2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之四邊形（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABC。中，點E、點廠是邊上兩點，滿足AE=

AB,AF^AC,延長BE、CF交于點、G,連接AG,設(shè)/2GC=a,則NCAG的大小用含a的代數(shù)式表

示為（）

A.aB.90°-aC.30°+尚aD.180°-3a

2.（2025春?南京月考）下列說法正確的是（）

A.平行四邊形是軸對稱圖形

B.平行四邊形的對角線相等

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

3.（2025?合肥一模）在回ABC。中，對角線AC與BO交于點。，點E在3c上，點尸在CD上，連接AE,

AF,EF.下列結(jié)論錯誤的是（）

CEAD

A.若EF〃BD,則一=一

CFAB

B.若AC_LB。，AE=AF,貝UE尸〃BA

CEAD

C.若一=一,則EF//BD

CFAB

D.若AE_LBC,AFLCD,AE^AF,貝l|E尸〃BD

4.（2025?千山區(qū)模擬）如圖，在團ABC。中，AC是對角線，當(dāng)△ABC是等邊三角形時，/BAD為（）

5.（2025?永年區(qū)模擬）如圖，在矩形紙片ABC。中，OC=8,點/是A8邊上的一點，點N是。C邊上

的中點，佳佳按如下方式作圖：

①連接MC,MD；

②取MC,的中點尸，Q

③連接PN,QN.

若四邊形MPNQ是矩形，可以推斷AD的長度不可能是（）

C.4D.5

6.（2025?朝陽區(qū)校級一模）學(xué)校在舉辦了“叩問蒼穹，征途永志”主題活動后，邀請同學(xué)們參與設(shè)計航

天紀念章.小明以正八邊形為邊框，設(shè)計了如圖所示的作品，則此正八邊形徽章一個內(nèi)角的大小為（

C.45°D.105°

7.（2025?湖南模擬）如圖，在菱形A8CD中，E,F分別是AC,CO的中點，AB=8,則跖的長為（）

6C.8D.不確定

8.（2025?烏魯木齊一模）如圖，在中，ZACB=9Q°,AC=BC=5.正方形。的邊長為4,

它的頂點O,E,G分別在△ABC的邊上，則BG的長為（）

A.3B.3V2C.5D.5V2

9.（2025?晉州市模擬）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0,4）,PG,力，且0<f<4,

點。在x軸的負半軸上，將線段QP繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°變?yōu)榫€段。2,以B4,PQ為鄰

邊作回必C。，射線BC交x軸于點D,8E是點8到y(tǒng)軸的垂線段.則下列結(jié)論中：?AC±BQ；②四邊

形0D8E是正方形；③AE+CD=O0；④CQ存在最小值，且其最小值是2混；⑤若連接。尸，則f值從

小變大時，/ACQ+NOP。的值先增大再減小，錯誤的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

10.（2025?金寨縣模擬）如圖，在正方形ABC。中，M,N分別是A8,AD的中點，CM,8N相交于點E,

AC與BN相交于點F，分別連接AE,DE,則下列結(jié)論錯誤的是（）

B.EA平分產(chǎn)

.EM1EF3

c.—=一D.—=-

CE4BE4

二.填空題（共5小題）

11.（2025?南關(guān)區(qū)模擬）如圖，點E為正方形ABC。對角線AC上一點，連結(jié)。E,過點E作EPLOE,

交BC延長線于點R以。E、所為鄰邊作矩形。跖G,連結(jié)CG.給出下列四個結(jié)論:

①DE=EF；

②△DAE*DCG；

③AC_LCG；

@2CE+CG=V2CD.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有

AD

12.（2025春?南京月考）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE1BC于點E,貝UAE的長

13.（2025?碑林區(qū)校級二模）菱形的周長為20,對角線AC長為6,CE是邊AB上的高線，則線段

CE的長為.

14.（2025?碧江區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是矩形，且對角線AC、8。相交于點O,若/4。8=50°,

則NOC￡）=.

