2025年中考數(shù)學(xué)高頻易錯(cuò)考前沖刺：銳角三角函數(shù)

選擇題（共10小題）

1.（2024秋?蜀山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在RtzXABC中，ZACB=90",CDLAB,AC=3,AB=5,則cos

NACD的值為（）

2.（2024秋?本溪期末）一木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力為

的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=20°,則摩擦力仍與重力G方向

的夾角度數(shù)為（）

A.160°B.120°C.110°D.90°

3.（2024秋?萊陽市期末）某校組織一次定向越野拉練活動(dòng).如圖，點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)

分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C,行進(jìn)路線為A-8-C-A.點(diǎn)2在點(diǎn)A的南偏東25°方向處，點(diǎn)C在點(diǎn)A

的北偏東80°方向，ZABC=45°.則檢查點(diǎn)8和C之間的距離為（）

A.（6+6次）千米B.（3+3次）千米

C.（3+百）千米D.4.5千米

4.（2025?浦東新區(qū)一模）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在4X4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、

C都在格點(diǎn)上，那么NA4c的正切值是（）

5.（2024秋?永春縣期末）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L水平距離為

當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為53°,則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km.

8

A.8sin53°B.8cos53°C.---------D.8tan53°

tan53°

6.（2025?金山區(qū)一模）已知RtZXABC中，NC=90°,AC=3,A3=5,那么下列各式中，正確的是（）

A.sinB=方B.cosB=FC.cotB=FD.tanB=

7.（2024秋?碑林區(qū)期末）周末許老師參加騎行爬山活動(dòng),他沿著坡度為1；百的山坡上坡騎行前進(jìn)了1800m,

則許老師所在的位置升高了（）

「1000V3

A.900/7/B.1000/HC.600V3mD.----------m

3

8.（2024秋?浦橋區(qū)校級(jí)期末）將的邊長都擴(kuò)大為原來的3倍，則cosA的值（

A.變大B.不變C.變小D.無法判斷

9.（2024秋?瀛橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)上，則tanC的值為（）

11V2

A.1B.-C.一D.一

322

4

10.(2024秋?揭陽期末)在中，ZC=90°,sinA=則cosA=()

5343

A.一B.-C.一D.-

3554

填空題（共5小題）

11.（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)山坡的坡度i=l.,V3,則坡角a的度數(shù)為.

12.（2024秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，ZiABC中，ZC=90°，AC=4,BC=3,則sinA的值

為

13.（2024秋?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)是1700多年前的中國古代數(shù)學(xué)

家趙爽的“弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若每個(gè)直角三

角形的兩條直角邊長分別為5,12,直角三角形的較小的銳角為a,則sina的值是

14.（2025?浦東新區(qū)一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么這個(gè)斜坡的坡度i

15.（2025?嘉定區(qū)一模）如圖，某商場(chǎng)開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，已知樓梯高AB=6m,坡面AC

4

的坡度i=l：二，則至少需要紅地毯_________m.

A

三.解答題（共5小題）

16.（2024秋?漂陽市期末）在學(xué)習(xí)銳角的三角函數(shù)時(shí)，小明同學(xué)對(duì)“具有倍半關(guān)系的兩個(gè)銳角的三角函數(shù)

值具有怎樣的關(guān)系”這個(gè)問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進(jìn)行了一些研究.

（1）初步嘗試：

我們知道：tan60°=,tan30°=；

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tana2tan^a（填或"="）；

（2）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,求toi/ABC的值；

1

研究思路：小明想構(gòu)造包含5N4BC的直角三角形：于是延長CB至。，使得DB=AB,連接A。，所以

11

得到即轉(zhuǎn)化為求的正切值，那么；

（3）在△ABC中，NA為銳角，tanA=ZB=2ZA,AB=2^13.求的值.

17.（2024秋?本溪期末）如圖1,是臺(tái)式桌面化妝鏡，由鏡面和底座組成，鏡面可以繞兩固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如

圖2,是其側(cè)面示意圖，OCLMN,A3可繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，。是的中點(diǎn)，測(cè)得AB=16厘米.

