第一章三角形的證明B卷壓軸題模擬訓(xùn)練一、填空題1．如圖，在中，，，．點(diǎn)D為外一點(diǎn)，滿足，，則的面積是．2．如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊的高，E為上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊長(zhǎng)在的右上方作等邊，連接，則的周長(zhǎng)的最小值是．

3．（2021下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┰诘妊苯侨切沃校?，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在線段的點(diǎn)上，則．4．（2023下·四川成都·八年級(jí)成都鐵路中學(xué)校考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值是．5．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，平分交于點(diǎn)D，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段的值為．

6．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知為等邊三角形，，D為中點(diǎn)，E為直線上一點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．

7．（2023下·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使得，點(diǎn)E在線段上，且，連接，以為邊向右作等邊，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則四邊形的面積為．

8．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是DE，DG上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．

9．如圖，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，連接、，，求的最小值．

10．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．二、解答題11．（2022上·四川成都·八年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校┖椭?，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接與交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，，求的面積；(2)如圖2，若，求、、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，移動(dòng)點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，求的最小值．12．已知中，．(1)如圖，在中，若，且，求證：；(2)如圖，在中，若，且垂直平分，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖，在中，當(dāng)垂直平分于，且時(shí)，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．13．（2022上·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，中，，點(diǎn)P在線段上，于點(diǎn)D，，．交直線于點(diǎn)F．

(1)求證；(2)探究線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變（如圖2），若，求出的值．14．（2022下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BP是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，將∠EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使∠EPF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)∠EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，且滿足PE＝PF．①請(qǐng)判斷線段CP、CF、AE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明②求出∠EPF的度數(shù)．（2）當(dāng)∠EPF保持等于（1）中度數(shù)且繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，若∠CFP＝60°，BE＝+﹣1，求△AEP的面積．（3）當(dāng)∠EPF保持等于（1）中度數(shù)且繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，若∠CFP＝30°，BE＝（++1）m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式直接表示△AEP的面積．15．（2022上·四川成都·八年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，在中，為中點(diǎn)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，在右側(cè)作等邊直線與直線交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)在射線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．16．（2022下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，點(diǎn)O為斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、點(diǎn)F為直角邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），且∠EOF＝60°(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC和AB上，且BE＝AF時(shí)，求∠OEC的度數(shù)．(2)如圖2，若點(diǎn)E、點(diǎn)F都在邊BC上，當(dāng)∠OFC＝75°時(shí)，說(shuō)說(shuō)BF與CE有什么數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)如圖3，當(dāng)E、F均在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，做E點(diǎn)關(guān)于直線OF的對(duì)稱點(diǎn)P，若AB＝4，為AB中點(diǎn)，求當(dāng)PQ最短時(shí)，線段PE的長(zhǎng)度．17．（2022下·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），以為腰作等腰直角，．(1)如圖，作于，求證：≌；(2)在圖中，連接交于，如圖，求的值；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．18．（2022下·四川成都·八年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎喝鐖D，，是過(guò)點(diǎn)A的直線，，于點(diǎn)B．(1)在圖1中，過(guò)點(diǎn)C作，與直線于點(diǎn)E，①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：是等腰直角三角形；③圖1中，線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系是(2)當(dāng)繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，其它條件不變，在圖2中，線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系是；在圖3中，線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系是．(3)在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．19．（2024上·四川成都·八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A、D、E，在同一直線上，連接，易證，則①線段之間的數(shù)量關(guān)系是______；②______；（2）拓展研究：如圖2，和均為等腰三角形，且，點(diǎn)A、D、E，在同一直線上，若，求的長(zhǎng)度；（3）探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，，，求的長(zhǎng)．20．（2022下·四川成都·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，若∠BAO＝30°，AB＝4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．(1)如圖1，求證：△ABC是等邊三角形．(2)如圖2，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線段CE的最小值．(3)如圖3，若將△ABO沿直線AC平移，記平移后的△ABO為△，在平移過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得△為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．第一章三角形的證明B卷壓軸題模擬訓(xùn)練一、填空題1．如圖，在中，，，．點(diǎn)D為外一點(diǎn)，滿足，，則的面積是．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，從而可得，在中，利用含的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得，然后利用證明，從而可得，，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，最后利用線段的和差關(guān)系可得，從而利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴．∵，，，∴，∴．∵，，，∴，∴，．∵是的一個(gè)外角，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊的高，E為上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊長(zhǎng)在的右上方作等邊，連接，則的周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】【分析】如圖：連接,證明，得，可知點(diǎn)F在外，使的射線上，根據(jù)將軍飲馬型，求得的最小值即可解答．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，是高，∴，過(guò)C點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)到H，使得，連接，與交于點(diǎn)I，連接，則，∴，∴為等邊三角形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴當(dāng)F與I重合時(shí)，即D、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為：，∴的周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，證明三角形全等確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．3．（2021下·四川成都·八年級(jí)校考期中）在等腰直角三角形中，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在線段的點(diǎn)上，則．【答案】/【分析】過(guò)F點(diǎn)作于M點(diǎn)，易得，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，，即有，，再證明，即在中，可得，，即有，，在中，，可得，在中，，可得，問(wèn)題隨之得解．【詳解】過(guò)F點(diǎn)作于M點(diǎn)，如圖，∵在等腰直角三角形中，，，∴，∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，，，∴，，∵，，∴，∵在中，，，∴，，∴，，∴，∵，，∴，即，∴，∵在中，，∴，∵，∴在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)，并求出，是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023下·四川成都·八年級(jí)成都鐵路中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值是．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，在上取點(diǎn)N，使，連接，過(guò)點(diǎn)N作點(diǎn)于點(diǎn)M，證明，求出，得出當(dāng)最小時(shí)，最小，根據(jù)垂線段最短，得出當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，則最小，求出最小結(jié)果即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，在上取點(diǎn)N，使，連接，過(guò)點(diǎn)N作點(diǎn)于點(diǎn)M，如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∵垂線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，則最小，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．5．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，平分交于點(diǎn)D，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段的值為．

