2025屆中考復(fù)習(xí)專題13:幾何選填壓軸之一題多解與題多變⑴

一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略........................................2

【變式11直線型瓜豆最值...................................................2

【變式2】圓弧型瓜豆最值問題...............................................2

【變式3】路徑問題..........................................................3

【變式4]瓜豆+將軍飲馬....................................................3

【變式5】瓜豆+胡不歸.......................................................4

二、廣州市2022中考真題：加權(quán)線段和最值問題?7種解法................................6

【變式1】阿氏圓問題（3類）................................................6

【變式2】加權(quán)費(fèi)馬點問題...................................................7

【變式3]胡不歸問題（3類）..................................................7

【變式4】加權(quán)逆等線問題...................................................8

【變式5】瓜豆加權(quán)線段和問題...............................................8

【變式6】2024?四川瀘州?中考真題............................................9

【變式7】2024?四川涼山?中考真題............................................9

三、成都?2024四川師大附中九年級B卷壓軸:相似構(gòu)造一題10解......................10

【變式1】2024深圳坪山區(qū)中考一模..........................................10

【變式2】2023武漢中考幾何壓軸............................................10

【變式3】2024深圳南山區(qū)部分學(xué)校中考一模壓軸.............................12

【變式4]2025成都青白江區(qū)統(tǒng)考B卷壓軸...................................12

四、深圳?2024中考真題填空壓軸：結(jié)合相似求比值?一題5解............................13

【變式1】四川省遂寧市九年級填空壓軸......................................13

【變式2】線段比轉(zhuǎn)化為相似比..............................................13

【變式3】求線段比.........................................................14

五、深圳市寶安中學(xué)九年級聯(lián)考壓軸：旋轉(zhuǎn)六法構(gòu)造手拉手共8種解法.....................14

【變式1】2022深圳中考填空壓軸............................................15

【變式2]2024-2025學(xué)年深圳市九年級二十校聯(lián)考壓軸........................15

【變式3】湖北襄陽?中考真題................................................15

【變式4】2020武漢市中考幾何壓軸..........................................16

六、深圳市二模壓軸:1234模型,45。與線段比構(gòu)造相似一題6解........................16

【變式1】12345模型.......................................................16

【變式2】線段比構(gòu)造相似...................................................17

【變式3】利用特殊角度解三角形............................................18

一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略

如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為8C上一點，且8￡=1,尸為AB邊上的一個動點，連接ER

以跖為邊向右側(cè)作等邊△￡/&連接CG,則CG的最小值為.

【變式1】直線型瓜豆最值

【練1-1】如圖，正方形A8CD的邊長為4,E為3c上一點，且8E=1,F為AB邊上的一個動點,

連接EF,以EF為底向右側(cè)作等腰直角AE/G,連接CG,則CG的最小值為.

【練1-1］如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.P是對角線AC上的動點，連接DP.將直線DP繞點P順

時針旋轉(zhuǎn)，使Nl=/2,且過點D作DGLPG,連接CG.則CG最小值為

【變式2】圓弧型瓜豆最值問題

【練2-1】如圖，AB=4,O為鉆的中點，的半徑為1,點尸是。。上一動點，以尸3為直角

邊的等腰直角三角形P3C（點P、B、C按逆時針方向排列）,則線段AC的長的取值范圍為.

【練2-2】如圖，在△ABC中，AB=8,AC=3石，將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接AD,

則AD的最大值是.

【變式3】路徑問題

【練3-1】如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=4,動點E從點A運(yùn)動到點，以CE為邊在CE

的右側(cè)構(gòu)造正方形CEFG,連接AF,則AF的最小值為，點尸運(yùn)動的路徑長為.

【練3-2】如圖，在正方形ABCD中，AB=8,點E在邊AD上，且A￡>=4AE,點尸為邊上的

FF

動點，連接PE,過點E作砂_LPE,交射線BC于點E則y=_____,若點M是線段所的中點，

PE

則當(dāng)點P從點A運(yùn)動到點B時，點M運(yùn)動的路徑長為.

