2+I=V5,P2E=1,所以XP2=V5-1.

15.6.

因?yàn)锳(l,0),B(l-a,0),C(l+a,0)(a>0),所以AB=L(l-a)=a,CA=a+l-l=a，即AB=AC.

又/BPC=90。,則PA=AB=AC=a.

如圖J10.17所示，延長(zhǎng)AD交。D于點(diǎn)P,此時(shí)AP最大

因?yàn)锳(l,0),D(4,4),所以AD=5,則AP'=5+1=6,故a的最大值為6.

32

16.—.

25

如圖J10.18所示，連接BP,由對(duì)稱(chēng)性得OA=OB.

因?yàn)镼是AP的中點(diǎn)，所以0Q=|BP.

又0Q長(zhǎng)的最大值為|,則BP長(zhǎng)的最大值為|x2=3.

如圖J10.18所示，當(dāng)BP過(guò)圓心C時(shí),BP最長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作BDLx軸于點(diǎn)D.

圖J10.18

因?yàn)镃P=1,所以BC=2.

又點(diǎn)B在直線y=2x上，設(shè)B(t,2t),則CD=t-(-2)=t+2,BDw2t.

在RtABCD中，由勾股定理得BC2=CD2+即22=(t+2)2+(一2t尸,解得t=0(舍去)或-芻故B

(YT)

因?yàn)辄c(diǎn)B在反比例函數(shù)y=：(k>0)的圖像上，所以k=-：X32

25

17.5V5-10.

易得點(diǎn)F在以點(diǎn)B為圓心、10為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)G,F,B三點(diǎn)共線時(shí)，GF最小，由勾股定理得BG

=5有，故GFmin=5V5-10.

18.V13-2.

易得NAMD=90。,如圖J10.19所示，取AD的中點(diǎn)O,點(diǎn)M在以AD為直徑的。。上，當(dāng)點(diǎn)O,M,B共線時(shí),BM

最小，故BMmin=OB-0M=履—2.

19.V5-1.

如圖J10.20所示，易證△ABE^4口人f則/ABE=NDAF.

因?yàn)?ABE+NBEA=90。,所以/F