專題強化：帶電粒子在組合場中的運動

【目標(biāo)要求】1.掌握帶電粒子在磁場與磁場的組合場中的運動規(guī)律。2.掌握帶電粒子在電場與

磁場的組合場中的運動規(guī)律。

I.組合場：電場與磁場各位于一定的區(qū)域內(nèi)，并不重疊，或在同一區(qū)域，電場、磁場交替出

現(xiàn)。

2.分析思路

(1)畫運動軌跡：根據(jù)受力分析和運動學(xué)分析，大致畫出帶電粒子的運動軌跡圖。

(2)找關(guān)鍵點：確定帶電粒子在場區(qū)邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問題的關(guān)鍵。

(3)劃分過程：將帶電粒子運動的過程劃分為幾個不同的階段，對不同的階段選取不同的規(guī)律

處理。

3.常見帶電粒子的運動及解題方法

電

場

中

一

帶

電

粒

子

在獨

的

立

即

電

場

磁

磁

運

中

場

動

中

考點一磁場與磁場的組合

磁場與磁場的組合問題實質(zhì)就是兩個有界磁場中的圓周運動問題，帶電粒子在兩個磁場中的

速度大小相同，但軌跡半徑和運動周期往往不同。解題時要充分利用兩段圓弧軌跡的銜接點

與兩圓心共線的特點，進(jìn)一步尋找邊角關(guān)系。

【例1】(2023?河南洛陽市一模)如圖所示，三塊擋板圍成截面邊長￡=1.2m的等邊三角形區(qū)

域，C、P、。分別是MN、和4V中點處的小孔，三個小孔處于同一豎直面內(nèi)，兒W水平,

“N上方是豎直向下的勻強電場，電場強度E=400N/C。三角形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻

強磁場，磁感應(yīng)強度為3；三角形以外和以下區(qū)域有垂直紙面向外的勻強磁場，

磁感應(yīng)強度大小為星=33?，F(xiàn)將一比荷2=108c/kg的帶正電的粒子，從C點正上方2m處

m

的。點由靜止釋放，粒子從上的小孔C進(jìn)入三角形內(nèi)部勻強磁場，經(jīng)內(nèi)部磁場偏轉(zhuǎn)后直

接垂直NN經(jīng)過0點進(jìn)入三角形外部磁場。已知粒子最終又回到了。點。設(shè)粒子與擋板碰撞

過程中沒有動能損失，且電荷量不變，不計粒子重力，不計擋板厚度，取兀=3。求：

(1)磁感應(yīng)強度Bi的大??；

(2)粒子第一次回到。點的過程，在磁場史中運動的時間。

答案(1)|X1O-2T(2)5.5X10-6s

解析(1)粒子從O到。在電場中加速，則由動能定理得￡/=，?展

解得^4X105m/s

帶電粒子在磁場中運動軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可知Ri=—=0.6m

2

?砂

由q"尸m一

Ri

代入數(shù)據(jù)解得

7

5i=-X10-2T

3

(2)由題可知&=3S=2X10-2「

貝1q"2=m—

R2

則R2=—=0.2m,

3

在磁場史中的運動周期為T[=2=2""'

/qBZ

6

在磁場Bi中的運動時間為7=180°+300°+180°72=再、1()-6S=5.5X10-S。

一36006

考點二電場與磁場的組合

1.先電場后磁場

先電場后磁場的幾種常見情形

(1)帶電粒子先在勻強電場中做勻加速直線運動，然后垂直磁場方向進(jìn)入勻強磁場做勻速圓周

運動，如圖甲。

(2)帶電粒子先在勻強電場中做類平拋運動，然后垂直磁場方向進(jìn)入磁場做勻速圓周運動，如

圖乙。

2.先磁場后電場

先磁場后電場的幾種常見情形

進(jìn)入電場時粒子速度方向

進(jìn)入電場時粒子速度進(jìn)入電場時粒子速度

常見情境與電場方向成一定角度

方向與電場方向平行方向與電場方向垂直

(非直角)

???I：E%2

運動示意圖

:;0-1\

????