【答案】或【分析】對(duì)為等腰三角形進(jìn)行分類討論，即：①；②；③，三種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，平分，，①當(dāng)時(shí)，如圖所示：

此時(shí)，，，，，可得，；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線段交于點(diǎn)，如圖所示：

此時(shí)，，設(shè)，，則，，，，，故可得，解得，；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故無(wú)法構(gòu)成，故此種情況不存在，綜上所述，為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，含有角的直角三角形三邊關(guān)系，正確地進(jìn)行分類討論，熟練畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知為等邊三角形，，D為中點(diǎn)，E為直線上一點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．

【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，點(diǎn)F作于點(diǎn)N，分①點(diǎn)N在點(diǎn)D下方，②點(diǎn)N在點(diǎn)D上方，③點(diǎn)N與點(diǎn)D重合三種情況討論，都可以得到，重合得到點(diǎn)F在直線的右側(cè)，且與距離為的直線上，這條直線與平行，再根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，最小，重合得解．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)N，∵為等邊三角形，∴，又∵，∴又∵，D為中點(diǎn)，∴，∴，，∵為等邊三角形，∴，①當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)D下方時(shí)，作圖如下：(兩圖情況略有不同，但證明過(guò)程完全一致)

∵，∴，又∵，∴，∴∵，，，∴∴，∴此時(shí)，點(diǎn)F在直線的右側(cè)，且與距離為的直線上，這條直線與平行，②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)D上方時(shí)，作圖如下：

∵，，∴∴，又∵，∴，∴∵，，，∴，∴，∴此時(shí)，點(diǎn)F在直線的右側(cè)，且與距離為的直線上，這條直線與平行，③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，作圖如下：

由圖可知：，∴此時(shí)，點(diǎn)F在直線的右側(cè)，且與距離為的直線上，這條直線與平行，綜上所述：點(diǎn)F在直線的右側(cè)，且與距離為的直線上，這條直線與平行．根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，最小，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，推斷出“點(diǎn)F在直線的右側(cè)，且與距離為的直線上，這條直線與平行”是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使得，點(diǎn)E在線段上，且，連接，以為邊向右作等邊，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則四邊形的面積為．

【答案】【分析】作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明是等邊三角形，再證明，得，再證明是等邊三角形，則，再證明，得，作于點(diǎn)H，于點(diǎn)D，則，，由勾股定理得的長(zhǎng)，由計(jì)算，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∵點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，，∴，在和中，，∴，∴，∵點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴，∴，作于點(diǎn)H，于點(diǎn)D，則，，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形的面積等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是DE，DG上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，使得，證得，利用全等三角形的性質(zhì)證得，求的最小值即求的最小值，此時(shí)只有、、在一條直線上時(shí)，的最小，即為的長(zhǎng)，在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，使得，如圖所示，

