仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）

歸納練2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考

一、解答題

1.如圖是某市的廣播電視中心，小明同學(xué)想利用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量該建筑物的高度斯.他先在8

處用測(cè)傾器測(cè)得電視中心頂端E的仰角為37。，再?gòu)腂沿即方向走了250.5米到達(dá)。處，在。處

豎立標(biāo)桿CD,發(fā)現(xiàn)水平地面上的點(diǎn)M、標(biāo)桿的頂端C與該建筑物的頂端E恰好在一條直線上，已知

45=00=1米，測(cè)得。河=0.5米.點(diǎn)8、〃、。、產(chǎn)在同一條直線上，46,8尸，CDYBF,EF±BF

據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算該廣播電視中心的高度所.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75）

2.小鵬想測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度.如圖，小鵬在B處測(cè)得樹頂A的仰角a為30。，然后他向前

走了3m到達(dá)C處，測(cè)得樹頂A的仰角￡為37。.已知3O=CE=1.6m,點(diǎn)B,C,。在同一條直線上，

請(qǐng)你幫助小鵬計(jì)算出古樹的高度。4.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,

tan37°a0.75,且。0.58）

3

3.頭屯河大橋是連通烏昌的交通要道.某數(shù)學(xué)小組想利用無(wú)人機(jī)測(cè)量頭屯河大橋橋面距水面的高度，

制定了如下測(cè)量方案：當(dāng)無(wú)人機(jī)位于水面上方62米的N處時(shí)，測(cè)得橋面正中心A的俯角為45。，將

無(wú)人機(jī)水平向左移動(dòng)91米到達(dá)M處，測(cè)得點(diǎn)A的俯角為37。，并抽象出如圖所示的數(shù)學(xué)圖形.請(qǐng)利

343

用以上信息求頭屯河大橋橋面距水面的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin37。，cos37°?-,tan37°?-）.

554

--------------水面

4.某校實(shí)踐活動(dòng)小組到當(dāng)?shù)仉娏Σ块T安裝的一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)場(chǎng)地進(jìn)行實(shí)地調(diào)研，并對(duì)其中一架風(fēng)力

發(fā)電機(jī)的塔桿（如圖①）高度進(jìn)行了測(cè)量數(shù)據(jù)采集：如圖②是其測(cè)量示意圖，在這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)附近

的一幢建筑物樓頂。處測(cè)得塔桿頂端A處的仰角為45。，底部B處的俯角為29。，已知圖

中點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)，建筑物的高C。為11米，請(qǐng)計(jì)算該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度A3（參

考數(shù)據(jù)：sin29°?0.48,cos29°?0.87,tan29°?0.55）.

A

圖①圖②

5.為了加強(qiáng)道路管理，嚴(yán)查超速行為，某地交管部門在主要路段拍照測(cè)速，如圖，一架無(wú)人機(jī)在道

路正上方的點(diǎn)。處，CO=20百米，現(xiàn)有一輛轎車沿著A3方向行駛，無(wú)人機(jī)第一次拍攝時(shí)，轎車在

點(diǎn)A處，測(cè)得轎車的俯角為24。，無(wú)人機(jī)第二次拍攝時(shí)，轎車行駛到點(diǎn)2,測(cè)得轎車的俯角為48。，無(wú)

2

人機(jī)兩次拍攝的時(shí)間間隔為3秒.（圖中的點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：cos48°?-）

（1）求轎車在拍攝時(shí)間內(nèi)行駛的距離AB的長(zhǎng).

（2）若該路段限速60千米/時(shí)，超速未超過(guò)10%,采取警告措施，超過(guò)10%,則需要交罰款.請(qǐng)通過(guò)計(jì)

算說(shuō)明該司機(jī)是否需要交罰款.

6.如圖，在淮河的右岸邊有一座高樓A3,左岸邊有一坡度7=1:血的山坡C尸，點(diǎn)C與點(diǎn)8在同一

水平面上，CF與A8在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量樓的高度，在坡底C處測(cè)得樓頂A

的仰角為45。，然后沿坡面CF上行了206米到達(dá)點(diǎn)。處，。在水平面上的投影為點(diǎn)E,此時(shí)在。處

測(cè)得樓頂A的仰角恰好等于/OCE,求樓A3的高度.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)0。1.414）

7.在一處坡度為i=3:4的坡地上新安裝了一個(gè)路燈￡B,某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這個(gè)路燈

高度進(jìn)行了測(cè)量，如圖為測(cè)量示意圖.已知斜坡長(zhǎng)5米，在地面點(diǎn)C處測(cè)得路燈頂端E點(diǎn)的仰角

為45°,利用于無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C的正上方10米的點(diǎn)。處測(cè)得E點(diǎn)的俯角為14。，求該路燈EB的高度.（精

cosl4°x0.97,tanl4°?0.25)

3

8.如圖，在居民樓前方有一斜坡，斜坡長(zhǎng)8為20m,斜坡的坡度廣，在C"處測(cè)得樓頂端A

的仰角分別為60。和30。.