15.（2025?浙江模擬）如圖，AC是菱形的對角線，N3AC=38°,點K在8C的延長線上，貝叱

16.（2025?花溪區(qū)模擬）【問題情境】

如圖，四邊形ABC。是正方形.過點C在正方形ABC。的外側(cè)作射線CMNZ）CN=a（0°<a<90°）.作

點。關(guān)于射線CN的對稱點E,線段DE交射線CN于點連接8E交直線CN于點尺

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)當(dāng)0°<aW45°時，NE/W的度數(shù)為度；

【猜想論證】

(2)在(1)的條件下，猜想線段EB,FC,FE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

【拓展應(yīng)用】

(3)若CF=1,FM=2,求尸2的長.

17.(2025?天鎮(zhèn)縣模擬)綜合與探究

在數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展活動.

實踐操作：

如圖，在矩形紙片A8CZ)中，AB=8,BC=10.

第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點B落在AD邊上的點F處，得到折痕

CE,然后把紙片展平.

第二步：如圖2,再將矩形紙片沿BF折疊，此時點A恰好落在C尸上的點N處，BF,8N分別與CE

交于點G,M,然后展平.

問題解決：

(1)求AE的長.

(2)判斷EF,與。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,延長CE,D4相交于點尸，請直接寫出的長.

18.(2025?市北區(qū)校級一模)如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=6cm,BC=10cm,在BC上取一

點。，使8O=A8=6c加，連接AD,分別過點A,點C,作AE〃8C,CE//AD,交點為E.點P從點A

出發(fā)，沿AC方向勻速運動,速度為la〃/s；同時，點。從點B出發(fā),沿BA方向勻速運動，速度為\cm"過

點P作PP〃CE,交AE于點、F,連接PD,DQ.設(shè)運動時間為t(s)(0</<6),解答下列問題：

(1)當(dāng)f為何值時，點PD〃AB?

(2)設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)連接3尸，是否存在某一時刻f,使得尸8垂直平分A。？若存在，求出f的值；若不存在，請說明

理由.

19.(2025?浦口區(qū)校級模擬)如圖，團ABC。的對角線AC,3。相交于點。、￡是BC的中點，連接E。并

延長交于點孔連接AE,CF.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若平分NAEC,求證AB_LAC.

20.(2025春?南京月考)如圖，回A8C。的對角線交于點。，點E、F、G、H分別是A。、BC、BO、DO

的中點.

(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)當(dāng)回ABC。滿足什么條件時，四邊形EGEH是矩形？請說明理由.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之四邊形（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BDBDDAABBD

選擇題（共10小題）

1.（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形A3CZ）中，點E、點廠是邊上兩點，滿足AE=

AB,AF=AC,延長BE、CP交于點G,連接AG,設(shè)/BGC=a,則/CAG的大小用含a的代數(shù)式表

示為（）

A.aB.90°-aC.30°+^aD.180°-3a

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】B

【分析】過點G作GMLR4延長線于點GKLAC于點K,GNLBC延長線于點N,由四邊形ABC。

是平行四邊形，得AD〃BC,利用平行和等腰易得N4BE=/C8E,可得GM=GN,設(shè)

=NCBE=6,通過等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及平行可以導(dǎo)角推出NBAC=2a,NFCN=NAFC

=a+0,可得GN=GK,則GK=GM,推出AG平分/CAM,則可求出/G4C=^CAM=90°-a.

【解答】解：如圖，過點G作GMJ_BA延長線于點M,GKLAC于點K,GNJ_BC延長線于點N,

:四邊形A8C。是平行四邊形,

J.AD//BC,

；?NAEB=NCBE,AE=AB,

：./ABE=/AEB,

：.ZABE=/CBE,

:?GM=GN,

設(shè)NABE=ZAEB=ZCBE=p,

：.ZBAE=180°-ZAEB-ZABE=18O°-20,ZFEG=P，ZABC=AABE+ZCBE=2p,

■:/BGC=a,

：.ZAFC=ZFEG+ZBGC=a+p,

VAF=AC,

NACF=ZAFC=a+P，

：.ZFAC=ISO°-AAFC-ZACF=180°-2(a+0),

：.ZBAC=ZBAE-ZBAC=180°-20-[1800-2(a+0)]=2a,

：.ZCAM=18Q°-ZBAC=180°-2a,

,:AD〃BC,

：.ZFCN=ZAFC=a+P，

/FCN=ZACF,

:?GN=GK,

:?GK=GM,

???AG平分/CAM,

1

ZGAC=^CAM=90°-a,

故選：B.

