2025北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

圓解答題

一、解答題

1.（2025北京門頭溝初三一模）如圖，是Rt^ABC斜邊上的中線，以為直徑的。與8C交于點

E,過E作。的切線與交于點R

（1）求證：EFVAB-,

4

（2）若tanA=1,AD=5,求的長.

2.（2025北京順義初三一模）如圖，A5是：，。的直徑，AB^BC,47交（。于點。，過點。作:。的切

線交8C于點E.

（1）求證：DE1BC；

4

⑵過點C作交的延長線于點若A￡>=5,cosZACB=~,求的長.

3.（2025北京石景山初三一模）如圖，是（。的直徑，點C在。上，OD〃5c交C。于點。，過點

。作。的切線交CB的延長線于點E.

⑴求證：AC=2DE；

3

⑵過點B作"W,M交小于點標若ta"="加=1。，求，。半徑的長.

4.（2025北京朝陽初三一模）如圖，VABC是。的內(nèi)接三角形，NACB=45。，點P在8C的延長線上,

PA^OB.

⑴求證：P4是。的切線；

（2）若黑=＜，PB=M，求。半徑的長.

211N

5.（2025北京西城初三一模）如圖，A5是＞0的直徑，點C在。上，連接OC,作直線CELOC,交

直線A3于點E,交Z3OC的角平分線于點，連接50.

（1）求證：BD是:。的切線；

CF1

⑵連接AD交OC于點?若示=彳，BD=1，求?。的半徑.

OF2

6.（2025北京平谷初三一模）如圖，AB為＞0的直徑，點C為。外一點，AB=BC,連接AC交f。于

點。，連接OD,過8作,:。的切線交。O的延長線于點E.

（1）求證：OD//BC；

（2）若8C=10,AC=4A/^,求5E的長.

7.（2025北京大興初三一模）如圖，VABC內(nèi)接于（。，ZAfiC=45°,過點A作。的切線交延長線

于點。，CE是。的直徑.

（1）求證：CE//AD；

324

（2）若BC=《，COSD=M，求AD的長.

8.（2025北京通州初三一模）如圖，。是VABC的外接圓，A3是。的直徑，點。是C2的中點，連接

AD,OD,分別與CB交于點瓦尸.

np1

⑵過點8作）。的切線交OD的延長線于點G.^-=-,DG=3,求）。半徑的長.

AE2

9.（2025北京房山初三一模）如圖，A8是：。直徑，點。是。上一點，DC是。切線，連接CO交

AD于點E,ZDCO=2ZDAB.

（2）若AE=W，tanZDAB=1,求AD的長.

10.（2025北京海淀初三一模）如圖，在VABC中，ZABC=90°,以4B為直徑作。交AC于點。.點E

在線段4）上，DE=CD.連接BE并延長交（。于廠.

c

匕—y

(1)求證：ZCBE=2ZBAC；

(2)連接OD交所于點G.若EF=2EG,CD=3,求，。的半徑.

11.(2025北京豐臺初三一模)如圖，AB,C。是10的直徑，點E在(。上，連接DE交于點產(chǎn)，連

接AE交C。于點G,ZCDE=-ZAOC.

2

(1)求證：CDLAE-,

⑵過點〃作。的切線交相的延長線于點乩若黑［，AE5求破的長.

參考答案

1.⑴見解析

(2)i

【分析】(1)連接OE,根據(jù)切線的性質(zhì)及直角三角形斜邊上中線定理證明得到4?,故可求解;

BC4

(2)由tanA=]=1,設(shè)5c=4左，AC=3k,根據(jù)勾股定理求出/。=8,AC=6,連接證明

AC3

BFEsBCA,列出比例關(guān)系即可求出砥，DF.

【詳解】(1)連接OE

?；EF是，。的切線

???EFLOE

,/OC=OE,

JZ1=Z2,

是斜邊上的中線，

CD=-AB=BD.

2

???Z1=NB,

???N2=ZB

：,OE〃AB

EFLAB；

BC4

(2)由tanA=——=—,設(shè)5c=4左，AC=3k,

AC3

VAB=2AD=10,

.??(4左丫+(3左丫=1()2

25k2=100.

k2=4?

???正數(shù)左二2

BC=8,AC—6,

連接。E

A

B

??,CD是直徑，

：.DELBC

：.BE=CE=4

VZB=ZB,ZBFE=ZBCA=9Q0

：.BFEsBCA

.BF_BE

**BC-BA

?BF-*45

??=,

810

【點睛】此題主要考查圓的切線判定綜合，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，

解題的關(guān)鍵是熟知切線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).

