北京市回民學(xué)校

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)（11月）

初三數(shù)學(xué)

一、選擇題（每小題2分，共16分）

1.一張薄紙，一雙巧手，在一剪一刻間幻化出千姿百態(tài)的美麗圖案，令人嘆為觀止，這就是剪紙藝術(shù).剪

紙作品形式多樣，以下剪紙作品中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、既是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

2.若拋物線'=7'+】經(jīng)過點(diǎn)（一工31,貝!j%的值是（）

A.-1B.-2C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把（"Ji代入），=-/+從r+】后解方程求出匕的值.

【詳解】解：把‘"代入得，

3=-（-2）3-2Z>+l

解得b=-3

故選：c

3.下列關(guān)于拋物線J二一/?:的說法正確的是（）

A.拋物線開口向上B.在對稱軸的右側(cè)，隨丁的增大而增大

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為D.當(dāng)x-L有最大值是2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：

.,?拋物線的開口向下，故A選項錯誤，不符合題意；

?.?拋物線'=*[’的對稱軸為】'軸，且拋物線的開口向下，

在對稱軸的右側(cè)，y隨尤的增大而減小，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，故B選項錯誤，不符

合題意；

拋物線J=-『十]的頂點(diǎn)坐標(biāo)為'。,故C選項錯誤，不符合題意；

..?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(°二1,拋物線的開口向下，

...當(dāng)、=0,F有最大值是2,故D選項正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4..車輪要做成圓形，實際上就是根據(jù)圓的特征()

A.圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等B.直徑是圓中最長的弦

C.同弧所對的圓周角相等D.圓是中心對稱圖形

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)車輪的特點(diǎn)和功能進(jìn)行解答.

【詳解】車輪做成圓形是為了在行進(jìn)過程中保持和地面的高度不變，

是利用了圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了對圓的基本認(rèn)識，即墨經(jīng)所說：圓，一中同長也，屬于基礎(chǔ)知識，難度較小.

5.某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加，

第一季度總投遞件數(shù)為331萬件，問：二、三月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率

為、，根據(jù)題意得方程().

A10il+xf-33l口10(1+.XI4-10(1+AI3=33.1

c10+10(l+.v)J=331D10+10(1i+10(l+rf-331

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)該快遞公司今年一月份及第一季度完成投遞的快遞總件數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方

程，此題得解.

【詳解】解：依題意，得：10+10(1+無)+10(1+x)2=33.1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

6.如圖，斯,是O°的兩條直徑，點(diǎn)A是劣弧亦的中點(diǎn).若一OCF-'o,則一.怔十的度數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】連接。月，如圖所示，由對頂角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義得到，DOF,再由同弧所對的圓心角相等及

等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角度即可得到答案.

【詳解】解：連接。如圖所示：

A

?:"OD=4COF=3；

ZZ＞（?F=180o-32o=148o,

;點(diǎn)A是劣弧。尸的中點(diǎn)，

〃0D=40F=-ZI>OF=74。

AD=AF則2

OD~OA,

ZJWC=州工53。

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度，涉及對頂角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義、同弧所對圓心角相等、圓的性質(zhì)、等腰三

角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合找準(zhǔn)各個角度之間的關(guān)系是解決

問題的關(guān)鍵.

7.小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,設(shè)計出一個外輪廓為正六邊

形的圖案（如圖），則a可以為（）

A.30°B.60°

C.90°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】由題意依據(jù)每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,旋轉(zhuǎn)了六次，且旋轉(zhuǎn)了六次剛好旋轉(zhuǎn)了一周為360。進(jìn)行分析

即可得出答案.

