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文檔簡介
2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編
壓軸選擇(第10題)
一、單選題
1.(2025北京延慶高三一模)已知正方體ABC。-44C2的棱長為1,若在該正方體的棱上有點(diǎn)滿
足|Affi|+|MCj=右,則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為()
A.2B.4C.6D.8
2.(2025北京朝陽高三一模)〃位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽,即任意兩位參賽者之間恰好
進(jìn)行一場(chǎng)比賽.每場(chǎng)比賽的計(jì)分規(guī)則是:勝者計(jì)3分,負(fù)者計(jì)。分,平局各計(jì)1分.所有比賽結(jié)束后,若這
〃位同學(xué)的得分總和為150分,且平局總場(chǎng)數(shù)不超過比賽總場(chǎng)數(shù)的一半,則平局總場(chǎng)數(shù)為()
A.12B.15C.16D.18
3.(2025北京順義高三一模)已知直線y=f+4分別與函數(shù)y=2,和y=log2x的圖象交于4(%,y),
①>;
B(x2,y2),給出下列三個(gè)結(jié)論:*3②2』+2為>8;③xJ。g2X2-X21。g2玉>0.其中正確結(jié)論的個(gè)
數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
4.(2025北京房山高三一模)已知數(shù)列{?!保母黜?xiàng)均為正數(shù),且滿足。3-%=2(九是常數(shù),
“=1,2,3,…),則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()
A.若彳=0,則數(shù)列{Inq}是等比數(shù)列
B.若幾>0,則數(shù)列{%}是遞增數(shù)列
C.若數(shù)列{〃“}是常數(shù)列,則
D.若數(shù)列{?!埃侵芷跀?shù)列,則最小正周期可能為2
5.(2025北京西城高三一模)設(shè)等比數(shù)列{。"}的前"項(xiàng)和為5,,前力項(xiàng)的乘積為4.若則
()
A.S"無最小值,T”無最大值B.S“有最小值,T”無最大值
c.S"無最小值,1有最大值D.s“有最小值,I有最大值
6.(2025北京海淀高三一模)對(duì)于無窮數(shù)列{%}和正整數(shù)上住22),若存在滿足
4且紈=&=..=%,則稱數(shù)列{%}具有性質(zhì)下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()
%?2nk
A.若則數(shù)列{%}不具有性質(zhì)尸?
B.若%=〃-l+cos(rar),則數(shù)列{%}具有性質(zhì)舄您
C.存在數(shù)列{4}和也},使得{%}和也}均不具有性質(zhì)尸2,且{%+〃}具有性質(zhì)縱25
D.若數(shù)列{%}和{2}均具有性質(zhì)七25,貝U{4+2}具有性質(zhì)取25
7.(2025北京平谷高三一模)已知函數(shù)〃x)=sin]x,任取reR,定義集合:A={yly=〃x),點(diǎn)
p(f,/(r)),Q(xJ(x))滿足I尸Q|40}.設(shè)M,”分別表示集合4中元素的最大值和最小值,記
刀⑺=此一”4.則函數(shù)的最小值是()
A.20B.1C.72D.2
8.(2025北京豐臺(tái)高三一模)如圖,正方體ABCD-A'3'C'Z)'的棱長為2,E為CD的中點(diǎn),尸為線段A'C
上的動(dòng)點(diǎn),給出下列四個(gè)結(jié)論:
①存在唯一的點(diǎn)尸,使得A,B',E,尸四點(diǎn)共面;
?EF+D'F的最小值為2檔;
③存在點(diǎn)尸,使得AF_LDE;
④有且僅有一個(gè)點(diǎn)產(chǎn),使得平面AEF截正方體ABCD-AB'C'D所得截面的面積為2石.
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()
9.(2025北京石景山高三一模)如圖,在棱長為2的正方體A3CD-ABCQ中,M,N,尸分別是44」
eq,的中點(diǎn),。是線段上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)),給出下列三個(gè)命題:
①對(duì)任意點(diǎn)。,都有用;
②存在點(diǎn)。使得〃平面MNP;
③過點(diǎn)。且與BN垂直的平面截正方體ABCD-A4GR所得截面面積的最大值為2下.
