空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

一.知識(shí)要點(diǎn)。

I.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向線段表達(dá).同向等長(zhǎng)的有向線段表達(dá)同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不變性

2.空間向量的運(yùn)算。

定義：與平面向量運(yùn)算同樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。

OB=OA+AB=a+b；BA=OA-OB=a-b；OP=R）

運(yùn)算律：⑴加法互換律：a^h=h+a

⑵加法結(jié)合律：m+B）+e=a+（B+e）

⑶數(shù)乘分派律：〃商+6二痛+4

運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

3.共線向量。

（1）假如表達(dá)空間向量的有向線段所在的直線平行或重疊，那么這些向量也叫做

—?

共線向量或平行向量，5平行于人記作萬(wàn)〃b°

（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量2、b（BWO）,口〃B存在實(shí)數(shù)九使0=

Abo

（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線?！刀?4不

<=>OC=xOA+y函其中X+y=1）

-A

（4）與a共線的單位向量為土

4.共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

闡明：空間任意的兩向量都是共面的。

（2）共面向量定理：假如兩個(gè)向量25不共線，〃與向量譏方共面的條件是存在實(shí)

數(shù)羽），使/=XM+）區(qū)。

（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面<=>4尸=%族+》4七

<=>OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）

5.空間向量基本定理：假如三個(gè)向量2反下不共面，那么對(duì)空間任歷來(lái)量萬(wàn)，存在一

種唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使力=xM+>B+z5c

若三向量不共面，我們把他,反丹叫做空間的一種基底,扇瓦已叫做基向

量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一種基底。

推論：設(shè)OA反。是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)

使麗=工西+），麗+z武。

6.空間向量的直角坐標(biāo)系：

（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

在空間直角坐標(biāo)系。一肛z中，對(duì)空間任一點(diǎn)A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,

使OA=xi+yi+zk,有序?qū)崝?shù)組3,y,z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系。-pz中的坐標(biāo)，

記作A（x,y,z）,x叫橫坐標(biāo)，），叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。

注：①點(diǎn)A（x,y,z）有關(guān)x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為（x,-y,-z）,有關(guān)xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為（x,y,-z）.

即點(diǎn)有關(guān)什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其他的分坐標(biāo)均相反。②在y軸上的點(diǎn)設(shè)為

（0,y,0）,在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為（0,y,z）

（2）若空間的一種基底的二個(gè)基向量互相垂青，目長(zhǎng)為I,這個(gè)基底叫單位正交基

―??f-?

底，用｛］，］"｝表達(dá)?？臻g中任歷來(lái)量。=++=（x,y,z）

（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：

①若Z=（q,生嗎），五=（4也也），則〃+B=（a+4，生+4，％+4），

f-*一

。一〃二（4一生一打,%-4）,2。=（而［,也,2《）（％￡&,

a-b=%”+02b2+ap3,

a/!b<^>a｝=Ab^a2=裕,%=%（%￡/?）,

—?—?

alb<^>afy+%a+44=0o

②若4x，y”zJ,8（孫為，Z2），則A5=（九2-%，%一%，Z2-Z］）.

一種向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表達(dá)這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起

點(diǎn)的坐標(biāo)。

③定比分點(diǎn)公式：若A（%，x，Z］）,5（X2,^2,Z2）,而而，則點(diǎn)P坐標(biāo)為

x,y,+Ay,Z［+居、

（^^，十受，十?。Ｍ茖?dǎo)：設(shè)P（X,Y,Z）則

1+21+21+4?

（x-xly-yl,z-zl）=A（x2-xty2-yfz2-z），顯然，當(dāng)p為AB中點(diǎn)時(shí)，

P盧+4M+%Z|+Z?

2'2'2

④AA8C中，力々1，%,2，，8（元2。2,22），以工3，%*3），三角形重心P坐標(biāo)為

x,+x2+x3y+乃+%4+Z2+Z3

（3'2'2）

⑤AABC的五心：

~7~n1/A呂AC

內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。4P="網(wǎng)+國(guó)）（單位向量）

外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)PB

垂心P：高的交點(diǎn)：PA,PB=PA,PC=PB,PC（移項(xiàng)，內(nèi)積為0,則垂直）

重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）=

中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模長(zhǎng)公式:若+=（%%6），:=（）也也），

則|a|=\ja-a=Ja；+%2+4,|h|=\Jb-b=《b；+匕；+.