∵等腰中，，，∴，，∴，∵等腰中，，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∴求的最小值即求的最小值，此時(shí)只有、、在一條直線上時(shí)，的最小，即為的長(zhǎng)，∴在中，，即的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證得線段相等，再利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解，解題的關(guān)鍵作出輔助線構(gòu)造全等三角形．9．如圖，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，連接、，，求的最小值．

【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，連接、，由點(diǎn)D為中點(diǎn)可得是等腰直角三角形，即可得到，得到，，進(jìn)而得到，當(dāng)時(shí)最小，即可求解．【詳解】連接、，

∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，是等腰直角三角形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)∴的最小值為，故答案為：．10．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．【答案】//【分析】當(dāng)時(shí)在中，由勾股定理列出的方程便可求得；在線段下方作，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，連接，求出此時(shí)的的長(zhǎng)度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∴；在線段下方作，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，連接，∴，∴，當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造的最小值．二、解答題11．（2022上·四川成都·八年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校┖椭?，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，連接與交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，，求的面積；(2)如圖2，若，求、、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，移動(dòng)點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，求的最小值．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析；(3)的最小值為．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，在中利用勾股定理求得的長(zhǎng)，在等腰直角三角形中即可求得的長(zhǎng)，從而可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)M，通過(guò)證明，利用全等三角形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)至使，則與F關(guān)于對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明，利用軸對(duì)稱解決路徑最短問(wèn)題即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖，∵，∴，∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∴．（2）解：過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)M，如圖，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴．∴．∵，則，∴，而，∴由平行線間的距離處處相等可得：，∵，∴，∴．∴，即：．∴．（3）解：∵，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，，∴．∴．在和中，，∴．∴．∴．過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)至使，則與F關(guān)于對(duì)稱，連接交于點(diǎn)P，如圖，則此時(shí)，取得最小值，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵，∴．∴．∵，∴，∴由平行線間的距離處處相等可得：．∴．∴．∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，利用軸對(duì)稱解決路徑最短問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．12．已知中，．(1)如圖，在中，若，且，求證：；(2)如圖，在中，若，且垂直平分，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖，在中，當(dāng)垂直平分于，且時(shí)，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出，再利用“邊角邊”證明和全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接，先求出是等邊三角形，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，然后求出，再利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（3）過(guò)作，且，連接，，，先證明，得出，設(shè)，，根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)與等腰三角形的性質(zhì)求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：，，即，∵在與中，，；（2）解：如圖中，連接，垂直平分，，，∴是等邊三角形，，，，，，，；（3）解：結(jié)論：．理由如下：如圖3，過(guò)作，且，連接，，，如圖所示：∵，，∴，∴，∵在和中，∴，，設(shè)，，則，，，，，，∵在和中，，∴，，∵垂直平分，∴，∴，∵，．【點(diǎn)睛】本題考屬于三角形綜合題，查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022上·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，中，，點(diǎn)P在線段上，于點(diǎn)D，，．交直線于點(diǎn)F．

