2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)

一、單選題

1.如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，AM_L8C,垂足為A"交3。于點(diǎn)N,OM=2,BD=8,

則MC的長(zhǎng)為（）

3非

rD.當(dāng)

5

2.如圖，在VABC中，若？390?,AB=\,BC=6,貝hanA的值為（）

D.4

C.石

3.如圖，扇形。OE的半徑為2月，菱形ORC的頂點(diǎn)A、C、5分別在OD、OE、DE1.，若。4=2,

則圖中陰影部分的面積為（）

C.2冗-2后D.n-y/3

4

4.如圖，在AABC中，AB=AC,以8c為直徑的圓。分別與AB、AC相交于點(diǎn)EI,若tan/EOF=1,

s

則—的值為（）

、&BOE

A

5.如圖，在VABC中，AB=AC,ZA=120°,M為3C的中點(diǎn)，。為VABC的外心，將VA3c繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)磯0°<a460。），點(diǎn)A,B,C,M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B',C,M'.B'C交BC于點(diǎn)

D,交A8于點(diǎn)￡在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，給出下面三個(gè)結(jié)論：

①對(duì)于任意的a,點(diǎn)。到AB,距離相等；

②存在唯一的a,使得黑=1；

BD

③3AT有最大值.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)2的坐標(biāo)為（3,6）,點(diǎn)C

7.如圖，在正方形ABCD中，AB=2,動(dòng)點(diǎn)/從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ADfDB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,同時(shí)動(dòng)

點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)沿折線f運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)"和N在正方形邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度是每秒1個(gè)

單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)”和N在正方形對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)速度是每秒&個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),

另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止.設(shè)△DAW的面積為y,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，則下列圖象能大致反映y與九之間函

數(shù)關(guān)系的是（）

c

B

點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)。

作。尸，DE交5c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，以DE,。尸為鄰邊作矩形DEGb,GE交BC于點(diǎn)、H,連接3G,

DF5

則下列結(jié)論：①一=;;②當(dāng)點(diǎn)G恰好落在QC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE=BG；③當(dāng)點(diǎn)E在A3邊上運(yùn)

DE3

325

動(dòng)時(shí)，tan/FBG為定值二；④當(dāng)點(diǎn)E在A3邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，而長(zhǎng)度的最大值為高.

56

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

9.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZC=45°,以A3為腰作等腰直角三角形5四，頂點(diǎn)E

恰好落在C。邊上，若AD=6,則CE的長(zhǎng)是.

10.如圖，四邊形是。。的內(nèi)接四邊形，A3和CD相交于點(diǎn)￡.若BC=BD=9,DE=3CE,

11.光從空氣射入液體中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象.如圖，水平放置的容器中裝有某種液體，光線AO斜射到

液面發(fā)生折射，折射光線為08,折射角為N30D,測(cè)得々00=20。，ODLBD,OO=10cm,則

線段08的長(zhǎng)是。冽.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36）

12.如圖，VA3C中，BC=6,AC=8,ZC=90°,點(diǎn)、F,G分別在邊A3和8C上，且GF=GB,

作AF的垂直平分線交AC于點(diǎn)E,則EG的最小值____.

13.如圖，在銳角VABC中，AB=5ZBAC=60°,A￡＞平分NBAC,M,N分別是AD和AB上的

動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為

14.如圖，在VABC中，AD是高,E是A3上一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)尸，且AD:跳＞:CD:FD=12:5:3:4,

則sinNBEC的值是

15.長(zhǎng)尾夾一般用來(lái)夾書(shū)或夾文件，因此也稱書(shū)夾.長(zhǎng)尾夾的側(cè)面可近似的看作等腰三角形，如圖1

是一個(gè)長(zhǎng)尾夾的側(cè)平面示意圖，已知BC=23mm,ZACB=70。.按壓該長(zhǎng)尾夾的手柄，撐開(kāi)后可得如

圖2所示的側(cè)平面示意圖.測(cè)量得/GED=NHOE=80。.求這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)尾夾可夾紙厚度GH為

mm(參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,sin80°?0.98,cos80°?0.17,tan80°?5.67)

三、解答題

16.計(jì)算：tan60o-|l-V3|-2-'.

