2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的幾何證明題》專項測試卷(附

答案)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.如圖，。。是VABC的外接圓，A3是。。的直徑，點。在BC上，AC=BD>E在54的

延長線上，ZCEA=ZCAD.

⑴如圖1,求證：CE是。。的切線；

(2)如圖2,若NCE4=2NZMB,。4=8,求臺。的長.

2.如圖，VABC內(nèi)接于。。，D是BC上一點，AD=AC.E是。。外一點,

(1)若43=8,求AE的長；

⑵求證：EB是。。的切線.

3.如圖，AABC為。。的內(nèi)接三角形，為。。的直徑，將AABC沿直線48翻折到AABD,

點。在。。上.連接C。，交AB于點E,延長8。，CA,兩線相交于點P,過點A作。。的

切線交B尸于點G.

(1)求證：AG//CD；

⑵求證：PA2=PG-PB；

(3)若sinNAPO=g,PG=6.求tan/AGB的值.

4.如圖，VABC內(nèi)接于。。，點。為BC的中點，連接A。、BD,BE平分—ABC交AD于

點、E,過點。作。b〃BC交AC的延長線于點F.

⑴求證：。廠是0。的切線.

⑵求證：BD=ED.

(3)若。E=5,CF=4,求AB的長.

5.如圖，AB是。。的直徑，AACD內(nèi)接于。0,CD=DB，AB,CD的延長線相交于點E,

S.DE=AD.

⑴求證：△GWSACEA；

⑵求ZADC的度數(shù).

6.如圖，VABC內(nèi)接于。。，A3是。。的直徑，點E在。。上，點C是BE的中點，AE1CD,

垂足為點。，OC的延長線交A5的延長線于點R

D

⑴求證：co是。。的切線；

Q)若CD=拒,NABC=60。，求線段AF的長.

7.如圖，。。是VA2C的外接圓，AD是。。的直徑，尸是AD延長線上一點，連接CD,CF,

且NDCF=ZCAD.

⑴求證：C尸是。。的切線；

3

⑵若AD=10,cosB=-,求ED的長.

8.如圖，A3是0。的直徑，C,。是0。上兩點，連接AC,BC,CO平分NACD,CELDB,

交延長線于點￡.

⑴求證：CE是0。的切線；

3

⑵若。。的半徑為5,sin￡>=-,求8。的長.

9.如圖，在RCABC中，NACB=90。，點E在AC上，以CE為直徑的。。經(jīng)過上的點

D,與OB交于點尸，且9=3。.

⑴求證：是0。的切線.

(2)若AE=2,tanA=,求CF"的長.

3

10.如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB于點E,G是弧AC上一點，AG,OC的延長線交

于點尸，連接AAGRGC.

B

⑴求證：AD2=AGAF;

(2)已知CO=16,3E=4,若點G是A尸的中點，求B的長.

11.如圖，0。是VASC的外接圓，AE切。。于點A,AE與30的延長線相交于點E,C

為半圓。的中點，AC交BE于點、F.

C

⑴求證：EA=EF；

⑵若OF=EF=日求陰影部分的面積.

12.如圖，在VA3C中，AB=AC,以AB為直徑作。。，分別交BC于點。，交AC于點E,

過。作D//LAC于H,連接DE并延長交的延長線于點尸.

⑴求證：Z)〃是0。的切線；

⑵連接0H交。/于G,若會二刀，OA=\,求AF的值.

OG3

13.如圖，直角三角形ABC中，以直角邊AB為直徑作圓交AC于點D,過點。作A暇工

于點M,E為DM的中點，連接AE并延長交3C于點凡BF=EF.

⑴求證：CF=BF；

⑵求tan/D￡F.

14.如圖，己知AB是0。的直徑，為。。的內(nèi)接三角形，C為54延長線上一點,

連接CD。尸_14￡＞于點￡,交CD于點F,/ADC=/AOF.

⑴求證：CD是。。的切線.

(2)若sinC=g,BD=2A/3,求的長.

15.如圖，為。。的直徑，BD=CD＞過點A作。。的切線，交。。的延長線于點E.

⑴求證：AC//DE；

(2)若AC=2,tanZE=1,求0E的長.

16.如圖，在AABC的邊BC上取一點。，以。為圓心，0C為半徑畫。。與邊AB相切于點

D,若AC=AD.

⑴求證：AC是。。的切線；

⑵若AB=15,BC=9,求0。的半徑.