⑴求點(diǎn)D到地平面BC的距離;

（2）求居民樓的高度（保留根號(hào)）.

9.小明準(zhǔn)備利用無(wú)人機(jī)測(cè)量建筑物的高度.如圖所示，小明先將觀測(cè)點(diǎn)選在建筑物政V對(duì)面的

樓房AH的樓上一點(diǎn)A,利用無(wú)人機(jī)先測(cè)得建筑物"N的頂端M的俯角為24。，又遙控?zé)o人機(jī)沿與地

面保持平行方向由點(diǎn)A飛行36米到達(dá)點(diǎn)8處，此時(shí)測(cè)得該建筑物底端N的俯角為66。，又測(cè)

得點(diǎn)打的俯角為56.3。，已知與A”均垂直地面垂足分別為N,H（點(diǎn)、A,B,M,N,"在

同一平面內(nèi)）.

(1)求4”的長(zhǎng);

(2)求建筑物MN的高度.(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):sin24°?0.41,cos24°?0.91,tan24°?0.45,

sin56.3°?0.83,cos56.3°~0.55,tan56.3°?1.50,sin66°?0.91,cos66°?0.41,tan66°?2.25)

10.朱櫻塔位于洛陽(yáng)市涯河區(qū)，是洛陽(yáng)八小景之一“渡壑朱櫻”的主要景觀.2015年，在洛河水系綜

合整治工程中，以隋唐洛陽(yáng)城為原型新建了朱櫻塔，還原“涯壑朱櫻”景觀.朱櫻塔為八角塔，五層六

檐，其塔的層數(shù)明五暗九，暗合“九五之尊”，八角形塔身契合周易八卦八個(gè)方位.如圖，周末，某學(xué)

校九年級(jí)課外興趣小組在老師的指導(dǎo)下測(cè)量塔的高度，他們先在塔一側(cè)的水平面上一個(gè)臺(tái)階的底部A

處測(cè)得塔頂尸點(diǎn)的仰角Nl=45°,然后走上臺(tái)階頂部8處，測(cè)得塔頂尸點(diǎn)的仰角N2=38.5°.若臺(tái)階的

高3c=2m,tanNB4c=0.3,求朱櫻塔的高度PE.(點(diǎn)C,在一條直線上，結(jié)果保留整數(shù)，參考

數(shù)據(jù)：sin38.5?0.6,cos38.5°?0.7,tan38.5°?0.8)

11.近年某省大力推進(jìn)風(fēng)電規(guī)?；_發(fā)，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中“風(fēng)電塔筒”的高度是重要的設(shè)計(jì)參數(shù)，某

校數(shù)學(xué)小組開展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度，，的實(shí)踐活動(dòng).如圖，一風(fēng)電塔筒A"垂直于地面，測(cè)角儀C。、

EP在A"的兩側(cè)，且C。、所均與地面垂直，點(diǎn)C、H、E在同一條直線上，CD=E/=L6m,點(diǎn)

C與點(diǎn)E相距203m,在歹處分別測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45。、53°,求風(fēng)電塔筒的高度(參考數(shù)

參考答案

1.302米

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

延長(zhǎng)AC,交所于根據(jù)AMDCSAMFE列出比例式，得到板=gEF,根據(jù)正切的定義列出方程,

解方程得到答案.

解：如圖，延長(zhǎng)AC,交跖于H,

則AC=BD,CH=DF,HF=AB=1米，

CD\\EF,

：.&MDCs.FE,

.MDCD0.51

??=9即Hn=,

MFEFMFEF

：.MF=-EF

29

：.DF=MF-MD=-EF一一,EH=EF-HF=EF-1,

22

BF=BD+DF=250.5+-EF一一=250+-EF,

222

AH=BF=250+-EF

2f

EH

在Rt^AHE中，tan/EAH=,

AH

：.EH=AHtanZEAH,即￡F-l*(250+g￡F]x0.75,

解得：EF-302,

答：該廣播電視中心的高度E尸約為302米.

2.古樹的高度Q4約為9.3m.

Y

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.設(shè)AP=mi,在RJA"中，求得。b=一^；,在RSAE尸中,

tan30°

X

求得EF=—根據(jù)DF—=列式計(jì)算即可求解.

tan37°

解：延長(zhǎng)DE交49于點(diǎn)R則“'LAO,

A

BD=CE=OF=1.6mfDE=BC=3.