17.某社區(qū)老年活動(dòng)中心為方便居民休息，安裝遮陽(yáng)蓬.如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)棚A3長(zhǎng)為6

米，AB與墻面2C的夾角/ABC為74。，當(dāng)太陽(yáng)光線AD與地面CE的夾角為45。時(shí)，涼蔭處CO的長(zhǎng)

為2.76米，求墻面BC的高度.(結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin74°?0.96,cos74°?0.28,

tan74°?3.49)

CDE

18.如圖是由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，VA3C的

頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，找一點(diǎn)。(點(diǎn)。在格點(diǎn)上)，畫(huà)出四邊形ABCD,使四邊形ABCD是凸

四邊形且Z4DC=/3；

(2)請(qǐng)?jiān)?1)的基礎(chǔ)上，畫(huà)出以AC為直角邊的等腰直角三角形ACE,且tan/ZME=g.若在直線AD

上存在動(dòng)點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫(xiě)出PC+PE的最小值.

19.如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線相交于。點(diǎn)，CE平分NBCA交BD于點(diǎn)E,DH1CE,交AC

于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H.

⑴求COS/BC4的值；

⑵求證：ADOSADCH；

⑶求證：^-=2.

0E

20.漆扇屬于國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，它利用了漆不溶于水的特點(diǎn)制作而成，淇淇把自己制作的圓形

漆扇放在支架上，如圖14-1所示.圖14-2是其平面示意圖，AC為圓形漆扇的直徑，點(diǎn)。為圓心，

扇柄BC=10cm,且A,O,C,B在同一直線上，△3CD為支架，0c與。O相切于點(diǎn)C,BD=20cm,

點(diǎn)A到桌面的距離為AH,且AH與。。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)8與H的距離9=13cm.

(1)求—A的度數(shù);

(2)求QC的長(zhǎng)度;

(3)不改變現(xiàn)有漆扇的大小和位置，直接寫(xiě)出支架點(diǎn)。到圓形漆扇的最大距離.

21.拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B,與>軸交于點(diǎn)C.已知4-3,0),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),點(diǎn)

是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

備用圖

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如圖1,點(diǎn)尸在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)(不與A,C重合)，過(guò)點(diǎn)尸作垂足為

PD交AC于點(diǎn)E.作PPLAC,垂足為尸，求！PE尸的面積的最大值;

(3)如圖2,點(diǎn)。是拋物線的對(duì)稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)A,P,C,

。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

《2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)》參考答案

題號(hào)12345678

答案BCCCABBD

1.B

【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.連接AC,先

由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線AC與5D交于點(diǎn)O,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,AC—4,進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長(zhǎng)，由sin/MAC=sin/O3C=℃=^^,解

BC5

三角形即可求出=AC?sinZMAC=生叵.

5

【詳解】解：連接AC,如圖，

??,菱形中，AC與互相垂直平分,

又???點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

???A、0、C三點(diǎn)在同一直線上，

：.OA=OC,

VOM=2fAM±BC,

OA=OC=OM=2,AC=4,

,:BD=8,

：.OB=OD=-BD=4,

2

______________O(j21

BC=ylOBr+OC-=V42+22=275，tanZOBC=—=-=

UD4Z

VZACM-^ZMAC=90°,ZACM+Z.OBC=90°,

：.ZMAC=ZOBC,

：.sinZMAC=sinZOBC=-=三=—,

BC2亞5

4J5

MC=AC-sinZMAC=.

5

故選：B.

2.C

【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義.根據(jù)正切的定義解答即可.

【詳解】解：如圖，:?B90?,AB=1,BC=6,

,BCr-

??tanA-=v3,

AB

故選：C.

3.C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形面積計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.連接AC,相交08于點(diǎn)尸，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系得出/COF=30。，進(jìn)而得

到NAOC=2NCOb=60。，推出△AOC是等邊三角形，得至i]AC=Q4=2,最后根據(jù)

S陰=S扇形DOE—S菱形OABC,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AC,相交08于點(diǎn)下，

???四邊形Q4BC是菱形，

AC±OB,OF=BF=L()B=6,OC=OA=2,

2

.OF6

一cosACOF==——,

OC2

ZCOF=30°,

ZAOC=2ZCOF=60°,

△AOC是等邊三角形，

AC=OA=2,

-；x2x2百=2左-2A，

S陰二S扇形。OE

360°

故選：C.