17.如圖，A3是0。的直徑，C是上一點，P是54延長線上一點，連接AC,BC,PC,

ZPCA=ZB.

⑴求證：PC是。。的切線；

(2)若tanNB=走，。。的半徑為5,求AP的長.

3

18.如圖，VABC是0。的內(nèi)接三角形，AD)3c于點。，延長54至點E,連接CE,使

ZACE=ZB,AF是。。的直徑，連接CT.

⑴求證：CE是。。的切線；

(2)若AS=3C,CE=4,AE=2,求AD-AF的值.

19.如圖，AD為直徑，￡為弦BC的中點，連接AB,AC.

(1)求證：VABC為等腰三角形；

⑵連接班＞,CD,若4)=10,四邊形ABDC的面積為40,求DE的長.

20.如圖，VABC內(nèi)接于。。，BC為。。直徑，的平分線交。。于點。，連接8。,

CD,過點。作0。的切線與AC的延長線交于點尸.

⑴求證：DP//BC.

⑵若AB=6,AC=8時，求線段PC的長.

21.在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學(xué)習(xí).

【操作發(fā)現(xiàn)】

小明作出了。。的內(nèi)接等腰三角形ABC,AB=AC.并在BC邊上任取一點。(不與點B,

C重合)，連接AD,然后將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到"CE.如圖①

小明發(fā)現(xiàn)：CE與。。的位置關(guān)系是,請說明理由：

【實踐探究】

連接DE,與AC相交于點F.如圖②，小明又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)VABC確定時，線段C廠的長存在

最大值.

請求出當(dāng)AB=3j疥.3。=6時，CP長的最大值；

【問題解決】

在圖②中，小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：點O分線段BC所成的比與點/分線段DE所成的比

始終相等.請予以證明.

AA

圖①圖②

22.如圖1,48為。。的直徑，A3=12,C是。。上異于A,3的任一點，連接AC,BC,過

點A作射線仞，AC,D為射線4。上一點，連接CO.

【特例感知】

(1)若BC=6.貝I]AC=.

(2)若點C,￡＞在直線AB同側(cè)，且NADC=/B,求證：四邊形ABC。是平行四邊形；

【深入探究】

若在點C運(yùn)動過程中，始終有tanZADC=6,連接OD.

(3)如圖2,當(dāng)CD與。。相切時，求OD的長度；

(4)求8長度的取值范圍.

23.如圖，是VABC的外接圓，為。。的直徑，NAC3的平分線CD交。。于點

過點D作DE//AB,交CB的延長線于點E.

(1)試判斷直線OE與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

⑵求證：—ABAD=ACBE.

2

CF

⑶若AC=a,BC=〃，過點。作3c于點”，求為的值.(用含修，”的代數(shù)式表示)

CH

24.如圖，A8是。。的直徑，AB=6,尸是。。上異于點A,B的一動點，連接P4,PB,

過點A作射線.AC，刈,C為射線AC上一點，連接PC.

【初步探究】

(1)若PB=4,求出的長;

【深入探究】若在點P的運(yùn)動過程中，始終有tanNPCA=g-

(2)如圖I,若AC=&,求證：直線PC與相切；

(3)如圖2,連接OC,設(shè)OC=〃z,求機(jī)的取值范圍.

參考答案

1.⑴見詳解

(2)2萬

【分析】(1)連接CO,則N1=N2,故/3=/1+/2=2/2,由AC=B。，得到N4=N2,

而ZACB=90。，則NG4D+2N2=90。，由NCE4=NG4D,得/CE4+2/2=90。，因此

NCE4+N3=90。，故ZECO=90。，則CE是00的切線；

90°

(2)連接CO,。。，可得N3=2N2=2N4=/CE4,則/3=/CEA=—=45。，故/4=22.5。，

2

4sV77"X8

由得/。。3=2/4=45。，那么長為，。八=2萬.

lol)

【詳解】(1)證明：連接co,

,:OC=OB,

???Z1=Z2,

???N3=N1+N2=2N2,

'-*AC=BD，

AZ4=Z2,

???AB為直徑，

???ZACB=90°,

：.ZC4P+Z4+Z2=90°,即NC4D+2N2=90。,

ZCEA=ZCAD,

：.ZCE4+2Z2=90°,

???NCE4+N3=90。，

NECO=90。，

/.OC±CE,

???CE是的切線；

(2)解：連接C。,。。,

由(1)得N3=2N2=2N4,

ZCEA=2ADAB,

：./CEA=Z3,

丁ZECO=90°,

90°

Z3=ZCEA=——=45°,

2

???N4=22.5。,

,?*BD=BD，

：.ZDOB=2Z4=45°,

?'?BO長為：45：U8=2%.

