《圓錐曲線大題全攻略》目錄

1.或軌跡方程冏敦

2.圓儺曲狡中的笑點(diǎn)問(wèn)敢

3.圖雄曲狡中的范值冏莖

4.圓舞曲俵中的*倡同敢

5.點(diǎn)差法解決中克核問(wèn)駁

6.召見(jiàn)幾何關(guān)系的代熬化方彼

7.圖儺曲狡中的薇對(duì)稱“布達(dá)定理”問(wèn)來(lái)處理技巧

8.圖雄曲俵中的三支易俵冏敢

9.巧用曲餞系方程斛決（D儺曲狡中的四點(diǎn)共圓同鼎

10.擷物殘中阿基來(lái)德三角形的召見(jiàn)桃質(zhì)及應(yīng)用

11.圖雒曲俵中的以初餞散型

1

園錐曲線中的求軌跡方程問(wèn)題

解題技巧

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程這類(lèi)問(wèn)題可難可易是高考中的高頻題型，求軌跡方程的主要方法有直譯法、

相關(guān)點(diǎn)法、定義法、參數(shù)法等。它們的解題步驟分別如下：

1.直譯法求軌跡的步驟：

（1）設(shè)求軌跡的點(diǎn)為P（x,y）;

（2）由已知條件建立關(guān)于九,y的方程；

（3）化簡(jiǎn)整理。

2.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡的步驟：

（1）設(shè)求軌跡的點(diǎn)為尸（x,y）,相關(guān)點(diǎn)為

（2）根據(jù)點(diǎn)的產(chǎn)生過(guò)程，找至此招丁）與（％,外）的關(guān)系，并將％,如用x和y表示；

（3）將（x0,y。）代入相關(guān)點(diǎn)的曲線，化簡(jiǎn)即得所求軌跡方程。

3,定義法求軌跡方程：

（1）分析幾何關(guān)系；

（2）由曲線的定義直接得出軌跡方程。

2

4.參數(shù)法求軌跡的步驟:

(1)引入?yún)?shù);

(2)將求軌跡的點(diǎn)(x,y)用參數(shù)表示;

(3)消去參數(shù);

(4)研究范圍。

【例1.1已知平面上兩定點(diǎn)M(0,-2),M0,2),點(diǎn)P滿足MP?MN=PN?MN,求點(diǎn)P的

軌跡方程。

無(wú)2

【例2.】已知點(diǎn)P在橢圓1+V=1上運(yùn)動(dòng)，過(guò)p作y軸的垂線，垂足為。，點(diǎn)/滿足

---?1--*

PM=-PQ,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

3

【例3.】已知圓4:（》+2）2+/=36,3（2,0）,點(diǎn)尸是圓A上的動(dòng)點(diǎn)，線段P5的中垂線交

PA于點(diǎn)Q,求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程。

【例4.］過(guò)點(diǎn)（。,1）的直線/與橢圓/+?=1相交于A］兩點(diǎn)‘求”中點(diǎn)”的軌跡方

程。

專(zhuān)題練習(xí)

1.在平面直角坐標(biāo)系X?！分?，點(diǎn)A（0,l）,B（0,4）,若直線2x—y+m+0上存在點(diǎn)尸，使得

PM=耳則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

2.已知尸（4,—2）,Q為圓0:/+/=4上任意一點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為則的取值

范圍為.

3.拋物線C:/4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸滿足瓦=—2夙則動(dòng)點(diǎn)尸的

軌跡方程為.

4

4.已知定圓M:x2+(y+4)2=100,定點(diǎn)打0,4),動(dòng)圓尸過(guò)定點(diǎn)E且與定圓M內(nèi)切，則動(dòng)

圓圓心尸的軌跡方程為.

5.已知定直線/:%=-2,定圓A:(x—4)2+/=4,動(dòng)圓〃與直線/相切，與定圓A外切,

則動(dòng)圓圓心H的軌跡方程為.

6.直線/:及+y—3f+3=0與拋物線/=4x的斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡有公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

7.拋物線/=4y的焦點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)M(0,-1)作直線/交拋物線于兩點(diǎn)，以A居3歹為

鄰邊作平行四邊形FARB,求頂點(diǎn)R的軌跡方程。

22

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X?！分?，已知直線/與橢圓C:g+g=l相交于兩點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(1)若直線/的方程為x+2y—6=0,求血?萬(wàn)的值；

(2)若蘇?怎=—12,求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程。

5

直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

解題技巧

證明動(dòng)直線在一定的條件下過(guò)定點(diǎn)是解析幾何中的一類(lèi)重要題型，這類(lèi)問(wèn)題解題一般有兩

種解法.