設(shè)AF=xm,

在Rt~4D尸中，ZADF=a=30°9

AFx

DF=

tan30°tan30°

在Rt&4￡尸中，匕AEF=0=3T,

AFx

：.EF=

tan37°tan37°*

由題意得。戶-EF=D石,

xx

xx即比一訪

tan30°tan37°T

解得x=7.68,BPAF=7.68.

AO=AF+OF=7.68+1.6=9.28~9.3（m）.

答：古樹的高度。4約為9.3m.

3.23米

本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解.

3

延長(zhǎng)54交MN于點(diǎn)C,設(shè)MC=x米，則CN=（91—x）米，則4。=跖7」31137。=^彳，AC=CN,

列出方程求出x的值，即可解答.

解：延長(zhǎng)54交于點(diǎn)C,如圖

由題意得ACLMN

設(shè)MC=x米，貝心=（91-力米

在RtAACM中tanZAMC=—

3

AC=MCtan37°=-x

4

在RtAAQV中，*：ZANC=45°,

:.AC=CN

3

.,*—x=91—x

4

解得：x=52

，AC=39米，AB=3C—AC=23米

答：頭屯河大橋橋面距水面的高度為23米.

4.31m

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題.過(guò)點(diǎn)。作DE工45于點(diǎn)E,可得四邊形。C3E是

矩形，得BE=CD=11,得Z)E=20,根據(jù)ZADE=45。，得AE=DE=20,即得A5=31.

解：過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

則/DEA=NZ）E3=90°,

VABLBC,DCVBC,

：.ZABC=ZBCD=90°,

四邊形。CBE是矩形,

：CD=11米,

3E=CD=11米,

：.DE=———=U=20（米），

tanZBDE0.55

??ZADE=45°,

???ZA=90°-ZADE=900-45o=45o,

：.AE=DE=20（米）,

:?AB=AE+BE=31（米）,

故塔桿高31米.

5.（1）A3的長(zhǎng)為60米

(2)司機(jī)需要交罰款，理由見解析

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角形外角的定義及性質(zhì)、有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，

熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)由題意得出cosZDBC=cos48。=些。2,設(shè)3c=2x米，則應(yīng)>=3x米，由勾股定理計(jì)算得出

BD3

x=20,由三角形外角的定義及性質(zhì)得出NADS=24。=NA,即可推出AB=3Z)=3x=60米；

(2)求出司機(jī)的速度與最大速度，比較即可得解.

(1)解：?.,0)=20斯米，DC1AC,NDSC=48°,

cosNDBC=cos48°=—

BD3

設(shè)BC=2尤，則9=3x,

根據(jù)勾股定理可列方程為9/-4X2=(20A/5)2,

解得x=20(負(fù)值舍去).

易知△ABD的外角NCBZ)=48。，44=24。，

則NAD3=24°=NA,

AB=BD=3x=60^,

即轎車在拍攝時(shí)間內(nèi)行駛的距離AB的長(zhǎng)為60米.

(2)解：：無(wú)人機(jī)兩次拍照間隔3秒，轎車行駛了60米，

車速為20米/秒,即72千米/時(shí),

該路段限速60千米/時(shí)，

二超速了，超速烏粵x100%=20%,超速超過(guò)10%,

60

二.司機(jī)需要交罰款.

6.137米

設(shè)DE=x米，根據(jù)題意可有CE=岳米，利用勾股定理解得x的值，易得DE=20米，0?=2072米；

過(guò)點(diǎn)。作DG_LAB,垂足為G,易知四邊形8GDE為矩形，可得BG=DE,再證明VABC是等腰直

角三角形，并設(shè)AB=CB=a米，則可確定AG,￡>G的長(zhǎng)度，然后在Rt^ADG中，利用三角函數(shù)解得

。的值，即可獲得答案.

解：由于山坡CF的坡度i=設(shè)止=%米，則CE=J1米，

A

“卬

//-

//-

//：

F辛q(/玄'二/一匚G-

"ETC［麗TT

，=1：媚

又：CD=20A/3,

?1-DE2+CE2=CD2，即Y+(&)?=(20@",

解得x=20米，

，￡>E=20米，CE=20亞米，

過(guò)點(diǎn)D作■DGLAB,垂足為G,如圖所示，

則有ZDEB=NDGB=NGBE=90°,

，四邊形8GDE為矩形，

BG=DE,

?/ZACB=45°,

：.ZCAB=90°-ZACB=45°=ZACB,

：.AB=CB,即VABC是等腰直角三角形，

設(shè)==a米，

AG=AB-BG^AB-DE=(a-20)^,OG=E3=BC+CE=(a+20⑹米，

在IW1DG中，tanWG=恁=tan〃CE=5，即總卷='，

解得。=80+40也al37，

答：樓的高度約為137米.