（1）正常放置時(shí)，ZAOC=30°,求此時(shí)點(diǎn)A到OC的距離；

（2）如圖3,AB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到481的位置，此時(shí)/4OC=53°,求點(diǎn)A在豎直方向上升的高

度（結(jié)果精確0.1厘米）.（參考數(shù)據(jù)：sin53°心0.80,cos53°七0.60,度=1.73）

18.（2024秋?拱墅區(qū)期末）圖1是某種筆記本電腦支架.如圖2,其底座A8放置在水平桌面上，通過調(diào)

節(jié)點(diǎn)C,點(diǎn)。處的角度，控制托盤所的位置.電腦機(jī)身和屏幕分別用線段EG,GH表示，CD=16cm,

EG=GH=21cm,ED=5cm.

（1）若NACD=60°,ZCDG=9Q°.

①為使屏幕與桌面保持垂直，求NEG/I的度數(shù).

②求點(diǎn)X到桌面的最大距離（不計(jì)材料的厚度）.

（2）在（1）的情況下，保持/COG=90°,并逐漸減小/AC。的度數(shù).圓圓同學(xué)說：“點(diǎn)G到桌面的

距離越來越小.”點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)說：“點(diǎn)G到桌面的距離先變大，后變小.”你認(rèn)為誰的說法正確，說明理由.

19.（2025?浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt"8C中，ZACB=90°,AB=10,cos8=1.點(diǎn)。是邊A2的中

點(diǎn)，過點(diǎn)。作的垂線，與邊BC相交于點(diǎn)E.

（1）求線段CE的長；

（2）求sin/BOE的值.

A

20.（2025?浦東新區(qū)一模）上海世博文化公園的雙子山是近期游客的熱門打卡地.某校實(shí)踐小組利用所學(xué)

知識(shí)測(cè)量雙子山主峰的高度，他們?cè)O(shè)計(jì)了兩個(gè)測(cè)量方案，并利用課外時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量.下面是兩個(gè)

方案的示意圖及測(cè)量數(shù)據(jù).

DCB(CB

方案一:測(cè)量距際D,仰角Q,仰角艮方案二：測(cè)量高鷺D,仰角氏仰角區(qū)

測(cè)量項(xiàng)目CDaP

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任務(wù)一：請(qǐng)選擇其中一種方案，求出雙子山主峰的高度（結(jié)果保留1位小數(shù)）.參考數(shù)據(jù)見下表：

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任務(wù)二：上海世博文化公園官網(wǎng)上顯示：雙子山主峰的高度為48米.請(qǐng)你用一句話簡(jiǎn)單說明你求出的

高度與48米不一致的原因：

2025年中考數(shù)學(xué)高頻易錯(cuò)考前沖刺：銳角三角函數(shù)

參考答案與試題解析

題號(hào)12345678910

答案BCCDDAABBB

一.選擇題（共10小題）

1.（2024秋?蜀山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，ZACB=90°,CD±ABfAC=3,AB=5,則cos

ZACD的值為（）

434

A.-B.-C.一D.-

5543

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；余角和補(bǔ)角；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】利用勾股定理求得的長度，然后根據(jù)同角的余角相等求得再利用銳角三角

函數(shù)定義的定義即可求得答案.

【解答】解：：在RtZkABC中，90°，AC=3,AB=5,

：.BC=V52-32=4,ZACD+ZBCD^90°，

'：CD±AB,

：.ZB+ZBCD=90°,

NACD=NB,

cosZ.ACD=cosZB=骼=

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，余角和補(bǔ)角，勾股定理，結(jié)合已知條件求得BC的長度及/AC。

是解題的關(guān)鍵.

2.（2024秋?本溪期末）一木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力為

的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=20°,則摩擦力尸2與重力G方向

的夾角度數(shù)為（)

A.160°B.120°C.110°D.90°

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N3=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到Na+Nl=90°求得/2=

Zl=90°-20°=70°,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，

由題意可得：

Z3=90°,

,重力G的方向豎直向下，

Za+Zl=90°,

.?.Z2=Z1=9O°-20°=70°,

:摩擦力F1的方向與斜面平行，

.?.Zp+Z2=180",

.?.Zp=180°-Z2=180°-70°=110°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

3.（2024秋?萊陽市期末）某校組織一次定向越野拉練活動(dòng).如圖，點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)

分別為點(diǎn)8和點(diǎn)C,行進(jìn)路線為A-B-C-A.點(diǎn)8在點(diǎn)A的南偏東25°方向3/kni處，點(diǎn)C在點(diǎn)A

的北偏東80°方向，ZABC=45°.則檢查點(diǎn)B和C之間的距離為（）

A.（6+6百）千米B.（3+3百）千米

C.（3+百）千米D.4.5千米

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】過A點(diǎn)作于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)方向角的定義和平角的定義可計(jì)算出/BAC=75°,

再計(jì)算出/C4H=30°,接著在反中利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出AH=B8=3切z,然后在

RtAAC//中利用/C4H=30°計(jì)算出CH=43km,最后計(jì)算BH+CH即可.

