中考最值高頻考點(diǎn)訓(xùn)練60題

明考情-知方向

中考幾何最值問題綜合性強(qiáng)，常結(jié)合對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、勾股定理、圓的性質(zhì)等知識(shí)，以下是近年?？碱}型:

(1)將軍飲馬問題(最短路徑)

(2)垂線段最短

(3)動(dòng)點(diǎn)軌跡型

(4)旋轉(zhuǎn)/翻折型

(5)隱圓模型(定角對(duì)定邊

(6)費(fèi)馬點(diǎn)問題

(7)胡不歸

(8)阿氏圓

熱點(diǎn)題型解讀

一、單選題

1.如圖，在RtZiABC中，ABAC=90°,AB=3,8c=5,點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，連接24、將P4沿方

向平移至CQ,連接AQ、PQ,則當(dāng)PQ取得最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為()

【答案】C

【分析】本題考查平行四邊形性質(zhì)和勾股定理，利用勾股定理得到BC邊的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),

得知。P最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點(diǎn)P的位置，再根據(jù)S”B。=SAB°C得到OP'的長(zhǎng)度，繼而

得到PQ的長(zhǎng)度，從而即可得解.

【詳解】解：ABAC=90°,AB=3,BC=5,

AC=7BC2—AB2=4,

四邊形4PCQ是平行四邊形，

PO=QO,CO=AO

?；PQ最短也就是P。最短，

???過。作BC的垂線。P，，垂足為P,連接B。,

???垂線段最短，

???當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)P'處時(shí)，P。最小，即PQ最小，

即如xOP'=^ABx40

'：C0=AO=2,BC=5,AB=3

0P=9，

則PQ的最小值為20P，=w=2.4,

...CP'=70c2一op2=J22-(I)2=I，

o17

BP'=BC-CP'=5--=

???當(dāng)PQ取得最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為手.

故選：c.

2.如圖，N40B=60。，點(diǎn)P是乙2。8內(nèi)的定點(diǎn)且。P=2值，若點(diǎn)M、N分別是射線。4、OB上異于點(diǎn)。的動(dòng)

點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是()

【答案】A

【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)勾股定理，熟練

掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

作點(diǎn)P分別關(guān)于。4。8的對(duì)稱點(diǎn)C,D,連接CD分別交O4OB于點(diǎn)M,N,

得到MP="C,NP=ND,OD=OC=OP=2V3,4BOP=LBOD,AAOP=AAOC,繼而得到

NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD,此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，過點(diǎn)。作OH1CD于點(diǎn)H,得到

ZOCH=乙ODH=1(180°-乙COD)=30°,得出OH=遮，根據(jù)勾股定理求出CH=3,得到CD=6,即

可得到答案.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P分別關(guān)于O4OB的對(duì)稱點(diǎn)C,D,連接CD分別交。4。8于點(diǎn)M,N,

???MP=MC,NP=ND,OD=OC=OP=2?乙BOP=乙BOD,乙AOP=zXOC,

???NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD,

/.COD=乙BOP+乙BOD+/.AOP+/.AOC=2/.AOB=2X60°=120°,

此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，

過點(diǎn)。作0Hle。于點(diǎn)H,

???CH=DH,乙OHD=AOHC=90°,

???OD=OC,

:?乙OCH=乙ODH=|(180°-4COD)=30°,

OH=|ot=[x2V3=V3,

???CH=70c2一OH2=3,

???CD=2CH=6,

PMN周長(zhǎng)的最小值是6,

故選：A.

3.如圖，在四邊形ABDC中，乙4=4。=90。，AC=DC=3,BC=5,若點(diǎn)點(diǎn)N分別在AB邊和CD邊上

運(yùn)動(dòng)，且2M=DN,連接MN,則MN的最小值為()

A

D

A.3B.萼C.4D.喑

【答案】B

【分析】作ABAC的平分線交BC于點(diǎn)O,連接DO/D,OM,ON,4。交BC于點(diǎn)?通過證明三角形全等、

相似，利用全等三角形、相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，最后得結(jié)果.

【詳解】解：如圖：作NR4c的平分線交8C于點(diǎn)O,連接。。/D,OM,ON,AD交BC于點(diǎn)、F.