(1)求證；(2)探究線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變（如圖2），若，求出的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析(3)4【分析】（1）由余角的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）過(guò)A作延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明，由全等三角形的判定與性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（3）過(guò)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明，得出，，證明，得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：．證明：過(guò)A作延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∴，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：過(guò)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BP是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，將∠EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使∠EPF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)∠EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，且滿足PE＝PF．①請(qǐng)判斷線段CP、CF、AE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明②求出∠EPF的度數(shù)．（2）當(dāng)∠EPF保持等于（1）中度數(shù)且繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，若∠CFP＝60°，BE＝+﹣1，求△AEP的面積．（3）當(dāng)∠EPF保持等于（1）中度數(shù)且繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，若∠CFP＝30°，BE＝（++1）m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式直接表示△AEP的面積．【答案】（1）①CP﹣CF＝AE，證明詳見(jiàn)解析；②135°；（2）；（3）．【分析】（1）①證明，得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，得出，即可得出結(jié)論；②由全等三角形的性質(zhì)得出，得出，求出，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，再證明，得出，設(shè)，則，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，求出，得出方程，解得：，得出，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；（3）證明，得出，再證明，得出，設(shè)，則，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，求出，由勾股定理得出，得出方程，解得，，得出，由三角形面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）①；理由如下：，，平分，，在和中，，，，中，，，，，，，，；②，，，，，；（2），，，在和中，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，解得：，，；（3），，，在和中，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（2022上·四川成都·八年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，在中，為中點(diǎn)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，在右側(cè)作等邊直線與直線交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)），是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)在射線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論不變，證明見(jiàn)解析；（3）10°或50°或70°或110°【分析】（1）想辦法證明DF⊥BC，CF=BF，可得結(jié)論．（2）結(jié)論不變，證明ME垂直平分線段BC即可．（3）分四種情況種情形：如圖3-0，當(dāng)EF=BF時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=∠FEB=x，；如圖3-1中，當(dāng)BE=BF時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=x，如圖3-2中，當(dāng)FE=FB時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=∠FEB=m，如圖3-3中，當(dāng)BE=BF時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=n，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=AD=BD，∵∠A=60°，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ADC=60°，∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=60°，∴∠EDB=180°-60°-60°=60°，∴∠CDF=∠BDF，∵DC=DB，∴DF⊥BC，CF=FB，∴DF是BC的垂直平分線，∴EC=EB．（2）結(jié)論仍然成立．理由：連接CM，EM．∵AM=BM，∠ACB=90°，∴CM=AM=BM，∵∠A=60°，∴△ACM是等邊三角形，∴∠AMC=∠ACM=60°，CA=CM，∵△CDE是等邊三角形，∴∠ACM=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠MCE，在△ACD和△MCE中，，∴△ACD≌△MCE（SAS），∴∠A=∠CME=60°，∴∠CME=∠BME=60°，∵M(jìn)C=MB，∴ME垂直平分線段BC，∴EC=EB．（3）解：如圖3-0，當(dāng)EF=BF時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=∠FEB=x，如圖3-0則∠BFE=∠FEC+x=120°+x=180°+2x，∴x=20°，∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=30°-20°=10°．如圖3-1中，當(dāng)BE=BF時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=x，則∠BFE=60°+x=（180°-x），∴x=20°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+20°=50°．如圖3-2中，當(dāng)FE=FB時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=∠FEB=m，則∠EFB=60°+m=180°-2m，∴m=40°，∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+40°=70°．如圖3-3中，當(dāng)BE=BF時(shí)，設(shè)∠EBC=∠ECB=n，則有∠BEF=n=60°-（180°-2n），∴n=80°，∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+80°=110°，綜上所述，∠ABE的值為10°或50°或70°或110°．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．16．（2022下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，點(diǎn)O為斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、點(diǎn)F為直角邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），且∠EOF＝60°(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC和AB上，且BE＝AF時(shí)，求∠OEC的度數(shù)．(2)如圖2，若點(diǎn)E、點(diǎn)F都在邊BC上，當(dāng)∠OFC＝75°時(shí)，說(shuō)說(shuō)BF與CE有什么數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)如圖3，當(dāng)E、F均在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，做E點(diǎn)關(guān)于直線OF的對(duì)稱點(diǎn)P，若AB＝4，為AB中點(diǎn)，求當(dāng)PQ最短時(shí)，線段PE的長(zhǎng)度．