第八章平面解析幾何第16節(jié)解析幾何中的融合創(chuàng)新問(wèn)題INNOVATIVEDESIGN解析幾何中的融合創(chuàng)新問(wèn)題主要有以下幾個(gè)方面:(1)與圓錐曲線有關(guān)的新定義問(wèn)題;(2)圓錐曲線與數(shù)列的交匯問(wèn)題;(3)圓錐曲線與導(dǎo)數(shù)的交匯問(wèn)題.目

錄CONTENTS課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練題型一

與圓錐曲線有關(guān)的新定義問(wèn)題例1

(2025·石家莊調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,重新定義兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“距離”為|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我們把到兩定點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”. (1)求“橢圓”的方程;

解

設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為P(x,y),則|PF1|+|PF2|=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),所以“橢圓”的方程為|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).(2)根據(jù)“橢圓”的方程,研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱(chēng)性,并說(shuō)明理由;解

由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|,因?yàn)閨y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,即2a≥|x+c|+|x-c|,

由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,

即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不變,所以“橢圓”關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),將點(diǎn)(-x,-y)代入得,|-x+c|+|-x-c|+2|-y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,方程不變,所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以“橢圓”關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

思維建模1.題干中定義“橢圓”的距離:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|稱(chēng)為曼哈頓距離,平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的曼哈頓距離等于定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形,到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)六邊形.2.解決與曼哈頓距離有關(guān)的問(wèn)題一般要利用絕對(duì)值的意義求解.

題型二

圓錐曲線與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)的交匯問(wèn)題

思維建模本題分層設(shè)問(wèn),環(huán)環(huán)相扣,三問(wèn)都可以通過(guò)基本方法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程;第(2)問(wèn)利用固定斜率的直線與雙曲線交點(diǎn)的性質(zhì)可以迅速得出結(jié)論;第(3)問(wèn)證明面積相等時(shí),可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條直線平行.試題充分體現(xiàn)了“多想少算”的設(shè)計(jì)理念.訓(xùn)練2

(2024·溫州二模)如圖,對(duì)于曲線Γ,存在圓C滿(mǎn)足如下條件:

解

記f(x)=x2,設(shè)拋物線y=x2在原點(diǎn)處的曲率圓的方程為x2+(y-b)2=b2,其中b為曲率半徑.

(1)求拋物線y=x2在原點(diǎn)處的曲率圓的方程;

課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練KESHIDUIDIANJINGLI