【分析】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)，等弧對(duì)等角，解三角形及勾股定理，理解題意，作出輔助

線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)E作EDLOb,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，ABC=/ACB,確定彘=&,利用平行線分線

段成比例得出EF〃5C,設(shè)ED=4x,OD=3%,結(jié)合圖形得出所=2居，再由平行線間距離相等及

三角形面積求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作即，O尸，如圖所示:

9：AB=AC,

:?NABC=NACB,

???

??BF=CE，

???

??BE=CF，

：.BE=CF,

：.AE=AF,

.AEAF

**BE-CF*

.AEAF

??耘一耘‘

EF//BC,

4

tan^EOF=—,

3

設(shè)ED=4x,OD=3x,

OE=OB=5x,DF=5x-3x=2x,

EF=y/ED2+DF2=2也x，

...S?F_EF_2亞，

SABOEBO5

故選：C.

5.A

【分析】本題考查了正多邊形與圓，作VABC的外接圓。。，設(shè)半徑為r,根據(jù)題意可得AB,AC分別

是圓內(nèi)接正六邊形的一條邊，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可判斷①，進(jìn)而證明當(dāng)成=30。時(shí)，則

/BOB'=NCOC'=30。,即可判斷②，根據(jù)題意可得當(dāng)3AT有最大值時(shí)，點(diǎn)AT在80的延長(zhǎng)線上，

進(jìn)而得到此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為夕=120。，即可判斷③，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，作VA3C的外接圓。O,設(shè)半徑為廠,

A4氏AC是分別是圓內(nèi)接正六邊形的一條邊，

當(dāng)VABC將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)研0。＜。（60。），AZT是圓內(nèi)接正六邊形的一條邊,

.,?點(diǎn)。到A3,AE距離相等，故①正確；

如圖，連接O2,OC,OB,OC,

,/鉆，AC是分別是圓內(nèi)接正六邊形的一條邊,

OB=OC=r,

:?AB=BO=OC=AC,

???四邊形ABOC是菱形，

同理四邊形AZ0C’是菱形，

當(dāng)&=30。時(shí)，則NBQ8'=NCOC'=30。，

'：ZBOC=ZBAC=120°,

：.ZBOC=ZBOBr+ZBfOC=150°,

???ZCBO=30°f

???ZBOC+ZCBO=180°,

:?BD〃OC,

9：ZBOB,=ZOBfCf=30°,

：.B'C'〃OB,

???四邊形BDC'O是平行四邊形,

OC'=OB,

，四邊形3OC'O是菱形，

BD=CO=AB,

.AB

??----=i,

BD

???存在唯一的。=30。，使得==1,故②正確;

BD

如圖，

:點(diǎn)/是8C的中點(diǎn)，四邊形ABOC是菱形，

AOM=-OA^-r,AMLBC,BC=2BM,

22

;OB=r,

：.BM=#）r,

?/OM=OM'=r,

...點(diǎn)M在以點(diǎn)。為圓心，0M為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且3'C'與其相切，

B'M'=BM=5,

當(dāng)訓(xùn)，有最大值時(shí)，點(diǎn)在3。的延長(zhǎng)線上，此時(shí)B'M'=3r,

.……，B'M'73

??tan/BBM=----=—,

BM'3

???ZBBrO=ZBfBMf=30°,

AZBOBr=120°,

???點(diǎn)?與點(diǎn)C重合，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為。=120。，

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為"（0°<?460。）時(shí)，砒r沒(méi)有最大值，故③錯(cuò)誤.

故選：A

6.B

【分析】本題考查了軸對(duì)稱一路徑最短問(wèn)題，勾股定理，解直角三角形.作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D,

連接C。交08于尸，連接相，過(guò)。作DNL0A于N,則此時(shí)上4+PC的值最小，求出AM,進(jìn)而

得到AZ),求出。N、CN,根據(jù)勾股定理求出CO即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于02的對(duì)稱點(diǎn)。，連接CD交08于P,連接AP,過(guò)。作DNLQ4于N,

