2024-2025學年天津市十二區(qū)重點學校高三數(shù)學下學期聯(lián)考

試題

本試卷分第I卷(選擇題)和第H卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時間120分鐘.

答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場/座位號填涂在答題卡規(guī)定位置上，答卷時，考生

務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.

考試結(jié)束后，將答題卡交回.

祝各位考生考試順利！

第I卷

注意事項：

1.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號；

2.本卷共9小題，每小題共5分，共45分.

參考公式：

如果事件48互斥，那么尸(ZuB)=尸(Z)+尸(8)

柱體的體積公式廠=防.其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高.

一、選擇題；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合2={1,2,6},8={2,4},。={%€川—1<》<5},貝！](Zu8)cC=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{xe7?|-1<x<5}

2.設,貝!]“l(fā)ga+lgb=0”是“仍=1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)/(x)=坐忖的圖象大致為()

''x2+l

A.B.

xO\x

4.為深入貫徹落實習近平總書記對天津工作''三個著力”重要要求，天津持續(xù)深化改革，創(chuàng)建全

國文明城區(qū)，城市文明程度顯著提升，人民群眾的夢想不斷實現(xiàn).在創(chuàng)建文明城區(qū)的過程中，中央

文明辦對某小區(qū)居民進行了創(chuàng)建文明城區(qū)相關知識網(wǎng)絡問卷調(diào)查，從本次問卷中隨機抽取了50

名居民的問卷結(jié)果，統(tǒng)計其得分數(shù)據(jù)，將所得50份數(shù)據(jù)的得分結(jié)果分為6組：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],并整理得到如下的頻率分布直方圖，則

該小區(qū)居民得分的第70百分位數(shù)為（）

A.89.09B.86.52C.84.55D.81.32

5.設。=log23]=1.3S9,0.9c=1.3,則。，仇。的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

6.天津包子是一道古老的傳統(tǒng)面食小吃，是經(jīng)濟實惠的大眾化食品，在中國北方，在全國，乃至

世界許多國家都享有極高的聲譽.某天津包子鋪商家為了將天津包子銷往全國，學習了“小罐茶”

的銷售經(jīng)驗，決定走少而精的售賣方式，爭取讓天津包子走上高端路線，定制了如圖所示由底面

圓半徑為4cm的圓柱體和球缺（球的一部分）組成的單獨包裝盒，球缺的體積匕=

3

（R為球缺所在球的半徑，力為球缺的高）.若/z=2cm,球心與圓柱下底面圓心重合，則包裝

盒的體積為（)cm3

198TI196兀172兀173兀

----B.-----C.-----D.-----

7.已知向量值=(l,l),B=(2x+y,2),其中且Q>0,則土土上的最小值為()

孫

A.V2+1B.V2+2C.4D.72-1

8.已知雙曲線［-4=1(?！?,b〉0)的一條漸近線與拋物線/=2px(p〉0)交于點M(異于

ab

坐標原點O)，點M到拋物線焦點的距離是M到歹軸距離的3倍，過雙曲線的左、右頂點作雙

曲線同一條漸近線的垂線，垂足分別為尸、。,|尸。|=2,則雙曲線的實軸長為()

A.1B.2C.3D.6

9.已知函數(shù)/(x)=sin1z&x+巳1+sin一+2cos2o?x一1(。>0),則下列結(jié)論正確的是

()

A.落/(x)相鄰兩條對稱軸的距離為］,則0=2；

JT

B.若0=1,貝Uxe0,-時，/(x)的值域為『1』；

JT2

C.若/(x)在0,-上單調(diào)遞增，則0<0三5；

1117

D.若/(x)在［0,兀］上恰有2個零點，則在《?！丛?/p>

第n卷

注意事項：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題；每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對一個的給3分，

全部答對的給5分.

io.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)2上的共輾復數(shù)為

l-i一

11.在2x—9［（a>0）的二項式展開式中f的系數(shù)為160,則實數(shù)。=.

12.設直線/:》=左（％—6）（左手0）和圓Cd+/_，6x_4y+5=0相交于",N兩點，若

CMCN=0^則實數(shù)左=_________,

13.為緩解高三學習壓力，某高中校舉辦一對一石頭、剪刀、布猜拳比賽，比賽約定賽制如下：累計

贏2局者勝，分出勝負即停止比賽；若猜拳4局仍末分出勝負，則比賽結(jié)束.在一局猜拳比賽中，

已知每位同學贏、輸、平局的概率均為工，每局比賽的結(jié)果相互獨立.現(xiàn)甲、乙兩位同學對戰(zhàn)，則甲

3

同學比賽三局獲勝的概率為；已知比賽進行了四局的前提下，兩位選手末分出勝負的

概率為.