【詳解】解：因為每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,旋轉(zhuǎn)了六次，

且旋轉(zhuǎn)了六次剛好旋轉(zhuǎn)了一周為360°,

所以每次旋轉(zhuǎn)相同角度a=36°-6=601

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠找到旋轉(zhuǎn)中心，從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

8.如圖，拋物線J=與X軸交于點(diǎn)交y軸的正半軸于點(diǎn)（？，對稱軸交拋

物線于點(diǎn)。，交＞軸與點(diǎn)E,則下列結(jié)論：①？a+b=0；②b+%＞0；③a+bAd+hm（用為任

意實數(shù)）；④一元二次方程a-+加r+c*1=0有兩個不相等的實數(shù)根；⑤若點(diǎn)尸為對稱軸上的動點(diǎn)，則

1所一廠”有最大值，最大值為JJ+9.其中正確的有（）

B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，根據(jù)已知點(diǎn)的特點(diǎn)可求對稱軸為直線J=1,則b=-：a；由函

數(shù)的圖象可知，。＜口再由＞=-X可知6＞°；當(dāng)＞=1時，函數(shù)有最大值a+b+c得

a+力力；由圖象得一元二次方程aY?bi+r+?=0有兩個不相等的實數(shù)根；根據(jù)三角形三連

關(guān)系可得以-口b4c.

【詳解】解：?.?拋物線"d+A+c與無軸交于點(diǎn)4T℃（3.0）,

x==I

對稱軸為直線-,

_A=1

2a,即b=_>.

；.，+6=0,故①正確；

..?拋物線開口向下，

.?.：；=0,

：.b=-2a>0,

:拋物線交y軸的正半軸，

c>0,

.”+N>0,故②正確；

?.?對稱軸為直線1=1,開口向下，

1=1時，y有最大值，最大值為a+5+C,

,\a+b+c>.;m'+bm+c（相為任意實數(shù)），

即：；+52。巾、6力，故③錯誤；

v拋物線開口向下，拋物線】'=s'+"+c與x軸交于點(diǎn)4T0）03,0）,

所以拋物線'=6二+"+°與直線j=-2有兩個交點(diǎn)，如圖，

所以，一元二次方程a1+bi+。+[=0有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；

:對稱軸交y軸的正半軸于點(diǎn)C,

??，

由對稱性可知PA-PB,

2

JPB-PC^PA-PC^AC^ylOA^OC=1故⑤不正確；

綜上，正確的結(jié)論是①②④，共3個，

故選：B.

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（-4,3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)A'的坐標(biāo)是

【答案】（4,-3）.

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即可求解.

【詳解】點(diǎn)A(-4,3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)4'的坐標(biāo)是：(4,-3).

故答案為(4,-3).

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.一元二次方程Y-4=°的根是.

【答案】

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵.

直接運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】解：T'-4=0,

(x-2)(x+2)=0

x-2=0,x+2=0i

所以該方程的解為：工?？，與=-2.

故答案為：'b=

11.。。的半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，點(diǎn)P與G)0的位置關(guān)系是.

【答案】點(diǎn)尸在8外

【解析】

【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)與圓心的距離d,圓的半徑為r,則當(dāng)d>，時，點(diǎn)在

圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：的半徑為4cm,點(diǎn)尸到圓心。的距離為54-5,

/.點(diǎn)尸與的位置關(guān)系是點(diǎn)p在8外.

故答案為：點(diǎn)尸在外.

12.若一元二次方程>'-3x+c?0無解，則0的取值范圍為.

9

C>一

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到*然后求出。的取值范圍.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程二/-3》+0?0無解，

?/u=2,b=-3,c=c,

.二二b2-Aac-?一"-4-2c<0

9

C>ST

解得s,

>9

的取值范圍是8.

9

故答案為：S.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程OX2+Z?X+C=0(4加)的根的判別式△=歷-4碗：當(dāng)△>(),方程有兩個不

相等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.

13.二次函數(shù)」"-4K-7(a?0)的對稱軸為x=i,則。的值是

【答案】2

【解析】

【分析】由拋物線的對稱軸列出方程為，求出。的值即可.