則此時(shí)上4+PC的值最小，

PA+PC=PD+PC=CD,

,??頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,6）,

.?.04=3,AB=6,

則CB=,32+（括『=2占，tanZAOB=^-,

：.ZAOB=3Q°,4=60°,

由三角形的面積公式得：\OA.AB=^OB.AM,

BP-X3X73=-X2V3.AM,

22

AM=-,

2

3

二.AD=2AM=2x—=3,

2

vZAMB=9Q0,28=60。，

ANBA"=30。，

???ZBAO=90°,

Ztt4M=60°,

??DN.LOA,

ZNDA=30°,

13

...AN=-AD=-,

22

由勾股定理得：DN=《AD。-AN。=卜一gj=三出，

1?,C點(diǎn)坐標(biāo)為

13

CN=OA-OC-AN=3--------=1,

22

731

在Rt^DNC中，由勾股定理得：CDNcM+DM=

即PA+PC的最小值為叵,

2

故選：B.

7.B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，分類討論思

想的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

分兩種情況討論：點(diǎn)M在/W上，點(diǎn)N在08上；點(diǎn)M在03上，點(diǎn)N在BC上；分別求出函數(shù)解析

式y(tǒng)=LX0XXY^(2-X)=(x-1)2+—;^=—XA/2(X-2)X^^-(X-2)=—(X-2)2,即可得到答案.

222222

【詳解】解：,?,在正方形A3CD中，AB=2,

,-.AD=AB=BC=2,ZA=ZC=90°,

ZADB=ZABD=NCBD=ZCDB=45°,

DB=VAB2+AD2=272，

如圖1,點(diǎn)/在AO上，點(diǎn)N在上，作MELDB于點(diǎn)E,

:.ZMED=90°,

圖1

■：AM=x,DN=近x,

，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，x=2+l=2,則DV=2加,

ME亞

:.DM=2-x,sinZADB=——,

DM2

5

:.y=^xy[2xx-（2-x）=-^（x-iy;

如圖2,點(diǎn)又在03上，點(diǎn)N在5C上，作于點(diǎn)尸,

\.\ZNFB=90°,

A1------------------

圖2

BN—lx[x—(2A/^+=x-2,sinZ.CBD=,

:.FN=4(x-2),

?.-Z)M=A/2(X-2),

2

■?■^=|XV2(X-2)X^(X-2)=1(X-2);

故選：B.

8.D

【分析】證出ACDFSA4)E,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷①正確；先證出V血)ZVCGF,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)可得AD=CF,再證出CG垂直平分跖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得FG=3G,

由此即可判斷②正確；過(guò)點(diǎn)G作尸于點(diǎn)設(shè)AE=x(O<x?lO),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可

得CP=gx,從而可得=6+：x,再證出VAEZ)0VMGP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得MG=AE=尤,

MF=AD=6,則8"=全，然后根據(jù)正切的定義即可判斷③正確；先求出3E=10-x,

MG=AE=x,BM^x,再證出“加母心班”，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得9/=_￡51+”

366

利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④正確.

【詳解】解：,?,四邊形ABC。和DEG尸都是矩形，AB=10,AD=6,

：.CD=AB=10,/BAD=ZADC=/BCD=NEDF=9Q°,

：.ZADE+ZCDE=90°,ZCDF+ZCDE=90°,ZDCF=9Q°,

：.ACDF=AADE,ZDCF=ZDAE=90°,

△CDFS^ADE,

,DF_CD105

則結(jié)論①正確;

*DE-AD-6-3

如圖，點(diǎn)G恰好落在DC的延長(zhǎng)線上,

F

?/四邊形A5CD和OEG/都是矩形，

.?.AD=BC,DE=FG,AB//CD,DE//FG,ABAD=9Q°,CD±BF,

：.ZAED=ZEDG,NCGF=/EDG,ZGCF=90°,

AZAED=ZCGFfZEAD=ZGCF=90°,

在△AED和Z\CG/中，

ZEAD=ZGCF=90°

<NAED=ZCGF,

DE=FG

：.AAED^ACGF(AAS),

：.AD=CF,

：.BC=CF,

又「DG.LBF9

：.CG垂直平分BF,

:.FG=BG,

???當(dāng)點(diǎn)G恰好落在。。的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE=BG,則結(jié)論②正確;