【答案】(1)75°(2)BF=2CE，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）在OF上截取OG=OE，證明△AOG≌△BOE得到AG=BE，∠OAG=∠OBE=30°，利用AF=BE=AG求出∠AGF，得到∠AGO的度數(shù)，即可求出∠OEC；（2）將△BOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△COH，連接EH，證得△FOE≌△HOE（SAS），得到∠OEH=∠OEF=45°，求得∠HEC=90°，由此得到∠EHC=30°，推出BF=2CE；（3）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)證明△BOP≌△COE，得到∠OBP=∠C=30°，求出∠ABP=30°，當(dāng)QP⊥PB時(shí)，PQ取最小值，作EM⊥OC，利用直角三角形30度角的性質(zhì)求出BP，得到CE，由此得到OM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OE，根據(jù)PE=2NE求出答案．【詳解】（1）解：在OF上截取OG=OE，如圖，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)O為斜邊AC的中點(diǎn)，∴AO=BO=CO，∵∠OAB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=∠AOB=60°；∵∠EOF＝60°；∴∠AOG+∠BOG=∠BOG+∠BOE，∴∠AOG=∠BOE；∴△AOG≌△BOE（SAS）；∴AG=BE，∵BE=AF；∴AG=AF；∵∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，∴∠OAG=∠OBE=30°，∴∠FAG=30°，∴∠AGF=∠AFG=(180°-30°)=75°，∴∠BEO=∠AGO=105°，∴∠OEC=180°-∠OEB=75°；（2）解：BF=2CE，理由如下，∵∠OFC＝75°，∠EOF=60°，∴∠OEF=45°，將△BOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△COH，連接EH，∴OF=OH，BF=CH，∠FOH=120°，∠OCH=∠OBE=30°，∵∠EOF=60°，∴∠EOH=60°=∠EOF，又∵OE=OE，∴△FOE≌△HOE（SAS），∴∠OEH=∠OEF=45°，∴∠FEH=90°，∴∠HEC=90°，∵∠HCE=∠HCO+∠OCE=60°，∴∠EHC=30°，∴HC=2CE，即BF=2CE；（3）解：∵E、P關(guān)于OF對(duì)稱，∴OE=OP，且∠EOF=∠FOP=60°，∴∠BOC=∠POE=120°，∵∠POB=120°-∠BOE=∠EOC，OE=OP，OB=OC，∴△BOP≌△COE，∴∠OBP=∠C=30°，∴∠ABP=90°-30°-30°=30°因此，當(dāng)QP⊥PB時(shí)，PQ取最小值，作EM⊥OC，∵AB=4，Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=QB=2，又∵∠ABP=30°，∴PQ=BQ=1，∴BP=，∵△BOP≌△COE，∴CE=BP=，∵∠C=30°，∴ME=CE=，∴CM=，∵AC=2AB=8，O為AC中點(diǎn)，∴OC=4，∴OM=OC-CM=，∴OE=，∵，∴∴PE=2NE=．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022下·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），以為腰作等腰直角，．(1)如圖，作于，求證：≌；(2)在圖中，連接交于，如圖，求的值；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的值為(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，可得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，利用AAS證明≌；（2）證明≌，得到，可得，進(jìn)而證明，即可求解；（3）在上截取，證明≌，得出，，,繼而證明≌，得出，即可得出結(jié)論：．【詳解】（1）證明：為等腰直角三角形，．，，，，，在和中，，≌；（2）解：≌，，，為等腰直角三角形，，，，在和中，，≌，，∵∴，的值為；（3）解：，在上截取，如圖，在和中，≌，，，,，，而，，，在和中，，≌，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定，添加輔助選構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2022下·四川成都·八年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎喝鐖D，，是過(guò)點(diǎn)A的直線，，于點(diǎn)B．(1)在圖1中，過(guò)點(diǎn)C作，與直線于點(diǎn)E，①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：是等腰直角三角形；③圖1中，線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系是(2)當(dāng)繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，其它條件不變，在圖2中，線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系是；在圖3中，線段、、滿足的數(shù)量關(guān)系是．(3)在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③(2)；(3)或【分析】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示，②判斷出，即得結(jié)論，③過(guò)點(diǎn)作，得到，判斷出，確定為等腰直角三角形即可；（2）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，判斷出，確定為等腰直角三角形；②解題思路同（1）③，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得到，從而確定為等腰直角三角形；（3）由（1）③，得，，得到為等腰直角三角形，得到，求出，即可求解．【詳解】（1）解：①依題意補(bǔ)全圖形如下圖，②證明：，又，，．于點(diǎn)，，．又，．又，，．是等腰直角三角形；③如圖1，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，，，，，，，，．又，，，，為等腰直角三角形，．又，，，故答案為：；（2）解：①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，，，，，．，，，，，在和中，，，，，為等腰直角三角形，．又，，，故答案為：；②．如圖3，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，，，，，．，，，，，在和中，，，，，為等腰直角三角形，．又，，．故答案為：；（3）解：①如圖4，過(guò)點(diǎn)作，交與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，由（1）③，得，，為等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，在中，，，，，，；②如圖5，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線與，同①的方法，得，，．綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等．解本題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．19．（2024上·四川成都·八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A、D、E，在同一直線上，連接，易證，則①線段之間的數(shù)量關(guān)系是______；②______；（2）拓展研究：如圖2，和均為等腰三角形，且，點(diǎn)A、D、E，在同一直線上，若，求的長(zhǎng)度；（3）探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①；②；（2）；（3）【分析】（1）由條件易證，從而得到，由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出，從而可以求出的度數(shù)；（2）同（1）證出得出，，求出，得出，由勾股定理求出即可；（3）把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則，證出是等邊三角形，得出，，求出，證明D、P、E在同一條直線上，得出，再由勾股定理求出即可．【詳解】解：（1）①和均為等邊三角形，，，在和中，，，，故答案為：；由①得，，為等邊三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，，，故答案為：；（2）和均為等腰三角形，，，，在和中，，，，，為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，，，，；（3）把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，如圖所示：則，，，是等邊三角形，，，，又即D、P、E在同一條直線上，，在中，，即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等