創(chuàng)新考向集訓(xùn)

議用時(shí):90分鐘滿分：116分

創(chuàng)新考向一抽象思維

L（4分）下列曲線中，表示y是X的函數(shù)的是（D）

2.（4分）將右側(cè)這個(gè)標(biāo)志翻折一次得到的圖形是（B）

第2題圖

門(mén)￥K

ABCD

3.（4分）一根蠟燭高20cm,點(diǎn)燃后平均每小時(shí)燃掉4cm,則蠟燭點(diǎn)燃后剩余的

高度//（cm）與燃燒時(shí)間/（h）之間的關(guān)系式是h=20—4/（0W/W5）。

4.（8分）甲、乙兩地相距300km,一輛貨車(chē)和一輛轎車(chē)先后從甲地出發(fā)駛向乙

地，轎車(chē)比貨車(chē)晚出發(fā)1.5h,兩車(chē)距離甲地的距離y（km）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)

關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：

⑴貨車(chē)的速度為60km/h；BC段的函數(shù)表達(dá)式為y=80x—

120(1.5WxW2.5)

⑵轎車(chē)出發(fā)后，用了多長(zhǎng)時(shí)間追上貨車(chē)？

(3)當(dāng)貨車(chē)行駛多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，兩車(chē)相距15km?

解：(2)轎車(chē)在CD段的速度是(300—80)+(4.5—2.5)=U0(km/h)。

設(shè)轎車(chē)出發(fā)xh追上貨車(chē)。

?轎車(chē)比貨車(chē)晚出發(fā)1.5h,

??.點(diǎn)3對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為1.5,

.,.60(x+l,5)=80+110(x-l),

解得x=2.4,

??.轎車(chē)出發(fā)2.4h追上貨車(chē)。

(3)設(shè)貨車(chē)行駛xh時(shí)，兩車(chē)相距15km。

①轎車(chē)未出發(fā)時(shí)，得60x=15,

解得x=0.25o

②兩車(chē)相遇之前，得60%—[110(%—2.5)+80]=15,

解得x=3.6o

③兩車(chē)相遇之后,得[U0(x—2.5)+80]—60x=15,

=

解得x4.2o

④轎車(chē)到達(dá)乙地后，得60x=300—15,

解得x=4.75。

答：貨車(chē)行駛0.25h或3.6h或4.2h或4.75h,兩車(chē)相距15km。

創(chuàng)新考向二判斷推理

5.(4分)已知在△ABC中，AB=AC,NR4c=90。，直角NE/乎的頂點(diǎn)P是3c

的中點(diǎn)，兩邊PE,PR分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,給出以下結(jié)論：①EF=AP；

②△APR和△CPR可以分別看作由△3PE和△APE繞點(diǎn)P順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°

得到的；③△E/乎是等腰直角三角形；④S?BC=2S四邊形AEPF。其中，始終成立的

有（A）

A

RP

A.②③④

B.①②

C.②③

D.①②③

解析：'：AB=AC,ZBAC=90°,

：.AABC為等腰直角三角形，

/.ZB=ZC=45°O

:P為3c的中點(diǎn)，

：.AP±BC,AP平分N3AC,AP=BP=CP,

：.ZBAP=ZPAF=45°O

VZEPF=90°,

ZBPE=ZAPFO

在ABPE和△APR中，

ZB=z-PAF,

?PB=PA,

“PE-Z.APF,

：.ABPE2AAPF(ASA),

：.BE=AF,PE=PF,

??.△EPR是等腰直角三角形，故③正確；

：.EF=V2PEa

"：當(dāng)PELAB時(shí)，AP=y[2PE=EF,

：.EF=AP不是始終成立，

故①錯(cuò)誤；

'：PB=PA,PE=PF,ZBFA=ZEPF=90°,

：.叢PBE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?？傻玫紸PAF。

同理可得繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。可得到△CPR,

故②正確；

,/△BPE2AAPF,

??SABPE=SAAPF,

==

S目邊步AEPF=SZ\AEP+S^APFS^APE-\-S^PBE-S^ABC,

??S/\ABC=2SvaaitiAEPF,

故④正確。

綜上，始終成立的有②③④。

故選A。

6.(10分)某兒童游樂(lè)場(chǎng)推出了甲、乙兩種消費(fèi)卡，其中，甲為按照次數(shù)收費(fèi)，

乙為收取辦卡費(fèi)用以后每次打折收費(fèi)。設(shè)消費(fèi)次數(shù)為x時(shí)，所需費(fèi)用為y元，且

y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示。根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