【變式4】瓜豆+將軍飲馬

【練4-1】如圖1,對于平面內(nèi)的點A、P,如果將線段總繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸B,就稱

點8是點A關(guān)于點P的“放垂點如圖2,已知點4(4,0),點尸是y軸上一點，點B是點A關(guān)于點

圖1圖2

A.4B.4A/5C.8D.86

【練4-2】如圖，在矩形ABC。中，AB=4,8C=9,M為8c上一點，連接MA,將線段繞點M

順時針90。得到線段MN,連接CMDN,則CN+OV的最小值為.

【變式5】瓜豆+胡不歸

【練5-1】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(0,2),點C的坐標(biāo)是(0,-2).點3(x,0)是x軸上的

動點，點8在X軸上移動時，始終保持△ABP是等邊三角形(點P不在第二象限),連接尸C,求得

A.473B.4C.2A/3D.2

【練5-2】綜合與實踐課上，徐老師和同學(xué)們開展了一場以“最值”為主題的探究活動.

E

【提出問題】徐老師提出了一個問題：如圖1,在矩形ABC。中,AB=6,BC=12,尸為邊上

的一動點，以PC為邊向右作等邊APCE,連接8E,如何求BE的最小值?

【探究發(fā)現(xiàn)】小亮發(fā)現(xiàn):如圖4所示，以BC為邊向下構(gòu)造一個等邊ABCM,便可得到APCM當(dāng)AECB,

進(jìn)而將BE的最小值轉(zhuǎn)化為PM的最小值的問題.

(1)按照小明的想法，求證：APCM冬AECB；并求出BE的最小值.

【拓展應(yīng)用】

(2)小剛受此啟發(fā)，舉一反三，提出新問題：如圖2,若將圖1當(dāng)中構(gòu)造的等邊三角形，改為以PC

為邊向右構(gòu)造正方形PC尸G,在運(yùn)動過程中，求出BG的最小值.

(3)小紅同學(xué)深入研究了小剛的問題，并又提出了新的問題：如圖3,若將圖2當(dāng)中構(gòu)造的正方形

改為以PC為邊向右構(gòu)造菱形PC印，使NCP/=120。，請求得8/的最小值；再請你直接寫出

BI+J3BH的最小值_______.

(4)第二天徐老師對同學(xué)們說：我看到了大家在解決復(fù)雜問題時所展現(xiàn)出來的創(chuàng)造力和邏輯思維能

力，這正是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義所在，并又提出了新的問題：求走8/-'pa的最大值.

32

二、廣州市2022中考真題：加權(quán)線段和最值問題?7種解法

如圖，在菱形A8CD中，ZBAD=120°,AB=6,連接8。.

⑴求BD的長；

⑵點E為線段8。上一動點（不與點2,。重合），點尸在邊AD上，且8￡=石。尸，當(dāng)四邊形

的面積取得最小值時，CE+&C尸的值是否也最??？如果是，求CE+百CF的最小值；如果不是，

請說明理由.

【變式1】阿氏圓問題（3類）

【練1-1】如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點P為圓上一

動點，連接4°,BP.

求①+?2AP+BP;?^AP+BP；④AP+33尸的最小值.

【練1-2】如圖，在。。中，點A、點8在。。上，ZAOB=90°,。4=6,點C在。4上，且OC=2AC,

點。是08的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DW的最小值為.

【變式2】加權(quán)費(fèi)馬點問題

【練2-1】在等邊三角形ABC中，邊長為4,尸為三角形A8C內(nèi)部一點，求AP+BP+&PC的最小值

【練2-2】如圖，在AABC中，NACB=60。，BC=3,AC=4,在AABC內(nèi)部有一點P,連接

PA,PB,PC,貝I（1）工巳4+立心+「。的最小值為；（2）++的

2222

最小值為

【變式3］胡不歸問題（3類）

【練3-1】如圖，0。是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點B作BE1AC于點E,點尸

為線段BE上一動點（點P不與2,E重合），則CP+；BP的最小值為.

