/江蘇2024~2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期初檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A.B.C.D.2．已知，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.3．已知，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）A.一、三象限B.一、二象限 C.三、四象限 D.二、四象限4．已知都是正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件5．已知滿足，，則值為（）A. B. C. D.6．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊、己6名員工平均分成兩個(gè)志愿者小組，到外面參加兩項(xiàng)不同的服務(wù)工作，則丙、丁兩人恰好參加同一項(xiàng)服務(wù)工作的概率為（）A. B. C. D.7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象．若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（）A．B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．關(guān)于函數(shù)，其中正確命題是（）A．是以為最小正周期的周期函數(shù)B．的最大值為C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合D．在區(qū)間上單調(diào)遞減10．已知，則以下結(jié)論正確的有（）A．，有零點(diǎn)B．，在上單調(diào)遞增C．時(shí)，D．時(shí)，的解集為11．甲罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機(jī)取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（）A.為互斥事件 B.C. D.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的解集是．13．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為．若，則角．14．已知存在，使得函數(shù)與的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為，則的最大值為___．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若的面積為，求邊上的高．16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)，證明:為定值，并求出函數(shù)的對稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最小值．17．（本小題滿分15分）足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積分，平一場積分，負(fù)一場積分．常州龍城足球隊(duì)年月將迎來主場與隊(duì)和客場與隊(duì)的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求常州龍城隊(duì)月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分的概率；（2）用表示常州龍城隊(duì)月與隊(duì)和隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．18．（本小題滿分17分）如圖，已知菱形和菱形的邊長均為，，分別為上的動點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求：①；②點(diǎn)到平面的距離．19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選一個(gè)進(jìn)行證明．①；②．江蘇省前黃中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期初檢測試卷數(shù)學(xué)試卷參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）CA.B.C.D.【詳解】∵，∴，.2．已知，其中為虛數(shù)單位，則（）DA. B. C. D.【詳解】，∴，∴.3．已知，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）CA.一、三象限B.一、二象限 C.三、四象限 D.二、四象限【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.4．已知都是正數(shù)，則“”是“”的（）BA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【詳解】由題意可知當(dāng)時(shí)，可取，顯然不滿足；當(dāng)時(shí)，且，所以，即，解得，所以“”是“”的必要不充分條件5．已知滿足，，則值為（）AA. B. C. D.【詳解】，∴，∴.6．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊、己6名員工平均分成兩個(gè)志愿者小組，到外面參加兩項(xiàng)不同的服務(wù)工作，則丙、丁兩人恰好參加同一項(xiàng)服務(wù)工作的概率為（）CA. B. C. D.【詳解】，，∴.7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象．若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的最小值為（

）DA． B． C． D．【詳解】令，圖象向右平移個(gè)單位長度，則，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，則，又的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則，所以，則，又，故.8．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（）AA．B．C． D．【詳解】∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且，∴方程由兩個(gè)不同的正根，∴，，，∴，∴，又，即，得，∴或（舍去）．9．ABD【詳解】，顯然A、B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng):將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，圖象不會與原圖像重合，故C錯誤；D選項(xiàng):當(dāng)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減成立．10．ACD【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，即有解，又與的圖象明顯有交點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對B，，時(shí)，，，單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)錯；對C，時(shí)，，時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，，故C選項(xiàng)正確；對D，時(shí)，，單調(diào)遞減，等價(jià)于，∴，∴，故D選項(xiàng)正確．11．BD【詳解】A選項(xiàng):顯然不成立；B選項(xiàng):當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，此時(shí)發(fā)生的概率為，∴，∴B選項(xiàng)正確；D選項(xiàng):當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球，此時(shí)發(fā)生的概率為，∴，∴，∴D選項(xiàng)正確；C選項(xiàng):，∴C選項(xiàng)不正確．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的解集是．【答案】【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，∴，∴，解集為．13.的內(nèi)角的對邊分別為．若，則角．【答案】【詳解】，所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以?4．已知存在，使得函數(shù)與的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為，則的最大值為___．【答案】【解析】，令，得，切點(diǎn)為，令，得，切點(diǎn)為.切線方程為代入，可得，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若的面積為，求邊上的高．解：∵，由余弦定理得，，……2分又，∴，化簡得，……5分∴．……6分（2）由（1）得，∴為銳角，∴，……8分∴的面積，∴，……10分設(shè)邊上的高為，則的面積，∴，即邊上的高為．……12分……本題卷面分1分16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)，證明:為定值，并求出函數(shù)的對稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最小值．解：（1）當(dāng)，，其中，，∴，……4分∴函數(shù)的對稱中心為．……6分（2）當(dāng)時(shí)，，其中，∵在定義域上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，……7分而，……9分∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴，……12分而成立，∴，即，∴的最小值為．……14分……本題卷面分1分17．（本小題滿分15分）足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積分，平一場積分，負(fù)一場積分．常州龍城足球隊(duì)年月將迎來主場與隊(duì)和客場與隊(duì)的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求常州龍城隊(duì)月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分的概率；（2）用表示常州龍城隊(duì)月與隊(duì)和隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．解：（1）設(shè)事件“常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)客場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)客場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)客場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)七月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分”，……1分，……2分，……4分，……6分則，∴常州龍城隊(duì)七月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分的概率為．……7分（2）由題意可知的所有可能取值為．，，，，，．……13分∴的分布列為∴．……14分……本題卷面分1分18．（本小題滿分17分）如圖，已知菱形和菱形的邊長均為，，，分別為上的動點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求：①；②點(diǎn)到平面的距離．18．證明：（1）（方法一）在菱形內(nèi)，過點(diǎn)作，，連接，則，由得，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．又平面，，∴平面平面，……4分又平面，∴平面．……6分（方法二）延長交直線于點(diǎn)，連結(jié)，由，得，由得，則，而平面，平面，……4分∴平面．……6分解：（2）取的中點(diǎn)，連接，由為等邊三角形，得，同理，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，……8分①在平面內(nèi)作，平面平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，，，

，由，．從而，……11分當(dāng)時(shí)，取最小值，……12分②此時(shí)，，，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，……15分點(diǎn)到平面的距離為.……17分19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選一個(gè)進(jìn)行證明．①；②．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，……1分∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，……3分又，，∴的值域?yàn)椋?分（2），令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴．……6分（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．……7分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，又，∴