【詳解】解：1at'Mr-7("0)的對稱軸為工，

\?對稱軸為1-1,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確解一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，四邊形前CD內(nèi)接于。。，5為DC延長線上的一點(diǎn).若/8虛=6丁.則一氏4。的度數(shù)

是.

【分析】本題考查圓L內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，掌握性質(zhì)即可解題.

【詳解】解：?：四邊形48CD內(nèi)接于8,

Z5X2?+Z5CD=18O°,

Z5CD=118°,

34）=七。，

故答案為：62°.

15.馬面裙（圖1）叉名馬面褶裙，是我國古代女子穿著的主要裙式之一.如圖2,一條馬面裙裙面可以近似

地看作扇環(huán)48CD（＜口和EC的圓心為點(diǎn)。），a,D分別為的中點(diǎn)，08=30=1上1m,

則該馬面裙裙面的周長為土。.

O*

【答案】（6萬+12）

【解析】

【分析】本題主要考查了弧長計算公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解

題的關(guān)鍵.根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及弧長公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：=0B~0C,

二B0C為等邊三角形，

乙8。。=60。，

???點(diǎn)A為。5的中點(diǎn)，點(diǎn)。為?！傅闹悬c(diǎn)，

?.?0A二AB-cin?？诙?？□=b1m，

Tpj6（brx6、

AD=———=%

180（dm）,

-60^x12.

BC=--------=An

180（dm）,

該馬面裙裙面的周長為45+BC+DC+/D=6+4*+6+lr=（6,+12）dm,

故答案為：（6-H）.

16.如圖，在矩形心。二中，.虻=4,￡「=），尸是矩形上方一個動點(diǎn).且滿足JPB=90°,連接

DP,則。P的最大值是.

P

C

【答案】2A/2+2##2+2>/2

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理，確定。尸的最大值時點(diǎn)P

的位置是本題的關(guān)鍵.由乙4尸8=可知點(diǎn)P在以，始為直徑的圓上，作輔助圓O,確定當(dāng)P、0、D

共線時，PD最大,最大值即為。F'的長，先根據(jù)勾股定理計算。二’的長，就是半徑03的長，可得

DP的長.

【詳解】解：90°,

.?.點(diǎn)尸在以.43為直徑的圓上，

取,45的中點(diǎn)為。，畫半圓，如圖，連接OP,連接0。并延長交圓于P,

在一0RP中，。產(chǎn)+CD>PD,

當(dāng)尸、0、。共線時，。尸的長最大，最大值即為。F'的長，

?.?四邊形是矩形，.鉆=4,BC=2,

，…八…AO=OB=^-AB=2

：.ADAO=90°,AD-5C-2,2

匚工=JoH+,必：=人〔，

DP=0D+0P=0D+0B=2>/2+2,

故答案為：

三、解答題(共68分)

17.解一元二次方程：/-4|+-二0.

【答案】。="右，匕="8

【解析】

-b*—4。」

【分析】先找出a,b及c的值，再代入求根公式一工進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：a-i,b=-4,c=2

A=-4ac=(-4)3-4xlx2=8>0

所以，方程有兩個不相等的實數(shù)根

x「btR-4ac=4±2止;/

X=5-2--"

.*i=2+W.Vj=2-V?

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程時，首先將方程整理為一般形式，找出

a,b及c的值，當(dāng)根的判別式的值大于等于0時，代入求根公式即可求出解.

18.已知二次函數(shù)_工'_4、+6.

⑴將j=-X’-4x+6化成》=心.A尸+1?的形式；

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得

圖象與'軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴F=-?|x+】)+8

(2)將拋物線-4T+6向右平移3個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，平移后所得圖

象與無軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(4°1

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式及二次函數(shù)圖象的平移，掌握配方法的方法是解答的關(guān)鍵.