A

【練3-2】如圖，二次函數(shù)y=/+2依-3a與x軸交于點A,B,對稱軸為直線/,頂點C到x軸的

距離為.點尸為直線/上一動點，另一點從C出發(fā)，先以每秒2個單位長度的速度沿C尸運(yùn)動到

點P,再以每秒1個單位長度的速度沿PA運(yùn)動到點A停止，則時間最短為秒.

【練3-3】如圖，在長方形ABCD中，AB=2,AD=26,點E在上，連接。E,在點E的運(yùn)動

過程中，BE+ViDE的最小值為.

【變式4】加權(quán)逆等線問題

【練4-1】如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=\,AC=2.D,E分別是邊A3,AC上的動

點，且CE=2AD,則8E+2CD的最小值為.

【練4-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-#+%+4與無軸交于兩點4（-3,0）,3（4,0）,與

y軸交于點。（0,4）.若點。，E分別是線段AC,A3上的動點，且AE=2CD,求CE+2BD的最小

值.

【變式5】瓜豆加權(quán)線段和問題

【練5-1】（原創(chuàng)題）已知點A（2,O）,點B是直線y=—2上一個動點，將線段繞點B逆時針旋

轉(zhuǎn)90°得到線段BC

（1）求0C的最小值；

（2）求逝3C+OC的最小值；

（3）記0（0,2）,①求。C+06的最小值；②求003+OC的最小值

【練5-2】如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=20，點E為邊上一動點，以CE為邊向右作

直角三角形CEF使/CEP=90。，ZCFE=30°,連接BE,BF,求8E+』族的最小值.

2

【變式6】2024?四川瀘州?中考真題

【練6-1】如圖,在邊長為6的正方形ABCD中，點E,尸分別是邊AB,3C上的動點，且滿足4E=3產(chǎn),

"與DE交于點。，點M是O尸的中點，G是邊A3上的點，AG=2GB,則OM+g/G的最小值

是（）

A.4B.5C.8D.10

【變式7】2024?四川涼山?中考真題

【練7-1】如圖，在菱形A5CD中，ABC=60°,AB=2,E是BC邊上一個動點，連接AE,AE的

垂直平分線MN交AE于點M,交BD于點、N.連接EN,CN.

⑴求證：EN=CN；(2)求2E7V+BN的最小值.

三、成都?2024四川師大附中九年級B卷壓軸：相似構(gòu)造?一題10解

如圖，在菱形ABCD中，4=120。，點E是BC上一點，連接AE,將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120。至FE,

連接AF與CQ交于點G,若段=?，則與|=_____.

CG4CE

【變式1】2024深圳坪山區(qū)中考一模

【練1-1】如圖，E是菱形ABCD邊BC上一點，ZABC=120°,把AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120。得到

FE、交C。于點G,BE=1,EC=2,則DG=.

【變式2】2023武漢中考幾何壓軸

【練2-1】問題提出：如圖(1),E是菱形A3CD邊8C上一點，△A￡F是等腰三角形，AE=EF,

/4￡廠=/轉(zhuǎn)。=々(0290。),跖交。于點6,探究/GC5與。的數(shù)量關(guān)系.

⑴(2)(3)

問題探究：

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當(dāng)a=90。時，直接寫出/GCF的大?。?/p>

(2)再探究一般情形，如圖(1),求NGCT與。的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：

(3)將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)“=120。時，若段=：,求罷的值.

CG2CE

【變式3】2024深圳南山區(qū)部分學(xué)校中考一模壓軸

【練3-1】“轉(zhuǎn)化”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，通過構(gòu)造圖形全等或者相似建立數(shù)量關(guān)系是處理

問題的重要手段.