【點評】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理,

三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.(2025春?南京月考)下列說法正確的是()

A.平行四邊形是軸對稱圖形

B.平行四邊形的對角線相等

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

【考點】矩形的判定；軸對稱圖形；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定.

【專題】推理能力.

【答案】D

【分析】由矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定和軸對稱圖形的判定分別對各個選項進行判斷

即可.

【解答】解：A、平行四邊形不是軸對稱圖形，故A不符合題意；

8、平行四邊形的對角線不一定相等，故8不符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形可能是矩形，也有可能是等腰梯形，故C不符合題意；

。、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故。符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、軸對稱圖形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握矩

形的判定、菱形的判定、軸對稱圖形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?合肥一模）在固48。中，對角線AC與8。交于點。，點E在上，點F在上，連接AE,

AF,EF.下列結(jié)論錯誤的是（）

CEAD

A.若EF〃BD,則一=一

CFAB

B.AC±BD,AE^AF,則所〃

?CEAD

C.若一=一，則EF//BD

CFAB

D.若AFLCD,AE=AF,貝!J

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】平行線分線段成比例結(jié)合平行四邊形的對邊相等，判斷A;先證明四邊形A3。是菱形，得到

CB=CD,分CE=C尸和CEWCR兩種情況，判斷8,根據(jù)平行線分線段成比例的推論，判斷C；先

CECF

證明四邊形ABC。是菱形，再證明CE=CR得到丁=丁，判斷D

【解答】解：四邊形A8C。是平行四邊形，如圖1：

Q

//

$C

E

：.AD=BCfAB=CD；

CECF

若EF〃BD,貝lj：—=—，

CBCD

tCECBAD

"CF~CD~AB"

故選項A正確，不符合題意；

若則四邊形ABC。是菱形；

：.CB=CD,

：.ZACE=ZACF,

當(dāng)AE■與8C不垂直時，8C上還存在一點E，，使AE，=AF,如圖2,

在△ACE和△Ab中,

CE=CF

^LACE=乙4CF,

AC=AC

：.AACE^AACF(SAS),

：.AE=AF,

.CECF

??—,

CBCD

：.EF//BD,

而另一點中也滿足AE，=AR但E'b與8。不平行,

???斯與瓦)不一定平行，

故8選項錯誤，符合題意；

ADMEBC

右—=，貝U-=，

CFABCFCD

CECF

?t?—,

CBCD

：.EF//BD,

故。選項正確，不符合題意；

若AE_LBC,AF±CD,AE=AFf貝(J：SABCD=BC?AF=CD?AF,

:?BC=CD,

???四邊形A5CD是菱形；

VZAEC=ZAFC=90°,

???AAEC和△AFC是直角三角形，

在RtAAEC和RtAAFC中，

(AC=AC

\AE=AF9

ARtAAEC^RtAAFC(HL),

：.CE=CF,

.CE_CF

??一,

CBCD

：.EF//BD,

故選項。正確，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成

比例，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

4.(2025?千山區(qū)模擬)如圖，在13ABe。中，AC是對角線，當(dāng)△ABC是等邊三角形時，/BAD為()

B

A.30°B.45°C.60°D.120°

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】D

【分析】AABC是等邊三角形時，ZB=60°；由平行四邊形的對邊相互平行知AO〃BC,則由“兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補”求得答案.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

：.ZB=60a.

在團ABC。中，'：AD//BC,

：.ZB+ZBAD^180°.

：.ZBAD=\20°.

故選：D.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2025?永年區(qū)模擬）如圖，在矩形紙片ABC。中，OC=8,點M是邊上的一點，點N是。C邊上

的中點，佳佳按如下方式作圖：

①連接MC,MD；

②取MC,的中點P,。；

③連接PN,QN.