2.(1)見解析；

⑵：.

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相

關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OD,禾煙等腰三角形的性質(zhì)得到41cB=N4DO,繼而得到OD〃3C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到

NODE=90。,得出ZDEC=90。，即可得到結(jié)論；

4AnAF4

(2)連接BO,得到繼而得至!JcosA=cosNAC5=—cosA=——=—,求出A/=—AC=8,

5ABAC5

5?57

AB=-AD=—,得至IJ3尸=4尸一A5=—.

444

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,

AB=BC,

，ZA=ZACB.

AO=DO,

，ZA=ZADO.

：.ZACB=ZADO.

，OD//BC.

ANODE=/DEC.

DE是。的切線,

，OD1DE,

1.NODE=900.

:./DEC=900.

:.DELBC.

c

(2)解：如圖，連接3D.

c

。的直徑,

?：AB=BC,

二。是AC的中點.

AC=2AD=10.

*：CF±AB,

AZF=90°.

4ADAF

cosA=cosZACB=—cosAA==,

5ABAC

45?5

AAF=-AC=8,AB=-AD=—

544

7

BF=AF-AB=-

4

3.(1)見解析

(2)20

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，正

確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)延長DO交AC于R先證明/FDE=90。，ZACB=90°,則可證明四邊形CEDP是矩形，得到

CF=DE,再證明△AO尸推出CF=』AC,即可證明AC=2OE；

2

(2)先證明=得到tan/EBM=tanA=』，即皿=』，設(shè)5M=3x,BE=4x,則

4BE4

915

OE=3x+10,AC=2O石=6x+20,解直角三角形得至lj5。=1％+15；AB=—x+25,貝！J

OD=-1AB=i^sx+2-5^-,由相似三角形的性質(zhì)得到。尸=91％+1=5,由矩形的性質(zhì)得到小=CE,據(jù)此建立

24242

方程求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖所示，延長OO交AC于尸，

DE是。的切線，

：.ZFDE=90%

■:OD//BC,

：.ZCED=180。一ZFDE=90°,

〈AB是。的直徑，

工ZACS=90°,

???四邊形CEO尸是矩形，

：.CF=DE,

,:OD〃BC,

：.△AOFs^ABC,

.AFAO

*'AC-AB-2?

1

AF=-AC

2f

CF=AC-AF=-AC

29

(2)解：?.?BM±AB,

：.ZACB=ZABM=ZBEM=90°,

:.ZCAB+ZCBA=ZCBA+ZEBM,

:.ZCAB=ZEBM9

*.*tanA=—,

4

3

/.tanNEBM=tanA=—,

4

?.?EM二_一3，

BE4

設(shè)￡M=38BE=4x,貝!］。石=3%+10,

JAC=2DE=6x+20,

tanA鳴3

AC4

39

BC=-AC=-x+15；

42

AB=yjAC2+BC2=—x+25,

2

,:△AOFS/\ABC,

,OFAO_l

'AB-2

JDF=OF+OD=6x+2Q,

??,四邊形CED尸是矩形,

:.DF=CE,

9

/.6x+20=4x+—x+15,

2

解得尤=2,

OD=—x2H=20,

42

，。半徑的長為20.

A

4.(1)X4是：。的切線

(2)1

【分析】(1)先利用圓周角定理證得NAOB=90。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得/以。=90。，然后利用切

線的判定得出結(jié)論；

(2)先證明再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，設(shè)OD=k,接著用上表示出02,

然后利用勾股定理求得8。，代入比例式中，求得PD,再利用線段的和求得3尸，得到關(guān)于左的方程，求

出％,最后求出03.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。4.

AP

■.ZAOB=2.ZACB=90°.

PA//OB,

■.ZPAOZAOB^9Q0.

；AO是半徑，

124是，。的切線.

(2)設(shè)。4與3P相交于點D

PA//OB,

■.ZOBP=ZP.

：ZBDO=ZADP,

.AOBD^AAPD.

OPBDOB

'AD~PD~AP'

OB_1

~AP~2,

OPBDOB_1

'AD^PD~AP~2'

OB=OA,

OPOP_1

,~OB~~OA~3'

設(shè)OD=k,則OB=3k.

.?.在Rt/XOBZ)中,BD=y/OB2+OD2=＞/Wk-

'PD-2'

:.PD=2Mk.

：.PB=PD+BD=3^k.

PB=M,

：3屈卜=M,

k=—.

3

OB=3左=1.

【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用平行線的性質(zhì)求角度，解題

的關(guān)鍵是證明三角形相似，列出比例式求出待求線段的長.