lot)

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧

長公式等，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

2.(1)AE=8

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)=可得NZME=NC4B,然后證明A/ME絲AC4B(ASA),根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案；

(2)連接首先證明/ASE=NA￡B=/ADC=NACD,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和

圓周角定理求出ZOBA=90°-1ZAOB,然后計算出NOBE=ZOBA+ZABE=900即可.

【詳解】(1)解：：/&!￡=/CW,

ZDAE=ZCAB,

又：AD=AC,ZADE=ZACB,

AZME^AGW(ASA),

:.AE=AB=8；

(2)證明：如圖，連接。4,03,

由(1)得：AE=AB,AD=AC,

：.ZABE=ZAEB,ZADC=ZACD,

ZBAE^ZCAD,

：.ZABEZAEB=ZADC=ZACB,

?：OA=OB,

：.NOBA=ZOAB=g(180。一ZAOB)=90。-gNAOB,

又：ZACB=-ZAOB,

2

ZOBA=900-ZACB,

：.ZOBE=ZOBA+ZABE=90?！猌ACB+ZACB=90°,

OB是半徑，

，座是。。的切線.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓

周角定理，切線的判定等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.(1)見解析

(2)見解析

(3)72

【分析】(1)根據(jù)折疊可得根據(jù)切線的定義可得AGLAB,即可得證;

(2)根據(jù)題意證明NB4G=NAS。，進(jìn)而證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即

可得證;

AF)1F)

(3)根據(jù)sin/APD=——=-,設(shè)AD=a,則AP=3a,得出tanNAP￡>=根據(jù)折疊的

AP34

性質(zhì)可得出AC==a,則尸C=Q4+AC=3a+a=4a,進(jìn)而求得=根據(jù)

ZAGB=90°-ZGAD=ZDABf進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解.

【詳解】(1)證明：??,將△ABC沿直線A3翻折到

/.AB1CD,

TAB為OO的直徑，AG是切線，

JAGLAB,

:.AG//CD；

(2)解：???AG是切線，

???AG1AB,

:A3為。。的直徑，

???ZADB=90°,

ZABD=900-ZDAB=ZGAD,

由折疊可得Z4BD=NABC,

ZCBD=2ZABD,

???四邊形AT出。是。。的內(nèi)接四邊形，

ZPAD=1800-ZCAD=ZDBC=2ZABD,

：.ZPAG=ZPAD-ZGAD=2ZABD-ZABD=ZABD,

又丁ZAPG=NBPA,

：?△APG^ABPA,

.APPG

??——―,nn即P?A=PG-PB;

Dri/l

4ni

(3)解：VsinZAPD=——=—,設(shè)AD=〃，貝!J"=3〃,

AP3

PD=VAP2-AD2=2yf2a>

???3*=筋金岑

,**由折疊可得AC=AD=a，

PC=PA+AC—3a+a=4a,

???在RSPCB中，tanZCPB=—=—,

PC4

也

：.BD=CB=—PC

4

VADLBD,GA1AB,

：.ZAGB=900-ZGAD=ZDAB,

tanZAGB=tanZDAB=—=叵=應(yīng).