1

貝此BA。=乙。4c=萬乙BAC=45°,

在Rt△ABC^Rt△DBC^,

-AC=DC,BC=BC,

??.Rt△ABC=Rt△DBC(HL),

???Z-ACB=Z-DCB,

在△AOC和△DOC中，

???AC=DC^ACB=乙DCB,CO=CO,

???△/OCW2XDOC(SAS),

??.AO=DO,/LOAC=乙ODC=45°,

Z.BAO=Z-ODC,

在△OMZ和△OND中，

???AM=DN,乙BAO=乙ODC,OA=OD,

??.△OMA=△ON。(SAS),

OM=ON,Z.AOM=乙DON,

???乙MON=2LAOM+乙AON,乙AOD=乙AON+乙DON,

???乙MON=^AOD,

.絲=”

X'OAOD'

:AMONMAOD,

.MN__OM

''~AD一~0A"

過點(diǎn)。作。El48于E,

則OEIIAC,

OEBs^CAB,

OE_BE

''~CA~~BA"

.OE__

','CA-BA'

OF

tanZ-BAO=—AE=1,

OE=AE,

??.AB=7BC2-AC2="52—32=4,

OE4-OE

,?-T—4，

12

OE=AE=

OA='OE2+旃=苧，

在和△DCF中，

???AC=DC^ACB=乙DCB,CF=CF,

.-.AXCF=ADCF(SAS),

/.AFC=乙DFC,AF=DF,

???Z-AFC+^DFC=180°,

???/.AFC=90°,

???AF1BC,

^AABC=-AC=6,

S^ABC=^BC^AF=^AF=6,

12

.?.AF=DF=

24

??.AD=AFDF=y,

—,OM7、萬

???.MN=^jr=?OM,

-----5

???當(dāng)。M取最小值時(shí)MN的值最小,

?:點(diǎn)O為定點(diǎn)，

???當(dāng)。AB時(shí)0M的值最小,

OE1AB,

OM的最小值為。E的值，

:.MN=嗎喏=誓,

???MN的最小值為岑

故選：B.

4.如圖，直線y=/+3與久軸、y軸分別交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C(l,0)為圓心，1為半徑的圓上任意一點(diǎn),

連接P4PB,則△P4B面積的最小值是()

【答案】A

【分析】作于H交O。于E、F,當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，△P4B的面積最小，求出EH、4B的長(zhǎng)即可解

決問題.

【詳解】解：直線y=+3與x軸、y軸分別交于4B兩點(diǎn)，

令％=0,則y=3,令y=0,則%+3=0,

解得，%=-4,

???4(-4,0),8(0,3),

：.OA=4,OB=3,且乙4。8=90°,

：.AB=5,

.…cOB3…cOB3

：.s\nZ-OAB=—=tanZ.OAB=—=-

AB5OA4

如圖所示，作C”14B于“交。。于E、F,過點(diǎn)“作HG1久軸于點(diǎn)G,

.'.AC=1—(—4)=5,

在RtzXACH中,sin/CA”=sin/OAB=穿=I，

.-.CH=3,

■.EH=3-1=2,

當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，△PAB的面積最小，最小值=：x5x2=5,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、銳角三角形函數(shù)的計(jì)算、一次函數(shù)的性

質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用直線與圓的位置關(guān)系解決問

題.

5.如圖，等腰三角形4BC的底邊8c長(zhǎng)為8,面積是48,腰力C的垂直平分線EF分別交4C,4B邊于E,F

點(diǎn).若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則ACDM周長(zhǎng)的最小值為()

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短路徑，解

題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

連接4D，根據(jù)EF是線段2C的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4故2D的長(zhǎng)為CM+MD

的最小值，由于aABC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，故2D18C,根據(jù)三角形的面積公式求出2。

的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】連接2。，4。與EF的交點(diǎn)為M,

??,EF是4C的垂直平分線,

C點(diǎn)與4點(diǎn)關(guān)于直線EF對(duì)稱,

CM+MD=AD,

此時(shí)△CDM周長(zhǎng)最小,

???△ABC是等腰三角形，。是BC的中點(diǎn),

AD1BC,

???BC長(zhǎng)為8,面積是48,

：.AD=12,

???△COM周長(zhǎng)最小=AD+CD=12+4=16,

故選：C.

6.如圖，△4BC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,線段DE長(zhǎng)是5,且兩個(gè)端點(diǎn)。、E分別在邊AC,BC

上滑動(dòng)，點(diǎn)M、N分別是DE、48的中點(diǎn)，求MN的最小值（）

A.2B.2.53.5

【答案】B

【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理,最短距離等知識(shí)，連接CM、CN,

由勾股定理求得2B=10,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CN=5,CM=2.5,當(dāng)C、M、N在同一

直線上時(shí)，MN取最小值，即可得出答案，熟練掌握其性質(zhì)得出C、M、N三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，MN取最

小值是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接CM、CN,

在△48C中，^ACB=90°,

由勾股定理得：AB=7AC2+8c2=V62+82=10,

???N2CB=90。，點(diǎn)M、N分別是DE、4B的中點(diǎn)，

CN=gx10=5,CM=^DE=|x5=2.5,

???當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，

??.MN的最小值為：5-2.5=2.5,

故選：B.