其中正確的命題個(gè)數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
10.(2025北京門頭溝高三一模)已知函數(shù)〃x)=a?T+[x|(aeR),其中國表示不超過x的最大整
數(shù),例如[2.1]=2,=則下列說法正確的是()
A.不存在。,使得〃x)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)B.〃x)有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件是
C.存在。,使得有4個(gè)零點(diǎn)D.存在。,使得有5個(gè)零點(diǎn)
11.(2025北京東城高三一模)已知集合A={(x,y)|y=Jd-l],8={(尤,y)|y=a|x+a|},如果AcB有
且只有兩個(gè)元素,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()
A.B.(1,+<?)C.[0,1]D.[O,1)U(1,-H?)
參考答案
1.C
【分析】結(jié)合點(diǎn)M在正方體的棱上,可分點(diǎn)M在棱A3和棱GA上,在棱8月,棱BC,棱CG,棱BG上
兩類討論即可
【詳解】因?yàn)殁睥?|4。=2>內(nèi),所以點(diǎn)M不在棱4片,棱CD上,
所以當(dāng)點(diǎn)M在棱8月上時(shí),設(shè)連MG,
在△M8C]中,|MCj=/-x,由余弦定理可得,=|MB『+忸忸CjcosNMBG,
BP(A/3—x)2=x2+5/2—25/2xcos—,可解得十]<1,
所以在棱8月上存在滿足題意的一個(gè)點(diǎn)M;
由對(duì)稱性可知在棱BC,棱CG,棱Bg上各存在一個(gè)點(diǎn)M;
因?yàn)閨〃目+|RC]|=6+1>#1,所以點(diǎn)A/不在平面AAXDXD內(nèi).
所以當(dāng)點(diǎn)M在棱GA上時(shí),設(shè)|MCj=x,連"8,
在直角三角形△MBG中,卜石-x,
所以=忸G「,即(6一x)2=f+夜2,可解得阿4=3<1,
所以在棱GR上存在滿足題意的一個(gè)點(diǎn)M-,
由對(duì)稱性可知在棱4B上也存在一個(gè)點(diǎn)M;
綜上可知滿足題意的點(diǎn)M共6個(gè).
故選:C.
2.B
【分析】設(shè)平局總場(chǎng)數(shù)為%/eN),且所有比賽的場(chǎng)數(shù)為c;=WD,根據(jù)總得分為150分可得出
左=皿二I)-。。,結(jié)合題意得出05%=3"("T)一150V也二1L可得出關(guān)于〃的不等式,解出正整數(shù)〃
224
的值,即可得出平局的局?jǐn)?shù).
【詳解】設(shè)平局總場(chǎng)數(shù)為女化?N),且所有比賽的場(chǎng)數(shù)為c;=皿二D,
由題意可知,k<
4
由于能決定勝負(fù)的每場(chǎng)選手的得分之和為3分,每場(chǎng)平局選手的得分之和為2分,
由題意可得31也?一.+2左=絲/一左=150,所以,左=3小-
2J22
因?yàn)槠骄挚倛?chǎng)數(shù)不超過比賽總場(chǎng)數(shù)的一半,則04左=3"("-1)一1504'(”1),
24
整理可得100<〃5-1)(120,因?yàn)椤╡N*,解得“=11,
所以,平局的局?jǐn)?shù)為左=孫二。-150=笠止"-150=15.
22
故選:B.
3.C
【分析】根據(jù)函數(shù)>=2工和y=log2x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,直線y=-x+4與y=x垂直,可得
3(天,%)關(guān)于y=x對(duì)稱,即可判斷①;利用基本不等式即可判斷②,構(gòu)造8(引=手5>0),結(jié)合零點(diǎn)
的存在定理和對(duì)數(shù)的性質(zhì),即可判斷③.