.B.E

在電場中的

加速或減速直線運動類平拋運動類斜拋運動

運動性質(zhì)

動能定理或牛頓運動平拋運動知識，運動的斜拋運動知識，運動的合

分析方法

定律結(jié)合運動學(xué)公式合成與分解成與分解

【例2】(2023?遼寧卷?14)如圖，水平放置的兩平行金屬板間存在勻強電場，板長是板間距離

的3倍。金屬板外有一圓心為。的圓形區(qū)域，其內(nèi)部存在磁感應(yīng)強度大小為3、方向垂直于

紙面向外的勻強磁場。質(zhì)量為小電荷量為q(q>0)的粒子沿中線以速度4水平向右射入兩板

間，恰好從下板邊緣尸點飛出電場，并沿PO方向從圖中。'點射入磁場。已知圓形磁場區(qū)

域半徑為網(wǎng)3不計粒子重力。

3qB

⑴求金屬板間電勢差U；

(2)求粒子射出磁場時與射入磁場時運動方向間的夾角0；

(3)僅改變圓形磁場區(qū)域的位置，使粒子仍從圖中。'點射入磁場，且在磁場中的運動時間最

長。定性畫出粒子在磁場中的運動軌跡及相應(yīng)的弦，標(biāo)出改變后的圓形磁場區(qū)域的圓心河。

答案⑴”2(2產(chǎn)(或60。)(3)見解析圖

3g3

解析(1)設(shè)板間距離為d,則板長為韻d,帶電粒子在板間做類平拋運動，兩板間的電場強

度為￡=匕根據(jù)牛頓第二定律得解得°=亞

dmd

設(shè)粒子在平板間的運動時間為to,根據(jù)類平拋運動的規(guī)律得，=%加2,m4=刈/0

聯(lián)立解得U=-

3q

(2)設(shè)粒子出電場時與水平方向夾角為a,則有

.atI/71

tana=。=—,故。=一

436

則出電場時粒子的速度為廣=”卜口

cosa3

i/2ml/

粒子出電場后做勻速直線運動，接著進(jìn)入磁場，根據(jù)牛頓第二定律有夕陽=加一，解得尸=——

rqB

3qB

已知圓形磁場區(qū)域半徑為氏=2"”,故/=3氏

3qB

粒子沿R9方向射入磁場，軌跡如圖所示，

即沿半徑方向射入磁場，故粒子將沿半徑方向射出磁場，粒子射出磁場時與射入磁場時運動

方向的夾角為仇則粒子在磁場中運動圓弧軌跡對應(yīng)的圓心角也為仇由幾何關(guān)系可得。=2Q

=|,故粒子射出磁場時與射入磁場時運動方向的夾角為；（或60°）;

（3）粒子在該磁場中運動的半徑與圓形磁場半徑關(guān)系為廠=市尺，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在

該磁場中運動的軌跡一定為劣弧，故劣弧所對應(yīng)軌跡圓的弦為磁場圓的直徑時粒子在磁場中

運動的時間最長，則相對應(yīng)的運動軌跡以及圓心M的位置如圖所示。

【例3】（2023?福建龍巖市第一次質(zhì)檢）如圖所示，在平面（紙面）內(nèi)，x>0空間存在方向垂

直紙面向外的勻強磁場，第三象限空間存在方向沿x軸正方向的勻強電場。一質(zhì)量為機、電

荷量為q的帶正電粒子（不計重力），以大小為“、方向與y軸正方向的夾角為。=60。的速度沿

紙面從坐標(biāo)為（0,的丹點進(jìn)入磁場中，然后從坐標(biāo)為（0,-3工）的尸2點進(jìn)入電場區(qū)域，

最后從X軸上的尸3點（圖中未畫出）垂直于X軸射出電場。求：

（1）磁場的磁感應(yīng)強度大小B；

⑵粒子從Pi點運動到Pi點所用的時間

⑶電場強度的大小Eo

2

“A+m38?！阭k

答案⑴——(2)—⑶——

2qL3/4qL

解析（1）帶電粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示,

其圓心為。i,對應(yīng)軌道半徑為R,

由幾何關(guān)系可得

Rsin8=?,解得R=2Z

mt/2

由洛倫茲力提供向心力有《田=——

R

聯(lián)立可得8="