—>—■1

14.已知菱形Z5CD邊長為1,&ABAD=——,￡為線段3的中點，雀廠在線段C￡上，且

2

—?—?5—?

BFrBA+—BC,則4=，點G為線段4。上的動點，議點G作5C的平行線交

6

邊AB于點M,過點M做的垂線交邊5。于點N,貝U（癡+曲）?礪的最小值為

1

-------------Fa,x<a,

15.設aeR,函數(shù)/（x）=Jx-a+1若/（x）在區(qū)間［0,+e）內(nèi)恰有2

x~-2（a+l）x+2/-a+\,x>a.

個零點，則。的取值范圍是.

三、解答題：本大題5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

在A45c中，角4民。所對的邊分別為“c,且（：058（1058+氏05。）+（。=0.

（1）求角5的大小；

（2）若6=7,a+c=8,a<c,

①求a,c的值：

②求sin（22+C）的值.

17.（本小題滿分15分）

如圖，PO垂直于梯形N8CD所在平面，/Z￡>C=/A4D=90°I為線段上4上一點,

PD=41,AB=AD=-CD=\,四邊形PDCE為矩形.

2

（1）若廠是24的中點，求證：ZC〃平面?！闒；

（2）求直線/￡與平面5cp所成角的正弦值：

（3）若點/到平面8cp的距離為工，求尸尸的長.

6

18.（本小題滿分15分）

設｛4｝是等差數(shù)列，其前〃項和S",也｝是等比數(shù)列，且q=4=3,%=&&=15.

（1）求｛%｝與｛2｝的通項公式;

a/",n為奇數(shù)

(2)設。"=<（34〃）”，"為偶數(shù),求數(shù)列｛g｝的前2〃項和七；

（3）若對于任意的〃eN*不等式〃（4+1）-2（%-1）（〃+2）-12<0恒成立，求實數(shù)X的取值

范圍.

19.（本小題滿分15分）

22

已知橢圓￡:=+二=1（?！?〉0）的左、右頂點分別為/和5,上頂點為。，左、右焦點分別為

ab

下和工,滿足忸0=]-閨7訃

（1）求橢圓￡的離心率；

（2）點。在橢圓￡上（異于橢圓左、右頂點）,直線ZC與直線x=。交于點P,線段。尸與線

段5C交于點7/,過。4中點G作AOBH的外接圓的兩條切線，切點分別為〃和N,且AGMN

的面積為地，求橢圓E的標準方程.

4

20.(本小題滿分16分)

1px

已知函數(shù)/(%)=—+Inx,g(x)=----

XX

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)g(x)在x=l處取得極大值，求實數(shù)左的取值范圍:

(3)已知&,曲線y=/(x)在不同的三點卜1，/(西)),卜2，/(12)),卜3，/(》3))處的切線

/x12—ci1122-6z

都經(jīng)過點SM，且不＜々＜當，當0＜。＜2時，證明：1+虧(丁￡(1方--

數(shù)學參考答案

一、選擇題：每小題5分，滿分45分

題號123456789

答案BABCCBADD

二、填空題：每小題5分，共30分.（兩空中對一個得3分，對兩個得5分）

,r-12

"一匕11.y/212.——

22

4713115.\三立1+V53+石）

13.—；—14.-；—

2713380222J

三、解答題：本大題5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

解：（1）因為8$3（80$3+慶05。）+；1=0,利用正弦定理可得:

cos5（sinCcos5+sia3cosC）+；siib4=0,

即2cosSsin（5+C）+siih4=0.

因為sin（5+C）=sin?lw0,所以2cos5+1=0,即cos3=-g

27r

又540,兀），可得5=彳.

n~4-c~—h~n2+c2-49

（2）①由余弦定理及已知可得：cosB=^—^—也二"上_竺

laclac5'

即（a+c）2-ac=49,又因為a+c=8,所以ac=15

a+c=8,fa=3a=5

聯(lián)立《n,或4「（舍）

ac=15（c=5c=3

②由正弦定理可知：siiL4=^^=-xsinl200=—

b714

因為。<c,則/<C,故A為銳角,

.兀）A兀71/.兀71

cosZ=J1—sir^Z=-sin（2A+C）=SH1/+—=S1IL4COS-FcosZsin二

33314142

17.（本小題滿分15分）

（1）設CPc￡>E=G,連接/Gj.?四邊形尸DCE為矩形，，G為尸C中點，又E為24中點,

AC//FG,又EGu平面DEF,AC<Z平面DEF,：.AC//平面DEF.