【詳解】由題意直線y=T+4與y=x垂直,函數(shù)y=2,和y=log2x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,
所以4(西,%)3(孫%)關(guān)于y=x對(duì)稱,
又由=x得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),則占+3=4,
對(duì)于①:因?yàn)?為=一%+4,且%=4-%,所以2%=%,①錯(cuò)誤;
對(duì)于②:由2r+2均22萬否=23,因?yàn)楣ぎa(chǎn)々,則2百+2也>8;②正確;
對(duì)于③:直線V=T+4與y=2*聯(lián)立,可得一x+4=23即2*+x-4=0,
設(shè)函數(shù)/(x)=2*+x-4,/(x)是增函數(shù),
又由〃l)=T<0,/(|)=2V2+|-4>0,可得/⑴./(|)<0,
aQ
所以函數(shù)”X)在區(qū)間(1,;)上存在唯一零點(diǎn),即1<玉<辛
因?yàn)閲?%=4,所以|■<X2<3,
構(gòu)造函數(shù)8(耳=理々》>0),則,(耳=座日產(chǎn)三,
XX
當(dāng)g'(x)>0時(shí),可得X£(O,e),二函數(shù)g(%)在(O,e)單調(diào)遞增;
當(dāng)g'(%)v。時(shí),可得無£(e,+8),二函數(shù)g(jv)在(e,+oo)單調(diào)遞減;
39
In-ln3-ln-
Y,|…—一2->0,③正確;
3
2
故選:c
4.C
【分析】當(dāng)2=0時(shí),得到4幻=4,當(dāng)為=1時(shí),得到ln%=o,數(shù)列{In4}不能構(gòu)成等比數(shù)列,可判定A
錯(cuò)誤;當(dāng)%=3,2=1時(shí),求得%>%>%,可判定B錯(cuò)誤;若數(shù)列{4}為常數(shù)列,得到吊-4=彳,結(jié)合
二次函數(shù)的性質(zhì),求得八-;,可判定C正確;假設(shè)列{瑪}是周期數(shù)列,且最小正周期為2,得到
*=4且%+產(chǎn)%,結(jié)合端+i-=幾,得到吮-4,,化簡求得4+1-=。,這與4+產(chǎn)?!懊?/p>
盾,可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A中,若;1=0,可得即*1=。〃,
In1
當(dāng)%>。且時(shí),兩邊取對(duì)數(shù),可得21n%+1=ln%,即「^=不,
此時(shí)數(shù)列{Inan}表示首項(xiàng)為In%,公比為1的等比數(shù)列;
當(dāng)氏=1時(shí),可得%=1,此時(shí)In4=。,數(shù)列{出為}不能構(gòu)成等比數(shù)列,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B中,當(dāng)彳>0時(shí),可得a;+i-a“=彳>0,gpa^+l>an,
例如:當(dāng)4=3,2=1時(shí),由0;=%+1=4,可得?=2,
又由癡=%+1=3,可得%=6,止匕時(shí)
所以,當(dāng);1>0,數(shù)列{4}是不一定是遞增數(shù)列,所以B錯(cuò)誤;
對(duì)于C中,若數(shù)列{%}為常數(shù)列,則“用=可,
因?yàn)橄印?=2,即
又因?yàn)樗宰屢弧?/p>
所以2的取值范圍為[-q,+s),所以C正確;
對(duì)于D中,假設(shè)數(shù)列{。,}是周期數(shù)列,且最小正周期為2,即%+2=?!扒?+1力?!埃?/p>
因?yàn)?產(chǎn)4=4,可得=彳,所以4一%=2,
貝1|a^+l-an=a;-an+l,即a^+]-a;+an+1-an=(an+l-an)(an+l+a,+1)=。,
又因?yàn)閿?shù)列{%}的各項(xiàng)均為正數(shù),即4>。,。用>0,
所以4+1-4=。,即4+1=?!?,這與%,+產(chǎn)%矛盾,
所以數(shù)列{%}的最小正周期不可能是2,所以D錯(cuò)誤.
故選:C.