若四邊形MPNQ是矩形，可以推斷AD的長度不可能是（）

【考點】矩形的性質(zhì)；作圖一復(fù)雜作圖；垂線段最短；三角形中位線定理.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】連接MW,PQ,求解四邊形MPNQ是矩形時，MN=PQ=4,再進一步分析即可.

【解答】解：如圖，連接NM,PQ,

,：MC,MD,CO的中點分別是P,Q,N,

:.PN、QN是的中位線，

V￡)C=8,

：.PQ=;DC=4,PN||DM,QN||CM,

：.四邊形MPNQ是平行四邊形.

當(dāng)四邊形MPNQ是矩形時，則MN=PQ=4.

：.點M到DC的距離不超過4,即ADW4,

故選：D.

【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)，垂線段最短的含義是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?朝陽區(qū)校級一模）學(xué)校在舉辦了“叩問蒼穹，征途永志”主題活動后，邀請同學(xué)們參與設(shè)計航

天紀念章.小明以正八邊形為邊框，設(shè)計了如圖所示的作品，則此正八邊形徽章一個內(nèi)角的大小為（）

A.135°B.75°C.45°D.105°

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】A

【分析】利用多邊形的外角和求出一個外角的大小，然后再用180度減去外角度數(shù)即可.

【解答】解：：每個外角為360°4-8=45°,

,每個內(nèi)角為180。-45°=135°,

故選：A.

【點評】本題考查正多邊形的外角和以及內(nèi)角與外角之間的關(guān)系.熟練掌握該知識點是關(guān)鍵.

7.（2025?湖南模擬）如圖，在菱形ABC。中，E,尸分別是AC,CD的中點，AB=8,則所的長為（）

A.4B.6C.8D.不確定

【考點】菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】先求解AO=A2=8,再利用三角形的中位線的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：在菱形ABC。中，43=8,

.,.AD=AB=8,

■:E,尸分別是AC,CD的中點，

：.EF=1AD=1x8=4,

所以所的長為4,

故選:A.

【點評】本題考查的是菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，關(guān)鍵是菱形性質(zhì)的熟練掌握.

8.(2025?烏魯木齊一模)如圖，在中，NACB=90°,AC=BC=5.正方形。EFG的邊長為代,

它的頂點。，E,G分別在△ABC的邊上，則BG的長為()

A.3B.3V2C.5D.5a

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到4B=后。=5&,ZA=ZB=45°,DE=EF=FG=DG=近,乙DEF=

乙EFG=乙FGD=乙EDG=90°,如圖所示，過點G作GH±AC于點H,則AH=GH,ZGHD=ZC=

90°,可證△G?！眊/XOEC(AAS),得到GH=DC,HD=CB,設(shè)AH=GH=DC=a,HD=CB=b,

由題意得到AC=AH+m)+OC=2a+6=5①，在RtZ\C￡>E中，CE2+C￡)2=DE2,由此得到AH=G8=2,

在RtZkAGH中，由勾股定理即可求解.

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=5,

：.AB=&AC=5V2,NA=48=45°,

:四邊形。EFG是正方形，

：.DE=EF=FG=DG=居,乙DEF=AEFG=/.FGD=乙EDG=90°,

如圖，過點G作GH_LAC于點"，則AH=G",ZGHD=ZC=90°，

：?NEDC+/GDH=/EDC+/DEC=9U°,

??.ZGDH=/DEC,

在△GD"和中，

'NGDH=/DEC

'(GHD=ZC，

、GD=DE

：.AGDH^ADEC(A4S),

:.GH=DC,HD=CB,

設(shè)AH=GH=DC=a,HD=CB=b,

：.AC=AH+HD+DC=2a+b=5①，

在中，由勾股定理得：CE2+CD1=DE1,

.'.a2+b2=（迷產(chǎn)②，

聯(lián)立得［2；+）=5^

la2+b2=（佝2②

解得E（負值舍去），

3=1

:.AH=GH=2,

在RtAAGH中，AG=42AH=2&,

：.BG=AB-/1G=5V2-2V2=3V2,

故選：B.