【解答】解：過A點(diǎn)作于H點(diǎn)，如圖，

:點(diǎn)8在點(diǎn)A的南偏東25°方向處，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東80°方向，

.\ZBAC=180°-80°-25°=75°,

VZABC=90°,NAHB=9Q°,

：.ZBAH=45°,

：.ZCAH=ZBAC-ZBAH=J5°-45°=30°,

在中，VZB=45°,

：.AH=BH=5AB=苧x3V2=3（km）,

在RtZXAC”中，VZCAff=30°,

CH=^AH=~x3=V3（fow）,

；.BC=BH+CH=(3+V3)km.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意

理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等

或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角，然后運(yùn)用解直角三角形解決問題.

4.（2025?浦東新區(qū)一模）在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在4X4的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、

C都在格點(diǎn)上，那么NA4c的正切值是（）

1

D.-

2

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)所給網(wǎng)格，連接BC得出與AC垂直，再結(jié)合正切的定義即可解決問題.

貝ijBCLAC.

令小正方形網(wǎng)格的邊長為

則由勾股定理得,

BC=yja2+(2a)2=V5a；

AC=J(2a)2+(4a)2=2層a.

在RtAABC中,

tan/2AC=翳急J

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，通過連接3c構(gòu)造出直角三角形及熟知正切的定義是解題的關(guān)

鍵.

5.（2024秋?永春縣期末）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)工水平距離為8歷〃,

當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為53°,則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km.

8

A.8sin53°B.8cos53°C.---------D.8tan53°

tan53°

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得：AL±LR,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：由題意得：ALLLR,

在RtZ\ALR中，LR=8km,ZARL=53°,

.'.AL—LRttan53°=8tan53°(km),

這枚火箭此時(shí)的高度AL為8tan53°km,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?金山區(qū)一模）已知RtAABC+-ZC=90°,AC=3,AB=5,那么下列各式中，正確的是（）

A.sinB=FB.cosB—FC.cotB—FD.tanB--F

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】利用勾股定理求得的長度，然后利用銳角三角函數(shù)定義的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：:Rt△4中,ZC=90°,AC=3,AB=5,

:.BC=7s2—32=4,

sinB==I，則A符合題意；

cosB=器=.,則B不符合題意；

8歷=第=孑則C不符合題意；

tanB==p則。不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

7.（2024秋?碑林區(qū)期末）周末許老師參加騎行爬山活動(dòng),他沿著坡度為1；百的山坡上坡騎行前進(jìn)了1800m,

則許老師所在的位置升高了（）

「IOOOVS

A.900/raB.lOOO/zzC.600V3mD.----------m

3

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】根據(jù)坡度與坡角的關(guān)系求出坡角，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)斜坡的坡角為a,

:坡度為1：V3,

..1V3

..tana=%=3，

.*.a=30°,

1

許老師所在的位置上升的高度為：-xl800=900（m）,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，正確理解坡度與坡角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.（2024秋?濡橋區(qū)校級(jí)期末）將RtZXABC的邊長都擴(kuò)大為原來的3倍，則cosA的值（）

A.變大B.不變C.變小D.無法判斷

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；模型思想.

【答案】B

【分析】利用相似變換可判斷NA沒有發(fā)生變化，則根據(jù)余弦的定義得到NA的余弦值不變.

【解答】解：???「△ABC的邊長都擴(kuò)大為原來的3倍，

ZA沒有發(fā)生變化，

cosA的值不變.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確理解余弦的定義是解決問題的關(guān)鍵.

9.（2024秋?淹橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，AABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)上，貝hanC的值為（）

V2

D.—

2

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】在Rt^ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

；.tanC=而=］可，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4

-

10.(2024秋?揭陽期末)在RtZXABC中，ZC=90°5則cosA=()

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意設(shè)BC=Ax,48=5x,根據(jù)勾股定理求出AC,最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)

算即可.