如圖，過(guò)點(diǎn)G作/于點(diǎn)"，

???四邊形A5CD和。EG/都是矩形，AB=10,AD=6f

：.CD=AB=1Q,BC=AD=6,

設(shè)AE=X(O<EO),

由上已證：ACDFS^ADE,

.CFCD5

AE~AD~3f

：.CF=-AE=-x

33f

BF=BC+CF=6+-x,

3

VZCDF-^-ZCFD=90°,ZMFG+ZCFD=90°,

：.NCDF=ZMFG,

又?：/CDF=AADE,

：.ZADE=ZMFGf

在△AED和△MG廠中，

ZDAE=ZFMG=90°

</ADE=ZMFG,

DE=FG

：.△A￡?^AMGF（AAS）,

：.MG=AE=x,MF=AD=6,

：.BM=BF-MF=6+-x-6=-x

33f

廠MGx3

.tanAFBG=---=——二—

??BM9%5，

3

3

即當(dāng)點(diǎn)E在A5邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，tanNFBG為定值不，則結(jié)論③正確；

設(shè)AE=x（0<xK10）,則=AE=10—%,

由上可知，MG=AE=x,BM=1x,

又?；GM_LBF,AB±BC,

:?AB〃MG,

：.小MGHs^BEH,

,MHMGX

一BH-10-x，

x

：.MH=-------BH,

10-x

又：BH+MH=BM=-x,

3

22

.DU10x-x（x-5）25

666

25

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在0<xW10內(nèi)，當(dāng)x=5時(shí)，3”取得最大值，最大值為一,

即當(dāng)點(diǎn)石在A3邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，曲/長(zhǎng)度的最大值為二，則結(jié)論④正確；

6

綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平

分線的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、正切等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三

角形是解題關(guān)鍵.

9.2

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF1CD,交BC于點(diǎn)F,證明△"＞石簾即可求解.

【詳解】提示：如圖，過(guò)點(diǎn)后作￡尸18,交BC于點(diǎn)F.

?.?ZC=45°,

.?.△EFC是等腰直角三角形，

:.EF=CE,ZCFE=45°,

ZBFE=180°-ZCFE=180°-45°=135°.

QZCFE=ZFBE+ZBEF=45°,ZAED+ZBEF=90°-45°=45°,

.\ZAED=ZFBE.

\-AD\\BCf

.?."+"=180。，

.?./。=180。-45。=135。，

:.ZD=ZBFE,

.?.AADESAEFB,

ADAE垃

??而一瓦一~T?

?:AD=6,

:.EF=2,

CE=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)等，

正確添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

10.3

【分析】此題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)2作所，CD

2

于點(diǎn)E根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到8=2。尸，cosABAC=-,NBAC=NBDC,則

DPT)F2

cosZBDC=——=——=-.得到OF=6.則CD=2ZW=12.由。E=3CE即可得到CE的長(zhǎng).

BD93

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作破，CD于點(diǎn)H

:.CD=2DF.

VcosZBAC=-,/BAC=/BDC,

3

：.DF=6.

：.CD=2DF=12.

'：DE=3CE,

：.CE=-CD=-xl2=3.

44

故答案為：3

11.10.6

【分析】本題考查了解直角三角形.在RtZ^QBD中，利用直角三角形的邊角間關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】解：??,8_LBD,

:.ZODB=90°,

在RtZkOBD中,

OB=°?！?0.6（cm）,

cosNBODcos20°0.94'7

故答案為：10.6.

12.5

【分析】本題考查了解直角三角形，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

3

過(guò)點(diǎn)G作/，交所于點(diǎn)勾股定理算出AB,設(shè)G5=x，則G/=x,表示出廠M=

3253

根據(jù)E"是"的垂直平分線，得出切=AH=5-從而得出所=4石=下-二］，再根據(jù)勾股定

544

理得出EG=J至（尤-3『+25,即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作族，交所于點(diǎn)M,如圖,

AH\FMB

VZC=90°,BC=6,AC=8,

AB=VAC2+BC2=782+62=10>

GMLBF,

：.ZGMB=90°,

設(shè)GB=x,貝l|G〃=x,

3

ZGFB=ZB,FM=BM=GBcosB=-x,

???EH是AF的垂直平分線，

3

FH=AH=5--x,ZEFA=ZA,

5

NEFG=180°-(NEFA+ZGFB)=180°-(ZB+z^A)=180°-(180°-ZC)=90°,

EG=VGF2+￡F2=卜+0一]j=JH(x-3『+25,

;.x=3時(shí)，EG=5最小.