【點評】本題考查了等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰

直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?晉州市模擬）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0,4）,PG,力，且0</<4,

點。在x軸的負半軸上，OQ>OA,將線段QP繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°變?yōu)榫€段。2,以出，P。為鄰

邊作團B4C。，射線8C交無軸于點Q,8E是點8到y(tǒng)軸的垂線段.則下列結(jié)論中：?AC±BQ；②四邊

形是正方形；③AE+C￡)=OQ；④C。存在最小值，且其最小值是2&；⑤若連接。尸，貝心值從

小變大時，NACQ+/OP。的值先增大再減小，錯誤的有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【考點】正方形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；垂線段最短；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】平面直角坐標系；線段、角、相交線與平行線；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運

算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】①四邊形B4C。是平行四邊形，故AC〃PQ.線段QP繞。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得QB,則8。，

PQ,因止匕①正確.結(jié)論②：設(shè)設(shè)。(-4,0),P(t,t),過旋轉(zhuǎn)坐標公式求8坐標，結(jié)合

BELy軸，證明0D2E四邊相等且有直角，得正方形，②正確.③用坐標計算AE、CD、。0長度，化

簡后驗證AE+CO=OQ,③正確.④求C坐標，得CQ長度表達式，利用距離公式求最小值為2VL④

正確.⑤分析NACQ+/OP。，通過角的轉(zhuǎn)換發(fā)現(xiàn)其和為定值，并非先增后減，⑤錯誤.

【解答】解：①：四邊形必是平行四邊形，

C.AC//PQ.

:旋轉(zhuǎn)角NPQB=90°,PQ±QB.AC//PQPQLQB,

：.AC±BQ,結(jié)論①正確.

②(0,4),OQ=OA=4,

：.Q(-4,0).

又,：P(t,t),0</<4.

設(shè)。(-4,0),P(t,t),將。尸繞0逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)坐標變化規(guī)律：橫坐標：x=-4-(t-0)=-4-t；

縱坐標：y=0+[r(-4)]z+4,

B(-4-f,f+4).

是8到y(tǒng)軸的垂線段，

：.E(0,什4).00=4(OQ=4),

在y軸上的投影OE=f+4,BE水平長度為|-4-力=4+f(因為f>0),

:BQ旋轉(zhuǎn),

:.BE=4.

又：/OOB=90°,四邊形。。BE四邊都為4,且有直角，

是正方形，結(jié)論②正確.

③(0,4),E(0,什4),

.,.AE=t+4-4=r.

:四邊形OD8E是正方形，00=4,CD=OD-OC.

；.0C=4-t,

CD=4-(4-f)—t.

：.AE+CD=t+(4-=4,

'：OQ=4,

：.AE+CD=OQ,結(jié)論③正確.

④設(shè)C(尤，y),

是平行四邊形，

—>—>

??AP=(1,t-4),QC=(x+4,y),

.*.x+4=Z,y=t-4,即C(/—4,t-4).

JCQ=V(t-4+4)2+(t-4-0)2=72(t-2)2+8,

當(dāng)r=2時，2G-2)2=0,CQ取得最小值遮=2a.故④正確.

⑤：四邊形PACQ是平行四邊形，

ZACQ^ZAPQ.

：.ZACQ+ZOPQ=ZAPQ+ZOPQ=ZAPO.

連接OP,A(0,4),P(f,力，tan/AP。由A、P坐標決定，是固定值(幾何關(guān)系固定)，即NAP。

為定值，

所以NACQ+NOP。的值不變，不是先增大再減小，結(jié)論⑤錯誤.

綜上，只有結(jié)論⑤錯誤，錯誤的有1個.

故選：B.

【點評】本題考查正方形判定與性質(zhì)，垂線段最短，平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形變化，解題的關(guān)鍵

是掌握相關(guān)知識的綜合運用.