【解答】解：由條件可知s加4=器=3

設(shè)5C=4x,AB=5xf

AC=7AB2-BC2=7（5%）2-（4x）2=3x,

.AAC3x3

??郎4=麗=我=引

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

H.（2024秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)山坡的坡度i=l；V3,則坡角a的度數(shù)為30°.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】30°.

【分析】根據(jù)坡度=坡角的正切值計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)坡度=坡角的正切值計(jì)算如下：

由題意得tana=1.-V3=拳

Na=30°

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度的定義，特殊角的三角函數(shù)值，掌握坡度=坡角的正切值是解題關(guān)鍵.

3

12.（2024秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，ZkABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,則sinA的值為-

-5'

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；運(yùn)算能力.

3

【答案】

【分析】利用勾股定理求得的長，然后根據(jù)正弦的定義即可求得答案.

【解答】解：:△ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,

：.AB^M32+42=5,

..BC_3

??sinA==耳,

,—,3

故r答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2024秋?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)是1700多年前的中國古代數(shù)學(xué)

家趙爽的“弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若每個(gè)直角三

角形的兩條直角邊長分別為5,12,直角三角形的較小的銳角為a,則sina的值是_三_.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的證明.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】竟

【分析】根據(jù)“弦圖”已知數(shù)據(jù)求得每個(gè)直角三角形的斜邊長為13,進(jìn)而根據(jù)正弦的定義，即可求解.

【解答】解：在直角三角形中，兩條直角邊長分別為5,12,

由勾股定理得：斜邊長為，52+122=13,

..?直角三角形的較小的銳角為a,

???邊長為5所對(duì)的直角三角形的銳角，

?

???SLTIC_C—5]3，

故答案為：言.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角形函

數(shù)的定義.

14.（2025?浦東新區(qū)一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么這個(gè)斜坡的坡度/?=1：V3.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】1：V3.

【分析】由勾股定理可得此人行走的水平距離，進(jìn)而根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度力和水平寬度/的比解

答.

【解答】解：由勾股定理得此人行走的水平距離為VFR=V3,

，那么這個(gè)斜坡的坡度i=l：V3.

故答案為：1：V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟練掌握坡度的定義是解答本題的關(guān)鍵.

15.（2025?嘉定區(qū)一模）如圖，某商場(chǎng)開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，已知樓梯高AB=6m,坡面AC

4

的坡度i=l：則至少需要紅地毯14m.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】應(yīng)用題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

4

【分析】根據(jù)坡面AC的坡度求出BC的長度，從而利用平移的知識(shí)可得地毯的長度=AB+8C,

繼而得出答案.

4

【解答】解：,??42=6"，坡面AC的坡度i=l：

4

BC=6xg=8m,

故可得地毯的長度=AB+BC=6+8=147〃.

故答案為：14.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用坡度求出8C的長度是解答本題的關(guān)鍵，另外要掌握平

移的運(yùn)用.

三.解答題(共5小題)

16.(2024秋?漂陽市期末)在學(xué)習(xí)銳角的三角函數(shù)時(shí)，小明同學(xué)對(duì)“具有倍半關(guān)系的兩個(gè)銳角的三角函數(shù)

值具有怎樣的關(guān)系”這個(gè)問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進(jìn)行了一些研究.

(1)初步嘗試：

-V3

我們知道：tan60°=V3,tan30°=—；

———3—

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tana#2tan^a(填"="或"W")；

1

(2)如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,求的值；

1

研究思路：小明想構(gòu)造包含5乙4BC的直角三角形：于是延長至。，使得。連接AD,所以

111

得至此。即轉(zhuǎn)化為求NO的正切值，那么ta舄乙4BC=-；

22—3一

(3)在△A3C中，/A為銳角，tanA=ZB=2ZA,AB=2V13.求S^ABC的值.

【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【答案】(1)V3；y；W；

1

(2)—；

3

(3)6.