（1）【問題情景】：如圖（1）,正方形ABCD中，點E是線段上一點（不與點B、C重合），連接

EA.將E4繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到砂，連接C/,求的度數(shù).

以下是兩名同學(xué)通過不同的方法構(gòu)造全等三角形來解決問題的思路，

①小聰：過點尸作BC的延長線的垂線；

②小明：在上截取使得=

請你選擇其中一名同學(xué)的解題思路，寫出完整的解答過程.

BECBEc

圖⑴圖⑵圖(3)

（2）【類比探究】：如圖（2）點E是菱形ABCD邊BC上一點（不與點8、C重合），ZABC=a,

將E4繞點E順時針旋轉(zhuǎn)“得到EF,使得NA防=NABC=a（a290。），則/FCD的度數(shù)為

（用含a的代數(shù)式表示）

（3）【學(xué)以致用】：如圖（3）,在（2）的條件下，連結(jié)AF,與CD相交于點G,當(dāng)口=120。時，若絲=二，

CG2

求三三的值.

【變式4】2025成都青白江區(qū)統(tǒng)考B卷壓軸

【練4-1】如圖，在菱形ABCD中，AB=6,E是邊BC上一點,在的右側(cè)作=且

^AEF=^ABC=120°,連接C/,連接"交于點G.若G為邊C。的三等分點，則班的長

為________________.

-F

BEC

四、深圳?2024中考真題填空壓軸：結(jié)合相似求比值?一題5解

CRDO

如圖，在VA3C中，AB=BC,tanZB=-,。為BC上一點，且滿足五=y，過。作DE工AD交

AC延長線于點E,則三=

A

【變式1】四川省遂寧市九年級填空壓軸

【練1-1】如圖，在VABC中，AB=BC,tanZB=1-,D為BC上一點,若滿足過。

12o

CF

作。EIAD交AC延長線于點E,貝-

【變式2】線段比轉(zhuǎn)化為相似比

【練2-1】如圖，在RrAABC中，ZABC=90°,C（0,-3）,CD=3AD,點A在>=：上，且>軸平分

角ACB,求上=.

C

【練2-2】如圖，在Rt^ABC中，/C=90。，AD是VABC的一條角平分線，E為AD中點，連接BE.若

BE=BC,CO=4,貝.

【練2-3】在銳角AABC中，AD,仍分別為“LBC的中線和角平分線，AD=BE,且則

AC

BC

【變式3】求線段比

3

【練3-1】（深圳中考）如圖，在AABC中，AB=AC,tanB=：,點。為BC上一動點，連接AD,

4

S-

將△ABD沿AO翻折得到VADE,DE交AC于點G,GE<DG,且AG:CG=3:1,則=_____

?三角形4JG

【練3-2］（深圳中考）如圖，已知四邊形ABC。，AC與5。相交于點O,ZABC=ZDAC=90°,

q

八1BO4^△ABD

tan,-----=J,則q

2OD3CBD

五、深圳市寶安中學(xué)九年級聯(lián)考壓軸：旋轉(zhuǎn)六法構(gòu)造手拉手共8種解法

己知：如圖，在四邊形ABCD中，N&LD=90。，/3c0=45。，5=2衣，連接3￡>、40若/鉆。=60。,

AC=JIU,則BC的長為.

A

【變式1】2022深圳中考填空壓軸

【練1-1】已知VABC是直角三角形，N8=90。,AB=3,BC=5,AE=2百,連接CE以CE為底作直角

三角形CDE且瓦/是AE邊上的一點，連接和BD且//比>=45。,則轉(zhuǎn)長為.

【變式2】2024-2025學(xué)年深圳市九年級二十校聯(lián)考壓軸

【練2-1】如圖，四邊形A3c。中，ZABC=ZADC=^°,ZBAD>90°,ACLBC,若

AB=2,AD=立,則的長為.