7.如圖，4B=4C=12,ABAC=120°,ADIAB交8c于點(diǎn)D,P是4B中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ||8C交4。于點(diǎn)。.

MN在線段BC上，且MN=3g,則PM+QN的最小值是（）

【答案】A

【分析】作點(diǎn)尸關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)尸，過點(diǎn)〃作MEIINQ交PQ于點(diǎn)￡,連接PF,BF,EF,MF,根據(jù)勾股定

理得到力。=48，BD=8V3,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙4PQ=NB=30。，再利用勾股定理得出

AQ=QD,求出PQ=4K,證明△EMX三△（?人「得到ME=QN,由此PM+QN=MF+ME,當(dāng)尸,

M,￡三點(diǎn)共線時(shí)，PM+QN的值最小，即線段EF的長(zhǎng)，證是等邊三角形，PF=BP=，B=6,

利用勾股定理求出EF.

【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)凡過點(diǎn)M作MEIINQ交PQ于點(diǎn)￡,連接P￡8F,EF,MF,作

EX1BC,QYIBC,

?MB=AC=12,/^BAC=120°,

;/B—Z-C=30°,

-AD1ABf

??.BD=2AD,

/.122+AD2=BD2,即122+AD2=(2/0)2,

.\AD=4百\BD=8百\

.PQIIBC,

：.Z.APQ=AB=30°,

???P是PB中點(diǎn),

：.AP=^AB=6,

設(shè)AQ=a,則PQ=2a,

.,.62+a2=(2a)2,

??.a=2V3,即ZQ=2V3,

??.DQ=AD-AQ=4V3-2^3=2g,PQ=4K，

：.AQ=QD,

-MEWNQ,

?"MX=乙QNY,

-PQIIBC,

：.EX=QY,

在△EMX和△QNY中，

(AEMX=Z.QNY

\z-EXM=乙QYN

IEX=QY

...△EMX=△QNY,

.'.ME=QN,

.-.PM+QN=MF+ME,當(dāng)凡M,E三點(diǎn)共線時(shí)，PM+QN的值最小，即線段EF的長(zhǎng)，

■.BP=BF,^ABC=乙CBF=30°,

.?.△BPF是等邊三角形，

■,PF=BP=^AB=6,

-：EQ=MN=3V3,

■■-PE=V3,

■.-Z.FPE=90°,

■■■EF=7PE2+PF2=V3+62=V39-

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì),

熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在正方形2BCD中，AB=2,點(diǎn)E是4B邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是4。邊的上任意一點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EG,連接BG,則AEBG周長(zhǎng)的最小值為（）

A.3B.2+V2C.1+V5D.2

【答案】C

【分析】過點(diǎn)G作MN||BC,分別交AB,CD于點(diǎn)M,N,連接CG,CE,先證出根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得MG=/E=1,從而可得MG=NG,再證出△BMGw△CNG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得BG=CG,從而可得aEBG的周長(zhǎng)為BE+EG+BG=1+EG+CG,然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可

得當(dāng)點(diǎn)E,G,C共線時(shí)，EG+CG取得最小值，最小值為CE,由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作MNIIBC,分別交ZSCD于點(diǎn)M,N,連接CG,CE,

???在正方形ZBCD中，48=2,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，

乙

：.BC=AB=2,BE=AE=lfAA=Z.ABC=BCD=90°,AB||CD,

???四邊形8CNM是矩形，

；.MN=BC=2,BM=CN/BMG=乙CNG=90°,

：.￡.EMG=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：EG=FE,Z,FEG=90°,

.'.Z.AEF+^MEG=90°,

又???乙4=90°,

.'.Z.AEF+^AFE=90°,

；ZMEG=AAFE,

在△MEG和中，

(AEMG=Z.A=90°

］乙MEG=Z.AFE,

IEG=FE

??.△MEG=△AFE(AAS),

,.MG=AE=1,

：.NG=MN-MG=1,

.?.MG=NG,

在△BMG和△CNG中，

（BM=CN

\^BMG=Z.CNG=90°,

IMG=NG

：.ABMG=ACNG（SAS）,

??.BG=CG,

??.△EBG的周長(zhǎng)為BE+EG+BG=1+EG+CG,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E,G,C共線時(shí)，EG+CG取得最小值，最小值為CE='BC?+BE2=店,

△EBG周長(zhǎng)的最小值為1+V5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、矩形的判定與