5.D
【分析】利用基本量法,可求出公比4滿足根據(jù)前〃項(xiàng)和與前〃項(xiàng)積的定義進(jìn)行討論計(jì)算,可
以得出S.有最小值,而7;有最大值.
【詳解】由己知,&}是等比數(shù)列,4a2<。2/<0,即可得
若%>0,則d=4,可計(jì)算當(dāng)“23時(shí),S"_S2="3(:一0二)=4Q14”2),
1-ql-q
結(jié)合一1<q<0,可得S"-S?>0即S?為Sn的最小值,
同理,當(dāng)為<0,a2=aiq>0,當(dāng)心2,5“-。=嗎二0>0,可知S”的最小值為S-
i-q
綜上可得,s“有最小值.
由-1<”0可得,|"九+11<1a?\,
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),必有N滿足對(duì)于所有〃〉N,
因?yàn)門,一定是正負(fù)交替出現(xiàn),可得1一定存在最大值.
綜上,對(duì)于滿足已知條件的等比數(shù)列{%},滿足S“有最小值,7“有最大值.
故選:D
6.D
aa,.
【分析】A利用小巧是2個(gè)不同的正整數(shù),可得上,上不可能相等;B求〃為偶數(shù)時(shí)數(shù)列{?!钡耐?xiàng)公
式,取4,)25為2025個(gè)不同的偶數(shù);C取%="2,a=-1+〃利用性質(zhì)號(hào)的定義證明;D取
為奇數(shù)+為奇數(shù)
"+1,〃為偶數(shù)'"二%,〃為偶數(shù),再利用性質(zhì)《的定義證明.
【詳解】因外,=/,則%=〃,由于珥,%是2個(gè)不同的正整數(shù),
n
aa..
因此%=%,/="不可能相等,故數(shù)列⑷不具有性質(zhì)尸2,故A正確;
B,%="-l+cos(rai),故當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),an=n,此時(shí)"=1,
故取乙,巧,…,巧必為2025個(gè)不同的偶數(shù),此時(shí)紈="=…=&"=1,
々%%025
則數(shù)列{風(fēng)}具有性質(zhì)2。25,故B正確;
取由A選項(xiàng)可知,數(shù)列{g}不具有性質(zhì)鳥;取a=-"+〃,
kbb
貝|乙=-〃+1,由于公巧是2個(gè)不同的正整數(shù),因此上=-4+1,3=-小+1不可能相等,
n々%
故數(shù)列{2}不具有性質(zhì)2;a+b=n,則=
nnn
故任取4,%,…,?2025為2025個(gè)不同的正整數(shù),
a+ba+ba+b,、
有==*=L則數(shù)歹(]{為+〃}具有性質(zhì)々25,故C正確;
44羯)25
耳〃為奇數(shù)_::姬數(shù)則當(dāng),為奇數(shù)時(shí),小,
〃+1〃為偶數(shù)‘n=
故取4,%,…,”025為2025個(gè)不同的奇數(shù),此時(shí)幺="=…='=1,
々%九2025
b
故數(shù)列{%}具有性質(zhì)2()25;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),—=1,故取…,巧025為2025個(gè)不同的偶數(shù),
n
此時(shí)空=上=…=上"=1,故數(shù)列也}具有性質(zhì)取25;?!?,=2〃+1,
々“2%025
則生境=2+4,由于公>25為2025個(gè)不同的正整數(shù),
nn
a+h1a+b1a+b?1
貝I/—^=2+—,」一絲=2+—,L,q—至^=2+——不可能相等,
々%幾2%%)25“2025
此時(shí)數(shù)列{??+2}不具有性質(zhì)^025,故D錯(cuò)誤.
故選:D
7.B
【分析】作出函數(shù)的圖象,根據(jù)尸的位于不同的位置,即可分情況求解.