【變式3】湖北襄陽?中考真題

【練3-1】如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點重合于點C,點。在AB上,

CF

ZBAC=ZDEC=30\AC與交于點方，連接AE,若&)=1,AD=5,則:==.

A

【變式4】2020武漢市中考幾何壓軸

【練4-1】如圖，。是VA3C內(nèi)一點，/BAD=NCBD=3。。,NBDC40。,AB=4,AC=2y/3,

則AO的長為.

六、深圳市二模壓軸：1234模型，45°與線段比構(gòu)造相似?一題6解

如圖，在等腰Rt^ABC中，ZB=90°,BA=BC,D為BC上一點，且8。=3,E為AD

上點，連接CE,NCED=45°,CE=?AE，則CE的長.

【變式1】12345模型

【練1-1】在心AABC中，NC=90。，AD平分班平分/ABC,AD.BE相交于點尸，且

AF=4,EF=&,則AC=.

A

【練1-2】（廣東省中考）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,E為BC的中點，將AABE沿直

線AE折疊后，點B落在點F處，AF交對角線BD于點G,則FG的長是.

【練1-3】如圖，矩形A3CD中，AB=3,BC=4,以點2為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交3C,

BD于點、E,F,再分別以點E,尸為圓心，大于長為半徑畫弧交于點尸，作射線8P,過點C

2

作的垂線分別交3D,他于點M,N,則CN的長為（）

A.MB.VTTc.2A/3D.4

【變式2】線段比構(gòu)造相似

【練2-1】如圖，點E■，點產(chǎn)分別在菱形ABCD的邊A3,4。上，S.AE=DF,BF交DE于點G,

AFHF

延長5尸交CD的延長線于若二=3,則6的值為（）

DF7T

【練2-2】如圖，菱形A3。的邊長為4,E、E分別是AB、上的點，連接CE、CF、EF,AC

與母相交于點G,^BE=AF=1,/BAD=120。，則以3：SAAGE的值為

【變式3】利用特殊角度解三角形

【練3-1】如圖，在Rt^ABC中，ZC=90,AC=2y/3,CB=6,。為AC中點，E為BC上一點、,

連接AE、BD交于點、F,若ZAED=30。，則CE的長為

【練3-2］（2024?四川達(dá)州?中考真題）如圖，在Rt/XABC中,NC=90。.點。在線段8c上,

/BAD=45。.若AC=4,CD=L則VA3C的面積是.

【練3-3】如圖，。。的半徑為1,四邊形ABDC內(nèi)接于。。，BC是。。的直徑，若/AfiC=30。,

BD=CD,貝l|AD=.

［練3-4］（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）在RtAABC中，ZABC=90。，點石為AC邊上的中點,連接BE,

3DF

已知點尸為班的中點，連接b并延長，交A5于點。.若tanA==,則）的值為_____.

4BD

2025屆中考復(fù)習(xí)專題13:幾何選填壓軸之一題多解與題多變⑴

一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略........................................2