性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

9.如圖，A,B為。。上兩點(diǎn)，^AOB=90°,C為。。上一動(dòng)點(diǎn)（不與4B重合），。為47的中點(diǎn).若。。

的半徑為2,則BO的最大值為（）

A.1+V5B.V5C.3D.2V2

【答案】A

【分析】本題考查了中位線的性質(zhì)，三角形邊長(zhǎng)關(guān)系，勾股定理，連接C。，取4。的中點(diǎn)E,連接

根據(jù)中位線的性質(zhì)可得DE=*。=1,再利用勾股定理求得BE,根據(jù)三角形邊長(zhǎng)關(guān)系可得

DB<DE+BE,即可解答，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接CO,取4。的中點(diǎn)E,連接DE,BE,

I、一—7b????0為AC的中點(diǎn)，4。的中點(diǎn)E,

DE=^C0=1,OE=jxO=1,

???AAOB=90°,

BE='OE?+BE2=V5,

根據(jù)三角形邊長(zhǎng)關(guān)系可得BE-DE<BD<BE+DE,

.-■BD的最大值為BE+DE=V5+1,

故選：A.

二、填空題

10.如圖，拋物線y=*2—4與支軸交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以拋物線的頂點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)Q是線段尸3的中點(diǎn)，連接則線段。。的最小值是.

【答案】V5—1

【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形中位線定理，連接

AC.EB,設(shè)4C的延長(zhǎng)線交OC于E,先求出點(diǎn)4(-2,0),點(diǎn)8(2,0),點(diǎn)C(0,-4),由此得OQ是△的2的

中位線，則OQ=9P,因此當(dāng)4P為最小時(shí)，OQ為最小,根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知4E為最小，然后

再求出4E的長(zhǎng)即可得出OQ的最小值.

【詳解】解：連接設(shè)4C交OC于￡,如圖所示:

對(duì)于拋物線y=X2-4,當(dāng)x=0時(shí),或x=2,

二點(diǎn)4(—2,0),點(diǎn)點(diǎn)C(0,—4),

：.OA=OB=2,OC=4,

???點(diǎn)。是BP的中點(diǎn)，

；.0Q是△ABP的中位線，

.■.OQ=^AP,

.?.當(dāng)4P為最小時(shí)，0Q為最小，

根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知：點(diǎn)/到OC上各點(diǎn)的距離中，&E為最小，

???當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)￡重合時(shí)，0Q為最小，最小值為豺岳，

在Rt^CMC中，由勾股定理得：AC=VOA2TOC2=2V5,

?；OC的半徑為2,

：.AE=AC-CE=245-2,

■■■^AE=V5—1,

”0Q的最小值為逐一1.

故答案為：y/5—1.

11.如圖，在矩形4BCD中，AB=15,AD=6,E,廠分別是AB和DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，”為BC的中點(diǎn)，則

DE+EF+FM的最小值是.

【答案】15四

【分析】本題考查軸對(duì)稱-最短路線問題、矩形的性質(zhì)，作點(diǎn)。關(guān)于2B的對(duì)稱點(diǎn)ZT,作點(diǎn)M關(guān)于CD的

對(duì)稱點(diǎn)連接。D'E,FM1,則所求的最小值即為。即，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：作點(diǎn)。關(guān)于4B的對(duì)稱點(diǎn)。，作點(diǎn)加■關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)連接。D'E,FM',

則DE+EF+FM=D'E+EF+FM'>D'M',

.?.當(dāng)D',E,F,眩在同一條直線上時(shí)，所求的DE+EF+FM最小，最小值即為。州的長(zhǎng),

?矩形48CD中，AB=15,AD=6,

：.AB=CD=15,AD=AD'=BC=6,

過點(diǎn)M作20的垂線，交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，則四邊形DCM7/為矩形，

：.HM'=AB=15,

為BC的中點(diǎn)，AD=BC=6,

：.MC=CM'=DH^3,

■.HD'=AD+AD'+DH=6+6+3=15,

???D'M'=7HD，2+HM，2=V152+152=15V2,

.■.DE+EF+FM的最小值是15位.

故答案為：15五.

12.如圖，在直角△A8C中，NC=90。，AC=6,BC=8,AB=10,D、E、尸分別是AB、BC、AC邊上

的動(dòng)點(diǎn)，則DE+EF+DF的最小值是__.

【答案】9.6

【分析】本題考查了軸對(duì)稱一路徑最短問題，作。關(guān)于直線4c的對(duì)稱點(diǎn)M,作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)

N,連接CM,CN,CD,DN,DM,EN,FM.,推出乙DCN+=180。，可得M、C、N共線，由

DF+DE+EFDM+DE+EN,DM+DE+EN>MN,可知F、E、M、N共線時(shí)，且CD1AB時(shí)，

DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解決問題理解轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖作。關(guān)于直線4C的對(duì)稱點(diǎn)M,作。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)N,連接CM,CN,CD,DN,

DM,EN,FM.