ADa

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟

練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.(1)證明見解析

(2)證明見解析

25

⑶A3=a

【分析】(1)如圖，連接OD,證明ODL3C,結(jié)合。尸〃BC,可得。P_LOD,從而可

得結(jié)論；

(2)證明NCBD=NBAD,ZABE=NCBE,結(jié)合NDEB=NBAD+ZABE,

ZDBE=ZCBD+ZCBE,再進(jìn)一步可得結(jié)論；

(3)如圖，連接CD,證明CD=JBZ)=5,再證明△FDCs△mB,可得區(qū)=8,結(jié)合c尸=4,

DBAB

從而可得答案；

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,

:點。為8C的中點，

OD1BC,

DF//BC,

J.DFLOD,且。。是0。的半徑,

尸是0。的切線；

(2)證明：?.?點。為BC的中點，

BD=CD，

：.ZCBD=ABAD,

「砥平分/ABC,

???ZABE=/CBE,

■:ZDEB=ZBAD+ZABE,ZDBE=ACBD+ACBE,

ZDBE=ZDEB,

JDB=DE；

(3)解：如圖，連接CO,

VDE=5,BD=DE,

：.BD=5,

?：BD=CD，

：.CD=BD=5,

■:BC//DF,

：.ZACB=ZF,而？ACS?ADB,

???ZADB=ZF,

???四邊形ABDC為。。的內(nèi)接四邊形,

???ZABD-^-ZACD=180。=ZACD-^-ZDCF,

???/DCF=ZABD,

:.AFDC^DAB,

,FCCD

而CF=4,

*DB-AB

.4_J_

',5-AB

25

??.”=1,經(jīng)檢驗，符合題意;

【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)

接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

5.(1)見詳解

(2)45°

【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),

等邊對等角等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）由等弧所對的圓周角相等可得出=再由等邊對等角得出=

等量代換可得出/C4D=/E,又/C=NC,即可得出

（2）連接80,由直徑所對的圓周角等于90。得出NAD3=90。，設(shè)NC4D==a,即

NC4E=2a,由相似三角形的性質(zhì)可得出NADC=NC4E=2a,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)可得出2或+2?+90。=180。，即可得出a的值，進(jìn)一步即可得出答案.

【詳解】（1）證明：,?,CD=DB

ZCAD=ZDAB,

;DE=AD，

,ZDAB=ZE,

：.NCAD=/E,

又,:ZC=ZC

ACAD^ACEA,

（2）連接BD,如下圖：

：AB為直徑，

：.ZADB^90°,

設(shè)NC4D=/ZMB=c,

ZCAE=2a,

由（1）知：/^CAD^CEA

：.ZADC=ZCAE=2a,

..?四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，

ZCAB+ZCDB=180°,

gP2?+2a+90°=180°,

解得：a=22.5°

ZADC=/CAE=2x22.5°=45°

c

D

6.⑴見解析

(2)6

【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握圓周角定理及推論，圓切線的判定.含

30。的直角三角形性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,由。1=OC,威=&,推出NOC4=NDAC,得到OC〃AD,由AE_LCD,

得到CD_LOC,即得；

(2)由直徑性質(zhì)可得NACB=90。，推出ND4c=NB4C=30。，根據(jù)含30。的直角三角形性

質(zhì)得到AD=3,根據(jù)N尸=30。，得到AF=6.

【詳解】(1)證明：：連接OC,則。4=OC,

ZOAC=ZOCA,

:點C是BE的中點，

:.dc=a,

：.ZOAC^ZDAC,

：.ZOCA=ZDAC,

：.OC//AD,

:AELCD,

：.CDVOC,

：.ZACB=90°,

ZABC=60°,

???ABAC=90°-ZABC=30°,

ZZMC=30°,

??,CD=6

AD=6CD=3,

?：ZF=90°-(ZBAC+ZZMC)=30°,

AF=2AD=6.

7.(1)證明見解析

90

⑵亍

【分析】(1)根據(jù)切線的判定，連接OC,證明出OC_LbC即可，利用直徑所得的圓周角

為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；

3

(2)由cosB=w，根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得CD:AC:AZ)=3:4:5,再根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)可求出答案.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖所示：

?.?AD是。。的直徑,

ZACD=90°,

ZADC+ZCAD=90°,

又?.?OC=OD,

:.ZADC=ZOCD,

又?；ZDCF=NCAD.

ZDCF+ZOCD=90°,BPOCLFC,

???PC是0。的切線；

3

(2)解：?.?NB=ZADC,cosB=-

3

/.cosZADC=—,

3CD

在RtzXACD中，cosZADC=-=——，AD=10,

5AD

/.CD=ADcosZADC=10x-=6,則AC==8，

,CD3

,,—―，

AC4

???ZFCD=ZFAC,ZF=ZF,

/.BCDs^FAC,

.CDFCFD3

-AC-E4-FC-4?

設(shè)FD=3x,則FC=4x,AF=3x+10,

30

\-FC2=FDFA,即(4%)2=3x(3%+10),解得％=亍或%=0(舍去)，

.?.FD=3X=—.

7

【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定與性

質(zhì)，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提.