(1)利用配方法將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定如何平移后經(jīng)過原點(diǎn)，進(jìn)而可得另一個交點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

解,由1?=YX，-4V+6得J'=■牛'+?工+】-U+6=-2(T+1)'+8；

【小問2詳解】

解：當(dāng)了=°時，由一4""+8=0解得玉=1,與=-3,

則拋物線,?心"4*+6與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(的)，(TO),

將拋物線一+6向右平移3個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，平移后所得圖象

與x軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(40).

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，*1工5|,37.'工3IOM經(jīng)過從3二三點(diǎn).

斗

—T.—x；.—T.———:—--—:

—Jy....1—:

C

(1)在網(wǎng)格圖中畫出圓M(包括圓心)，并且點(diǎn)M的坐標(biāo):

(2)判斷與丫軸的位置關(guān)系：.

【答案】(1)見解析，('-)

(2)相交

【解析】

【分析】本題考查了過三點(diǎn)的圓，圓與直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三點(diǎn)定圓的方法；

(1)作犯、3的垂直平分線交于點(diǎn)則//為圓心，A"的長為半徑的圓即為所求；

(2)確定圓的半徑及圓心M到；軸的距離即可判斷；

【小問1詳解】

解：連接43、BC,分別作＜3、3('的垂直平分線交于點(diǎn)M,以M為圓心，人"的長為半徑的圓即

為所求，如圖所示：

咻：

點(diǎn)M坐標(biāo)為：(‘?3

故答案為：GQ；

【小問2詳解】

?；M4-7(3-2)+(2-5)-加，

即：O.H的半徑

點(diǎn)M到丁軸的距離d=3,

...S.加，

0M與?、'軸相交，

故答案為：相交.

20.已知拋物線)'=_/+^+3經(jīng)過點(diǎn)川(-2.3)

(1)求"?的值，并求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)畫出函數(shù)r=”勺圖象

(3)當(dāng)一3＜1＜0時，結(jié)合函數(shù)圖象直接寫】’的取值范圍.

【答案】(1)桁=一」，頂點(diǎn)坐標(biāo)為‘T'l

(2)圖見解析(3)°＜?。?

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟知二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征，根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)值的取值范圍是解答的關(guān)鍵.

(1)將已知點(diǎn)代入函數(shù)解析式中求得加值，然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可求解;

(2)利用列表、描點(diǎn)、連線的步驟作函數(shù)圖象即可；

(3)根據(jù)所畫的圖象即可解答.

【小問1詳解】

解：把乂(-2'3)代入丁=-1+吠、+3得，-4-1加+3=3,

解得巾=一:，

.j=-x,-2x+3=-(x+l)3+4

?**,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-"I

【小問2詳解】

解：列表:

.?????

X一,-101

y.??03430???

解：由圖象可知，該拋物線開口向下，有最大值4,

?.?當(dāng)x=0時，J=3,當(dāng)x=_3時，J=0

;當(dāng)一3Vx<0時，y的取值范圍是

21.如圖，48是。。的直徑，BC是的弦，直徑DE過30的中點(diǎn)尸.求證：

【答案】見解析

【解析】

BE=CE=—BC

【分析】連接OC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出OE￡BC,根據(jù)垂徑定理求出“,求出

AD^BE,即可得出答案.

【詳解】證明：連接

D

.OC^OB,尸為3。中點(diǎn)，

j.OELBC,

,/OE過。，

麗=讒=!前

,,一,

?.?3C4=_B0E,

:.AD^BE,

AD=-BC

??1

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理

是解題關(guān)鍵.

22.已知關(guān)于x的一元二次方程f-6力T+9/-1=0.

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)此方程的兩個根分別為\,與，且工vI.若工=3,求相的值.

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，求出出自-4>0,即可證明結(jié)論成立；

（2）首先求出』=3a-l,v3=3m+l；然后根據(jù),T：=得到3E+1=X3m-1）-R,然后求解

即可.

本題考查了根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)A>0時，方

程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個根.