.-.CD=CM=CN

■■■/.MCA=Z.DCA,乙BCD=ABCN,NBCD+NACD=90°,

NDCN+NDCM=180°,

???M、C、N共線，

DF+DE+EF=FM+EF+EN,

???FM+EF+EN>MN,

二當(dāng)F、E、M、N共線時(shí)，且CD14B時(shí)，DE+EF+尸。的值最小，最小值=2CD,

CD1AB,

???AB-CD=BC,AC,

CD=4.8

??.DE+EF+OF的最小值為9.6.

故答案為：9.6.

13.如圖，四邊形2BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是平面內(nèi)一點(diǎn)，AE=AB,將EB繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。

得到線段EF,連接力F.則4F長(zhǎng)的最小值為

【答案】2V2-2

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，

證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

通過證明△ABFsaOBE,可得=則當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，OE有最小值為2—夜，即4尸的最

小值為2四-2.

【詳解】解:如圖，連接AC,BD,交于點(diǎn)。，連接OE,BF.

AB——

cosZ-ABO=V2B0=2,

BO=AO—y/2,

???將繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF,

??.BE=EF,乙BEF=90。,

???乙EBF=乙EFB=45°,

BE

BF==y/2BE,

sinZ.EFB

???Z-FBE=Z-ABO,

???Z-ABF=Z-OBE,

ABBFr-

又RP

~DoUn=~DC=V2,

??.△ABF~AOBE,

,，AF=歷r-

?1.AF=V20F,

AB—AE—2,

當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，OE有最小值為2—V2,

.??4F的最小值為2四—2.

故答案為：2金—2

14.如圖，在Rt^4BC中，ABAC=90°,AB=5,AC=12,點(diǎn)。是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作DM14B

于點(diǎn)M,DNJ.AC于點(diǎn)N,連接MN,則線段MN的最小值為.

【答案】居

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再證明四邊形DM4N是

矩形，可得MN=AD,根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題.

【詳解】解：；NB4C=90。，BA=5,AC=12,

-BC=7AB2+\C2=13,

-：DMLAB,DNLAC,

.-./.DMA=乙DNA=4BAC=90°,

.1四邊形OMAN是矩形，

■.MN=AD,

.?.當(dāng)ADIBC時(shí)，力D的值最小，

此時(shí)，△48。的面積=33*2。=28。*4。，

??.MN的最小值為詈

故答案為：5.

15.如圖，在正方形28CD中，4B=2,點(diǎn)E,尸分別在邊AB,8C上，AE=BF,連接DE與4F交于點(diǎn)G,連

接BG,貝/G的最小值為.

cFB

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】要想求出BG的最小值，要把它轉(zhuǎn)化到△BGM中，并且M取力D的中點(diǎn)，運(yùn)用直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半，求出GM的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出8M的長(zhǎng)度，根據(jù)三邊關(guān)系

BG+GM>BM,即可得到BG的最小值.

【詳解】解：取an的中點(diǎn)M,連接BM,GM,

則DM=AM=^AD=^AB=1,

■■-BM=>MM2+482="2+22=V5.

?.?四邊形4BCD是正方形，

：.DA=4B=2,/.DAE=4ABF=90°.

'.'AE=BF,

.'.ADAE=AABFf

：.Z.ADE=Z-BAF.

-ABAF+ADAF=90°,

：.Z.ADE+^DAF=90°,

；/DGA=90°.

■.-GM=^AD=1.

：BG+GM>BM,

：.BG>BM-GM,

??.BG的最小值為左-1.

故答案為：V5—1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形全等，三邊關(guān)

系等知識(shí)點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是要作出△BGM.

16.如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.如果D,E分別為BC,4B上的動(dòng)點(diǎn)，那么AD+DE

的最小值是.

【答案】y

【分析】延長(zhǎng)AC到點(diǎn)R使得47=CF,則直線BC是線段4F的垂直平分線，連接OF,BF,于是得到

AD=DF,AB=BF,于是力D+QE就變成了DF+DE,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以垂線段最短原理，得到

DF+DE的最小值就是△4BF的高，過點(diǎn)尸作FG1于點(diǎn)G,求FG即可.

此題考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，垂線段的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的面積求高等，熟練掌握以

上性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：延長(zhǎng)4C到點(diǎn)凡使得4C=CF,

-AACB=90°,

???直線BC是線段ZF的垂直平分線，

連接。

.'.AD=DF,AB=BF,

+DE就變成了。F+DE,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以垂線段最短原理，得到OF+DE的最小值就是△r的高,

過點(diǎn)尸作FG1AB于點(diǎn)G,

-/.ACB=90°,AC=3fAB=5,

：.AF=2AC=6,BC=y/AB2—AC2=4,

1i

-SAABF=^AF-BC=^AB-FG,

.*.6x4=5FG,

24

：.FG=y.