【詳解】如圖所示,/(x)=sin7gTx的圖象,此時(shí),函數(shù)的最小正周期為—Jr=一4,
22
點(diǎn)P(t,siny),Q(x,sin爭(zhēng),
當(dāng)點(diǎn)尸在A點(diǎn)時(shí),點(diǎn)。在曲線OAB上,Mt=1,mt=0,=1,
當(dāng)點(diǎn)尸在曲線上從A接近8時(shí),此=1,%減小,所以人⑺逐漸增大;
當(dāng)點(diǎn)尸在B點(diǎn)時(shí),Mt=l,mt=-1,h{t^=Mt-mt=2
當(dāng)點(diǎn)尸在曲線上從3接近C時(shí),減小,/z⑺逐漸減小,
當(dāng)點(diǎn)尸在C點(diǎn)時(shí),Mt=0,mt=-1,/?(r)=Mt-mt=l
當(dāng)點(diǎn)尸在曲線上從C接近。時(shí),g=-i,M增大,/??)逐漸增大,
當(dāng)點(diǎn)尸在。點(diǎn)時(shí),Mt=1,at=-1,/z(r)=M,-mz=2
當(dāng)點(diǎn)尸在曲線上從。接近E時(shí),Mt=l,%增大,/z(f)逐漸見減小,
當(dāng)點(diǎn)尸在E點(diǎn)時(shí),必=1,mt=0,h(t)=Mt-mt=1,
綜上可得的最小值是1
故選:B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù)點(diǎn)尸的位置變化,分別求解M,,”的值.
8.B
【分析】對(duì)于結(jié)論①,作出經(jīng)過點(diǎn)A,Bf,E的截面即可判斷;對(duì)于結(jié)論②,由。力=3'尸分析可得
(所+。尸)皿=所'=3,即可判斷;對(duì)于結(jié)論③,作出經(jīng)過點(diǎn)A且與直線。右垂直的平面,判斷平面與
AC是否有交點(diǎn)即可判斷;對(duì)于結(jié)論④,分析點(diǎn)F與點(diǎn)4重合時(shí)與點(diǎn)F從AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)向點(diǎn)
C運(yùn)動(dòng)時(shí)兩種情況的截面面積的變化情況即可判斷.
【詳解】對(duì)于結(jié)論①,取CC中點(diǎn)為G,連接AE,EG,GB,AB',
因?yàn)檎襟wABCD—AaC'O',E為CO的中點(diǎn),所以GE//C?!ㄊ?,
所以A,B',E,G四點(diǎn)共面,如圖確定的平面與線段AC有且僅有一個(gè)交點(diǎn),
故結(jié)論①正確;
對(duì)于結(jié)論②,因?yàn)椤J?3'/,求所+O'F的最小值,即求EF+笈尸的最小值,
因?yàn)檎襟wABCD-AB'C'D',所以A,B',E,C四點(diǎn)共面,
所以與AC會(huì)相交于一點(diǎn),設(shè)為尸',
此時(shí)(砂+=EF'+B'F'=EB'=dEC?+EB'?=+僅應(yīng)『=3,
因?yàn)?<26,
所以EF+D'F的最小值為2否錯(cuò)誤,
故結(jié)論②錯(cuò)誤;
對(duì)于結(jié)論③,取CC',班'中點(diǎn)分別為G,H,連接設(shè)DG交ED'于點(diǎn)P,若A'Cp|平面
DGHA=F,
在平面CDDC'中,易知AGCD、EDD,
所以NCGD=NDEP,
TT
所以/DEP+NPDE=NCGD+NPDE=—,
2
IT
所以NEPD=—,所以DG_LE。',
2
又因?yàn)锳£>_L平面CTM'C',EDu平面CDD'C',
所以AD_LED,
DGHAD=D,ADu平面。G〃4,DGu平面DG/Z4,
所以ED'_L平面DGHA,
因?yàn)锳Cf-]平面DGE£4=尸,AFu平面。GH4,
所以EZX_L”.
所以存在點(diǎn)尸,使得AFLDE,
故結(jié)論③正確.