5.(1)見解析；

(2)—V3.

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊角

的三角函數(shù)值等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

(1)由角平分線的定義以及已知條件可證明△OCDg/XOM可得NOCD=NOBD,進而得到NO3D=90。

即可證明結(jié)論；

(2)如圖：連接AC.易證-A尸C一。尸,ACEs,ODE可得罷=要、空=空=理，進而得到

ODOFODOEDE

DE=2CE=2CD,易證加△03。可得比＞=CD,則瓦＞=CD=CE=7、DE=14、=773,根

據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得4=30。，則OE=2OC,進而得到血=匿+08=20。+。7=3。。，然后求

得OC即可解答.

【詳解】(1)證明：平分/BOC,

:.ZDOC^ZDOB.

OC=OB,OD=OD,

.-.△OCD^AOBD.

:.ZOCD=ZOBD.

.CELOC,垂足是C,

:.ZOCD=90°.

:.ZOBD=9Q°.

???半徑O5_LBD.

：?BD是。的切線.

(2)解：如圖：連接AC.

ZBOC=2ZBOD=2ZBAC.

EA

:"BOD=ZBAC,

:.AC//OD.

AAFC^ADFO,AACE^AODE.

ACCFACAECE

'~OD~~OFJ~6D~~0E~~DE"

CF_1

~OF~2f

.AC_AE_CE_1

,OD-OE-DE-2*

:.DE=2CE=2CD.

.△OCD2△ORD,

BD=CD.

BD=7,

:.BD=CD=CE=7.

:.DE=14.

22

sin/E=,=K，BE=y/DE-BD=773

D匕14Z

???/￡=30。，

JOE=2OC,

：.BE=OE+OB=2OC+OC=3OC

:.℃=工上,即o的半徑為:

33

6.⑴見詳解

【分析】（1）由AS=3C,得NA=NC,由OD=Q4,得NA=NOD4,所以NOD4=NC,則

OD//BC；

（2）連接80,作DFLAB于點E由48為。。的直徑，得NAT?=90。，由AB=3C=10,

AC=4BS.BD1AC,得OD=O3=5,AD=CD=2?可求得BD=.AB?_Q=4#），由

sABD=-X10DF=-X2A/5X4V5,求得。尸=4,則。尸=3，可證明NOBE=90°,則

22

BFDF4420

—=tanZBOE=tanZFOD=——=—,所以3E=-05=—.

OBOF333

【詳解】(1)證明：???AB=3C,

???ZA=NC,

?：OD=OA,

：.ZA=ZODAf

：.ZODA=ZC,

：.OD//BC.

(2)解：連接BQ,作。尸，AB于點尸，

則ZOFD=90°,

?:AB為)。的直徑，

：.ZADB=90°,

VAB=BC=10fAC=4y/5,且BD_LAC,

OD=OB=-AB=5,AD=CD=-AC=2y/5,

22

BD=yjAB2-AD2=y/102-(2A/5)2=4石

SARn=-X10Z)F=-X2V5X4A/5

ABD22

/.DF=4,

???OF=yJOD2-DF2=A/25-16=3

?：BE與。相切于點3,

；.BE上OB于點B,

：.ZOBE=90°,

/BOE=/FOD,

BFDF4

：.——=trnZBOE=tanZFOD=—=-

OBOF3

4420

貝1JBE=_06=—x5=—

333

，BE的長為號.

【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、切線的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、根據(jù)

面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.⑴見解析

⑵空

3

【分析】（1）連接49并延長，交C。于點E連接C/,利用切線的性質(zhì)定理得到NfiW=90。，利用圓周

角定理得到？尸OC90?,再利用平行線的判定定理解答即可；

（2）連接。4EB,過點C作C^J_AD于點用利用平行線的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得

EC,利用圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理和矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)得到

AF=FC=OA=4,利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理求得。尸，則結(jié)論可求.

【詳解】（1）證明：連接AO并延長，交：O于點孔連接CP,如圖，

則"為，。的直徑，

：AD為〔。的切線，

OA1AD,

：.NE4r>=90。，

*.?ZAFC=ZABC,ZABC=45°,

ZAFC=45°.

OA=OF,

ZOFC=ZOCF=45°,

：.?FOC90?,

ZFOC=ZFAD,

：.CE//AD；

(2)解：連接。4EB,過點C作C/LAD于點孔如圖,

CE//AD,

:.NECB=ZD,

4

/.cosZECB=cosND=—.

