2024-2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題垂徑定理及應(yīng)用

一、選擇題

1.（2025?四川省德陽市?期中）如圖，已知直線24交。。于4B兩點，4E是O。的直徑，點C為O。上一

點，且4C平分NP4E,過C作CD1PA,垂足為D,且DC+DA=12,。。的直徑為20,貝ijAB的長等于

B.18C.16D.12

2.（2025?浙江省溫州市?期末考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智

慧，圖1,點M表示筒車的一個盛水桶.如圖2,當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心。為圓心，5m

為半徑的圓，且圓心在水面上方.若圓被水面截得的弦48長為8m，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的

最大深度為（）

Ei

s上（）

_1

(W2)

A.1米B.2米C.3米D.4米

3.（2025?河北省秦皇島市?期末考試）一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙

杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊

沿分別與杯口相交于4、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,AB=8cm,CD=6cm.

請你幫忙計算紙杯的直徑為（）

A.5cmB.9.6cmC.10cmD.10.2cm

4.（2025?廣東省惠州市?期末考試）如圖，在。。中，弦的長為8,圓心。到的距離OE=4,則。。的

半徑長為（）

A.4B.4避C,5D.5避

5.（2025?山東省德州市?模擬題）如圖，48是。。的直徑，弦CD交4B于點P,4P=2,BP=6,

^APC=30°,貝！jCD的長為（）

c.2^/15

D.8

6.（2025?湖北省?模擬題）如圖，在AABC中，以48為直徑的。。經(jīng)過點C.以點8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧

分別交力B、BC于點M、N,再分別以點M、N為圓心，大于手WN的長為半徑畫弧，兩弧在A/IBC內(nèi)部交于

點P,畫射線BP分別交弦ac、劣弧能于點。、E,連接0D下列結(jié)論正確的是（）

A.0D=CDB.OD=，BC

C.點D為弦AC的中點D.點E為劣弧能的中點

7.（2025?湖北省襄陽市?模擬題）如圖，4B為。。的直徑，AC,力。為。。的弦，AC=CD,AB=10,

AC=y/10,貝必。的長是（）

D.4m

8.（2025?河北省秦皇島市?模擬題）已知線段力B=后,如圖,甲和乙兩位同學(xué)用自己的方法確定了以r為半

徑，。為圓心的圓.對于這兩種作圖方法，下列說法正確的是（)

A.甲和乙的方法均正確B.甲和乙的方法均不正確

C.甲的方法正確，乙的方法不正確D.甲的方法不正確，乙的方法正確

二、填空題

9.（2025?江蘇省鹽城市?期中）如圖，AB是。。的直徑，點C在O。上，CD148于點D已知=4,

AD=2,則。。的半徑為

10.（2025?廣東省清遠市?期中考試）如圖，在。。中，/-DCE=60°,。4=8,

CD1OA,垂足為點D,CE1OB,垂足為點E,CD=

是?

11.（2025?江蘇省揚州市?模擬題）如圖，△04B為直角三

角形，且。41AB,以。為圓心，。4為半徑作圓與OB

交于點E,過點4作力F1OE于點F交圓。于點C,延長

力。交圓。于點D,連結(jié)DE交4C于點M,若圓。的半徑為

5,tanzO=,，貝!jAM的長為_____.

4

12.（2025?澳門特別行政區(qū)澳門?期中考試）如圖，△BCD內(nèi)接于O。，=70。，。413。交0。于點4

13.（2025?江蘇省泰州市?期末考試）如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點，連接AC、BC,過點。作

OD1BC于點D,交。。于點E,連接4E.若48=8,AC=2,貝的長是.

14.（2025?北京市市轄區(qū)?月考試卷）如圖，以G（0,l）為圓心，半徑為2的圓與無軸

交于力、B兩點,與y軸交于C,。兩點，點E為圓。上一動點，CF1AE于F,當(dāng)

點E在圓。的運動過程中，線段FG的長度的最小值為.

三、解答題：

15.（2025?廣東省?同步練習(xí)）

如圖，在O。中，48為O。的弦，C、。是直線48上兩點，且2C=8D求證：

△OCD為等腰三角形.

16.（2025?江蘇省無錫市?期中）

如圖，已知點力、B、C在。。上，點。在。。外，乙BCD=ABAC,BE〃CD交。。于E點.

A

(1)求證：CD是。。的切線;

(2)若。。的半徑為5,ABAC=30。，求線段BE的長.