故答案為：5.

13.-/1.5

2

【分析】本題主要考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，垂線段最短

等等，在AC上截取AH=AN,連接3"、MH,易證明之AAW(SAS),得至=則

BM+MN=BM+HM,故當(dāng)3、M、”三點(diǎn)共線，且出AC時(shí)，3M+H7W最小，即此時(shí)

BM+MN最小,最小值即為9的長(zhǎng)，解直角三角形求出9的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，在AC上截取AH=4V,連接5"、MH,

：A￡>平分NB4C,

Z.CAD=ZBAD,

又,：AH=AN,AM=AM,

：.^AHM^ANM(SAS),

：.HM=NM,

：.BM+MN^BM+HM,

.?.當(dāng)RM,H三點(diǎn)共線，且時(shí)，3M+/7M最小，即此時(shí)+最小，最小值即為

的長(zhǎng)，

止匕時(shí)NAHB=90。，

ZBAC=60°,

：.ZABH=30°,

BH=ABcos/ABH=>/3x—=-,

22

3

：.BM+HM的最小值為5,

3

故答案為：—.

一

14.—56

65

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.

過(guò)點(diǎn)。作CH_LAB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)尸作FG1AB于點(diǎn)G,設(shè)AD=5x,則AD=12x,CD=3x,DF=4x,

40

易得AB=13犬，CF=5x,AF=AD-DF=8x,通過(guò)有證明△AGFSZ^4￡>B,得出廠G==X,通過(guò)

96x

證明得出CH=—,再證明△EFGsAECE,得出E尸=亍~,最后根據(jù)

sinZBEC=——即可解答.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)"，過(guò)點(diǎn)尸作尸G1AB于點(diǎn)G,

設(shè)BD=5x,貝ljAP=12x,CD=3x,DF=4x9

'AB=+BD?=13x，CF=1Clf+DF2=5X，AF=AD-DF=8x,

VZAGF=ZADB=90°,ZGAF=ZDAB,

：.AAGF^AADB,

FG"，即匹=生

BDAB5x13x

FG=-x

13

VZB=ZB,NBHC=NBDA.

：.△BCHs&BAD,

,CHBCCH5x+l3x

>?=,KnnJ-

ADBAI2x13x

??.7

'：FG//CH,

:.△EFSAECH,

40x

『a,即

ECCHEF+5x96x

13

EF=—

7

sinZBEC^—56

EF65

15.11.5

【分析】如圖1,在VX^ABM，求得A8=—!￡.如答圖2,在RtAGEP中，利用余弦函數(shù)求得EP=5.75,

cos70°

據(jù)此即可求解.本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為

解直角三角形的問(wèn)題是解答此類題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圖1,作4WL8C于點(diǎn)

A

圖1

9：AB=AC,

：.ZAMB=90°,BM=1BC=11.5（mm）.

在R3ASAf,cosB=-----,

AB

VZB=70°,BM=11.5（mm）,

/.AB=115.

cos70°

由題意可知：GE=HD=AB,ED=BC.

如答圖2,作GF,ED于點(diǎn)尸，HQLED于點(diǎn)Q.

圖2

cos"

在RSGE尸中,

GE

???ZGED=80°,

EP=GEcos80°=xcos80°x0.17=5.75（mm）.

cos70°J0".34'7

同理可證：gO=5.75mm,

/.PQ=ED-EP-QD=23-5J5x2=11.5（mm）.

:四邊形GPQ"為矩形，

GH=PQ=11.5mm.

答案：這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)尾夾可夾紙厚度G〃為11.5mm.

故答案為：11.5

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)累，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值

是解題的關(guān)鍵.先代入特殊角的三角函數(shù)值，再利用絕對(duì)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則計(jì)算，最后相

加減即可求解.

【詳解】解：tan60?！法D科―2T

="\/3—^^3———

=73-73+1--

2

~2'

17.墻面BC的高度約為4.7米

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)

度.過(guò)A作AT，3c于T,過(guò)A作AKLCE于K,在RtZXABT中，根據(jù)正弦定義求出AT,根據(jù)余

弦定義求出37;證明四邊形ATCK是矩形，得到CK=AT,AK=CT,再求出DK,在RtAADK中，

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AK,即可解答.

