第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《全等三角形模型之旋轉(zhuǎn)模型》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說(shuō)明．2．如圖，在正方形中，Р是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A．C重合），連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線與邊交于點(diǎn)F．(1)連接，求證：；(2)若正方形的邊長(zhǎng)為4，且，求線段的長(zhǎng)．3．問(wèn)題：如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為；探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．4．已知與中，，，，連接與相交于點(diǎn)，與相交點(diǎn)．(1)猜想：如圖1所示，當(dāng)時(shí)，則______；(2)探究：如圖2所示，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)拓展延伸：如圖3所示，當(dāng)，，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度．5．已知等腰中，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作于，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，判斷的形狀為；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．6．在中，，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)（不與B、C重合），E是外一點(diǎn)，連接，已知，，連接(1)如圖1，點(diǎn)D在線段上，如果，則______度：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并說(shuō)明理由．7．如圖，與都是等腰直角三角形，，，，交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)可以看作是由繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，若，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)______，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)_____．8．如圖1，四邊形是正方形，E，F(xiàn)分別在邊和上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．小明為了解決線段，，之間的關(guān)系，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解決了這個(gè)問(wèn)題．

(1)請(qǐng)直接寫出線段，，之間的關(guān)系．(2)如圖3，等腰直角三角形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，且，請(qǐng)寫出，，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．某數(shù)學(xué)興趣小組在探究“手拉手”模型時(shí)，等邊三角形和按如圖1擺放，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

【初步探究】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系：______；【深入探究】（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，當(dāng)和都是等腰直角三角形，．連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【推廣應(yīng)用】（4）如圖4，在中，若．連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系：______；10．如圖，以銳角的邊為邊向外作正方形和正方形，連接．(1)求證：；(2)圖中可以通過(guò)一次變換得到，請(qǐng)你說(shuō)出變換過(guò)程．11．已知：在中，于點(diǎn)，．(1)如圖1，的度數(shù)為_(kāi)_______度．(2)如圖2，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，連接、，若，判斷線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．12．已知，，是過(guò)點(diǎn)的直線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖(1)，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明．(2)拓展探究當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時(shí)，、、之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．13．如圖，是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．14．如圖1，等邊與等邊的頂點(diǎn)，，三點(diǎn)在一條直線上，連接交于點(diǎn)，連．(1)求證：；(2)求證：平分；(3)設(shè)，若，直接寫出a，b，c之間滿足的數(shù)量關(guān)系．15．已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）16．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AD的延長(zhǎng)線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長(zhǎng)ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請(qǐng)寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程．參考答案1．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進(jìn)而可得答案；（3）分三種情況：當(dāng)交點(diǎn)F在線段上，在線段上，在線段上時(shí)；結(jié)合圖形，仿照（2）小題的證明解答即可．【詳解】（1）∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴，∴；故答案為：；

（2）∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴，∴；故答案為：；

（3）當(dāng)交點(diǎn)F在線段上時(shí)，如圖3，∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴，∴；

當(dāng)交點(diǎn)F在線段上時(shí)，如圖4，同理可得：；

當(dāng)交點(diǎn)F在線段上時(shí)，如圖5，∵，∴，在和中，∴（），∴，∵，∴；綜上，或．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確分類、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由四邊形是正方形可得，，，由圖形旋轉(zhuǎn)可得，，，從而可證，故；（2）如圖所示，由四邊形ABCD是正方形可得，，故是等腰直角三角形且，由勾股定理可得，，故．【詳解】（1）由題意得：，，四邊形是正方形，，，，在與中，，，；（2）由（1）知：，，在中，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．BC＝DC+EC；BD2+CD2＝2AD2，證明見(jiàn)解析【分析】問(wèn)題：根據(jù)將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE和角之間的關(guān)系得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可證△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，即可得；探索：連接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，即∠DCE＝90°，根據(jù)勾股定理得CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，根據(jù)AD＝AE即可得．【詳解】解：∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案為：BC＝DC+EC；探索：，證明：連接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴，在Rt△ADE中，，又∵AD＝AE，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．4．(1)(2)(3)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定；（1）先證明得到，再在和中利用三角形內(nèi)角和得到，根據(jù)，得到；（2）先證明得到，再在和中利用三角形內(nèi)角和得到，根據(jù)，得到；（3）由（1）得，，則，再由，可得，得到，，推出，最后根據(jù)代入求值即可．【詳解】（1）解：，，，在和中，，，．在和中，，，，∵，∴，故答案為：．（2）解：在和中．在和中，．（3）解：由（1）得，，，∵，，，，，，，，．，，．5．(1)等邊三角形(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到的度數(shù)，和，結(jié)合的度數(shù)，根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形，即可求解，（2）在和中，根據(jù)三角形內(nèi)角和是，得到，進(jìn)而確定是等腰直角三角形，由，得到，即可求解，（3）當(dāng)時(shí)，作，通過(guò)證明等腰直角三角形，得到，通過(guò)證明，得到，即可求解，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，通過(guò)證明是等腰直角三角形，得到，由，得到，由是等腰直角三角形，得到，，由，得到，即可求解；本題考查了等邊三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，梯形的中位線，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)幾何變換，將所求線段拼接成一條線段．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)可知，，，是等腰三角形，又，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形，（2）解：連接，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，故答案為：，（3）當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，，，，，等腰直角三角形，，，，，是正方形，，，，即：，，，，當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，是正方形，，，，即：，，，，故答案為：或．6．(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)（2）中的結(jié)論不成立，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，．理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的常見(jiàn)模型－旋轉(zhuǎn)模型，掌握該模型的相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）證即可求解；（2）證即可求解；（3）證即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，即：，∵，，∴∵，，故答案為：（2）解：，理由如下：，，又，，即：，在和中，，；（3）解：（2）中的結(jié)論不成立，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，．理由如下：如圖所示：，，即：，在和中，，又，．7．(1)證明見(jiàn)解析(2)，【分析】本題考查了全等三角形中的旋轉(zhuǎn)模型，掌握旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）推出，即可求證；（2）旋轉(zhuǎn)角為旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)線段形成的角度，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：，，即，，，；（2）解：由題意可得：旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為或，∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．故答案為：，8．(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，得到，等量代換即可證明；（2）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，，，，在中，，可求得，所以，證，利用得到．【詳解】（1）解：證明：由旋轉(zhuǎn)可得，，，四邊形為正方形，，，，，，在和中，，，，，；（2）猜想：，證明：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，如圖3，