8.⑴見解析

14

(2)BD=-

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得出/ACO=/DCO=1/ACD,根據(jù)圓周角定理得出

2

ZABD=ZACD=2ZACO,證明CO〃OE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZOCE=180°-ZCED=90°,得出。C_LCE,即可證明結(jié)論；

3

(2)根據(jù)BC=BC，得出NA="，解直角三角形得出BC=ABxsinA=10xw=6,證明

31S

NECB=ZA,解直角三角形得出BE=M><6=M，根據(jù)勾股定理得出

CE=,BC=BE?=卜一個］=g,解直角三角形得出CD=gcE=gx§=8,根據(jù)勾股

定理得出=JO)?一CE?=卜［g；=］,最后求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)證明：：C。平分NACD,

:.ZACO=ZDCO=-ZACD,

2

,AD=AD，

:.ZABD=ZACD=2ZACO,

AO=CO,

：.ZACO=ZCAO,

：./COB=ZACO+ZC4O=2ZACO,

:?ZABD=/COB,

：.CO//DE,

?；CE1DE,

：.NCED=90。,

9：CO//DE,

：.ZOCE=180。—ZCED=90°,

:.OCLCE,

???OC為半徑，

???C￡是。。的切線；

(2)解：:。。的半徑為5,

???AB=2x5=10,

,:BC=BC，

???ZA=ZD,

3

sinA=sin。=一,

5

*.*AB為。。的直徑，

???ZACS=90°,

3

BC=ABxsinA=10x—=6,

5

NECB+NBCO=ZBCO+ZACO=900,

：.ZECB=ZACO,

ZACO=ZA,

：./ECB=ZA,

3

sinNECB=sinA=一,

BE=-x6=—

55

24

CE=dBC2-BE?=

T

CF3

?.?sinO=——=—,

CD5

5524

：.CD=-CE=-x—=8

335f

24

DE=y/CD2-CE2=.82-

.?.BD=DE一BE”.*。

【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形的相關(guān)計算，勾股定理,

等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定

和性質(zhì).

9.(1)見詳解

若

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，證明某直線是圓的切線,求弧長公式,

解直角三角形的相關(guān)計算等知識.

(1)連接OD,根據(jù)SSS證明皮格△QBC,由全等三角形的性質(zhì)得出

ZODB^ZOCB=90°,進(jìn)一步即可證明AB是0。的切線.

(2)由正切的定義得出NA=30。，ZCOD=120°,再由正弦的定義得出。。=2,由全等三

角形的性質(zhì)得出NBOD=ZBOC=1ZCO￡>=60°,最后根據(jù)弧長公式求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OD,

VBD=BC,BO=BO,OC=OD,

???ZODB=ZOCB=90°,

ODYAB,

是。。的半徑，

，A5是。。的切線.

（2）解：由（1）知，ZOZM=90°,

?tanA——，

3

???ZA=30。，

???ZDOA=6Q0,

???ZCO￡>=120°,

在Rtz\Q4。中,

siisin30°=嘰」OD=q=L

OAOE+AEOD+22

：.OD=2,

9：八OBD烏AOBC,

/BOD=ZBOC=-ZCOD=60°,

2

.60^x22TT

.?Cr=------=---

1803

10.(1)證明過程見詳解

(2)CF的長為8#-8

【分析】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

（1）根據(jù)垂徑定理可得也△AEC（S4S）,AD=AC,ZADC^ZACD,根據(jù)同弧所對

圓周角相等，等量代換得到/ADC=/AG。，且/ZMG=/E4D,^ADG^^AFD,由此即

可求解；

（2）如圖所示，連接OC,設(shè)。。的半徑為「，由垂徑定理，勾股定理得到r=10,證明

AFCSAFAD,得到"=.一46,由（1）可知ArP=AGAF=（8j?）=320,

AG=GF=4y/10（負(fù)值舍去），代入計算即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接AC,

A

B

〈AB是直徑，ABYCD,

：.DE=CE,ZAED=ZAEC=90°,且=

???^AED^AEC(SAS),

：.AD=AC,

：.ZADC=ZACDf

?.??

