運(yùn)動(dòng)軌跡為圓

問題1.如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接A0,取A0中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為。點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

MQ是0尸一半，任意時(shí)刻，均有△AMQs/viOP,端■二爺二g.

問題2.如圖，aAPCl是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：。點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：???AP_LAQ,??.Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM_LAO；

又TAP：AQ=2：1,JQ點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2t1.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△且相似比為2.

模型總結(jié)

回條件：兩個(gè)定量

（1）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NPAQ是定值）:

（2）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

13結(jié)論

（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM：

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

兩圓半徑之比.

例題精講

【例1】.如圖，A是朋上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在配外，已知AB=2,BC=4,（3ACD是等邊三角

形，則△AC。的面積的最大值為.

》變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，線段48為。。的直徑，點(diǎn)。在AB的延長線上，48=4,8c=2,點(diǎn)

P是OO上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtZXPCQ,且使NQCP=60°,

連接0。，則0。長的最大值為（）

A.V19B.273c.2V3+1D.4

【變式1-2].如圖，已知正方形八8c。的邊長為4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，P是OC

上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)Q按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)Q，連接8。則BQ的最大

B.472+2C.2^2+4D.W§+4

【例2】.四邊形人8CQ是邊長為4的正方形，點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn).且滿足B/<LPC,現(xiàn)將

點(diǎn)尸繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則CQ的最大值=

力變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，線段AB=4,M為A8的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1,連接PB,

線段

PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段尸C,連接4C,則線段AC長度的最大值是.

【變式2-2].如圖，AB=4,。為八4的中點(diǎn)，。。的半徑為1,點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，以

PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、8、。按逆時(shí)針方向排列），則線段AC的長

的取值范圍為.

c

oB

1.如圖，點(diǎn)A是雙曲線），='在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)小

X

以為斜邊作等腰RlZvlBC,點(diǎn)C在第二象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷

則這個(gè)函數(shù)的解析式為（）

C.y=--D.產(chǎn)-—

xx

2.在Rt/\ABC中,Z4C?=90°,AC=4,BC=3,。是以點(diǎn)4為圓心，2為半徑的圓上

一點(diǎn)，連接80,M為8。的中點(diǎn)，則線段CM長度的最大值為（）

A.7B.3.5C.4.5D.3

3.如圖，在RlZ\4BC中，ZC=90°,AC=4,8c=3,點(diǎn)0是A8的三等分點(diǎn)，半圓。

與AC相切,M,N分別是8C與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）

4.如圖，一次函數(shù)y=2t與反比例函數(shù)y=K（4>0）的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C

x

（-2,0）為圓心，1為半徑的OC上，Q是"的中點(diǎn)，已知。。長的最大值為日則

5.如圖，在矩形紙片A8C。中，AB=2,4。=3,點(diǎn)E是43的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是4。邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AAEF沿EF所在直線翻折，得到AA'EE則A'C的長的最小值是（）

C.V13-1D.V10-1

6.如圖，在RtZ\A8C中，ZAI3C=90°,N4C8=30°,BC=2近，△AQC與△A5C關(guān)

于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、尸分別是邊。C、BC上的任意一點(diǎn)，DE=CF,BE、。尸相交于點(diǎn)

尸，則CP的最小值為（）

7.如圖，。0的直徑A8=4,。為。。上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)4P,Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓

上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長是—.

8.如圖，己知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)。是以。為圓心，2個(gè)單位長為半徑的

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以4P為邊向A尸右側(cè)作等邊三角形4PB.當(dāng)點(diǎn)尸在。0上運(yùn)

動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

9.如圖，00的半徑為3,人8為圓上一動(dòng)弦，以/IB為邊作正方形人4C。，求0。的最大

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B(0,4),A(3,0),0A的半徑為2,P為G)A上任意

一點(diǎn)，C是3尸的中點(diǎn)，則OC的最大值是.

11.如圖，點(diǎn)C是半圓意上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCDE(使標(biāo)在正方形內(nèi))，連

OE,若AV=4c〃?，則。石的最大值為cm.