17.(2025?河北省秦皇島市?模擬題)

如圖1,某公園有一個圓形音樂噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設(shè)置一圈防護欄現(xiàn)在

對噴泉進行測量和規(guī)劃，其示意圖如圖2所示，相關(guān)信息如下:

信息二：點。為噴泉中心，48是噴泉邊緣的一條弦，AB=8米，。是弦4B的中點，連接0。并延長，交劣

弧4B于點C,CD=2米.

信息二：已知防護欄要距離噴泉邊緣1米，以。為圓心，R為半徑作防護欄所在圓.請根據(jù)以上信息解答下列

問題:

(1)求噴泉的半徑;

(2)要在防護欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？(兀取3.14,結(jié)果保留整數(shù))

圖I

18.(2025?河北省保定市?模擬題)

如圖是放于水平桌面上的帶底座的魚缸，其主體部分的縱截面是弓形4M8,開口部分A2與桌面平行，將

一玻璃棒斜放進魚缸(魚缸內(nèi)無水)，使玻璃棒底端恰在弧4MB的中點M處，發(fā)現(xiàn)AM=AB,將玻璃棒豎立

起來(MN14B)時，測得MN=37.5cm.

M

(1)求NBAM的度數(shù)，并求力B的長；

(2)求弧的長；

(3)若向魚缸內(nèi)加水，使水面的寬度為48cm,求魚缸內(nèi)水的深度.

19.(2024?浙江省溫州市?期中考試)

如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度力B=60米，拱高PD=18米.

(1)求圓弧所在的圓的半徑r的長；

(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE=4米時，是否要采取

緊急措施？

20.(2025?河南省鄭州市?模擬題)

如圖是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為0,直徑48是河底線，弦CD是水位線，CD//AB,4B=20

米，4BAD=15°.

(1)求CD的長.

(2)一艘船要經(jīng)過該橋洞，矩形MNPQ是該船水面以上部分的截面簡化示意圖，寬NP為10米，高PQ為2米.

受天氣影響，若該船隨水面上升1米，請判斷該船能否通過該橋洞，并說明理由.

參考答案

1.D

2.B

3.C

4.B

5.C

6.D

7.4

8.4

9.5

10.16^/3

11.7.5

12.55°

13.2A/10

14.V^—1

15.證明：過點。點作OM1AB,垂足為M.

???OM1AB,

：.AM=BM.

???AC=BD,

CM=DM.

又?：OM1AB,

OC=OD.

..AOCD為等腰三角形.

16.(1)證明：連接C。并延長交。。于F點，連接

???Z.A—Z.F,

乙BCD=Z.BACf

???乙BCD=Z.F,

???CF為?0直徑，

??.Z,CBF=90°,

???乙F+乙BCO=90°,

???乙BCD+乙BCO=90°,

即乙。。。=90°,

???CF是。。的直徑，

??.CO是E。的切線；

(2)解：連接8。，0C交BE于點、G,

???BE//CD,

???乙OGB=〃)CD=90°,

OB=OE,

BE=2BG,

■■■同對方？，

.-.Z.BOC=1/.BAC=2x30°=60°,

在Rt△BOG中，BO=5,

BE=5?

17.噴泉的半徑為5米；

大約需要安裝25盞景觀燈.

18.解：（1）如圖，設(shè)圓心為。，連接。2=OB,BM.

,?,點M是不誦的中點,

???AM=BM,

??.AM=BM,

AM=AB，

??.AM=BM=AB,

??.△ABM是等邊三角形，

???^BAM=^AMB=60°,。4平分NMAB,

???^OAM=〃)AN=30°,

.?.OA=OM=2ON,

2

...OA=OM=^MN=25(cm),

???ON工AB,

AN=BN=OA-cos300=25x岑=^^(cm),

???AB=25^/3(cm)；

(2)???乙AOB=2乙AMB=120°,

TTTTJM工24071x25IOOTT,、

???AMB的長=———=(cm)；

loU3

(3)由題意AN=BN=24,OA=25,

ON=1252-242=7(CTH),

MN=0M+0N=32(cm),

當(dāng)48在點。的下方時，MN=25-7=18(cm).

綜上所述，水面的寬度為48cm,魚缸內(nèi)水的深度為320n或18cm.

19.解：⑴連結(jié)04,

由題意得：AD=》B=30米，0D=0一18)米，

在RtAH。。中，由勾股定理得：產(chǎn)=3()2+0-18)2,

解得，r=34,

故圓弧所在的圓的半徑r的長為34米；

(2)連結(jié)。A,

???OE=OP-PE=30(米)，

.?.在Rt△a'E。中，由勾股定理得：A'E2=A'O2-OE2,

即：A'E2=342-302,解得:A