?AD=ADf

：.ZACD=ZAGD,

：.ZADC=ZAGDf&ZDAG=ZFAD,

：.^ADGS^AFD,

.ADAG

??一,

AFAD

AD2=AGAF；

B

：.OC=OB=r,貝|JQ￡=Q3—旗=/一4,

VCD=16,ABA.CD,

：.DE=CE=-CD=8/CEO=90。，

2f

AOC2=OE2+CE2,即戶=(r—4『+82,

解得，廠=10,

：.OA=OB=OC=1OfOE=OB-BE=10-4=6,

：.AE=tM+QE=10+6=16,

在RSADE中，￡?=8,AE=16,

AD=^DE2+AE2=V82+162=86，

ZDAG+ZDCG=180°,ZDCG+ZFCG=180°,

:.NFCG=NFAD,S.ZF=ZF,

:.AFCGS*AD,

CFGF

...j=jBGF=AF-AG,DF=DC+CF=16+CF9

AFDF

.CFAF-AG

**AF-16+CF

由（1）可知AZ）2=AGAb=,百）=320,且點G是A尸的中點,

AAG=GFfAF=2AG,

/.AG=GF=4>/10（負(fù)值舍去），

/.AF=8710,貝l」A尸一AG=8而-4M=4歷，

：.-^==,整理得，CF2+16CF-320=0,

8V1016+CF

解得，CF=8A/6-8(負(fù)值舍去)，

C尸的長為8#-8.

11.(1)見解析

(2)3^--—

4

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形，不規(guī)則圖形的面積，理解相關(guān)圖

形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)連接Q4,OC,由切線的性質(zhì)得/。4￡=90。，則NQ4F+ZE4F=90。，由垂徑定理可

知OCL3E,則/。T+NOCF=90。，根據(jù)題意可知NQ4F=/OB,ZEFA=ZOFC,進(jìn)

而證得NEK4=NK4產(chǎn)，即可證明E4=EF；

(2)根據(jù)。尸=所=若，剛=防，可知0￡=26,OA=WE「AE°=3,得sinZAOE=坐V，

貝|JZAOE=30°,ZAOC=120°,求得=34破=乎，當(dāng),可知

%"=s-+SA8*=羊，則根據(jù)陰影部分的面積為s^AOC-s^AOC即可求解.

【詳解】(1)證明：連接。4,OC,

：AE切。。于點A,

Z(M￡=90°,則NO4F+ZE4F=90。，

：C為半圓。的中點，

：.OCLBE,則Z.OFC+ZOCF=90°,

又：OA=OC,

AZOAF=ZOCF,貝l|ZE4F=NOFC,

又：ZEFA=ZOFC,

：.ZEFA=ZEAF,

：.EA=EF；

(2)*.?OF=EF=43,EA=EF,

OE=2A/3>OA=-JOE2-AE2=3,

AT1

AinZAOE=—=-,則ZAQE=30。，

sOE2

???ZAOC=120°f

SAAOF=^SAAOE=Tx；AE.OA=；xgx^x3=^^,

S“。F=goc.OF=；x3x6=當(dāng)

?36,3百9百

**dAAOC-^AAOF+、MOF~—4，

則陰影部分的面積為s-?

tKAOC36044

12.(1)見解析

(2)2

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定,相似三角形的判定和性質(zhì),

圓周角，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

(1)連接OD,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，得到=從而得出AC〃OD,即可證

明結(jié)論；

2

(2)連接昉，先證明AEGHSSGQ,ABDOSABCA,從而得到即=1，BC=2BD,再

結(jié)合直徑所對的圓周角是直角，得到〃鹿，推出△CDHSACBE,從而得出點H是CE的

7AFAF

中點，求出AE=；,最后證明得到三=即可求出川的值.

3OFOD

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,

\AB=AC,

,\ZC=ZABC9

?：OB=OD,

ZODB=ZOBD,

ZC=ZODBf

:.AC//OD,

\-DH±AC,

.\DH±OD,

又?「OD是半徑，

.?.OH是O。的切線

(2)解：如圖，連接所,

AC=AB=2OA=2,OD=OA=1,

?/AC//OD,

△BDO^ABCA,

HGEH_2BDOB1

,^OG~^D~3AB-2?

.EH=—,BC=2BD,

3

,「AB是直徑,

.\ZAEB=90°,

:.BELAC,

\'DHLAC,

\DH//BE,

:.^CDH^^CBE,

.CHCD_I

'~CE~^C~2'

..CE=2CH,即點”是CE的中點,

4

:.CE=2EH=~,

3

42

:.AE=AC-CE=2——=-,

33

?.?AC//OD,

..△FAES^FOD,

AFAE

,~OF~~OD"

2

,"=3,

"AF+l1

:.AF=2.