12.如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。0的半徑為1,點(diǎn)A(2,0),動(dòng)點(diǎn)B在。。上，連接A8,

作等邊aABC(A,B,。為順時(shí)針順序)，求。。的最大值與最小值.

13.如圖，點(diǎn)。在線段AB上，04=1,08=2,以點(diǎn)。為圓心、0A長為半徑的圓為00,

在。。上取動(dòng)點(diǎn)P,以08為邊作△P4C,使NP4c=90°,tanZPCB=—,P、B、C三

2

點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接AC，求AC的取值范圍.

14.已知：如圖，A6是OO的直徑，C是OO_L一點(diǎn)，OD上AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作C。的

切線，交。。的延長線于點(diǎn)E,連接AE.

（1）求證：AE與。。相切；

（2）連接B。，若ED：。0=3：1,。4=9,求AE的長；

（3）若A8=10,AC=8,點(diǎn)尸是。。任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦A尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在。。

上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

AB

15.若AC=4,以點(diǎn)。為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為亥圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

（I）如圖1,取點(diǎn)8,使△48C為等腰直角三角形，Z/MC=90°,將點(diǎn)P繞點(diǎn)4順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到AP'.

①點(diǎn)P'的軌跡是（填“線段”或者“圓?

②CP'的最小值是；

（2）如圖2,以人P為邊作等邊△APQ（點(diǎn)人、P、0按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)過程中，求C。的最大值.

（3）如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)M,連接PM,則CM的最小值為

B

M

16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線）=-5八+5與人軸，尸軸分別交;TA、。兩點(diǎn)，拋

物線y=x1+bx+c經(jīng)過4、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B.

（I）求拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABM的面積等

3

于△ABC面積的E，求比時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2,以8為圓心，2為半徑的。8與x軸交于E、尸兩點(diǎn)（尸在E右側(cè)），若P

點(diǎn)是04上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA.以PA為腰作等腰Rt△必Q,使NRm=90°（P、A.D

三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接rQ.求尸。長度的取值范圍.

圖1圖2

大招瓜豆原理之曲線型

模型介紹

運(yùn)動(dòng)軌跡為圓

問題1.如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接A0,取A。中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為。點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

MQ是。尸一半，任意時(shí)刻，均有△4MQSZ\A。尸，端■二爺二g.

問題2.如圖，AAPCl是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：。點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓

理由：???A〃_LAQ,??.Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AW_LAO；

又TAP：AQ=2：1,???Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2t1.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APOS/\AQM,且相似比為2.

模型總結(jié)

的條件：兩個(gè)定量

（1）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NPAQ是定值）：

（2）主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

13結(jié)論

（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM：

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

兩圓半徑之比.

rip

詞國例題精講

【例1】.如圖，A是朋上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在配外，已知AB=2,BC=4,（3ACD是等邊三角

形，則△46的面積的最大值為

解：以8C為邊作等邊△BCM,連接OM.

VZDCA=ZMCfi=60°,；?NQCM=NACB,

*：DC=AC,MC=BC：./\DCM^ACAB(SAS),，Z)M=48=2為定值,

即點(diǎn)。在以"為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)至的中垂線與圓的交點(diǎn)時(shí)，

C3邊上的高取最大值為2d§+2,此時(shí)面積為4禽+4.

A變式訓(xùn)練

【變式1T】.如圖，線段A6為。O的直徑，點(diǎn)。在AB的延K線上，A6=4,6c=2,點(diǎn)

P是OO上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtAPCD,且使NQCP=60°,

連接0。，則0。長的最大值為（）

解：如圖，作△C0E,使得NCEO=90°,NECO=60°,連接0P,則C0=2CE,OE

VZCDP=90°,ZDCP=60°,

:,CP=2CD,

.C0=CP=2

**CECD"

:?ACOPs4CED,

.0P=CP=9

?'EDCD

即&）=」■。2=1（定長）,

2

???點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長,

???點(diǎn)。在半徑為I的0E上,

,:OD&OE+DE,

：?OD42V^+1，

???OD的最大值為25回+1,

故選：C.