對(duì)于結(jié)論④,當(dāng)點(diǎn)廠與點(diǎn)A重合時(shí),截面為矩形,截面面積為2石,
當(dāng)點(diǎn)尸為AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí),
取CC中點(diǎn)為G,連接AE,EG,GB,AB',EB',AG,
此時(shí)四邊形EGB'A即為平面AEF截正方體ABCD-A'B'CZ)'所得截面,證明如下:
已知ACC平面及用幺=尸,求證點(diǎn)尸為AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),
CFFC1
因?yàn)镋C//A7T,所以—=,=彳,所以點(diǎn)尸為AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),得證.
FA'A'B'2
又因?yàn)镚E/ABN,且=AE=GB'=s/5,所以四邊形EGEA為等腰梯形,面積為
9
所以當(dāng)點(diǎn)尸為AC上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)時(shí),截面面積為:,
當(dāng)點(diǎn)尸趨近于點(diǎn)。時(shí),截面面積趨近于3,
因?yàn)?>2石,3<2點(diǎn)/從AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),截面面積的變化是連續(xù)的,
所以點(diǎn)尸從AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)存在某點(diǎn)F,使得截面面積為2逐,
故線段AC上至少存在兩個(gè)點(diǎn)F使得截面面積為26,
故結(jié)論④不正確
故選:B.
9.C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量可判斷①②;在平面內(nèi)作QK,AG,垂足為點(diǎn)
K,過點(diǎn)K作在平面BB?C內(nèi)作KT,BN交CG于T,得到平面QKT截正方體ABCD-44G,截面為
平行四邊形QS,當(dāng)T與點(diǎn)C重合時(shí),截面面積最大,進(jìn)而判斷③.
【詳解】以。為原點(diǎn),以所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則3(2,2,0),4(2,0,0),4(2,2,2),P(0,1,2),"(2,0,1),N(0,2,1),
設(shè)Q(a,0,2)(0<a<2),
對(duì)于①,的=(a—2,—2,2),鬲=(0,2,2),
貝?。軧Q-ABi=(。-2)x0+(-2)x2+2x2=0,
所以麗,福,即8QLA及,故①正確;
對(duì)于②,B2=(a-2,-2,2),W=(2,-l,-l),7W=(O,l,-l),
設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量為fh=(%,y,z),
則一,取y=l,得行=(1,1,1),
in?PN=y—z=0
要使8?!ㄆ矫鍹AP,則麗石=0,
則a-2-2+2=0,即a=2,不符合題意,
所以不存在點(diǎn)。,使得8?!ㄆ矫婀盛阱e(cuò)誤;
對(duì)于③,如下圖,在平面A4GA內(nèi)作垂足為點(diǎn)K,
過點(diǎn)K作在平面BBgC內(nèi)作KT,BN交C。于T,
因?yàn)槠矫鍭B£Q1平面BCC}Bt,平面A瓦G2口平面BCCQI=B?,
且QKu平面A4cQ],所以QK1平面BCG瓦,
又BNu平面BCG耳,所以QKL3N,
因?yàn)镼KnKT=K,QK、KTu平面。KT,所以BN_L平面QKT,
平面QKT截正方體ABCD-ABGA截面為平行四邊形QKTL,
當(dāng)T與點(diǎn)C重合時(shí),K為4G中點(diǎn),截面面積最大,
止匕時(shí)長7=占,QK=2,截面面積為26,故③對(duì).
故選:C.
10.DD
【分析】由題意知,x=0是函數(shù)〃x)的一個(gè)零點(diǎn),xwO時(shí),加-x+3=0,可得。="!,令
X
g(x)=/l,分類討論即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意知,X=O是函數(shù)"%)的一個(gè)零點(diǎn),
%W0時(shí),辦2—x+[x]=0,可得a=,
x
令g(x)=,l,得到函數(shù)圖象
當(dāng)x>0時(shí)%—[%]=%,無£[0,1);X—[x]=X-1,XG[1,2);x—[x]=x—2,xG[2,3);x—[x]=3,XG[3,4)-?-
當(dāng)xv0時(shí)%_
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