【變式11直線型瓜豆最值...................................................2

【變式2】圓弧型瓜豆最值問題...............................................2

【變式3】路徑問題..........................................................3

【變式4】瓜豆+將軍飲馬....................................................3

【變式5】瓜豆+胡不歸.......................................................4

二、廣州市2022中考真題：加權(quán)線段和最值問題?7種解法................................6

【變式1】阿氏圓問題（3類）................................................6

【變式2】加權(quán)費(fèi)馬點問題...................................................7

【變式3］胡不歸問題（3類）..................................................7

【變式4】加權(quán)逆等線問題...................................................8

【變式5】瓜豆加權(quán)線段和問題...............................................8

【變式6】2024?四川瀘州?中考真題............................................9

【變式7】2024?四川涼山?中考真題............................................9

三、成都?2024四川師大附中九年級B卷壓軸:相似構(gòu)造一題10解......................10

【變式1】2024深圳坪山區(qū)中考一模..........................................10

【變式2】2023武漢中考幾何壓軸............................................10

【變式3】2024深圳南山區(qū)部分學(xué)校中考一模壓軸.............................12

【變式4】2025成都青白江區(qū)統(tǒng)考B卷壓軸...................................12

四、深圳?2024中考真題填空壓軸：結(jié)合相似求比值?一題5解............................13

【變式1】四川省遂寧市九年級填空壓軸......................................13

【變式2】線段比轉(zhuǎn)化為相似比..............................................13

【變式3】求線段比.........................................................14

五、深圳市寶安中學(xué)九年級聯(lián)考壓軸：旋轉(zhuǎn)六法構(gòu)造手拉手共8種解法.....................14

【變式1】2022深圳中考填空壓軸............................................15

【變式2】2024-2025學(xué)年深圳市九年級二十校聯(lián)考壓軸........................15

【變式3】湖北襄陽?中考真題................................................15

【變式4】2020武漢市中考幾何壓軸..........................................16

六、深圳市二模壓軸:1234模型,45°與線段比構(gòu)造相似?一題6解........................16

【變式1】12345模型.......................................................16

【變式2】線段比構(gòu)造相似...................................................17

【變式3】利用特殊角度解三角形............................................18

一、宿遷中考真題：瓜豆最值問題的3類處理策略

如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為8C上一點，且8￡=1,尸為AB邊上的一個動點，連接ER

以跖為邊向右側(cè)作等邊△￡/&連接CG,則CG的最小值為.

策略一：找始末，定軌跡

我們分別以BE,AE為邊，按題目要求構(gòu)造等邊三角形得到Gi與8,連接Gi與&得至I點G的軌

跡，再作垂線C”得到最小值.

前面提到過從動點軌跡和主動點軌跡的夾角與旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，我們可以調(diào)用這個結(jié)論，得到ZAMGr

=60°,

進(jìn)一步得到△MBGi為等腰三角形后，求S就不難了，可得C"=：

策略二：在點T7軌跡上找一點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，解出從動點軌跡

我們分別對A,8順時針旋轉(zhuǎn)60°,構(gòu)造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點軌跡,

對A點旋轉(zhuǎn)會得到一個正切值為;的角，即tan/GME=tanNAFE=；,然后進(jìn)一步算出最值

【簡證】EM=AE=&jnEN=ln/NEC=120。nIC=3,則CH=、

對8點旋轉(zhuǎn)得到NEMG=N/^E=90°,相對來說要容易一些.

策略三：反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點，構(gòu)造手拉手模型，代換所求線段.

講點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到點H,易i正ACGE咨AHFE,則有CG="F,作于M,HM

即為所求.相比之下，先求軌跡后再求垂線段時，比較麻煩，而反向旋轉(zhuǎn)代換所求線段感覺清爽很

多.

【變式1】直線型瓜豆最值

【練1-1】如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為8C上一點，且BE=1,P為AB邊上的一個動點,

連接EF,以EF為底向右側(cè)作等腰直角AEPG,連接CG,則CG的最小值為

【簡析】策略一,:反向構(gòu)造+伸縮

如圖從主動點F到從動點G可以理解為，將線段FE繞定點E順時針旋轉(zhuǎn)了45°再縮短為原來的42,

2

反向構(gòu)造則需要把CE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°,再擴(kuò)大變?yōu)樵瓉淼难?，得到EH,顯然AECH

為等腰直角三角形，進(jìn)一步得到AFEHsAGEC,相似比為亞'，所以CG=與FHN2立.