故答案為：g.

17.如圖，在矩形4BCD中，4)=5,48=3仃，點(diǎn)￡在邊48上，AE：EB=1:2,在矩形內(nèi)找一點(diǎn)尸，使

得4BPE=60°,則線段DP的最小值為.

【答案】2V7-2

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是

判定點(diǎn)尸在而所對(duì)圓周角NBPE=60。的圓。上運(yùn)動(dòng).

點(diǎn)尸在場(chǎng)所對(duì)圓周角NBPE=60。的圓。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DP的延長(zhǎng)線過圓心。時(shí)，PD有最小值，連接OE,

OB,過。作。HlBE于〃，過。作。Ml4。于求出BE=2g,AE=^3,由等腰三角形的性質(zhì)推

出NE?！?建BOE,EH=1BE=V3,由圓周角定理得到NBOE=24BPE=120°,由tan/E。"=察=

ZZUn

V3,求出。H=l,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到PO=OE=2OH=2,判定四邊形AHOM是矩

形，得到AM=OH=LOM=AH,由勾股定理求出。。的長(zhǎng)，即可得到答案.

【詳解】解：點(diǎn)P在前所對(duì)圓周角NBPE=60°的圓。上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)DP的延長(zhǎng)線過圓心。時(shí)，有最小值，連接。&OB,過。作OH1BE于“，過。作。

M,

■：AE-EB=1:2,AB=3VI,

BE—2V3,AE-V3,

???OE=OB,OH1BE,

乙EOH=34BOE,EH=^BE=V3,

.:LBOE=24BPE=120°,

.?.NE。"=60",

EH1—

tanZ.EOH=tan60°=—Un=V3,

OH=1,

???乙OEH=90°-60°=30°,

.?.po=OE=2OH=2,

???四邊形ZBCO是矩形，

/.A=90°,

VAAMO=AAHO=90°,

四邊形2H0M是矩形，

■■.AM=OH=1,OM=AH,

DMAD-AM=5-1=4,

???AH=AE+EH=2V3,

OM=2V3,

...OD=7DM2+0M2=2V7,

：.PD=PO-OP=2V7-2,

P。的最小值是2夕一2,

故答案為：2夕—2.

18.已知，如圖點(diǎn)N是直線y=—x—6上任意一點(diǎn)，點(diǎn)8在以M(—3,3)為圓心1為半徑的圓上，以N5為底

邊作等腰直角△ABC(A,B、C按逆時(shí)針順序排列)，連接OC,則OC的最小值是.

【答案】6—?

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰三角

形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形成為解題的關(guān)鍵.

如圖：OM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到。孫，8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為防,連接貝l」OB=。名,

如(3,3)；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推得△CBO“△ABBi得至IJC。=孚4%,只需求出妣的最小值;

如圖：當(dāng)4當(dāng)幽1共線且垂直于直線y=—%—6時(shí)，取最小值；然后說明點(diǎn)4(—3,—3),運(yùn)用兩

點(diǎn)間距離公式得到4Mi=6vL進(jìn)而得到AB】的最小值為6或—1,最后代入C。=*!Bi即可解答.

【詳解】解：如圖：OM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到O%,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為名，連接0C,0BHMi，08i/Bi，則

OB=OB1,Mi(3,3),

"OBB1=45°,BB]=JOB2+OB^2=y/20B

???以AB為底邊作等腰直角△ABC,

：.Z-ABC=45°,AB=y/AC2+BC2=聞C,

;/ABC=Z-OBBi

：.^ABC+(ABO=Z-OBBr+A.ABO,即=4ABB1,

BBiABr-

''~0B~'BC~72,

；.ACBO~AABBi，

.?察=衣■，即c。卷網(wǎng),

要求c。的最小值，直接求得481的最小值即可，

如圖：當(dāng)4Bi，Mi共線且ZBi垂直于直線y=—x—6時(shí)，4當(dāng)取最小值,

設(shè)直線y=—%—6與了軸的交點(diǎn)為E,過工作力。1y軸與D,

當(dāng)久=0時(shí)，y=—6,即E(0,—6),

；.OE=6,

???直線y=—%—6與y軸正方向的夾角為45。，

.?.△AOE是等腰直角三角形，

：.OA—AE,

-AD1y軸，

i

-，0D=DE=AD=-OE=3,即力(—3,—3),

=J(—3—3)2+(—3—3)2=6V2,

：.ABr=AMr-M1B1=6V2-1,即ZB1的最小值為6魚-1.

-0C的最小值為CO=爭(zhēng)IB1=字(6近—1)=6—浮

故答案為：6—乎.