【點睛】

13.(1)見解析

(2)tan/DE尸=20

FMAF

【分析1(1)根據(jù)題意可得DM//BC,可證△,^ADE^^ACF,得到=――，

BFAF

nrAr

—由石為DM的中點，即成=加，得到C/=5方即可求解；

CFAF

(2)連接50,設(shè)BF=CF=EF=x,AB=2R,可證明則

22

J_4R_RS^ABD=AD.,口_,A.EA.D

=［司=彳=7,而s”CD由DAf〃BC,得到一二—,ZDEF=ZAFB,

3BCDEFCD

2

R22

RI,解得X,那么由

則AE=三在RGAB尸中，由勾股定理得4R2+V=------FX

XX

Afi

tanZDEF=tanZAFB=——即可求解.

BF

【詳解】(1)證明：；根據(jù)題意，VABC是直角三角形，ZABC=90°,以直角邊AB為直徑

作圓，DM.LAB,

：.DM//BC,

；?AAEMS^AFB,△ADEs.ACF,

,EMAEDE_AE

??BF-AF'CF~AF9

.EMDE

??一,

BFCF

???￡1為DM的中點，即DE=eM,

：.CF=BF；

???AB為直徑，

：.ZADB=900=ZBDC,

???ZABC=90°,

???AABD+Z.CBD=ZCBD+ZC=90°,

???ZABD=ZC,

：.AABD^ABCD,

ADBD2

=（嗎=誓￡s^ABD_2'AD_R

S^BCD【BCj4X2X1S.BCD-CD-BD~CD~^

?/DM//BC,

.AEAD

，?一=—，ZDEF=ZAFB,

EFCD

.AER2

"~EF~^

??AE=—

x

???在RSAB尸中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF\

2

R2

4R2+X2=-----FX

X

p4

4R2+x2=^-+x2+2R2,

2Rj

X

名刀汨R枝R

角牛得：x=-j==------

V22

tanZDEF=tanNAFB="=學(xué)=272

BF且；

忑

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性

質(zhì)，難度較大，正確合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

14.(1)詳見解析

(2)2

【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的判定定理進(jìn)行

證明，利用圓的性質(zhì)得出等邊三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解；

(1)連接OD,根據(jù)和/ADC=/AOB證明ODLCD即可；

(2)根據(jù)sinC=g得出NC=30°,NCOD=60。,得出△Q4D是等邊三角形，再根據(jù)三角函

數(shù)求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,

OF±AD,

:.NAEO=90。,

:.ZOAD+ZAOF=9Q°,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

\-ZADC=ZAOF,

ZADC+ZODA=90°f

:.ZODC=90\

：.ODA.CD

???0。是。。的半徑，

，8是0。的切線；.

(2)解：在RtZ\O￡)C中，sinC=-,,

2

:.ZC=30°,ZCOD=60°,

,/OA=OD,

是等邊三角形，

二ZOAD=60°,

?.?A8是直徑，

:.ZBDA=90°,

在RtA4BD中，3BD=&=半?

tan/BADtan60°y/3

15.(1)見解析

(2)5

【分析】(1)如圖：連接AD,根據(jù)圓周角定理可得NB4D=N。田，再利用等邊對等角及

等量代換即可證得NC4D=N。從而證得結(jié)論；

(2)如圖：連接3C,利用直徑所對的圓周角是直角結(jié)合(1)中平行線的性質(zhì)可求得NB=NE,

從而得到tan/B=tan/E,根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的值結(jié)合勾股定理即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖：連接A￡),

,:BD=CD，

：.ABAD=ACAD,

?/04=OD,

ZD=ABAD,

:.ZCAD=ZDf

：.AC//DE.

(2)解：如圖，連接BC,

J

A

???A3為O。的直徑，

???ZC=90°,

???AC//DE,

：.ZBAC=ZAOEf

???AE是O。的切線，

OA.LAE,

???ZOAE=9Q0=ZCf

：.ZB=ZE,

tanZB=tanZE=—,

在RtZkOAE中，tan-3=g，AC=2,

2

?1

?\tanNB=——=——=—,解得：BC=4,

nCnC2

.-.AB=A/AC2+BC2=,2。+4。=2亞，

OA=>/5,

,在RtZkOAE中，tanZE=-,

2

OE=VOA2+AE2=J心了+(2肩=5.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)值

及勾股定理解直角三角形的應(yīng)用等知識點，熟練掌握圓周角定理及平行線的判定及銳角三角

函數(shù)值及勾股定理解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

16.⑴見解析

⑵4

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾

股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OD,證明AAOC絲AAOD(SSS)得到NACO=NADO,由切線的性質(zhì)可得