5

?；CE是。的直徑，

/.ZEBC=90°,

BC4

???cosZECB=—=-,

CE5

32

???BC=y,

32

?,?5=3，

CE~~5

：.CE=8,

：.OC=OA=OE=4,

'：ZAOC=2ZABC=90°,OA±AD,CF±AD,

四邊形asc為矩形，

OA=OC,

四邊形Q4FC為正方形，

AF=FC=OA=4,

4DF

*.*cosD=—,cosD=-----

5CD

.。2_4

??=-9

CD5

設(shè)。尸=4%，則CD=53

CF=ylCDr-DF2=3k=4<

28

.??AD=DF+AF=—

3

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)，直角

三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，矩形與正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

8.(1)見解析

(2)3

【分析】(1)證明NC4D=NZMB和NADO=NZMB,得到NC40=NA。。，即可得到結(jié)論;

r)FDF1

(2)證明ACEsDFE,得至IJ——=——=—,^DF=x,AC=2x,得到AC=2Qb=2x,則

ACAE2

OB=OD=2x,由cos/GOB=CC="即可求出答案.

OGOB

【詳解】(1)證明：???點。是。3的中點，

過D=?B，

:.ZCAD=ZDAB.

?；OA=OD,

:.ZADO=ZDAB.

:.ZCAD=ZADO,

,\AC//OD.

(2)解:如圖，

■:AC//OD,

AC石jDFE,

.DF_DE_T

,AC-AE-2?

二.設(shè)DF=x,AC=2x,

TAB是。的直徑，

ZACB=90°,

???AC//OD,

「.ODLCB于點尸，

:.CF=FB,

二.O/是AACB的中位線,

AC—2OF=2x,

/.OB=OD=2x,

???3G是。的切線,

ZGBO=90°f

07?OF

cos/GO5=-----

OGOB

■:DG=3,

2x+32x

???。半徑的長為3.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的中位

線的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

⑵當(dāng)

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)

鍵.

(1)切線的性質(zhì)，得到OD_LCD,進而得到NC8+NDCO=90。，圓周角定理結(jié)合已知條件推出

ZCOD+ZDOB=90°,進而得到NBOC=90。，即可；

(2)解求出。AOE的長，進而求出的長，連接圓周角定理得到NADB=90。，根據(jù)

Ar)空=之叵，求出AD的長即可.

cosZDAB=——

ABAE10

【詳解】(1)證明：???CD是O切線,

???ODLCD,

：.ZCOD-hZDCO=90°,

?：/DOB=2NDAB,ZDCO=2ZDAB,

：.ZDCO=ZDOBf

：.ZCOD+Z.DOB=90°,

???ZBOC=90。,

CO.LAB；

(2)VCO.LAB,

：.NAO石=90。，

OF1

Atan=—=-,

OA3

???OA=3OE9

「?AE=JOH+OE?=MOE=M，

OE=1,

???OA=3,

AB=2OA=6,

連接BD,貝lj：ZADB=90°,

AnOA3V10

cosZDAB=一

ABAE10

3A/10，9M

由等3--------x6=--------

105

10.⑴見解析

⑵3石

【分析】(1)連接3D,設(shè)/54C=c,先證明BDLCE,然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理證明BC=3E,

再逐步求得NCBE=2a,即得答案；

(2)連接AF,先證明/DGE=90。，接著證明O￡?〃AF,即得△OBGs^AB廠和OGEj&號，從而

可得OG=OG,繼續(xù)證明，OBD是等邊三角形，最后利用直角三角形的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連接80,設(shè)4c=(z,

AB是：。的直徑，

:.ZADB=90°,

:.BD±CE,

CD=DE,

BC=BE,

:.ZBEC=ZC,

ZABC=90°,

NC=90?！狽R4c=90?！猘,

.?./BEC=90Q—a,

ZCBE=180?！狽C—/BEC=180?！?90。-a)-(90°-a)=2a,

:"CBE=2/BAC；

...ZABE=ZABC-ZCBE=90°-2a,

ABAC—cc,

:"BOD=2/BAC=2a,

ZDGE=ZBGO=90°f

AB是。的直徑，

,\ZF=90°,

:.ZF=ZBGO,

:.OD//AF,

:.Z\OBG^Z\ABF,

.OG_OB

*AF-AB-2?

.-.OD//AF,

DGEsAFE,

.DGEG

?,壽一商’

EF=2EG,

DG1

??=一,

AF2

\OG=DG,

ZBGO=90°f

DB=OB,

OB=OD,

：.DB=OB=OD,

.?.△05。是等邊三角形，

:.ZODB=60°f

.\ZDBE=30°,

DE