(1)分別求出選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。

(2)出入游樂(lè)場(chǎng)多少次時(shí)，兩者花費(fèi)一樣？費(fèi)用是多少？

⑶洋洋爸準(zhǔn)備了240元，問(wèn)：選擇哪種消費(fèi)卡劃算？

解：⑴設(shè),甲=左速。

根據(jù)題意，得4代=80,解得左1=20,

..y甲=20xo

設(shè)y匕=左以+80。

根據(jù)題意，得12左2+80=200,

解得比=10,

***y乙=10x+80。

⑵解.方,程組f」y—20%,解.得=

ly=10%+80,ly=160,

?,.出入游樂(lè)場(chǎng)8次時(shí)，兩者花費(fèi)一樣，費(fèi)用是160元。

(3)當(dāng)y=240時(shí)，y甲=20x=240,

??x=12o

當(dāng)y=240時(shí)，y乙=10x+80=240,

解得x=16o

V12<16,

???選擇乙種消費(fèi)卡更合算。

7.(10分)如圖，將線段A3向右平移至DC,使點(diǎn)A與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)3與點(diǎn)C

對(duì)應(yīng)，連接AD,BC,NA=2/B。

(1)求/BCD的度數(shù)；

(2)若RG,E依次為3c延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/DFE=/EDF,ZFDG=30°,請(qǐng)

判斷。G是否平分NCDE,并說(shuō)明理由。

解：(1)由平移特征，可得AB〃DC,AD//BC,四邊形A3CD是平行四邊形，

AZ5+ZBCD=180°,ZA+ZB=180%

NA=2NB,

：.ZB=6Q°,

：.ZBCD=180°-60°=120°o

(2)DG平分NCDE。理由如下：

,JAB//CD,

：.ZDCE=ZB=6Q°O

由三角形的外角性質(zhì)，得/CDF=/DFE—60。。

"：ZFDG=30°,

：.ZCDG=ZCDF+30°=ZDFE-60°+30°=/DFE—30°。

又ZEDG=ZEDF-ZFDG=ZEDF~30°,ZDFE=ZEDF,

：.ZCDG=ZEDG,

.?.DG平分NCDE。

8.(12分)閱讀材料：

新定義：對(duì)于三個(gè)互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個(gè)數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是

整數(shù)，則稱這三個(gè)數(shù)為“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為最小算術(shù)平方

根，最大的整數(shù)稱為最大算術(shù)平方根。例如，1,4,9這三個(gè)數(shù)，71x4=2,

V13C9=3,V43C9=6,其結(jié)果2,3,6都是整數(shù)，所以1,4,9這三個(gè)數(shù)稱為

“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”，其中最小算術(shù)平方根是2,最大算術(shù)平方根是6。

⑴請(qǐng)你寫(xiě)出與本題中不同的一組“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”：2,8,50(答案不唯一)。

(2)3,12,48這三個(gè)數(shù)是“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”嗎？若是，請(qǐng)求出任意兩個(gè)數(shù)乘積的最

小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；若不是，請(qǐng)說(shuō)出理由。

(3)已知a,64,100這三個(gè)數(shù)是“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”，且任意兩個(gè)數(shù)乘積的算術(shù)平方

根中，最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，求a的值。

解:(2)是。V3X12=6,V3X48=12,V12X48=24,

.??3,12,48這三個(gè)數(shù)是“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”，其中最小算術(shù)平方根是6,最大算術(shù)平

方根是24o

⑶64,100這三個(gè)數(shù)是''數(shù)學(xué)和諧數(shù)”，

是正整數(shù)，V64a=8Va,V100a=10Va,164x100=80。

分兩種情況：

①當(dāng)10Va＜80,即迎V8時(shí)，則最大算術(shù)平方根是80,最小算術(shù)平方根是8份。

?.?最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，

2X8VH=80,

解得a=25,符合題設(shè)，且符合“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”的定義。

②當(dāng)8仿＞80,即遍＞10時(shí)，則最大算術(shù)平方根是10Va,最小算術(shù)平方根是

80o

?..最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，

.,.2X80=10Va,

解得a=256,符合題設(shè)，且符合“數(shù)學(xué)和諧數(shù)”的定義。

綜上所述，a的值為25或256o

創(chuàng)新考向三規(guī)律探究

9.(12分升閱讀材料：像(述+2)X(遙-2)=1,正?迎=a(aN0)這種兩個(gè)含二

次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。

在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，利用有理化因式可以化去分母中的根號(hào)。數(shù)學(xué)課上，老

師出了一道題：已知a=/-,求3a2—6。一1的值。

V2—1

聰明的小明同學(xué)根據(jù)上述材料，做了這樣的解答：

??―1_V2+1_F54-1

,+L

'.a—1=V2,

??.(a—1)2=2,：.cr-2a+l=2o

a1—2a=l,3a2-6a=3,3a1—6a-1=2。

請(qǐng)你根據(jù)上述材料和小明的解答過(guò)程，解決如下問(wèn)題：

(1)8-夜的有理化因式是舊+/，-7E^=V6+V5；

(2)住簡(jiǎn)1+1+1H---1-.1.___

I)JV3+V2V4+V3V5+V4)2025+。2024’

