2023級高二上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線經(jīng)過兩點，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接應(yīng)用斜率公式進行求解即可.【詳解】由，得的斜率為．故選：A2.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】運用空間向量平行坐標(biāo)結(jié)論，結(jié)合坐標(biāo)運算即可解.【詳解】向量，則，因，于是得，解得，所以.故選：B.3.為空間任意一點，若，若，，，四點共面，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將化簡為：，利用四點共面定理可得，即可求解.【詳解】因為，所以，可化簡為：，即，由于，，，四點共面，則，解得：；故選：C4.直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線的方程，結(jié)合直線截距的定義計算，即可求解．【詳解】由題意，直線，令，解得，故；令，解得，所以．故選：B．5.若向量且與的夾角余弦為，則等于（）A.2 B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由向量夾角余弦公式列出方程，求出.【詳解】，顯然，則，兩邊平方后化簡得，解得，正值舍去.故選：D6.直線過點，且方向向量為，則（）A.直線的點斜式方程為 B.直線的斜截式方程為C.直線的截距式方程為 D.直線的一般式方程為【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求得斜率，從而求得直線的點斜式，斜截式，截距式，一般式方程【詳解】因為直線的方向向量為，所以直線的斜率為2．因為直線過點，所以直線的點斜式方程為，其一般式為．故A錯誤，D正確；化為斜截式：，故B錯誤；化為截距式：，故C錯誤.故選：D7.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，，是的中點，．若點在矩形內(nèi)，且平面，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，設(shè)點，求得直線的方向向量，通過平面，建立關(guān)于的方程，確定的值，即可求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)，則．因為平面，所以，則，解得，．故．故選：D8.古代城池中的“甕城”，又叫“曲池”，是加裝在城門前面或里面的又一層門，若敵人攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢.如下圖的“曲池”是上.下底面均為半圓形的柱體.若垂直于半圓柱下底面半圓所在平面，，，，為弧的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦即得.【詳解】在半圓柱下底面半圓所在平面內(nèi)過作直線的垂線，由于垂直于半圓柱下底面半圓所在平面，則以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，于是，，又為的中點，則，，,，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（

）A. B.在上的投影向量為C. D.向量共面【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量模長、投影向量求法、向量垂直的坐標(biāo)表示、向量共面的判斷方法依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，，A正確；對于B，，在上的投影向量為，B正確；對于C，，與不垂直，C錯誤；對于D，，共面，D正確.故選：ABD.10.直線經(jīng)過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，分直線的截距為0和直線的截距不為0，兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的截距為0時，此時直線的方程為，即．當(dāng)直線的截距不為0時，設(shè)直線的方程為，則，解得或，當(dāng)時，可得直線的方程為，即；若時，可得則直線的方程為，即．故選：BCD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點Q是棱的中點，則以下命題正確的是（）A.三棱錐的體積是定值B.存在點P，使得與所成的角為C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D.若，則P的軌跡的長度為【答案】ACD【解析】【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，，利用向量夾角公式求解判斷B；求平面的法向量，利用向量夾角公式求解判斷C；由，可得，即可求解判斷D.【詳解】對于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則對于B，，使得與所成的角滿足：，因為，故，故，而，B錯誤；對于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因為，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對于D，，由，可得，化簡可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長度為，D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.直線：恒過定點______.【答案】【解析】【分析】將方程化為，通過方程組，即可.【詳解】由，可得：令解得：，故答案為：13.已知點，直線l過點且與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】畫圖，結(jié)合圖象即可求解【詳解】因為結(jié)合圖象可知直線的斜率的取值范圍是故答案為：14.如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，分別是側(cè)棱，上的點，平面與平面所成的（銳）二面角為，則當(dāng)最小時___________．【答案】##60o【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用空間向量法求二面角的方法求解．【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，則，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，又平面的一個法向量為，所以，即，當(dāng)最小時，，，所以，所以，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點為，為的中點，所在的直線為.（1）求的一般式方程；（2）若直線經(jīng)過點，且，求的方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)，在根據(jù)兩點求出直線的斜率，再利用點斜式寫出直線方程即可；（2）根據(jù)平行直線直線系方程假設(shè)出直線，再由直線經(jīng)過點求出直線方程.【小問1詳解】由的三個頂點為，且為的中點，可得，即，則，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由（1）知，直線的方程為，因為，可設(shè)直線的方程為，直線經(jīng)過點，可得，解得，所以直線的方程為.16.如圖，在三棱柱中，分別是上的點，且.設(shè).（1）試用表示向量；（2）若，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量加減法及向量數(shù)乘的幾何意義，基底法表示；（2）利用向量的數(shù)量積運算求解向量的模.【小問1詳解】，又，，，∴．【小問2詳解】因為，．，．，，，．17.已知，，，，，（1）若、共線，求實數(shù)；（2）若向量與所成角為銳角，求實數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐標(biāo)，根據(jù)、共線，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可；（2）分析可知以及、不共線，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：因為，，，，，則，可得，，解得，所以，，所以，，因為，所以，解得．【小問2詳解】解；由（1）知，，，因為向量與所成角為銳角，所以，解得，又當(dāng)時，，所以實數(shù)的范圍為．18.如圖，在棱長為3的正方體中，點是棱上的一點，且，點是棱上的一點，且．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（2）根據(jù)線面平行判定定理，結(jié)合空間向量點到面距離公式進行求解即可【小問1詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為；【小問2詳解】連接，顯然，因為，．所以，于是，因為平面，平面，所以平面，因此直線到平面的距離就是點到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，，則有，，點到平面的距離為：19.如圖，棱長為2的正方體中，E、F分別是棱AB，AD的中點，G為棱上的動點．（1）是否存在一點G，使得面？若存在，指出點G位置，并證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由；（2）若直線EG與平面所成的角為，求三棱錐的體積；（3）求三棱錐的外接球半徑的最小值．【答案】（1）存在點G為的中點，證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）存在一點G，當(dāng)點G為的中點，連接，利用三角形中位線和平行線的傳遞性得到，再利用線面平行的判定即可證明結(jié)論；（2）首先根據(jù)題意得到，再求出，根據(jù)計算即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，首先確定球心在上，設(shè)外接球球心為，設(shè)，，得出的坐標(biāo)，設(shè)，由，得出，求出的范圍，再由即可求出的最小值．【小問1詳解】存在一點G，當(dāng)點G為的中點，使得面，連接，如圖所示：∵點分別是中點，，又，且，∴四邊形是平行四邊形，，，又∵平面，且平面EFG，∴平面．【小問2詳解】取的中點，連接，，由題意可知，平