【變式1-2］如圖，已知正方形4BCO的邊長為4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，P是OC

上的任意一點(diǎn),將點(diǎn)尸繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)Q,連接BQ,則BQ的

B.472+2C.2V2+4D.273+4

解：連接AQ,CP,

：.AD=DC,NAOC=90°,

由旋轉(zhuǎn)得:

DP=DQ,NQOP=90°,

,ZADC-NQDC=ZQDP-NQDC,

JNADQ=/CDP,

???△AQQ9ZXCQP(SAS),

：.AQ=CP=2,

???點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的圓上，

???當(dāng)點(diǎn)。在84的延長線時(shí)，4Q的值最大，如圖所示:

Q

的最大值=48+力。=4+2=6,故選：4.

【例2】.四邊形A8CQ是邊長為4的正方形，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn).且滿足BP_LPC,現(xiàn)將

點(diǎn)P繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,則CQ的最大值=2+2W與.

解：如圖，???8P_LPC,

：?NBPC=90°,

???點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓，

?；PDLDQ,PD=QD,

???點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，且和點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是等圓，圓心。在ZM的延長線上，

（可以利用旋轉(zhuǎn)法證明：取BC的中點(diǎn)￡連接。E,PE,將△。石。繞點(diǎn)/）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到△D4O,連接OQ,只要證明aQE尸gZXQOQ即可，推出OQ=PE=的值）

在RtABOC中，OC=^5C2X）B2=^42+62=2V13?

???當(dāng)點(diǎn)Q\在CO的延長線上時(shí)，CQi的長最大，最大值為2+2。1§,

故答案為2+2A/13-

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，線段AB=4,M為45的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1,連接P8,

線段

PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC,連接人C,則線段人C長度的最大值是」&

解：以48為斜邊向上作等腰直角△A/8,連接CJ,BC.

是等腰直角三角形,

△P8C是等腰直角三角形，

:⑻=&BM,BC=42PB,/MBJ=/PBC=45°,

/./MBP=ZJBC,

..JB=BC

?MBBP'

：.ZBCsAMBP,

噴常S

???PM=1,

Z.JC=V2>

???點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，為半徑的圓，

?.川=返A(chǔ)3=2點(diǎn)，

2

???4CWA/+JC=3&故線段AC長度的最大值為必份

【變式2-2].如圖，AB=4,。為4?的中點(diǎn)，。。的半徑為1,點(diǎn)。是。。上一動(dòng)點(diǎn)，以

PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則線段AC的長

的取值范圍為五。CS3?.

c

解：如圖，作OK_LA從在0K上截取0K=04=08,連接AK、BK、KC、0P.

?：0K=0A=0B,0KLAB,

:.KA=KB,NAKB=90°,

???△AK8是等腰直角三角形,

?：/OBK=/PBC,

：,40BP=NKBC,

..0B_PB_V2

BKBC2

:.叢OBPs叢KBC,

...區(qū)=區(qū)=&,

OPPB

：.KC=^2,

???點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓,

AK=^2OA=2^2,

???4C的最大值為3加，4c的最小值血，

:.版WACW3版.

故答案為VEWACW麗.

成$實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，點(diǎn)4是雙曲線），='在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B,

x

以A8為斜邊作等腰RlZXABC,點(diǎn)C在第二象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷

的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為（）

解：作AD_Lx軸與點(diǎn)。，連接0C,作。及L），軸于點(diǎn)￡,

?「△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

：,OC=OA,CO1AO,

AZCOE=ZAOD,

ZOEC=ZODA=90°,

:?△OEgXODACAAS）,

：?OD=OE,AD=CE,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)A為（y,-x）,

丁點(diǎn)八是雙曲線y-—

x

:.-"=4,

/.x）,=-4,

，點(diǎn)。所在的函數(shù)解析式為：），=二2，

x

故選：C.

2.在RtZXABC中，/4CB=90°,AC=4,BC=3,。是以點(diǎn)4為圓心，2為半徑的圓上

一點(diǎn)，連接8。，M為8。的中點(diǎn)，則線段CM長度的最大值為（）

A.7B.3.5C.4.5D.3

解：取AB的中點(diǎn)E,連接4。、EM、CE.在直角△ABC中,

:E是直角叢ABC斜邊AB上的中點(diǎn),

：.CE=—AB=2.5.

