機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第3章機(jī)器人力學(xué)

3.3牛頓-歐拉方程

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10323.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度3.3.4剛體的角加速度3.3.5牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄動(dòng)力學(xué)的概念32025/6/1在考慮機(jī)器人連桿慣量的前提下，研究力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系動(dòng)力學(xué)的核心問題分析方法基于力平衡的方法——牛頓-歐拉方程基于能量的方法——拉格朗日方程應(yīng)用分類

——逆動(dòng)力學(xué)，用于控制——正動(dòng)力學(xué)，用于仿真43.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度3.3.4剛體的角加速度3.3.5牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄牛頓-歐拉力/力矩平衡方程（Newton-EulerEquation）52025/6/1針對(duì)每個(gè)桿件應(yīng)用力/力矩平衡方程，逐次遞推獲得桿件之間的作用力/力矩桿件之間的作用力/力矩在關(guān)節(jié)軸上的分量，即為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力/力矩牛頓-歐拉方程的思想力平衡——牛頓方程

F力矩平衡——?dú)W拉方程

牛頓-歐拉力/力矩平衡方程62025/6/1求解動(dòng)力學(xué)方程的前提是：

利用牛頓-歐拉方程求解動(dòng)力學(xué)方程的主要工作是：計(jì)算各連桿角速度、角加速度、質(zhì)心線加速度計(jì)算各連桿之間的力和力矩牛頓-歐拉力/力矩平衡方程73.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度和角加速度3.3.4牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄剛體的線加速度82025/6/1上式直接對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0回顧：兩剛體{A}和{B}之間既有平動(dòng)，也有轉(zhuǎn)動(dòng)，且{B}中向量Q相對(duì)于{B}有運(yùn)動(dòng)的情況，其Q在{A}中的速度表達(dá)為：因?yàn)椋捍肷鲜剑茫簞傮w的線加速度92025/6/1整理，得：線加速度求和科氏加速度歐拉加速度向心加速度當(dāng)BQ是常量時(shí)，可簡(jiǎn)化為：剛體的角加速度102025/6/1同樣，把上式直接對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的角速度為AΩB運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{C}相對(duì)于{B}的角速度為BΩC則{C}相對(duì)于{A}的角速度為：因?yàn)椋捍肷鲜?，得：假定存在固定的參考坐?biāo)系{A}113.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度和角加速度3.3.4牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代122025/6/1

可得：

思路：采用與速度外推迭代類似的方法進(jìn)行求解首先回顧前一章機(jī)器人連桿間角速度遞推公式根據(jù)前述剛體間角加速度關(guān)系：上式即為機(jī)器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)相鄰連桿間角加速度迭代公式當(dāng)?shù)趇+1個(gè)關(guān)節(jié)是移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為：132025/6/1對(duì)于通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接的兩連桿，根據(jù)剛體間線加速度關(guān)系公式：轉(zhuǎn)換到i+1坐標(biāo)系，得旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)相鄰連桿間的線加速度迭代公式：對(duì)于i+1關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，根據(jù)：可得：可得：上式即為移動(dòng)關(guān)節(jié)相鄰連桿間的線加速度迭代公式牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代142025/6/1對(duì)于連桿i+1，再次應(yīng)用剛體間線加速度關(guān)系公式：可得連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：至此，我們已經(jīng)得到了牛頓-歐拉方程所需的角速度、角加速度，以及坐標(biāo)系i的線加速度還需要求解質(zhì)心線加速度回顧牛頓-歐拉方程牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代小結(jié)—i+1為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)152025/6/1連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：相鄰連桿間的角加速度迭代公式：相鄰連桿間的角速度迭代公式相鄰連桿間的線加速度迭代公式：162025/6/1連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：相鄰連桿間的角加速度遞推公式：相鄰連桿間的線加速度迭代公式相鄰連桿間的角速度迭代公式注意，在不考慮重力時(shí)：牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代小結(jié)—i+1為移動(dòng)關(guān)節(jié)172025/6/1根據(jù)每個(gè)連桿的角加速度和質(zhì)心線加速度，根據(jù)牛頓-歐拉公式，得：其中：Fi和Ni可理解為慣性力和力矩顯然，每個(gè)連桿的慣性力/力矩應(yīng)等于其所受外力之和由右圖可知，每個(gè)連桿質(zhì)心處的力平衡方程為：

注意：方程里沒有重力項(xiàng)牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代182025/6/1每個(gè)連桿質(zhì)心處力矩平衡方程為：其中：為連桿i作用在連桿i+1上的力矩的反作用力矩，在{i}坐標(biāo)系中的表達(dá)最后，可得到力矩平衡方程：后兩項(xiàng)為連桿間作用力在質(zhì)心C處耦合的力矩之和，可化簡(jiǎn)為：牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代192025/6/1將前述連桿的力/力矩平衡方程整理如下：把上式寫成由末端到基座的迭代遞推形式，可得連桿i-1作用于連桿i的力/力矩：其中：

iFi和iNi為連桿i質(zhì)心處的慣性力/力矩，可根據(jù)質(zhì)心線角速度和角加速度求得把ifi和ini為向關(guān)節(jié)軸線投影，可得關(guān)節(jié)i的驅(qū)動(dòng)力/力矩：移動(dòng)關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代202025/6/1連桿i-1作用于連桿i的力/力矩：關(guān)節(jié)i的驅(qū)動(dòng)力/力矩：移動(dòng)關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：連桿i質(zhì)心處的慣性力/力矩：

牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代-小結(jié)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例212025/6/1首先確定牛頓-歐拉遞推公式中的連桿參數(shù)和初始值如右圖所示的2R平面機(jī)器人，假設(shè)每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在桿件末端，連桿參數(shù)如圖每個(gè)連桿坐標(biāo)原點(diǎn)及質(zhì)心的位置矢量：假設(shè)質(zhì)量集中于質(zhì)心，則各連桿質(zhì)心的慣量張量為零矩陣：末端執(zhí)行器不受外力，所以：機(jī)器人基座固定，所以：考慮重力因素，有：X0Y0OX1Y1X2Y2222025/6/1相鄰連桿坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：用外推迭代求解兩個(gè)連桿的速度、加速度以及慣性力/力矩連桿1角速度：連桿1角加速度：X0Y0OX1Y1X2Y2牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例232025/6/1連桿1坐標(biāo)原點(diǎn)線加速度：連桿1質(zhì)心線加速度：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例242025/6/1連桿1慣性力：連桿1慣性力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例252025/6/1連桿2角速度：連桿2角加速度：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例262025/6/1連桿2坐標(biāo)原點(diǎn)線加速度：連桿2質(zhì)心線加速度：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例272025/6/1連桿2慣性力：連桿2慣性力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例282025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿2受連桿1作用力：連桿2末端受環(huán)境作用力牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例292025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿2受連桿1作用力矩：連桿2關(guān)節(jié)力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例302025/6/1用內(nèi)推