10.（2025?金寨縣模擬）如圖，在正方形ABC。中，M,N分別是AB,的中點，CM,BN相交于點E,

AC與相交于點尸，分別連接AE,DE,則下列結(jié)論錯誤的是（）

DC

A.AD=DEB.EA平分

EM1E-F-——3

'CE-4'BE~4

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】如圖1,分別延長CO,8N相交于點P.易證AABN%4DPN,貝!JOP=A8=C。，易證

CM,ED為直角△CEP斜邊上的中線，得DE=CD=AD,故選項A正確；

如圖2,過點A作AG〃BN”與CM的延長線交于點G,易證△AGMg/XBEM,AAGM^ACBM,得

4GBc

—=—=2,則AG=EG,即可得EA平分NMEF,故選項5正確；

GMBM

1EG1

根據(jù)AN//BC,得77=—=根據(jù)EF//AG,得77-~故選項C正確；

FCBC2CEFC2

證明△CPEs^CAG,即可判斷選項。錯誤.

【解答】解：如圖1,延長CDBN交于點P,

圖1

:四邊形ABCD是正方形，

/.CD//AB,CD=AB=AD=BC,/BAN=/CBM=90°,

:./P=NABN,ZBAN^ZPDN,

是A。的中點,

：.AN=DN=1AZ),

AAABN^ADPN(A4S),

：.PD=AB=CD,

???M是A8的中點，

：.BM=^AB=|XD=A7V,

■:/NAB=/MBC,AB=BC,

：.AANB^ABMC(SAS),

???ZABN=/BCM,

VZABN+ZCBN=9Q°,

：.ZBCM+ZCBN=90°,

:?/CEN=90°,

???。為PC的中點，

1

：.DE=?PC=DC,

：.AD=DEf故選項A正確；

如圖2,過點A作AG〃8N,與CM的延長線交于點G,

DC

7

G

圖2

同理得AAGM之△BEM(A4S),

：.ZG=ZBEM=90°,EM=GM,NGAM=/MBE=/BCM,

：.ZG=ZCBM=90°,

???X\GMsXCBM,

?_A_G___B_C__0

GMBM

：.AG=2GM,

；.AG=EG,

???AAEG是等腰直角三角形,

AZAEG=45°,

ZAE2V=45°=/AEG,

???EA平分NMEF,故選項B正確；

9

：AN//BCf

：.AANFs^CBF,

tAFAN1

??FC-BC-2’

*：EF//AG,

.EGAF1

??CE-FC-2’

EM1

*'?—=故選項C正確；

CE4

9：AG//EF,

:ACFEsACAG,

.EFCF2

"AG~AC~3

'：AG=BE,

EF2

—=一，故選項。錯誤.

BE3

故選：D.

【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,

正確作輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?南關(guān)區(qū)模擬）如圖，點E為正方形ABC。對角線AC上一點，連結(jié)。E,過點E作

交2C延長線于點凡以。E、所為鄰邊作矩形。EFG,連結(jié)CG.給出下列四個結(jié)論：

①DE=EF；

②ADAE沿ADCG；

③AC_LCG；

④2CE+CG=V2CD.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有①②③.

AD

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】①②③.

【分析】過E作過E作EMLCD于N,如圖所示，根據(jù)正方形性質(zhì)得/BCD=90°,ZECN

=45°，推出四邊形EMCN是正方形，由矩形性質(zhì)得EM=EN,ZDEN+ZNEF=NMEF+/NEF=90°,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得ED=EF,故①正確；推出矩形DEFG是正方形,根據(jù)正方形性質(zhì)得AD=DC,

ZADE+ZEDC^9Q°推出△AOE0ACDG,故②正確；得至ljAE=CG,NZME=NZ)CG=45°,由此

推出CG平分NOCF,故③正確；進而求得AC=AE+CE=CE+CG=魚。，故④錯誤.