2

是8。的中點(diǎn)，E是48的中點(diǎn)，

：,ME=^-AD=\.

2

V2.5-IWCMW2.5+1,

即1.5WCMW3.5.

???最大值為3.5,

故選：B.

3.如圖，在RlZ\ABC中，ZC=90°,AC=4,8c=3,點(diǎn)0是A8的三等分點(diǎn)，半圓。

與AC相切,M,N分別是8c與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）

解：如圖，設(shè)OO與AC相切于點(diǎn)7連接O。，作。匕LBC垂足為P交。。于產(chǎn),

此時(shí)垂線段0P最短，PF最小值為OP-OF,

VAC=4,BC=3,

：.AB=5

VZOPB=90°,

：,OP//AC

???點(diǎn)。是AB的三等分點(diǎn),

2100P0B_2

：.OB=—X5=—==

33ACABS-

：,OP=^-,

3

???。0與AC相切于點(diǎn)。,

???OO_LAC,

：.OD//BC,

.OP_OA_1

??瓦AB可

???OO=1,

；?MN最小值為OP-。/=3-1=區(qū),

33

如圖，當(dāng)N在48邊上時(shí)，”與8重合時(shí)，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長,

MN最大值=￥+1=￥■,

33

???MN長的最大值與最小值的和是6.

故選：B.

4.如圖，一次函數(shù)y=2r與反比例函數(shù)（k>0）的圖象交于A,B兩點(diǎn)、，點(diǎn)P在以C

（-2,0）為圓心，1為半徑的OC上，。是AP的中點(diǎn)，已知OQ長的最大值為,，則

乙

女的值為（)

解：連接BP,

由對(duì)稱性得：OA=OB.

???Q是AP的中點(diǎn)，

-2一

??,0。長的最大值為

:?BP長的最大值為3x2=3,

2

如圖，當(dāng)8。過圓心C時(shí)，最長，過B作8Q_Lx鼬于。,

?；CP=1,

：.BC=2,

???8在直線y=2x上，

設(shè)4（，，2/）,則。￡>=/-（-2）=什2,BD=-2t,

在RlZSBC。中，由勾股定理得：BC2=CD1+Bb2,

A22=（r+2）2+（-2；）2,

/=0(舍)或-金

5

.R(48X

???點(diǎn)8在反比例函數(shù)了=三（Q0）的圖象上,

律尸警故選：。

5.如圖，在矩形紙片A8c。中，A8=2,AO=3,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是A。邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△從￡尸沿EF所在直線翻折，得到△A'EF,則A'C的長的最小值是（）

A.^5.B.3C.V13-?D.V10-I

2

解：以點(diǎn)E為圓心，4E長度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)A'在線段CE上時(shí)，A'。的

長取最小值，如圖所示.

根據(jù)折疊可知：A'E=AE=^AB=\.

2

在RtZ\8CE中，BE=-AB=\,BC=3,ZB=90°,

2

???CE=4BE2+BC2=^^

???*C的最小值=。KA1E=V10I.

故選：D.

6.如圖，在RtZ\A8C中，ZABC=90°,ZACB=30°,8c=2近，ZXAOC與△ABC關(guān)

于AC對(duì)稱，點(diǎn)、E、尸分別是邊。C、8c上的任意一點(diǎn)，且DE=CF,BE、。廠相交于點(diǎn)

A.IB.V3C.D.2

解：如圖1,連接8D,

RtZXABC中，/ABC=90°,Z4CB=30°,BC=2^3,

：.AB=2,AC=4,

,/AADC與△ABC關(guān)于4r對(duì)稱.

：.BC=DC,NACO=/ACB=30°,

???N8CO=60°,

???△8QC是等邊三角形，

：.BD=CD,/BDC=NBCD=60°，

?:DE=CF,

:.△BDEW4DCF,

：?4BED=NDFC,

???N8EO+NPEC=18(T,

：,ZPEC+ZDFC=\SQ0,

；?NDCF+NEPF=NDCF+NBPD=180°,

VZDCF=60°,

：.ZBPD=\20°,

由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持N8PD=120。，

如圖2,?,?點(diǎn)2的運(yùn)動(dòng)路徑為：以A為圓心，AB為半徑的120°的弧,

連接AC與圓弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)CP的長度最小，

：,CP=AC-AP=4-2=2,

則線段C尸的最小值為2；

故選：

圖1圖2

7.如圖，OO的直徑AB=4,尸為。。上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)4P,Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓

上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長是，2^..