ZADO^90°^ZACO,由此即可證明AC是。。的切線；

(2)勾股定理求得AC=12,進(jìn)而可得tanB=],設(shè)0。的半徑為4x,解Rt^O/汨求出

BD=3x,0B=5x,則3C=OC+O3=9x,即可求角電

【詳解】(1)證明：連接OD,

在△AOC和△AOD中，

OC=OD

<AD=AC,

AO^AO

..△AOC均AOD(SSS),

:.ZACO=ZADO,

又?.?AD是。。的切線，點。是切點，

:.ODLAD,即/ADO=90。=NACO,

???OC是半徑，

二AC是。。的切線；

(2)解：：AC是。。的切線

ZACB=90°

在RtZXABC中，AB=15,BC=9

AC=^IAB--BC-=12>

4

???在RtZXABC中，tanB=—

BC3

在ODB中，tanB==—

BD3

設(shè)。。的半徑為4%,

3

BD=-OD=3x,

4

：?OB=7B￡>2+(9￡)2:5x，

:.BC=OC+OB=9x,

BC=9

??x—1?

O。的半徑為4.

17.(1)證明見解析；

(2)AP=5.

【分析】本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形的外角性質(zhì)，30。所對直角邊是斜邊

的一半等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,由圓周角定理得出NAC5=90。，得出N5co+NACO=90。，由等腰三角形

的性質(zhì)得=又ZPCA=ZB,則有NPC4+NACO=90。，即PC_LOC,即可得出結(jié)

論；

(2)由tan/B=且，得N5=30。，則NPOC=60。，從而求出N尸=30。，然后通過30。所

3

對直角邊是斜邊的一半及線段和差即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OC,

是。。的直徑,

???ZAC6=90°,

???ZBCO+ZACO=90°,

?：OB=OC,

：.ZBCO=ZB,

：.ZB^ZACO=9Q°,

ZPCA=ZB,

???ZPCA+ZACO=90°,

：.ZPCO=90°,

oc是o。的半徑，

???PC是O。的切線；

(2)解：tanNB=，

3

???ZB=30。，

???ZPOC=ZB+ZBCO=30°+30°=60°,

VZPCO=90°,

???ZP=30°,

：.OP=2OC=1Q,

：.AP=OP-OA=10-5=5.

18.⑴見解析

⑵18

【分析】此題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì).

(1)如圖，連接OC,先由圓周角定理得N尸=N5,進(jìn)而得N3=N0CF,ZACE=ZOCF,

再由NAC/=/0。方+/4。0=90。得/00￡=/4?！?44。0=90。，即可得出結(jié)論；

(2)先證明△ACES^CBE,得BE=8,再證明列比例式可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

OC=OF,

???？尸?OCF,

AC=AC9

:.NF=ZB,

：.ZB=ZOCF,

又「ZACE=/B,

：.ZACE=ZOCF,

丁AF是。。的直徑，

???ZACF=ZOCF+ZACO=90°,

???ZOCE=ZACE+ZACO=90°,

OC.LCE,

*/OC是。。的半徑，

???CE是。。的切線；

(2)解：VZACE=ZB,ZE=ZE,

:?小ACESQE,

,CEAEAC

**BE-CE-BCJ

,.?CE=4,AE=2,

?4_2

??BE-4，

???BE=8,

：.AB=BC=BE-AE=8-2=6,AC=3,

?:AD±BC,

：.ZADB=ZACF=90°,

由(1)知NB=NF,

???小ABDs^AFC,

,ABAD

??一，

AFAC

ADAF=ABAC=6x3=18,

即ADAF的值為18.

19.(1)見解析

(2)2

【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及勾股定理，

熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

(1)由垂徑定理得AD23C,BE=CE,然后由線段垂直平分線的性質(zhì)可得答案；

(2)連接08,由四邊形ABAC的面積為40求出BC=8,在RIAOBE中，由勾股定理求出

OE=3,然后根據(jù)=OE即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?￡為弦5C的中點，AD為直徑,

:.AD±BC,BE=CE,

AB=AC,

「.△ABC為等腰三角形;

D.,四邊形ABDC的面積為40,

2

:.BC=8,

:.BE=4,