【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案，根據(jù)tan60。W2tan30。即可得出答案；

(2)延長CB至D,使得。連接AD,則/。=l/2/ABC,先求出BO=AB=5,則CD=BC+B。

AC11

=9,然后在Rt^AC。中，根據(jù)正切函數(shù)的定義tanO===可由此可得的值；

(3)過點(diǎn)C作于點(diǎn)。，在D4上截取￡)E=DB,連接CE,則CE=C8,再證明

rni

得AE=CE,在RtzMCD中，tanA=^=^,可設(shè)CD=a,AD^3a,貝！|DE=3a-AE,DE=DB=3a

-AE,AB=6a-AE=2V13,由此得AE=CE=6a-2VH,DE=2V13-3a,在RtZkCCE中，由勾股

定理可求出a=喈，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出△ABC的面積.

【解答】解：（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：tan60。=V3,tan30°=空，

Vtan60°#2tan30°,

1

tanaW2tan-^a^

故答案為：V3；f；W；

圖1

；?/D=NBAD,

：.ZABC=ZD+ZBAD=2ZD,

1

???ZD=^ZABC,

在Rtz^ABC中，AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=Wi4C2+BC2=5,

：.BD=AB=5,

：.CD=BC+BD=4+5=9,

ACQ1

在RtAACD中，tanD=|

.11

??tan2乙ABC—十

-、、1

故答案為：—；

(3)過點(diǎn)。作CZ)_LA3于點(diǎn)。，在ZM上截取連接CE,如圖2所示:

：.CD是線段BE的垂直平分線，

:.CE=CB,

，/B=/CED,

9：ZCED=ZA+ZECA,ZB=2ZA,

：.2ZA=ZA+ZECA.

：.ZA=ZECA,

：.AE=CE,

rni

在RtZWCD中，tanA==f.

...設(shè)C￡)=a,AD=3a,

：.DE=AD-AE=3a-AE,

:.DE=DB=3a-AE,

AB—AE+DE+BE—AE+3a-AE+3a-AE—6a-AE,

：A8=2V13,

.?.2V13=6a-AE,

：.AE=CE=6a-2V13,

:.DE=3a-AE=3a-(6a-2713)=2V13-3a,

在Rtzxcr陀中，由勾股定理得：C￡2=CZ)2+Z)E2,

A(6a-2V12)2=a2+(2V13-3a)2,

整理得：13a2-2V13a=0,

解得：a=嗜，。=0(不合題意，舍去)，

.小—6V13

??CD-—~~，

:.SAABC=%B?CD=Ix2V13x耳卒=6.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解等腰三角形的性質(zhì)，熟練

掌握銳角三角函數(shù)的定義，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵.

17.(2024秋?本溪期末)如圖1,是臺(tái)式桌面化妝鏡，由鏡面和底座組成，鏡面可以繞兩固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如

圖2,是其側(cè)面示意圖，OCLMN,AB可繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，。是的中點(diǎn)，測(cè)得43=16厘米.

B

(1)正常放置時(shí)，ZAOC=30°,求此時(shí)點(diǎn)A到。C的距離；

(2)如圖3,繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到481的位置，此時(shí)N4OC=53°,求點(diǎn)A在豎直方向上升的高

度(結(jié)果精確0.1厘米).(參考數(shù)據(jù)：sin53°心0.80,cos53°心0.60,度=1.73)

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)4cm；

(2)2.1厘米.

【分析】(1)作4DL0C于點(diǎn)。，根據(jù)已知易得：。4=。2=8?！?，然后在RtZkA。。中，利用銳角三角

函數(shù)求出AD=AOsmZAOC的長；

(2)作4E_LOC于點(diǎn)E,根據(jù)在RtZ\AiOE中，可求OE=OArcos/AiOE=4.8cm然后在RtZ\AO。

中，。。=。4?cos乙4OC=4舊si,即可解答.

【解答】解：(1)作AOJ_OC于點(diǎn)。，

由題意可得：

1

OA=OB=a48=8cm.

在RtZXAOO中，ZAZ)O=90°,ZAOC=30°,

?SITIZ-AOC—40,

1

.*.AD=AOsinZ-AOC=8X3=4cm.

(2)作4E_LOC于點(diǎn)E,

ZAiEO=90°.

B

■cosZ-A^OE=o.,

XVOA=OAi,

OE=OAi,cosZAiOE^8X0.6—4.8cm.

在RtAAOZ)中，

'/cosZ-AOD=

OD=OA-cosZ-AOC=8x5=4v5cm,

：.DE=OD—OE=4A/3-4.8~2.1cm.