???4。=2,

???Q為AP的中點(diǎn)，

：.OQrAP,

???NAQO=90°,

???點(diǎn)Q在以A0為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長為2m故答案為：27T.

8.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)尸是以。為圓心，2個(gè)單位長為半徑的

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以AP為邊向A尸右側(cè)作等邊三角形AP8.當(dāng)點(diǎn)。在CO上

運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)的路徑長是.

解：如圖，連接AO、OP.將AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60>,得線段A0，，連接05、OO',

??.△OAO'為正三角形，

:△A尸8為正三角形，

???/以8=60°,PA=BA,

：.ZPAB-ZOAB=ZOAO'-NOAB,

：.^PAO=ZBAO,

在△APO與△480,中，

AO=A0,

乙PAO=4850'，

yPA=BA

：.XAP0WXAB0',

；?OP=O'B=2,

???00'即為動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，

???當(dāng)點(diǎn)。在。。上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)的路徑長是4ii

9.如圖，。0的半徑為3,48為圓上一動(dòng)弦，以A8為邊作正方形ABC。，求0。的最大

值-3+36_.

解：如圖，連接4。，0B,將。4繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,可得AH,連接OH,A,D,

：.OA=AA'=3,NOAA'=90",

???切=3注,

???四邊形人8C。是正方形，

???AB=A。，NBAD=90°,

：.ZBAD=ZOAA'=W,

：.ZOAB=ZA'ADt且。4=/VV,AB=AD,

???△。4的44小。(SAS)

：.A'D=OB=3,

在△OA'力中，ODWOA'+AO=3&+3,

，點(diǎn)4,點(diǎn)O,點(diǎn)。共線時(shí)，0。有最大值為3近+3,

故答案為：345+3.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B(0,4),A(3,0),OA的半徑為2,。為OA上任意

一點(diǎn)，C是BP的中點(diǎn)，則OC的最大值是3.5.

解：如圖，連接4B,取A3的中點(diǎn)“，連接C”，OH.

?；BC=CP,BH=AH,

：.CH=—PA=\,

2

???點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以，為圓心半徑為I的圓,

(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

AOH=^22+1.52=2.5,

:.OC的最大值=OH+CH=2.5+1=3.5,

故答案為：3.5.

11.如圖，點(diǎn)C是半圓薪上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCOE(使函在正方形內(nèi))，連

0E,若則?！甑淖畲笾禐?2A/2+2)cm.

解：如圖，連接O。，0E,03CE,設(shè)。。與。0交于點(diǎn)M,連接CM,BM,

???西邊形BCDE是正方形，

:?/BCD=/CBE=90°，CD=BC=BE=DE,

?：OB=OC,

；?/OCB=/OBC,

JZBCD+ZOCB=ZCBE+ZOBC,即ZOCD=ZOBE,

:.△OCDgAOBE(SAS),

：，OE=OD,

過點(diǎn)。作OM_LAB,交。。于點(diǎn)M,連接CM,BM,

則N8CM=2N8OM=45°,

2

???四邊形8CO￡是正方形，

AZBCE=45°,

???C、M、E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)M在正方形8CQE的對(duì)角線CE上，

為定值，

???點(diǎn)。在以M為圓心為半徑的圓上，當(dāng)0加過圓心2時(shí)最長，即。石最長,

VZA/CT=—ZMO^=—X90°=45°,

22

/.Z1DCM=XIBCM=45°,

???四邊形BCDE是正方形，

：.C.M、E共線，/DEM=/BEM,

在△EM。和△EMB中，

(DE=BE

ZDEM=ZBEM-

IME=ME

:AEMDSAEMR(SAS),

?，.QM=8M=doM而B2=^22+22=2^2(an),

，。。的最大值=(2、舊+2)cm,即OE的最大值=(272+2)cm；

故答案為：（2&+2）.