策略二：求軌跡—以BE為底向上作等腰RtZXBHE,易得G點軌跡所在直線為BD,故CG最小

值為20

【練1-1］如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對角線AC上的動點，連接DP,將直線DP繞點P順

時針旋轉(zhuǎn)，使/1=/2,且過點D作DGJ_PG,連接CG.則CG最小值為

AD

【答案】II

【分析】策略一：得到G點軌跡直線后，畫出起點G1和終點G2

策略2：旋轉(zhuǎn)相似:

【變式2】圓弧型瓜豆最值問題

【練2-1】如圖，AB=4,。為AB的中點，。。的半徑為1,點尸是上一動點，以尸3為直角

邊的等腰直角三角形P3C（點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC的長的取值范圍

為

c

【答案】72<AC<3A/2

【解答】解：

【法一：解出C點軌跡】

如圖，作OK_LAB,在OK上截取OK=04=03,連接M、BK、KC、OP.

?.?OK=OA=OB,OKA.AB,:.KA=KB,ZAKB=9Q0,

「.AAKB是等腰直角三角形，?；NOBK=NPBC,:.ZOBP=ZKBC,

..OBPBKCBCr-

:.\OBP^NKBC,—=—=12,,.?OP=1,

?BK~BC~2OPPB

:.KC=叵,?二點。的運(yùn)動軌跡是以點K為圓心，KC為半徑的圓，AK=J5Q4=20,

?.AC的最大值為3近，AC的最小值0,「?伍火。30.

【法二：反向構(gòu)造手拉手】

【簡析】易知AC=MPD,PO-r<PD<PO+r,故岳收C3應(yīng)

【練2-2】如圖，在△ABC中，A3=8,AC=36,將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接AD,

【答案】8+3A/6

【分析】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理.

思路：定點為B,A、D兩點旋轉(zhuǎn)相似中的定位是一樣的，BD是斜邊，則構(gòu)造以AB為斜邊的等腰

直角三角形，

思路2：將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接BD,BE,DE,iiAEBD^AABC,

可得DE=0AC=3j^,由ADWAE+DE,可得AD的最大值.

總結(jié)：熟悉模型，補(bǔ)全結(jié)構(gòu)

【解析】法一：如圖，構(gòu)造等腰直南三角形ABE,由旋轉(zhuǎn)相似可知=,

而CEWBE+BC=46+3』,故AOW4+3胡

法二：將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接8。，BE,DE.

由題意，△ABE和△BC。都是等腰直角三角形，

BE=42AB,BD=叵BC,^ABE=ZCBD=45°,

BEBD「

----=-----=,NEBD=^.ABC,

ABBC7

人DEBD廠

AAEBDs/\ABC,----==y/2,,

ACBC

；.DE=V2AC=3A/6.

?：AB=8,AD^AE+DE,的最大值是8+3".

【變式3】路徑問題

【練3-1】如圖，在矩形A3C。中，AB=2,AD=4,動點E從點A運(yùn)動到點。，以CE為邊在CE

的右側(cè)構(gòu)造正方形CEFG,連接AR則AF的最小值為，點尸運(yùn)動的路徑長為

【答案】30，40

【解析】

法一：如圖，作等腰直角三角形AGC,易知△ACFs^GCE,且=

而GENGH,由12345模型可知tan/AG"=tan/B4G=L儆AH=YmAG=l,則G〃=3

310

故F的路徑為點E路徑的正倍，故F的路徑為4近

法二：延長AD到點P,使DP=DC,連接FP,過點F作AD的垂線，垂足為H.

注:

由一線三等角全等模型可知4CDE注△EHF,（注：也可以用旋轉(zhuǎn)相似來證）

；.EH=CD=DP,ED=FH,

；.ED=HP,；.FH=HP,；./P=45°.

當(dāng)AFXFP時AF最小，最小值=與AP*（4+2尸3點.

VZFHP=90°,FH=HP,.'.FP=42HP=42ED.

當(dāng)動點E從點A運(yùn)動到點D時，DE的長從AD變化到0,

.?.點F運(yùn)動的路徑長為41AD=40.

【練3-2】如圖，在正方形ABC。中，回=8,點E在邊AO上，且AD=4AE,點尸為邊A5上的

EF

動點，連接PE,過點后作所，尸石，交射線3c于點孔則須:=____.若點M是線段石廠的中點，

PE

則當(dāng)點P從點A運(yùn)動到點B時，點〃運(yùn)動的路徑長為.