19.如圖，△ABC中，ABAC=90°,AB=4,AC=3,點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上運(yùn)動(dòng)，且BD=CE,連接

AE.CD,貝ME+CD的最小值為.

【答案】V34

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的性質(zhì)，勾股定理，理解兩點(diǎn)之間線段最短,

過點(diǎn)C作CNII4B,使CN=BC,連接EN,AN,證明△BCD和△CNE全等得CD=EN,則

AE+CD=4E+EN,根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短"得當(dāng)點(diǎn)4E,N在同一條直線上時(shí)，AE+EN為最小,

最小值為線段2N的長(zhǎng)，貝ME+CD的最小值為線段AN的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CN=CB=5,再證明

^ACN=90°,然后由勾股定理求出4N即可得出答案.熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾

股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵，正確地添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的難點(diǎn).

【詳解】解：過點(diǎn)C作CNII2B,使CN=BC,連接EN,AN,如圖所示：

在△BCD和aCNE中，

(BD=CE

]4ECN=NB,

IBC=CN

：.△BCD三△CNE(SAS),

???CD=EN,

???AE+CDAE+EN,

根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短"得：AE+EN>AN,

???當(dāng)點(diǎn)4E,N在同一條直線上時(shí)，4E+EN為最小，最小值為線段4V的長(zhǎng),

AE+CD的最小值為線段4V的長(zhǎng)，

???△ABC中，^BAC=90°,AB=4,AC=3,

由勾股定理得：CB=+4C2=5,

???CN=CB=5,

v^BAC=90°,

:.乙B+AACB=90°,

???AECN+/.ACB=90°,

即41CN=90°,

△acN是直角三角形，

由勾股定理得：AN=y/AC2+CN2=V32+52=V34,

.?.4E+。￡>的最小值為舊.

故答案為：V34.

20.如圖，在△力8c中，乙4cB=90。，ZB=30°,動(dòng)點(diǎn)M、N分別在BC、上，且AN=2BM>0,連接

AM,CN.若4C=1,則CN+24M的最小值為___.

【答案】V17

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵；通過

證明△ANCSABM//,可得MH=^CN,由CN+2AM=26CN+aM)=2(MH+4M),則當(dāng)點(diǎn)4點(diǎn)

M,點(diǎn)”三點(diǎn)共線時(shí)，MH+AM有最小值，即CN+24M有最小值，由勾股定理可求解.

1

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作且8”=5，連接M”，

M^B

H..乙ACB=90°,乙B=30°,

AB=2AC=2,^CAB=60c

vBHLAB,=30°,

/.ACBH=60°=乙BAC,

1

VAN=IBM,AC=1,BH=-,

.BM__BH_1

,?~AN~~AC_2f

??△ANC~ABMH,

MH_1

"~CN-2f

CN+2AM=2(|c/V+AM)=2(MH+AM),

???當(dāng)點(diǎn)4點(diǎn)M,點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，+有最小值，即CN+24M有最小值，

???CN+2AM的最小值為2卜+；=V17,

故答案為：V17.

21.如圖，直角三角形4BC中，N2CB=90。，Z_B=30。，2B長(zhǎng)為4,射線CDII48,點(diǎn)E為射線CD上一點(diǎn),

過點(diǎn)E作EF1BC于點(diǎn)F,連接2E,點(diǎn)M為2E中點(diǎn)，則MF的最小值為_.

2

A

【答案】孚

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，延長(zhǎng)EF交4B于點(diǎn)N,

連接CM,MN,易得四邊形力NEC是平行四邊形，進(jìn)而得到三點(diǎn)共線，再利用直角三角形的性質(zhì)得

到MF=iCN,當(dāng)CN1CD時(shí)，CN有最小值，即MF有最小值,求出N4CN=30°,即可求出力N=

=1,利用勾股定理即可求出CN,即可解答.

【詳解】解:延長(zhǎng)EF交于點(diǎn)N,連接CMMN,

—D

AN

?;EF工BC,

:/CFE=90°,

-L.ACB=90°,

：.AC||EN,

-CD||AB,

???四邊形/NEC是平行四邊形，

???點(diǎn)M為4E中點(diǎn)，

.?CMN三點(diǎn)共線,

MCFN=90°,

：.MF=^CN,

當(dāng)CN1CD時(shí)，CN有最小值，即MF有最小值，

????△RC△中,28=30°,AB=4,

.-.AC=^AB=2,^BAC=60°,

MNCD=9Q°,CD||AB,

:.ACNA=90°,

:ZACN=30°,

.■.AN=^AC=1,

■■CN='AC2—AN2=V3,

.■,MF=*N=孚，

??.MF的最小值為手

故答案為：字

22.如圖，在矩形4BCD中，AB=6,AD=8,AE=BE,F是BC一動(dòng)點(diǎn)，△EB/是由△EBF沿直線EF翻

折得到，連接夕D,則夕。的最小值是.