【解答】解：過E作過E作EN1,CD于N,如圖所示，

:四邊形ABC。是正方形，

:.NBCD=90°,NECN=45°,

ZEMC=ZENC=ZBCD=90°,

：.NE=NC,

：.四邊形EMCN是正方形，

:.EM=EN,

:四邊形。EFG是矩形，

NDEN+NNEF=ZMEF+ZNEF=90°,

：.ZDEN=NMEF,

在ADEN和△FEM中,

/DNE=/FME

'EN=EM，

、乙DEN=^LFEM

：.XDENQAFEM(ASA),

：.ED=EF,故①正確；

???平行四邊形DEFG是正方形，

:?DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,

???四邊形A3CD是正方形，

：.AD=DC,ZADE+ZEDC=90°,

/ADE=NCDG,

在AAOE■和△CDG中，

AD=CD

Z.ADE=乙CDG,

DE=DG

:.AADE2ACDG(SAS),故②正確；

：.AE=CG,ZDAE^ZDCG=45°,

AZACG=90°,

CGLAC,故③正確；

:.AC=AE+CE=CE+CG=0CD,故④錯誤；

正確結(jié)論的序號有①②③，

故答案為：①②③.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作

出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

12.(2025春?南京月考)如圖，四邊形A8CD是菱形，CD=5,BD=8,AEJ_8c于點E,則AE的長是

24

【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】推理能力.

【答案】y.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BC=C￡）=5,BO=DO=4,OA=OC,ACLBD,運用勾股定理可得。C,

AC的長，再根據(jù)菱形面積的計算方法S菱粉===即可求解.

【解答】解：???四邊形A3CD是菱形，CD=5,BD=8,

:?BC=CD=5,50=00=4,OA=OCfAC±BD,

：.ZBOC=90°.

：.0C=yjBC2-B02=V52-42=3,

：.AC=2OC=6,

1

,:S菱形ABCD=BC-AE—qBD-AC—OB-AC,

.'廠OB-AC4x624

?'AE=-B^^—=T-

24

故答案為：—.

【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)，掌握勾股定理，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?碑林區(qū)校級二模）菱形ABCZ）的周長為20,對角線AC長為6,CE是邊AB上的高線，則線段

CE的長為4.8.

【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】4.8.

【分析】連接8。交AC于點O,由菱形的性質(zhì)得A8=5,OA=OC=3,OB=OD,AC±BD,再由勾

股定理求出。8=4,則8。=8,然后由菱形面積求出CE的長即可.

【解答】解：如圖，連接交AC于點。，

,四邊形ABC。是菱形，周長為20,AC=6,

1I

4x20=5,OA=OC=^AC=3,OB=OD,ACLBD,

AZAOB=90°,

OB=yjAB2-0A2=V52-32=4,

：.BD=2OB=S,

〈CE是邊AB上的高線，

1

.?.S菱形ABC￡）=A8?。石=中C，BD,

1

即5CE=1x6X8,

.?.C￡=4.8,

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?碧江區(qū)一模）如圖，四邊形ABC。是矩形，且對角線AC、BD相交于點O,若44。2=50°,

則/。CD=65°.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】65°.

【分析】先根據(jù)矩形對角線互相平分且相等得到OC=OD,根據(jù)對頂角相等得到/COD的度數(shù)，再由

等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.

【解答】解：由條件可知OC=。。，

：.ZOCD=ZODC,

"：ZCOD=ZAOB=50°,

18ZCOg

NOCD=NODC=°°-=65°,

故答案為：65°.

【點評】本題主要考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵.

15.（2025?浙江模擬）如圖，AC是菱形A8CA的對角線，N3AC=38°,點E在3C的延長線上，則/

DCE=104

【專題】矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】104.

【分析】由菱形的性質(zhì)得/8。=/區(qū)4。=2/瓦^7=76°,即可解決問題.

【解答】解：：四邊形ABC。是菱形，ZBAC=38°,

:./BCD=/BAD=2NBAC=76°,

AZDC￡=180°-ZBCD=180°-76°=104°,

故答案為：104.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?花溪區(qū)模擬)【問題情境】

如圖，四邊形A8C。是正方形.過點C在正方形ABC。的外側(cè)作射線CN,/DCN=a(0°<a<90°).作

點。關(guān)于射線CN的對稱點E,線段。E交射線CN于點M,連接BE交直線CN于點?

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)當(dāng)0°<aW45°時，/EFN的度數(shù)為45度；

【猜想論證】

(2)在(1)的條件下，猜想線段尸8,FC,尸￡之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

【拓展應(yīng)用】

(3)若CP=1,FM=2,求網(wǎng)的長.