ah—她+她+她

（5）夾角公式：cos（a-h）=

I。I?IB|1a：+壯+療Jb；+b；+b；°

△ABC中①益?而＞O〈=〉A(chǔ)為銳角②M?怒＜0＜=＞A為鈍角，鈍角△

（6）兩點(diǎn)間的距離公式:若A（X，y,Z1）,B（x2,y2,z2）,

貝I1|'AB|=J（巧一%/I（乃一卜（々一句）2,

或小=，（々一小尸+⑵一十y+㈢一次

7.空間向量的數(shù)量積。

（1）空間向量的夾角及其表達(dá)：已知兩非零向量后花，在空間任取一點(diǎn)。，作

OA=a,OB=b,則ZAOB叫做向量彳與5的夾角，記作＜彳出＞；且規(guī)定

Q＜＜a.b＞＜7i9顯然有＜。石＞=＜反〃＞；若（萬(wàn)方＞=工，則稱萬(wàn)與B互相垂直，記作：

2

aVbo

（2）向量的模：設(shè)方與，則有向線段方的長(zhǎng)度叫做向量d的長(zhǎng)度或模，記作：

Rio

（3）向量的數(shù)量積：已知向量布，則叫做”的數(shù)量積，

記作無(wú)5,即限B=|2|?|B|?COS＜0,B＞。

（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

2

①無(wú)。=|M|cosv萬(wàn),0＞。②2J_B=M?B=0。@\a\=a-ao

（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

①（/lN）?B=；l（M?B）=萬(wàn)?（丸5）。（^）a-b=ba（互換律）。

③2?（B+I）=M?5+5?5（分派律）。

④不滿足乘法結(jié)合率：（?-b）ca（b*c）

二.空間向量與立體幾何

1.線線平行=兩線的方向向量平行

1-1線面平行o線的方向向量與面的法向量垂直

1-2面面平行=兩面的法向量平行

2線線垂直（共面與異面）。兩線的方向向量垂直

2-1線面垂直。線與面的法向量平行

2-2面面垂直o兩面的法向量垂直

3線線夾角。（共面與異面）［0。,90。］=兩線的方向向量屋晟的夾角或夾角的補(bǔ)角，

cos。=cos</?1,n2>

3-1線面夾角以0。,90。］：求線面夾角的環(huán)節(jié)：先求線的方向向量而與面的法向量［的

夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其他角，即是線面的夾

角.sin8=cos<AP.n>

3-2面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法

向量*，送的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.

??

cos6=±cos<〃［,%>

4.點(diǎn)面距離〃：求點(diǎn)2（升,%）到平面a的距離：在平面a上去一點(diǎn)。（x,y）,得向量

PG.;計(jì)算平面a的法向量〃;.力=心二.

n

4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離

4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離

【經(jīng)典例題】

1.基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）

例1.已知平行六面體ABCD—ABCD,化簡(jiǎn)下列向量體現(xiàn)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)成果的向

量。

⑴通+肥；（2）通+南+麗7;

⑶而+而+1聲；W-（AB+AD+AA）O

23

例2,對(duì)空間任一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)問(wèn)滿足向量式：

OP=xOA+yOB^-zOC（其中x+y+z=l）的四點(diǎn)P,A,8,C與否共面？

例3已知空間三點(diǎn)A（0,2,3）,B（-2,1,6）,C（1,-1,5）。

⑴求以向量而，/為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量不分別與向量而，/垂直，且同=6,求向量己的坐標(biāo)。

2.基底法（怎樣找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）

3.坐標(biāo)法（怎樣建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）

4.幾何法

例4.如圖，在空間四邊形0ABe中，04=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45J,

ZOAB=60,求OA與BC的夾角的余弦值。

闡明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如<方,比>=135,易錯(cuò)寫成<8,/>=451牢

記！

例5.長(zhǎng)方體A4CQ-A4CQ中，AB=BC=4,E為與3Q的交點(diǎn)，產(chǎn)為BQ與3c的

交點(diǎn)，又AF工BE,求長(zhǎng)方體的高84。

【模擬試題】

1.已知空間四邊形A8CZ）,連結(jié)設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各體

現(xiàn)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)成果向量：（1）AB-vBC-vCD；

(2)福+工(麗+肥)；(3)^G--(4B+AC)o

22

2.已知平行四邊形A5c。，從平面AC外一點(diǎn)。引向量。

0E=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kODo

(1)求證：四點(diǎn)用共面：

(2)平面AC〃平面EG。

3.如圖正方體4GA中，片與=。耳=-A^,求區(qū)鳥與。片所成角的余弦。

4

5.已知平行六面體ABCQ-A5co中，

AB=4,AD=3,AAf=5,ZBAD=90),

ABAA!=ADAA!=60,求AC的長(zhǎng)。

［參照答案］

1.解：如圖,A

(1)^B^BC+CD=AC+Cl5=AD\

B

(2)AB+-(BD+BC)=AB+-BC+-BD

222O

M

=AB+BM+MG=AG；

(3)AG-^(AB+AC)=AG-AM=MG0

2.解：(1)證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，，蔗=而+而,

*：EG-OG-OE,

=kOC-k(M=k(^-OA)=kAC=k(AB+AD)

=kiOB-OA+OD-OA)=OF-OE-^OH-OE

=EF+EH

JE,F,G,"共面;

(2)解：*：EF=OF-OE=k(OB-OA)=kABf又?.?gg=h/,

/.EF//AB,EG//ACO

因此，平面AC//平面EG。

解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為i,建立空間直角坐標(biāo)系o-爐,

31

則5(1,1,0),,D(0,0,0),F；(0,-,l),

44

,---1——