2qL

(2)帶電粒子從尸1點運動到尸2點所用的時間為

2TI-29邱—幽

t——1T,1————

2兀//

,p8?！?/p>

聯(lián)立可得，=——

3/

(3)設(shè)帶電粒子在電場中的運動時間為〃，由運動的合成與分解有pcosO/=3"均n。

—at'=0

由牛頓第二定律有qE=ma

m/

聯(lián)立可得￡=——o

4qL

【例4】(2021?廣東卷?14)如圖是一種花瓣形電子加速器簡化示意圖，空間有三個同心圓心6、

c圍成的區(qū)域，圓。內(nèi)為無場區(qū)，圓。與圓b之間存在輻射狀電場，圓b與圓。之間有三個

圓心角均略小于90。的扇環(huán)形勻強磁場區(qū)I、II和III。各區(qū)磁感應(yīng)強度恒定，大小不同，方

向均垂直紙面向外。電子以初動能4o從圓b上尸點沿徑向進(jìn)入電場，電場可以反向，保證

電子每次進(jìn)入電場即被全程加速，已知圓。與圓6之間電勢差為U,圓6半徑為心圓。半

徑為由R,電子質(zhì)量為小，電荷量為e,忽略相對論效應(yīng)，取tan22.5。=0.4。

(1)當(dāng)Eko=O時，電子加速后均沿各磁場區(qū)邊緣進(jìn)入磁場，且在電場內(nèi)相鄰運動軌跡的夾角。

均為45。，最終從。點出射，運動軌跡如圖中帶箭頭實線所示，求I區(qū)的磁感應(yīng)強度大小、

電子在I區(qū)磁場中的運動時間及在Q點出射時的動能；

(2)已知電子只要不與I區(qū)磁場外邊界相碰，就能從出射區(qū)域出射。當(dāng)瓦0=加。時，要保證

電子從出射區(qū)域出射，求左的最大值。

mUTIR

答案(1)1—8eU(2)—

e4eU6

解析(1)電子在電場中加速有加修，在I區(qū)磁場中，由幾何關(guān)系可得/=Htan22.50=

0.47?,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有一

r

fmU

聯(lián)立解得

2兀/

電子在I區(qū)磁場中的運動周期為7=——

由幾何關(guān)系可得，電子在I區(qū)磁場中運動軌跡對應(yīng)的圓心角為9=%,電子在I區(qū)磁場中的

4

運動時間為

t=&T,聯(lián)立解得/=噠m

2兀4eU

電子從P到0在電場中共加速8次，故在。點出射時的動能為Ek=8eU

(2)設(shè)電子在I區(qū)磁場中做勻速圓周運動的最大半徑為rm,此時圓周的軌跡與I區(qū)磁場邊界相

切，由幾何關(guān)系可得(3尺一~)2=尺2+〃2,解得ym=：R

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有Bie/=m--

rm

11a

2eU=-ml^~keUf聯(lián)立解得左=旦。

26

課時精練

基礎(chǔ)落實練

L如圖，在坐標(biāo)系的第一和第二象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小分別為少和仄方向均垂直于紙

面向外的勻強磁場。一質(zhì)量為〃?、電荷量為式q>0)的粒子垂直于x軸射入第二象限，隨后垂

直于y軸進(jìn)入第一象限，最后經(jīng)過x軸離開第一象限。粒子在磁場中運動的時間為()