備用圖

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力.

【答案】(1)45；

(2)BF=<2CF+EF.證明見解析；

(3)&或3夜.

【分析】(1)由題意畫出圖形；

(2)過點C作。/_LCR交BE于點、H,證明(A4S),得出CH=CEBH=EF,則可

得出結(jié)論；

(3)分兩種情況，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)由題意補全圖形如下：

圖1

:作點D關(guān)于射線CN的對稱點E,

：.DC=CE,NDCN=/ECN=cc,

:四邊形A8CZ)是正方形，

：.ZBCD^90°,BC=CD,

：.BC=CE,

1

ZCBE=ZCEB=x[180°-(90°+2a)]=45°-a,

:?NEFN=NECN+NCEB=CL+45°-a=45°

故答案為：45；

(2)BF=V2CF+EF.

證明：過點。作交BE于點H,

9：ZEFN=45°,

：.ZCHF=45°,

：.ZBHC=ZEFC=135°,

?；BC=CE,

；.NCBH=NCEF,

.,.△CBH冬MEF(AAS),

：.CH=CF,BH=EF,

：.HF=y[2CF,

：.BF=BH+HF=EF+&CF；

(3)由對稱可知NCME=90°,

；FM=2,NEFN=45°,

：.EF=V2FAf=2V2,

當(dāng)0°<a<45°時，由(2)可知BF=EF+近CF=2m+m=3巫;

當(dāng)45°Wa<90°時，如圖，

同理可得BF=EH=EF-y[2CF=2V2-V2=V2.

綜上所述，8尸的長為/或3a.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等

腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

17.(2025?天鎮(zhèn)縣模擬)綜合與探究

在數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展活動.

實踐操作：

如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=8,BC=10.

第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點B落在AD邊上的點F處，得到折痕

CE,然后把紙片展平.

第二步：如圖2,再將矩形紙片沿8斤折疊，此時點A恰好落在CF上的點N處，BF,8N分別與CE

交于點G,M,然后展平.

問題解決：

(1)求AE的長.

(2)判斷EF,與C。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

拓展應(yīng)用:

(3)如圖3,延長CE,D4相交于點尸，請直接寫出PM的長.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖

形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】(1)5；(2)EF,與CQ之間的數(shù)量關(guān)系為：EF+MN=CD,理由見解析；(3)PM=5層.

【分析】(1)設(shè)4￡=無，則BE=8-x,利用矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到CF=CB=10,EF=BE=8

-x,NEFC=NB=90°,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論；

(2)利用折疊的性質(zhì)得到CG_LBF,BG=GF,BE=EF,ZABF=ZNBF,BA=BN,利用全等三角形

的判定與性質(zhì)得到EG=GM,再利用矩形的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答即可；

(3)連接利用菱形的判定與性質(zhì)得到■BE=EP=J?=8M=5,FM//AB,利用相似三角形的判定

DAAP

與性質(zhì)得到二=一，利用勾股定理求得尸石，再利用相似三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

PFFM

【解答】解：(1)設(shè)AE=x,貝!j8E=8-x.

???四邊形A5CD為矩形，

ZA=ZB=ZC=90°,CD=A3=8,AD=BC=10,

??,將矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點B落在AD邊上的點F處，

：.CF=CB=10,EF=BE=8-x,ZEFC=ZB=90°,

ZAFE+ZDFC=9Q°,

'：ZDFC-^ZDCF=9Q°,

NAFE=ZDCF.

VZA=Zr>=90°,

：.AAFE^ADCF,

.AE_AF_

??=,

DFCD

?；DF=VCF2-CD2=V102-82=6,

：.AF=AD-DF=4.

.8-x4

??—―,

68

??x~~5.

：.AE=5；

(2)EF,MN與CD之間的數(shù)量關(guān)系為：EF+MN=CD,理由：

??,將矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點5落在AO邊上的點尸處,

???CE垂直平分BF,

：.CG±BFfBG=GF,BE=EF.

??,將矩形紙片沿8尸折疊，此時點A恰好落在上的點N處，

:./ABF=NNBF,BA=BN,

在△BGE和△8GM中