D

12.如圖，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。的半徑為1,點(diǎn)A（2,0）,動(dòng)點(diǎn)B在0。上，連接八兄

作等邊△ABC（A,B,C為順時(shí)針順序），求OC的最大值與最小值.

解：如圖，以0人為邊，在。4的下方作等邊△OAO,連接BO,OC,BO,

?二△A8C和△。人。都是等邊三角形，

：,AC=AB,AO=AD,ZBAC=ZOAD,

：./OAC=/BAD,

:.XOAgRDAB(SAS),

：?OC=BD,

???OB=1,OA=OD=2,

，2-1W4QW2+1,

?'1WMW3,

，1WOCW3,

???。。的最小值為1,最大值為3.

13.如圖，點(diǎn)O在線段AB上，OA=1,0B=2,以點(diǎn)。為圓心、0A氏為半徑的圓為0。，

在。0上取動(dòng)點(diǎn)P,以P8為邊作△P8C,使NP3C=90°,tanZPCB=—,P、B、CH

2

點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接AC,求4。的取值范圍.

解：如圖，作使得BM=2O8=4,連接OP,AM,CM.

在中，?.?AB=CM+08=1=2=3,8M=4,

???AM=7AB2+BM2=V32+42=5，

1PBOB_1

VtanZPCB===

2BC'BM

.OB=BP

■,BMBC

???/OBM=/P8C=90°,

：,/OBP=/MBC,

:?/\OBPs4MBC,

.OP=BO=1

FBM~2'

???0P=1,

:.CM=2,

VAM-CMWACWAM+CM,

???3WACW7.

14.已知：如圖，A8是00的直徑，C是。。上一點(diǎn)，OOJ_AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作C0的

切線，交0。的延長線于點(diǎn)E,連接AE.

(I)求證：AE與。。相切；

(2)連接8。，若ED：。。=3：1,0A=9,求AE的長；

(3)若A8=10,AC=8,點(diǎn)尸是。。任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦A尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在。。

上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為.

f：OD±AC,

：,AD=DC,

：?EA=EC,

在△OEC和中,

0E=0E

0C=0A,

EA=EC

:.△0E240EA,

：.ZOAE=ZOCE,

?「EC是。O切線，

???EC_LOC,

：,ZOCE=90°,

??.NOAE=NOCE=90°,

：.OA±AE,

，AE是。。的切線.

(2)如圖1中，設(shè)0/)=4,則。E=3a,

VZA0D=ZA0E,ZODA=ZOAEt

???△0AQSZ\O￡A,

.OA0D

'''0E='0A'

.*.4a2=81,

??Z>0,

.9

??『，

???0E=18,

在RtAAOE中，AE=^OE2-OA2=V182-92=9百.

(3)如圖2中，連接。M,取04的中點(diǎn)。'，連接O'M.

???AM=M/，

???0M_LAR

*：A0'=00',OA=OB=5,

5

-

2

???當(dāng)點(diǎn)/在。。上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以0'為圓心?為半徑的圓,

5

:.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為2n--=5n.

故答案為5TT.

15.若AC=4,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)尸為咳圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

(1)如圖1,取點(diǎn)反使△ABC為等腰直角三角形，NBAC=90°,將點(diǎn)。繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到人P'.

①點(diǎn)P'的軌跡是(填“線段”或者“圓”)；

②CP'的最小值是:

(2)如圖2,以AP為邊作等邊aAP。(點(diǎn)A、P、。按照順時(shí)針方向排列)，在點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)過程中，求CQ的最大值.

(3)如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)M,連接PM,則CM的最小值為

解：(1)①連接CP、BP,如圖I所示：

是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

：.AC=AB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP\NB4P=90°,

：,ZPAC=ZP'AB,

AP1=AP

在和△ACP中，乙PAB=乙PAC，

AB=AC

???△AB/安△4CP(SAS'),

???BP=CP=2,即點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離等于定長,

??.點(diǎn)P'的軌跡是以B為圓