(2)以。為坐標原點，方%灰，赤正方向為x/,z軸,

可建立如圖所示空間直角坐標系,

則/(1,0,0)50,1,0),C(0,2,0),網(wǎng)0,0,⑹,￡(0,2，何

.■.5C=(-l,l,0),C?=(0,-2,V2),

1E=(-1,2,V2)

設平面5CP的法向量為=(x,y,z),

BC?n=—x+v=0/—/I—\

二<—,-I-,令y=L解得：x=l,z=v2,.\n=11,1,72)；

CP-n=-2y+^2z=Q''

\AE-n\_3近

設直線AE與平面BCP所成角為3,sin0=|cos<AE,n>|=

\AE\-\n\14

則直線AE與平面BCP所成角正弦值為近

14

(設角和作答具備其一即可，均不寫扣1分)

(3)P3=(1,0,-V2),設而=4強=(40,—

由平面8cp的法向量方=(1,1,/)，

小|_囚_1

點廠到平面8cp的距離d=,,__

\n\26

解得力」

3

所以網(wǎng)=；網(wǎng)嚀

18.(本小題滿分15分)

解：（1）設數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列｛〃｝的公比為4,

3+3d=3q

由題意知＜

3+d=5

q=3

解之得《―…+1也=3

（2）當〃為奇數(shù)時，?！岸?〃+1）3〃

=351

設An=Cj+c3+...+。2”113"+7X3+11X3+...+—1^x3~"

94,=3x33+7x35+llx37+...(4n-5)x32^1+(4n-l)x32n+1

270-9"T

-84,=9+43+35+37+...+32"-1)-(4z?-l)x32B+l=9+41>32n+l

1-9

--+I-9-12/7|x9,,

22

(3-4M)3"1

當〃為偶數(shù)時，c=

n(2〃T(2〃+3)4

Bn=c2+c4+...+c2n=

323、(3436)\\l(3232n+21

?十?+…+

711J、4〃一14〃+3力

4377k4、34〃+3,

：-Bn=\4(49〃+i+3)

E,c2124〃—99〃+i

9"_

TZ?n—An+B〃--1--,---F

lo164(4〃+3)

/+〃一6

(3)方法-*：(1-X)+(1-24)〃-6<￡N*）恒成立，化簡得4>

n2+2〃

,n2+n-6,n+6

設Z=下TJ一

〃(〃+2)

M+7n+6“2+13〃+18

“一"“=一---------1------=--------------->0

:.d“=l—；+122>1

"/+2〃

方法二：即（1—4）+（1——6<0（〃￡N）恒成立,

設/(〃)=(I—))"+(1—2彳)〃_6(〃wN

當2=1時,/（〃）=-〃—6<0恒成立，則4=1滿足條件;

當丸<1時,由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;

]—2/1

當2〉1時,由于對稱軸X=-2（；_4）<0，則/⑺在[1，+動上單調(diào)遞減,

/（?）</（1）=-32-4<0恒成立，則X〉1滿足條件,

綜上所述，實數(shù)X的取值范圍是

19.（本小題滿分15分）

___G

解得好缶，則《=在

解：⑴<

a2=b2+c22

22

（2）法一：由（1）知橢圓方程為。+[=1

2b2b1

2,2

——x+匕

2二1

設直線/C方程為％=沖-41b,聯(lián)立42〃b

x=my-y[2b

得（蘇+2)y2-2V2bmy=0,解得”,=2、2加b,代入傷，

m+2

解得％=而?[:收.又因為5（、3,0）

X二y[2b,解得尸（回,拽

聯(lián)立

x=my-\[2bm/

2?)2垃mb

2______m2+2m

所以ko?=~^―=—,k

72bmBC可26一2岳T

因此左。尸/BC=-i,所以OPLBC,垂足為笈.

因此&OBH的外接圓是以05為直徑，03中點T,o為圓心的圓.

2tn

(另解：接方法一：k=-,k=——

opmBC2

2in(t22亞bm'

則聯(lián)立直線。尸：和直線得

y=—x5C:y=——x-H了‘加2+4

m2,7

△OAfZ的外接圓圓心為線段0H的中垂線與線段08中垂線的交點.