答：點(diǎn)A在豎直方向上升的高度約為2.1厘米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

18.(2024秋?拱墅區(qū)期末)圖1是某種筆記本電腦支架.如圖2,其底座48放置在水平桌面上，通過調(diào)

節(jié)點(diǎn)C,點(diǎn)。處的角度，控制托盤EF的位置.電腦機(jī)身和屏幕分別用線段EG,GH表示，CD=16cm,

EG—GH—21cm,ED—5cm.

(1)若NAC￡)=60°,ZCDG=90°.

①為使屏幕與桌面保持垂直，求/EG8的度數(shù).

②求點(diǎn)H到桌面的最大距離(不計(jì)材料的厚度).

(2)在(1)的情況下，保持/CZ)G=90°,并逐漸減小NACD的度數(shù).圓圓同學(xué)說：“點(diǎn)G到桌面的

距離越來越小.”點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)說：“點(diǎn)G到桌面的距離先變大，后變小.”你認(rèn)為誰的說法正確，說明理由.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【專題】數(shù)形結(jié)合；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（1）①/EGH=120。；

②點(diǎn)X到桌面的最大距離為（29+8-）cm；

（2）點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)說得對(duì)，理由見解答部分.

【分析】（1）①易得C￡）E=90°,ZBMG=90°,根據(jù)四邊形的外角和是360°可得/EGH的度數(shù)；

②作OVLGM于點(diǎn)N,DHLAB于點(diǎn)H,分別求得GN和?！钡拈L，再加上HG的長度，即為點(diǎn)”到

桌面的最大距離；

（2）判斷出點(diǎn)G到桌面的距離的表示方法，取幾個(gè)特殊值代入可得點(diǎn)G到桌面的距離，即可判斷哪位

同學(xué)的說法正確.

【解答】解：（1）①延長HG交于點(diǎn)則/8WG=90°,

圖2

,：ZCDG^9Q°,

：.CDE=90°,

:四邊形的外角和為360°,ZACD=60°,

：.ZEGH=360°-90°-90°-60°=120°；

②作DN±GM于點(diǎn)N,DH±AB于點(diǎn)H

H

圖2

：.NDNG=90°,NDHC=90°,

VZACD=60°,CD^16cm,

DH—CD,sin60°=8舊(cm),

\'EG—21cm,ED—5cm,

：.DG=21-5=16(cm),

VZEGH=120°,

:./DGN=60°,

GN—16Xcos60°=8(cm),

"：GH=2\cm,

.?.點(diǎn)X到桌面的最大距離為：21+8+8/=(29+8V3)cm,

答：點(diǎn)H到桌面的最大距離為(29+8百)cm；

(2)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)的說法正確.理由如下：

設(shè)NACZ)=a,則/QGH=180°-a,

：.ZDGN=a,

.?.點(diǎn)G到桌面的距離為：GN+DH^16Xcosa+16Xsina,

當(dāng)NACZ)=60°時(shí)，點(diǎn)G到桌面的距離為(8+8V3)cm,

當(dāng)NACZ)=45°時(shí)，點(diǎn)G到桌面的距離為：16Xcos45°+16Xsin45°=16V2(cm),

當(dāng)NAC￡)=30°時(shí)，點(diǎn)G到桌面的距離為：16Xcos30°+16Xsin30°=(8V3+8)cm,

V8+8V3<16A/2,

...點(diǎn)G到桌面的距離先變大，后變小.

???點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)說得對(duì).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用.把所求的線段合理分割，整理到直角三角形中，是解決本題的

關(guān)鍵.

4

-

19.(2025?浦東新區(qū)一模)如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,5點(diǎn)。是邊48的中

點(diǎn)，過點(diǎn)。作C。的垂線，與邊BC相交于點(diǎn)E.

(1)求線段CE的長;

(2)求sin/BDE的值.

A

【考點(diǎn)】解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】⑴章

7

(2)—.

25

【分析】(1)由勾股定理求出8C,再根據(jù)斜邊上的中線求出A。，ZDCB=ZB,由余弦定理求出CE；

(2)作EfUAB交于尸，在直角三角形中由勾股定理列出關(guān)于8尸的關(guān)系式，從而求出NBOE的正

弦值.

4

【解答】解：(1)-：ZACB=90°,AB=10,cosB=

.BC4

??=一,

AB