(3)若。==，求一2/+12。+3的值。

3—V7

解：(2)原式=舊一四十〃一百+逐一〃+~+解025-72024=

V2025-V2=45-V2o

(3)*=$=,2婆y3+夕,

'73-V7(3-V7)X(3+V7)

二?a—3=V7,

.?.(a-3)2=7,

/-6a+9=7,

cr-6a=-2,

—2a2+12a=4,

—2o2+12tz+3=7o

創(chuàng)新考向四新定義

10.(12分)定義：任意兩個(gè)數(shù)a,b,按規(guī)則c=ab+a+b擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)c,

稱所得的新數(shù)。為“如意數(shù)”。

(1)若。=/，b=l,求a,6的“如意數(shù)"c；

(2)若a=m—4,b=-m,求a,8的“如意數(shù)”c,并證明“如意數(shù)”cWO；

(3)已知a=f,且a,6的''如意數(shù)"c=5+4次，求人的值。

2—V3

解：(l)c=6zZ?+^+Z?=V2X1+V2+1=2^2+10

(2)**a=m-4,b=—m,

?\c=(m-4)X(-m)+(m—4)+(—m)=—m2+4m-4,

22

/.c=-m+4m—4=—(m—2)O

?(加-2)220,.,.cWO。

(3),：CI=-^=T-^=2+73,a,b的“如意數(shù)"c=5+4次，

2—V3(2—V3J(2+V3J

.*.(2+V3)XZ?+(2+V3)+Z?=5+4V3,

解得Z?=V3o

11.(12分)定義：我們將VH+VF與直-VF稱為一對(duì)“對(duì)偶式”。因?yàn)?乃+

V6)(V^—VF)=(V^)2—(V6)2—tz—z?,可以有效地去掉根號(hào)，所以有一些題可以

通過(guò)構(gòu)造“對(duì)偶式”來(lái)解決。例如，V18-X-VIT^=b求“8-％+VT1F

的值，可以這樣解答：

,**(V18—x-V11—x)(V18—x+A/11-%)

=(V18—%)2—(Vil—%)2=18—%—ll+x=7,

且A/18—x-Vil—x=1,

/.V18—%+VH—%=7o

(1)代數(shù)式V10—第+ST與中,元的取值范圍是2W%W10。

(2)已知A/20一4+、4—4=8,求：

(DA/20—x—V4—%=2；

②結(jié)合已知條件和第①問(wèn)的結(jié)果，解方程+71^=8。

解：(2)①?二(V20-X+V4^x)(V20-x-V4^x)=(V20-%)2—(V4^x)2=20

—%—4+x=16,且、20—x+V4—%=8,

???V20—%-A/4—%=20

故答案為2o

(2)VA/20—%+V4—x=8,

A/20—%=8—74—xo

兩邊同時(shí)平方，得20—x=64—16V4—%+4-x,

?**V4—%=3o

兩邊同時(shí)平方，得4—%=9,

??%=-5,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=—5是原方程的解。

創(chuàng)新考向五傳統(tǒng)文化

12.(12分)閱讀材料，回答問(wèn)題：

(1)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：勾廣三，股修四，徑隅五。

這句話的意思是：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4,那么斜邊的長(zhǎng)為5。

上述記載表明了：在RtZXABC中，如果NC=90。，BC=a,AC=b,AB=c,那

么a,b,c,三者之間的數(shù)量關(guān)系是次+序=02。

⑵對(duì)于這個(gè)數(shù)量關(guān)系，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”(如圖1,它是由

八個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)正方形)，利用面積法進(jìn)行了證明。參考趙爽

的思路，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：

2

證明：,**SAABC=，S正方形S正方形MNPQ=(a+b},且_S__正方形MNPO.

=4SAABC+S正方形ABDE,

：.(a+b)2=4X^ab+c2,

整理，得/+2"+/=2"+o2,

M

圖2

(3)如圖2,把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EE如果A3=4,

BC=8,求ER的長(zhǎng)。

解：(3)如圖，作FHLBC于點(diǎn)、H。

把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF,

：.AE=CE,ZAEF=ZCEFO

'：AD//BC,

：.ZAFE=ZCEF,

：.ZAEF=ZAFE,

：.AE=AFa

設(shè)AE=CE=x,貝|3E=8—x。

在RtZXABE中，由勾股定理，得f=42+(8—x)2,

解得x=5,

：.AE=5,BE=3,

：.EH=2a

在中，由勾股定理，得EF=722+42=2乘。

13.(12分)某中學(xué)為了落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課后服務(wù)活動(dòng)，開(kāi)設(shè)了書(shū)法社

團(tuán)，計(jì)劃為學(xué)生購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)文房四寶，經(jīng)過(guò)調(diào)查得知，每套甲型號(hào)文房

四寶的價(jià)格比每套乙型號(hào)的價(jià)格貴40元，買(mǎi)5套甲型號(hào)和10套乙型號(hào)共用1

100元。

(1)求每套甲、乙型號(hào)文房