J

?B......................B,

****..2.

jOx

A5jim-7Tlm八1Xnm「13兀冽

A.-----B.-----C.-------D.-------

6qB6qB6qB6qB

答案B

解析設(shè)帶電粒子進(jìn)入第二象限的速度為，，在第二象限和第一象限中運動的軌跡如圖所示,

對應(yīng)的軌跡半徑分別為4和尺2,由洛倫茲力提供向心力，有q田="?匕、7=述，可得&

="、&=叱%=物、72=—,帶電粒子在第二象限中運動的時間為九=4,在第一

qBqBqBqB4

象限中運動的時間為t2=^~T2,又由幾何關(guān)系有COS0=&=1,可得，2="，則粒子在磁

2兀及26

場中運動的時間為f=fi+/2,聯(lián)立以上各式解得/=孫，選項B正確，A、C、D錯誤。

6qB

2.（多選X2023?遼寧沈陽市模擬）圓心為。、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為2、

方向垂直紙面的勻強磁場（未畫出），磁場邊緣上的4點有一帶正電粒子源，半徑04豎直，

“N與0/平行，且與圓形邊界相切于3點，在的右側(cè)有范圍足夠大且水平向左的勻強

電場，電場強度大小為瓦當(dāng)粒子的速度大小為4且沿方向時，粒子剛好從8點離開磁

場，不計粒子重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是（）

A.圓形區(qū)域內(nèi)磁場方向垂直紙面向外

B.粒子的比荷為.

BR

C.粒子在磁場中運動的總時間為逑

2%）

D.粒子在電場中運動的總時間為誓

答案ABD

解析根據(jù)題意可知，粒子從/點進(jìn)入磁場從2點離開磁場時，根據(jù)左手定則可知，圓形區(qū)

域內(nèi)磁場方向垂直紙面向外，故A正確；根據(jù)題意可知，粒子在磁場中的運動軌跡如圖甲所

示，

根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運動的半徑為七粒子在磁場中運動軌跡所對圓心角為豆，根

2

42

據(jù)洛倫茲力提供向心力有q%B=m一,

R

可得2=J1,故B正確；根據(jù)題意可知，粒子從8點進(jìn)入電場之后，先向右做減速運動，再

mBR

向左做加速運動，再次到達(dá)2點時，速度的大小仍為刈，再次進(jìn)入磁場，運動軌跡如圖乙所

ri'O

則粒子在磁場中運動的總時間為/堿=丁=型，故C錯誤；粒子在電場中，根據(jù)牛頓第二定律

214

有Eq=ma,解得°=西="2根據(jù)14=袱結(jié)合對稱性可得，粒子在電場中運動的總時間為

mBR

2P62BR必…扁

電=—=---,故D正確。

aE

lb能力綜合練

3.（2024?廣東省聯(lián)考）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系xOy,第二象限內(nèi)存在沿y

軸負(fù)方向的勻強電場，第三象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為8、方向垂直于坐標(biāo)平面向里的勻

強磁場。M、N兩個豎直平行金屬板之間的電壓為U,一質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電的

粒子(不計粒子重力)從靠近N板的S點由靜止開始做加速運動，從電場的右邊界y軸上的A

點水平向左垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的C點與x軸負(fù)方向成0=60。角進(jìn)入磁場，最后

從y軸上的。點垂直于夕軸射出磁場，求:

MN

X~~X%~X~~x~OX

Xx￡xXX

XXXXX

XXXXX

X4XXX。

XXXXx尸

(1)/、C兩點間的電勢差必C和粒子在磁場中運動的軌道半徑r；

⑵粒子從4點運動到C點所用時間和從C點運動到D點所用時間的比值。

l

答案(1)3。|2mU

V⑵弓

解析(1)設(shè)粒子運動到A點射入電場的速度大小為K),由動能定理得qU=^mK)",解得K)

'2qU

m

設(shè)粒子經(jīng)過C點時速度為匕根據(jù)題意可得i=cos。

解得-21/6,粒子從/點運動到。點的過程，有4%°=，^一/刈2,解得必c=3。

如圖所示,

粒子在磁場中以O(shè)'為圓心做勻速圓周運動半徑為O'C,由洛倫茲力提供向心力有段/

2!2mU

=m——,解得r=

rBq

(2)由幾何關(guān)系得OC=rsin。，設(shè)粒子在電場中運動的時間h,

根據(jù)題意有OC=Wi,解得力=以

qB

2兀/

粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期7=——

設(shè)粒子在磁場中運動的時間為⑵有t2=四二2丁

解得;2=—,粒子從N點運動到C點所用時間和從C點運動到D點所用時間的比值乜="。

3qBti2兀

4.如圖所示，xOy平面內(nèi)，。尸與x軸正方向的夾角為0=53。，在xOP范圍內(nèi)(含邊界)存在

垂直于坐標(biāo)平面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為3=0.1T。第二象限有平行于y軸向下