【小問1詳解】

什口?id△（）3（313

證明：依題意，得=-6w-49m-11=36m-36m+4=4>0,

此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

【小問2詳解】

解：1'?6陽+9加'-】=0,

（x-3m）'=I

解得、=3加士1,

..X=3力-1,Xj=3?J+1

3m+l=2(3m-J)-3

Q）畫出一”。繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的一A8cl.

（2）在（1）的條件下，求線段3「掃過的面積（結(jié)果保留町.

【答案】（1）圖見解析

（2）2n

【解析】

【分析】本題考查坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)，求扇形的面積：

（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可；

（2）依據(jù)圖形面積的和差關(guān)系，可得掃過的面積=扇形的面積一扇形°5片的面積，由此計算

即可.

【小問1詳解】

???線段的掃過的面積為:黑師「.翳（6=%

24.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,BD是。。的直徑，過點(diǎn)A作AE,CD,交CD的延長線于點(diǎn)E,

DA平分/BDE.

(1)求證：AE是。O的切線；

(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求。。的半徑.

___'

【答案】(1)證明見解析；(2)5.

【解析】

【分析】(1)連接0A,根據(jù)等邊對等角得出/OD4=/OAO,進(jìn)而得出/。證得

EC//0A,從而證得AE_L0A,即可證得AE是。。的切線；

(2)過點(diǎn)。作OfUCZ),垂足為點(diǎn)?從而證得四邊形AOEE是矩形，得出OF=AE=4c"z,根據(jù)垂徑定

1

理得出DF=2CD=3cm,在RtZk。。尸中，根據(jù)勾股定理即可求得。0的半徑.

【詳解】

(1)證明：連結(jié)。A.

VOA=(90,

：.ZODA=ZOAD.

；DA平分NBDE,

：.ZODA=ZEDA.

：.ZOAD^ZEDA,

J.EC//OA.

VAEXCD,

：.OA±AE.

?.?點(diǎn)A在。。上，

.?.AE是。。的切線.

(2)解：過點(diǎn)。作。PLC。，垂足為點(diǎn)?

"?ZOAE=ZAED=ZOFD=9Q°,

四邊形AOFE是矩形.

0F—AE—4cm.

又?「OALC。，

1

：.DF^2CD=3cin.

在Rt/XOD尸中，0Z）=J。斤'+=5cm,

即。。的半徑為5cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理

的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線.『二S'-3ax+1與>軸交于點(diǎn)A.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)P（0,2）,d'+LL,若線段PQ與拋物線與恰有一個公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值

范圍.

_3

【答案】（1）'—2；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為‘3/I；（3）-14a<0或a之二

【解析】

【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式即可求解；

（2）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出其對稱性即可求解；

（3）根據(jù)題意作圖，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解.

_-3a3

【詳解】解：⑴由拋物線】'=--3a*+1,可知'-5.

???拋物線的對稱軸為直線-.

⑵???拋物線J=6、%'+1與y軸交于點(diǎn)4

令x=0,y=l

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為

■

i

???點(diǎn)8是點(diǎn)A關(guān)于直線一--的對稱點(diǎn)，

.??點(diǎn)8的坐標(biāo)為E）.

（3）「點(diǎn)4（°」），點(diǎn)8（3」），點(diǎn)尸（°二），點(diǎn)°（。+“），

.??點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方，點(diǎn)Q在直線4=1上.

①當(dāng)a〉0時，a+IT,點(diǎn)。在點(diǎn)A的右側(cè).

（i）如圖1,當(dāng)a+l」3即<「二'時，點(diǎn)。在點(diǎn)2的左側(cè)，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線沒有公共點(diǎn)；

(ii)如圖2,當(dāng)a+l；3,即時，點(diǎn)。在點(diǎn)8的右側(cè)，或與點(diǎn)8重合，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線恰有一個公共點(diǎn)

②當(dāng)aUO時，a+11,點(diǎn)。在點(diǎn)B的左側(cè).