【詳解】解：過(guò)A作ATLBC于T,過(guò)A作AKLCE于K,

AAr=AB-sinZABr=6xsin74°?5.76（米），

ABT=ABcosZABT=6xcosl40-1.68（米），

ZATC=ZC=NCKA=90°,

四邊形ATCK是矩形，

；.CK=AT=5.76米，

CD=2.76米，

：.DK=CK-CD=5.16-2.76=3（米）,

在R/AAAZ>中，

ZADK=45°,

.?.QK=A^=3米，

;.CL=3米，

:.BC=CT-BT=3+1.68~4.1（米），

???墻面BC的高度約為4.7米.

18.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析，734

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰直角三角形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)

稱的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.

(1)選取格點(diǎn)，構(gòu)造口ABCD即可得=

(2)如圖，在AC右側(cè)取格點(diǎn)E,使EC=AC=屈，tanZDAE=-=-；作點(diǎn)。關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)產(chǎn)，

連接所交AD于點(diǎn)P,此時(shí)PC+PE的最小值為M的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出砂的長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)。即為所作；

作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接跖交AD于點(diǎn)P,

PC+PE=PF+PE=EF,

由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知PC+PE的最小值為EF的長(zhǎng)，

由勾股定理得EF=A/52+32=V34，

所以，PC+PE的最小值為扃.

19.⑴交

2

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解即可得到答案;

（2）由正方形性質(zhì)得到NOOG=NZXH=90。，再結(jié)合角平分線定義、垂直定義得到

Z.CDH=Z.ODG=22.5°,利用兩個(gè)三角形相似的判定定理即可得證；

（3）過(guò)點(diǎn)B作8M〃AC交延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，如圖所示，由中位線判定與性質(zhì)得到。G=；BM,

再由正方形性質(zhì)及已知條件，根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)得到OE=OG即可得證.

【詳解】(1)解:正方形的對(duì)角線相交于。點(diǎn)，

ZBC4=45°,

cosNBCA=cos45°=—;

2

(2)證明：??,四邊形ABCD是正方形，

ZDOG=NDCH=90°,

TCE平分NBC4,

???ZBCE=ZECO=22.5°,

,=67.5°,

又〈DHLCE,

：./ECO=ZODG=22.5°,

???ZCDH=ZODG=22.5°,

:.△DOGS^DCH；

(3)證明：過(guò)點(diǎn)3作〃AC交工燈延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如圖所示:

AD

°'、、:HC

'、、/

\/

M

DGDO1

.?——i*

GMBO

：.OG=-BM,AOGD=ABMH,

2

由（2）可得=

ZBMH=ZCHD=ZBHM,

：.BM=BH,

在△OGZ)與△OEC中,

ZDOG=ZCOE=90°

<ZODG=ZOCE=22.5°f

OD=OC

：.△OZX涇△OCE(AAS),

：.OE=OG,

.BH

??------=2.

OE

【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及正方形性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、角平分線定義、垂直定義、相

似三角形的判定、三角形中位線的性質(zhì)、兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何判定與

性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

20.(1)ZA=30°；

(2)QC的長(zhǎng)度為與；

(3)支架點(diǎn)。到圓形漆扇的最大距離為僅歷+8km.

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，弧長(zhǎng)公式.

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)求得=90。，在RtABCD中，利用三角函數(shù)的定義求解即可；

(2)連接在中，求得AS=26cm,^COQ=60°,再求得圓的半徑，利用弧長(zhǎng)公式

求解即可；

(3)連接DO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,作OGJ_B。于點(diǎn)G,在及△O3G和RtAODG中，先后求得BG、

OG和OD的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：與。。相切于點(diǎn)C,

CDVAC,

：.ZDCB=90。,

在RtZXBCD中，BD=20cm,BC=10cm,

./八幡BC101

..cosZ.DBC==——=—,

BD202

???ZDBC=60°,

AHLBD,

：.NAW=90。，

AZA=30°；

(2)解：連接Q2,

DHB

在中，ZAHB=90。,ZA=30°,BH=13cm,

AAB=2BH=26cm,ZCOQ=2ZA=60°f

AH±BD,

ZAHB=90°f

〈AC為圓的直徑，BC=10cm,

=8cm,

(3)解：