的勻強電場，電場強度大小為￡=^X105v/m,一帶電微粒以速度14)=5X106m/s從x軸

上。(￡,0)點平行于。尸射入磁場，并從。尸上的6點垂直于。尸離開磁場，與〉軸交于。點，

一，...,s4a

最后回到x軸上的d點，圖中b、d兩點未標(biāo)出，已知￡=-m,sin53。=-,cos53°=-,不

455

計微粒的重力，求：

X)/X

a(L,0)x

⑴微粒的比荷2

⑵d點與。點的距離I;

(3)僅改變磁場強弱而其他條件不變，當(dāng)磁感應(yīng)強度&大小滿足什么條件時，微粒能到達(dá)第四

象限。

答案(l)5Xl()7c/kg(2)4m(3)&20.2T

解析(1)微粒的運動軌跡如圖所示，微粒在磁場中做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系得尸=￡sin

53°=1m

、42

由牛頓第二定律得q/B=m——

代入數(shù)據(jù)解得2=5義107c/kg

(2)微粒進(jìn)入電場后做類斜拋運動,

上rtjN,口￡cos530+-

由幾何關(guān)系得yoc=---------------

sin53°

在y軸方向有yoc—~I4)^cos53°+-X^z2

2m

在x軸方向有/=Wsin53°,解得/=4m

(3)微粒在磁場中做勻速圓周運動的軌跡與邊界OP相切時，恰好能到達(dá)第四象限。

由幾何關(guān)系知7?=-￡sin53°

2

出

由牛頓第二定律得ql/bB\—m——

R

解得21=0.2T,故當(dāng)磁感應(yīng)強度以20.2T時，微粒能到達(dá)第四象限。

5.(2024?江西省十校聯(lián)考)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系的第一、二象限內(nèi)有垂直于坐

標(biāo)平面向外的勻強磁場，在第三、四象限內(nèi)有平行于坐標(biāo)平面斜向下的勻強電場，電場方向

與x軸負(fù)方向的夾角為45。，從坐標(biāo)原點。向第二象限內(nèi)射出一個質(zhì)量為機、電荷量為一q

的帶電粒子，粒子射出的初速度大小為方向與x軸負(fù)方向的夾角也為45。，此粒子從。

點射出后第三次經(jīng)過x軸的位置尸點離。點的距離為d,粒子第二次在電場中運動后恰好從

。點離開電場，不計粒子重力，求：

⑴磁感應(yīng)強度8的大小；

⑵電場強度￡的大??；

(3)粒子從。點射出到第一次回到。點所經(jīng)歷的時間。

圣安小2也比”cpZ2m流小也或2+無)

合榮(1)----------⑷-----------(3)

qdqd2?)

解析(1)設(shè)粒子第一次在磁場中做圓周運動的半徑為廠，帶負(fù)電粒子運動軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系2也r=d,即r=也4,由牛頓第二定律可得045=冽■"，可得B=2也mW

4rqd

(2)粒子第二次進(jìn)入電場做類平拋運動，則

弋21

d=Wi,d=-at]2qE=ma

222f

解得E=2也

214)qd

(3)粒子在磁場中運動的時間1=7=血=也7粒子第一次在電場中運動的時間力="

42%a

其中4=^=2也］,則行=也^,則粒子從。點射出到第一次回到。點所經(jīng)歷的時間，="

md24

，2d(2+7i)

+力+打=

2

ID尖子生選練

6.(2024?云南昆明市期中)如圖所示，質(zhì)量為冽、帶電荷量為式9>0)的粒子，從坐標(biāo)原點。以

初速度4沿％軸正方向射入第一象限內(nèi)的電、磁場區(qū)域，在長為/、寬為d的虛線框內(nèi)有方

向豎直向上、大小可控的勻強電場，在x>/的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度大小為5

的勻強磁場。通過控制電場強度大小，可讓粒子從虛線框的右側(cè)射入磁場，并打到豎直放置

的足夠長的〃N板上，已知N點坐標(biāo)為(/,d),粒子重力不計。

yXX