AE

【答案】416

EFFK

【分析】過/作FKLAD交AZ）延長線于點K,證明AAEPSAKEE,得到二=>即可求解；過

PEAE

M作G"_LAD交AD于點G,丈BC于點、H,證明AEGM/得到MG=MH,故點M的

運(yùn)動軌跡是一條平行于3C的線段，當(dāng)點P與A重合時，BF”AE=2,當(dāng)點尸與3重合時，由

28.

△E145s△5月后得到了二方正，即耳乙二32,從而求解.

【詳解】解：過尸作尸K_LAT>交AO延長線于點K

AEDK

則四邊形為矩形，NA=NK=90。

.?.AB=FK=8

由題意可得：AE=-AD=2

EFLPE

：.ZAEP+NKEF=ZPEF=90°

又NPEA+NAPE=90°

：.ZAPE=ZKEF

：,AAEPS^KFE

過M作GHLAD交A。于點G,交BC于點、H,如下圖

在AEGM和ATW中

ZMGE=ZMHF

<NEMG=ZFMH

ME=MF

：.AEGMg△FEM(AAS)

:.MG=MH,

故點M的運(yùn)動軌跡是一條平行于BC的線段，

當(dāng)點。與A重合時，BF\=AE=2

當(dāng)點P與3重合時，ZBEF2=ZF2+ZEBF[=90°,/應(yīng)4+乙期=90。

ZF2=/BER

?.?NERF?=/EF、B=90°

△EFJBs△工與E

BEEF28

EF、F\FJ'8F、F?

解得居4=32

?;矚、M2分別為EF、、E瑞的中點

是AE片工的中位線

即點運(yùn)動的路徑長為

/.MXM2=^FXF2=16,A/16

【變式4】瓜豆+將軍飲馬

【練4-1】如圖1,對于平面內(nèi)的點A、P,如果將線段繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段號，就稱

點2是點A關(guān)于點P的“放垂點如圖2,已知點4(4,0),點P是y軸上一點，點B是點A關(guān)于點

尸的“放垂點”，連接AB、OB,則03+AB的最小值是()

B

圖1圖2

A.4B.4.x/5C.8D.8下

【答案】B

【分析】在y軸的正半軸上截取0C,使得0C=。4=4,連接AC.BC,首先證明ZAOP=ZACB=90°,

點8在直線y=x+4上運(yùn)動，作點。關(guān)于直線BC的對稱點E,連接AE交BC于點T,當(dāng)點、B與T

重合時，08+AB的值最小，再利用勾股定理進(jìn)行求值即可.

【詳解】解：如圖，在y軸的正半軸上截取OC,使得OC=Q4=4,連接AC、BC,且BC的延長

線與％軸交于點M,

???△AOC、AA/汨是等腰直角三角形，

AZOAC=ZPAB=45°,AC=41OA,AB=J2AP.

AZOAP=ZCAB,—,

ACAB

：.^OPA^^CAB,

???ZAOP=ZACB=90°,

：./CW=45。，

：.CM=CA,

：.OM=OA,

AM(-4,0),

設(shè)直線MC的解析式為y=kx+b,

.j-4k+b=0

9[b=4

(k=l

"\b=^

???點5在直線y=x+4上運(yùn)動，

作點。關(guān)于直線3c的對稱點瓦OE與MC交于點、F,連接EM、連接A石交3c于點T,

當(dāng)點3與T重合時，QB+AB的值最小，

???ZCMO=45°,ZMFO=90°,

：.ZFMO=45°,

根據(jù)對稱得：ZEMF=ZOMF=45°,ZMEF=ZMOF=45°,ME=MO=4,

：.ZEMO=90°,

：.￡(-4,4)、

VA（4,o）,

?*-AE="+8?