(i)如圖3,當(dāng)11,即一1三「0時，點(diǎn)。在點(diǎn)A的右側(cè)，或與點(diǎn)A重合,

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線恰有一個公共點(diǎn)；

(ii)如圖4,當(dāng)a+l=0,即el時，點(diǎn)。在點(diǎn)A的左側(cè)，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線沒有公共點(diǎn).

綜上所述，。的取值范圍是一15?！?或。之2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)題意畫圖求

解.

26.利用以下素材解決問題.

問

十一假期時，我校初三年級進(jìn)行了“我是橋梁專家一一探秘橋洞形狀”的數(shù)學(xué)活

題

動，某小組探究的一座拱橋如圖1,圖2是其橋拱的示意圖，測得橋拱間水面寬

驅(qū)

AB端點(diǎn)到拱頂點(diǎn)C距離兌。=30=10m,拱頂離水面的距離=5m

動

yx3+5

【答案】任務(wù)一：方案一、1M；方案二、.15

任務(wù)二：方案一、貨船能順利通過；方案二、貨船能順利通過

【解析】

【分析】任務(wù)一：方案一，設(shè)圓心為o,連接砒OB、0C,根據(jù)4c=30=10,得而=壇，結(jié)

合

“CD=-AC

CDLAB,知直線QU過點(diǎn)o,根據(jù)，得/C4D=30°,得乙《7。?6。?，得一二-,是等邊

三角形，得0,4二10；方案二，根據(jù)頂點(diǎn)C坐標(biāo)為⑷-5）,設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為〕?:6’+5,將

5（5>/3.0）.HPI-T卡版

代入即可求解;

任務(wù)二：方案一，連接OE,設(shè)E耳交℃于/，根據(jù)矩形性質(zhì)得四米,得OCLEH,得力-5,

結(jié)合半徑為10得到得D/N366>3.5,即可判斷；方案二，當(dāng)8點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5時,

尸467>33,即可判斷.

【詳解】解：任務(wù)一：方案一，設(shè)圓的圓心為。，連接0氏0C.

?.7(?=8(?=10,

:.AC=BC.

?;CD1A9,

ZADC^9Q°.AB-BD=-AB”

2，直線CD過點(diǎn)o.

??-CD-5，

CD^-AC

*

.-.ZC4D=30°.

:.ZACD=90°-ZC4D=60°.

?■OA=OC,

-a4c是等邊三角形.

：,OA=AC=}Q.

故半徑為1Cm.

方案二，

...頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（65）,

???設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為J'=ax'+5.

vAD?BD*=5s,

..昨6.0）

代入得°=乃。+5.

a」

解得15.

任務(wù)二:

方案一，

如圖，連接。E,設(shè)EH交。I'于/.

由上知。后=10,

?.?矩形ER汨中，EHFG,

：.OCLEH.

EljEH=5

??1?

：。="史-前=5百.

.-.D/=OZ-OD=fhA-5?366>35

故貨船能順利通過.

方案二,

EI=HI--EH=5

如圖，：-,

.?.?橫坐標(biāo)為5.

1'=-—x5+5?4.67>35

.?「15

故貨船能順利通過.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和圓的實際應(yīng)用.熟練掌握待定系數(shù)法示解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),

弧弦的關(guān)系，垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形減和性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，勾股定理

解直角三角形，矩形性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.

27.在用AABC中，4cA=90°,CA^CB,點(diǎn)D是&9C外一動點(diǎn)（點(diǎn)8,點(diǎn)。位于A「兩

側(cè)），連接CD,愈.

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，連接0D,當(dāng)--為等邊三角形時，一一怔)「的度數(shù)是

(2)如圖2,連接30,當(dāng)-4LC=135°時，探究線段用。，CD,。月之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由；

(3)如圖3,是一.「的外接圓，點(diǎn)。在4c上，點(diǎn)E為,45上一點(diǎn)，連接CE,DE,當(dāng)

.45=1,正1-7時，直接寫出&CDE面積的最大值及此時線段3口的長.