(

y[2bmmyflbm242b

線段次的中垂線為了-門x-----3-------,線段08的中垂線為x=----

~2加+4,2

兩直線方程聯(lián)立得：J=0.

因此AO由/的外接圓圓心是半徑為r=J。用

因此，圓的方程為jx—字]+/=；,G—字,0,『G|=揚,陷|=2加|,

因此/467=二,二〃＜加=二.所以4〃(^^是等邊三角形，邊長|G"=?，因此

63112

cV3(V6)3出々刀,曰2八

S^GMN=工'qb=-^―,觸得6=2.

\7

因此橢圓的標準方程為—+^=1

42

22

xy1

法二：由(1)知橢圓方程為/十/

T

21

x+2y2=a

設直線4C方程為y=Mx+a)(xH0),聯(lián)立＜

y=k^x+

得(2左2+1)%2+4Q左21+〃2(2左2一])=o,解得了=02.)〃,代入丁二左(X+Q),

c2左2+]

07

解得＞C=景:.又因為3(d°)?

x=a/、

聯(lián)立z解得「(見2成)

lak

2左2+11

所以自產(chǎn)2kk

=-BC(1-2左2)Q2k

-------a

2左2+1

則聯(lián)立直線。P：V=2丘和直線BC:y=-」-（x-得笈(a2ak)

[4k2+V4k2+1J

2k

以下方法同法一.

法三：設直線NC方程為y=A（x+a）,

直線ZC與直線x=a的交點坐標尸（a,2a左），左op=2k,

已知N（—a,0）,8（a,0）,令則/一工：），

因此晨心C=』-----=20從而凝。=_二，

x0+ax0-ax0-a22k

以下方法同法一.

20.（本小題滿分16分）

11r_1

解：（1）/'X）=1+_=F（X>0）

XXX"

令/'（x）=o,解得x=l當X變化時，/'（X）J（X）的變化情況如下表:

X(0,1)1(1,+“)

/'（X）-0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

以，/（x）的單調(diào)減區(qū)間為：（0,1）,單調(diào)增區(qū)間為：（1,+“）

(2)依題意，g(x)=^——￡(0,+巧從而可得g，(x)=S_———^2

xxX

①當左<0時，e*-左>0,g'(x)>0令g'(x)=0,解得x=l

當X變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下表：

X(o/)1(l,+8)

g'(x)-0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

以函數(shù)g(x)在X=1處取到極小值，不合題意；

②當InkV1時，即0Ve時，

若xe(1,+力)則g'(x)〉0,所以函數(shù)g(x)在》=1處不可能取到極大值;

③當lnA〉l時，即左〉e時，令g'(x)=0,解得x=l或x=lnA;

當x變化時，g'(x),g(x)的變化情況如下表：

X(o/)1(1,明InA:(1口左,+8)

g'(x)+0-04-

g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)g(x)在x=l處取到極大值；所以左〉e.

(3)因為/'(x)=±?因為過(a,b)有三條不同的切線，設切點為=123,

X

故/(xj-b=/'(七)(玉-。)-故方程/(x)-b=/'(x)(x-a)有3個不同的根，

該方程可整理為—Iwc—b=]—(x-a),

15/2(x)=2-J(x-?)-f—+lux-J,則〃(x)=-■y(x-2)(x-a),

令/z'(x)=0,解得x=2或x=a,因為0<a<2,所以

當X變化時，A,(x),/z(x)的變化情況如下表:

X(0,a)a(a,2)2(2,+oo)

g'(x)-0+0-

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

因為再<x2<x3,則0<再<a</<2<￡，

因為〃(X)有3個不同的零點,

故/?(a)=---lna+6<0且，力(2)=—ln2+6>0

整理得到：—+ln2<Z><—+Ina,

4a

x-lx-a)-1—FInx-Z?j—1一a+2a

又〃(x)=------1—--lux+67—0,

x2XXX

2

X

〃+2a2

則方程1------+=—lnx+6=0即為:^-t-(m+l)/+ln/+l-ln2+6=0

XX

222

記。-——<2=——也—則4,L，，3為—％?—(加+1)%+In/+1—ln2+6=0有二個

再*32

tx2ci

不同的根，設加=Q<1

2-a1122-a,即證2+2工42-a

要證：1+----<—I----<---------<A+匕<---

24%!x3a2412a12

即證：2+法22—2m,即證：竺H21—冽口口、十

vK4v--------<4+/3<---------即證:

13m126m6

2

13-m21-m2m-m+12

Z1+Z3-+-

’1+’3m6~~<0,即證：r1+r3-2--<