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，

正確作出輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

7.該路燈旗的高度為5米

延長(zhǎng)￡8交AC于點(diǎn)延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)N,則四邊形CMVD是矩形，在Rt&4BM中，設(shè)3M=3x

米，則AM=4x米，由勾股定理求出x=l,貝UEW=3x=3米.設(shè)CM=DN=a米,在RtAECVf中,

求出=在RUEDN中，求出朋N=1.25a,然后根據(jù)肱7=￡似+硒=10即可求解.

解：延長(zhǎng)￡B交AC于點(diǎn)延長(zhǎng)3E交于點(diǎn)N,

由題意得：四邊形。0憶＞是矩形，

:.CM=DN,CD=MN=W^,

在中，z=3:4,

設(shè)創(chuàng)7=3x米，則4W=4x米,

■.■AB2=BM2+AM2,

.〔52=（3x）2+（4x）2,

解得：x=l,

/.BM=3x=3米.

設(shè)CM=DN=a米,

在RUECM中，ZECM=45°,

:.EM=CM-tanA50=a^z,

在RtAEDN中，NEON=14°,

EN=DN-tanl4°?0.25。米，

:.MN=EM+EN=a+025a=1.25a（米），

.,.1.25〃=10,

解得：〃=8,

.?.EM=8米，

:.EB=EM-BM=8-3=5（米），

了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理.

8.(l)12m

⑵居民樓的高度A3為(80+18)m

本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答

本題的關(guān)鍵.

33

(1)過(guò)點(diǎn)。作OE，3C,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)斜坡的坡度i=:，得出tana==，設(shè)DE=3x,

44

則CE=4x,求出CD=JC6+CE2=5x，根據(jù)CD=20m,求出x=4m,即可得出答案;

(2)過(guò)點(diǎn)。作。P_LAB于尸，設(shè)AF=ym,在Rt“LD尸中，tan30。="=上=立，解得=退了，

DFDF3

在RtaABC中，AB=(y+12)m,BC=(逝y-16)m,tan60°=—=^,求出，的值，即可得出答

\7BC

案.

(1)解：過(guò)點(diǎn)。作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

.3

??tana--,

4

一qDE3

在RtVDCE中，tana=-----=—,

CE4

設(shè)DE=3x,則CE=4x,

根據(jù)勾股定理得：CD=ylCE2+DE2=5x>

,/CD=20m,

5x=20m,

解得：％=4m,

???D石=3x4=12（m）,CE=4x4=16（m）,

???點(diǎn)D到地平面BC的距離為12m；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。尸于尸，

根據(jù)解析（1）可知：DE=12（m）,CE=16（m）,

由題意可得3F=DE=12m,DF=BE,

設(shè)A/=ym,

在RtAADF中，tanZADF=tan30°=-^―=上-=

DFDF3

解得=?

在RtZXABC中，AB=AF+FB=AF+r)E=(y+12)m,

BC=BE-CE=DF-CE=^>/3y-16^m,

tan600=—=±+12=也，

BC回-16

解得y=6+86,

經(jīng)檢驗(yàn)，y=6+8岔是原方程的解且符合題意,

AB=6+8/+12=(84+18)m.

答：居民樓的高度A3為(8A+18)m.

9.⑴54米

(2)27米

本題考查了解直角三角形和三角函數(shù)的知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵;

(1)本題根據(jù)tanN4BH=/三，然后即可求解；

AB

(2)本題根據(jù)tan?3BN—,求得5。=24,即AD=60,再根據(jù)tan/。4M=2叫，即可求解;

BDAD

(1)解：由題得AB=36,AB±AH,

???在RtZkAB”中，tan/ABH=——，

AB

■:?ABH56.3?,tan56.3°?1.50,AB=36,

41/AJ-f

：.tan?ABH——二——=1.50,

AB36

解得：AH=54,

故AH的長(zhǎng)為54米;

(2)解：延長(zhǎng)45和地相交于點(diǎn)。，如圖:

4

n口B、D

u

D口

n

u口

n

u口

un口

田田e田田

HN

由題得：ZBDN=90°,四邊形AfflVD為矩形,

???DN=AH=54,

在RtABDN中，?DBN66?,

DN

：.tan?DBN——二tan66?2.25,

BD

解得：皮＞=24,

???AD=BD+AB=24+36=60,

在RtZXADM中，24?,

tan?DAM=tan24?0.45,

AD

解得：DM=27,

：.MN=DN-DM=54-27=27,

???建筑物MN的高度為27米；

10.37米

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題.設(shè)朱櫻塔高尸石二加1