，，，，，，，即，，又，，，即，在和中，，．9．（1）（2）成立，理由見(jiàn)解析（3），理由見(jiàn)解析（4）【分析】（1）證即可求解；（2）作交線段于點(diǎn)M，證得，再證得，，即可求解；（3）作交線段于點(diǎn)N，證得，再證得，，進(jìn)一步可證，即可求解；（4）作交線段于點(diǎn)，證得，再證得，，進(jìn)一步可證，即可求解．【詳解】解：（1），理由如下：∵和都是等邊三角形，點(diǎn)，重合∴，，∵，∴∴∴∵，∴（2）成立，作交線段于點(diǎn)M

∵和都是等邊三角形∴，，∴即∴∴∵∴即∴∴，∵，∴是等邊三角形∴，∴（3），理由如下：作交線段于點(diǎn)N，

∵和都是等腰直角三角形∴，，∴即∴∴∵∴即∴∴∴，∵，∴∴，∴∴（4），理由如下：作交線段于點(diǎn)，

∵中，．∴，∴即∴∴∵∴即∴∴∴，∵，∴∴，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題以“手拉手”模型為幾何背景，綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，旨在考查學(xué)生的推理論證能力和“舉一反三”的能力．10．(1)見(jiàn)解析(2)和可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到【分析】（1）通過(guò)正方形的性質(zhì)得到等角和等邊，然后判斷全等即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義直接解答即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，∴，即，在和中，，∴；（2）解：和可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)全等三角形判定條件來(lái)證明全等．11．(1)90(2)見(jiàn)解析(3)，；【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）證明即可；（3）先證出，再證可得，即可證出最終得到，．【詳解】（1）∵，∴∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴∵∴∴又∵∴即（3）連接，、與分別交于L、K，過(guò)H作于M，于P，∵，∴∵∴∴∵，∴，∴∴∵∴∴∵∴∵∴四邊形是平行四邊形∴∴∴，∴∴，【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．12．(1)；證明見(jiàn)解析(2)；證明見(jiàn)解析【分析】(1)過(guò)點(diǎn)作，得到，判斷出，確定為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，判斷出，確定為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，在四邊形中，，，，∴，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；（2）；理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)知，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，從而得，再證可得答案；（2）由，知為等邊三角形，即，繼而由，得到，再利用即可得解．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，．線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，．．．在和中，，．（2）解：如圖，，，為等邊三角形．，，．．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．14．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由題意結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可得，，，即，再證，即可證得；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可得，，再由角平分線的判定可得，平分；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使得，在上截取一點(diǎn)，使得，連接，，先證，推導(dǎo)得，同法可證，，最后根據(jù)三角形面積關(guān)系，得出，則可得到答案．【詳解】（1）證明：∵等邊與等邊的頂點(diǎn)，，三點(diǎn)在一條直線上，∴，，∴，∴，，∴，∵等邊，等邊，∴，，在與中，∵，∴，∴．（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵（1）中已證，又∵，，∴，∵，，∴平分．（3），理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在上截取一點(diǎn)，使得，在上截取一點(diǎn)，使得，連接，，∵，∴，∵，又∵等邊，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，即，在與中，∵，∴，∴．∵，，∴，同法可證，，∵，∴．∵，，∴，∵（2）中已證，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用，三角形面積關(guān)系等，綜合性強(qiáng)，難度較大．15．(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由全等可知，所以當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，為等腰三角形，依據(jù)已知計(jì)算即可．（2）因?yàn)閮蓚€(gè)三角形中有一邊相等，只要找到這兩個(gè)底對(duì)應(yīng)高之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案為：．（2）解：如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作的邊上的高，過(guò)點(diǎn)作的邊上的高，由作圖及知：，，，（同角的余角相等），

在與中有：（），，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是使用分析法找到:兩個(gè)三角形面積相等時(shí)，底相等則高相等，從而構(gòu)造全等證明對(duì)應(yīng)高相等．16．(1)22.5°(2)見(jiàn)解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，詳見(jiàn)解析【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得∠B=∠CAF=45°，再由三角形外角性質(zhì)知∠ACE=∠BCF，代入求值即可；（2）連接AF，過(guò)A作AH⊥EF，由手拉手相似得△ACD∽△AFH，得∠CDF=∠BAC，再由∠ADE=90°－∠DAE，等量代換即可得證；（3）將AN繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長(zhǎng)線于Q，證明△ACQ≌△ABN，得AN=AQ，再證明△AN