【答案】V73-3

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，確定點(diǎn)所在何

位置時(shí)，的值最小是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可推出點(diǎn)所在以E為圓心區(qū)4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，得到當(dāng)

E、B\。共線時(shí)，B7）的值最小，根據(jù)勾股定理求出DE,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知EB=EB，=3,即可求

出B'D.

【詳解】解：由折疊可得：EB'=EB,

AE—BE,AB—6,

AE=EB=EB'=^AB=1X6=3,

點(diǎn)所在以E為圓心瓦4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)E、B'、D共線時(shí)，9D的值最小，如圖，

BFC?.?四邊形4BCD矩形，

zx=90°,

在RtaADE中，-：AD=8,AE=3,

...DE=7AD2+4E2=V82+32=V73,

B'D=DE-EB'=V73-3.

故答案為：V73—3.

23.如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，尸是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,線段BP以2為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段BQ,連接MQ.若AB=4,MP=L則MQ的最小值為.

【答案】2V10-1

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.連接BM,將BM以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,由P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓

心，1為半徑的半圓，可得：Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，再根據(jù)"圓外一定點(diǎn)到圓上任

一點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短"，所以當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共

線時(shí)，MQ的值最小，可求ME=&BM=2VTH從而可求解.

【詳解】解：如圖，連接BM,將以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

???P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，

.?.Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，

如圖，當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，MQ的值最小，

???四邊形4BCD是正方形，

???CD=AB=BC=4,NC=90°,

是CM的中點(diǎn)，

???CM=2,

???BM=7cM2+BC2=A/22+42=2瓜

由旋轉(zhuǎn)得：BM=BE,

ME=V2BM=2710,

???MQ=ME-EQ=2V10-1,

??.MQ的值最小為2715—1.

故答案為：2V10-1.

24.如圖，在aaBC中，乙4cB=90。，4C=BC=3,。是平面內(nèi)一點(diǎn)，BD=1,連接CD.將線段CD繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段C。，連接B。，貝的最大值為,最小值為.

【答案】3魚+1/1+3魚3V2-1/-1+3V2

【分析】本題主要考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。在以點(diǎn)

B為圓心、1為半徑的圓上和點(diǎn)。在以點(diǎn)A為圓心、1為半徑的圓上并畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

如圖：連接40，，由勾股定理可得4B=3魚，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)。在以點(diǎn)B為圓心，1為半徑的

圓上；然后再證明三△BCD(SAS)可得==1,點(diǎn)。在以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓

上.然后畫出圖形，根據(jù)圖形求最值即可.

【詳解】解：如圖：連接4。，

AB=7AC2+BC2=3V2.

是平面內(nèi)一點(diǎn)，BD=1,

???點(diǎn)。在以點(diǎn)B為圓心，1為半徑的圓上.

VAACB=90°,/.DCD'=90°,

/-ACD'=2BCD.

在△ZC。與△BCD中，

AC=BC

乙4cO'=乙BCD,

、CD'=CD

???△/CD'三△BCD(SAS),

AD'—BD=1,

???點(diǎn)。在以點(diǎn)4為圓心，1為半徑的圓上.

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段B4的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最大,

.-.BD'=AB+AD'=3V2+1,即的最大值為3魚+1；

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段力B上時(shí)，BZT有最小值，

.-.BD'AB-AD'=3V2-1,即B。的最小值為3近—1.

25.如圖所示，在扇形。力B中，ZXOB=90°,半徑。4=4,點(diǎn)尸在而上，且麗=2通.點(diǎn)C、。分別在

線段。4、0B上，CD=4,E為CD的中點(diǎn)，連接EF.在CD滑動(dòng)過程中(CD長(zhǎng)度始終保持不變)，當(dāng)EF

取最小值時(shí)，BD的長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】本題考查弧與圓心角的關(guān)系，線段最小值問題，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明

確當(dāng)。，E,F共線時(shí)，EF的值最小，止匕時(shí)NEOD=60°.

連接。F,0E,結(jié)合題意得4BOF=60。，再求出當(dāng)。，E,F共線時(shí)，EF的值最小，此時(shí)NE。。=60。,

得△DOE為等邊三角形，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。F,OE,

???/.AOB=90°BF=2AF,

：.Z.BOF=60°,

???￡為CD的中點(diǎn)，

OE=CE=DE=^CD=2,

OF=4,

：.EF>OF-OE=2,

.??當(dāng)。，E,尸共線時(shí)，EF的值最小，如圖,

此時(shí)，乙EOD=