【答案】(1)135°

(2)BD=J：CD+DA,理由見解析

214M

BD=

(3)aCDE面積的面積最大值為4,此時，

【解析】

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得一℃4=90°,04,再由等邊三角形的性質(zhì)得

OD=OA,/.ODA-AD0A-60?,然后求出N0DC=75°,即可求解；

(2)過點(diǎn)。作CHLCD交4D的延長線于點(diǎn)片，證

5cHmBCD^SAS)MCH三hBCD(SAS),得BD=AH=HD+DA=6CD+AD；

(3)連接。0,由勾股定理得CE=5,過點(diǎn)。作。"ICE于"，延長加交圓。于點(diǎn)。，此時點(diǎn)。

到CE的距離最大，RCDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出‘-'一丁，則

DN=0D-0N=l…

5,即可求解三角形CL匕的面積最大值，最后用勾股定理借助(2)的結(jié)論求出

AD,即可求出月。.

【小問1詳解】

解：?.?4CA=90°,BC=4C,點(diǎn)。是癡的中點(diǎn)，

CO=—>1B—OA

ZCOA=90a,2,

???-.48是等邊三角形，

0D=0A,NODH=ZDCA=60。，

OC=OD,/.COD=ZCOA-ADOA=900-600=30°,

ZODC=i(1800-ZCOD)=1x(1800-30。)=75。

—1,

Z/lDC=NOZX:+/。。.4=75°+60°=135°,

故答案為：135°；

【小問2詳解】

解：線段BD,CD,D月之間的數(shù)量關(guān)系為：BD^JZCD^DA,理由如下：

過點(diǎn)°作CH"LCD交ZD的延長線于點(diǎn)如圖:所示:

則NCDH=180°-Z4DC=180°-135°=45°,

一。CW是等腰直角三角形，

CH~CD,HD=JiCD,

VZJCT4=90°,

ACHRCD,

c.ACH^BCD(SAS\

BD=AH^HD+DA=j2CD+AD.

【小問3詳解】

vZJC4=90°,BC=AC,

是等腰直角三角形，

ZABC-45*,

??,CO是一必c的外接圓，

。是A3的中點(diǎn)，

OC=OA='^-J45=—(Aff+55)=—x(l+7)=4

OC-LAB,222,

OH=Q4-本=4-1=3,

在中，由勾股定理得：。&=J。。'+。肥=W+33=5,

,;CE是定值，

點(diǎn)D到CE的距離最大時，從:口￡面積的面積最大，

???/山是?！愕闹睆?，

過點(diǎn)。作如1CE于N,延長改與。。的交點(diǎn)恰好是點(diǎn)。時，點(diǎn)。到CE的距離最大，ACDE面積

的面積最大，

-S,oa^LoCOE^CEON

_一，

八”O(jiān)C0E4x312

CE55,

?：0D=0C=4,

DN=OD-ON=A-±=±

55,

CN=4心-0靖=(4a-(—)a=—

此時，在直角/WO中，v55.

CD=QCW+DN'=/(—)J+(i)a=至

在直角ACM)中，V55,

在直角_赦中，BD^^-AD2=S3-ADi,

BD=JiCD+AD=Wx^+AD=^~+AD

由⑵知，55

8，-3n(￥^+皿1

.6M

AD=

5,

/一力gM/M14M

BpUn=-$―+AU=?5-+.5?=$

皿期

即二ODE面積的面積最大值為4,此時，5.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角

三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形面

積等知識，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理.

28.在平面直角坐標(biāo)系‘匚」中，。。的半徑為2.對于直線/和線段80,給出如下定義：若將線段3(7

關(guān)于直線/對稱，可以得到CC的弦月C'(3',C''分別是8,C