【法1】設(shè)直線，求解參數(shù)，一般的解題步驟為：

⑴.設(shè)出直線的方程y=kx+b或x=沖+/；

(2).通過(guò)題干所給的已知條件，進(jìn)行正確的運(yùn)算，找到左和仇機(jī)和f的關(guān)系，或者解出b,t

的值；

6

⑶根據(jù)(2)中得出的結(jié)果，找出直線過(guò)的定點(diǎn).

【法2】求兩點(diǎn)，猜定點(diǎn)，證向量共線。一般的解題步驟為：

(1).通過(guò)題干條件，求出直線上的兩個(gè)點(diǎn)4,3的坐標(biāo)(含參)；

(2).取兩個(gè)具體的參數(shù)值，求出對(duì)應(yīng)的直線并求出它們的交點(diǎn)尸，該點(diǎn)即為直線過(guò)的

定點(diǎn)；

⑶證明麗與麗共線，得出直線過(guò)定點(diǎn)尸。

注：上面的兩個(gè)解法中，解法2的計(jì)算量通常要大一些，故一般首選解法1.當(dāng)解法1失效

或處理起來(lái)較為復(fù)雜時(shí)再考慮解法2.

7

【例一】已知橢圓C:1+與=l（a〉6〉o）的半焦距為C,離心率為,，左頂點(diǎn)A到直線

ab2

2

x=L拄距離為6,點(diǎn)P,Q是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

c

（1）求橢圓。的方程；

（2）若直線APLAQ,求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)R,并求出R點(diǎn)的坐標(biāo)。

【例二.】已知一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2,0）,且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4,設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲

線C。

（1）求曲線。的方程;

8

（2）過(guò)點(diǎn)N（1,O）任意作兩條互相垂直的直線小右，分別交曲線。于不同的兩點(diǎn)和

E,設(shè)線段AB,DE的中點(diǎn)分別為P,Q.

①求證：直線P。過(guò)定點(diǎn)R,并求出定點(diǎn)R的坐標(biāo)；

②求的最小值。

專(zhuān)題練習(xí)

1.設(shè)橢圓石：5+25=1（。＞人＞0）的右焦點(diǎn)到直線x—y+2jI=0的距離為3,且過(guò)點(diǎn)

ao

（1）求E的方程；

（2）設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A,直線/:%一沖一/=0與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M,N（均

不與A重合），且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A。試判斷直線/是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐

標(biāo)；若否，說(shuō)明理由。

9

2.橢圓C:=+T=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)為6,右焦點(diǎn)為E,點(diǎn)3/都在直線

ao

,\[3x+y--\/3—0上o

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)為橢圓。上的兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為,，證明：直線MN過(guò)定

4

點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)。

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3.拋物線。：丁2=2。乂〃>0）上一點(diǎn)”（1,即*%>0）滿足|“典=2,其中尸為拋物線

的焦點(diǎn)。

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)直線和Mfi分別與拋物線C交于不同于"點(diǎn)的A,3兩點(diǎn)，若證

明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)。

4.已知直線/的方程為y=x+2,點(diǎn)尸是拋物線y2=4x上距離直線/最近的點(diǎn)，點(diǎn)A是

拋物線上異于點(diǎn)P的點(diǎn)，直線AP與直線/交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)。與x軸平行的直線與拋物線交

于點(diǎn)8O

11

(1)求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)證明：直線A3恒過(guò)定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。

園錐曲線中的定值問(wèn)題

解題技巧

1.在圓錐曲線問(wèn)題中，定值問(wèn)題是常考題型,解題的一般步驟為:

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(1)設(shè)出直線的方程y=kx+〃或％=沖+八點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)通過(guò)題干所給的已知條件，進(jìn)行正確的運(yùn)算,將需要用到的所有中間結(jié)果(如弦長(zhǎng)、距

離等)表示成直線方程中引入的變量，通過(guò)計(jì)算得出目標(biāo)變量為定值

2.解析幾何大題計(jì)算過(guò)程中經(jīng)常用到弦長(zhǎng)公式,下面給出常用的計(jì)算弦長(zhǎng)的公式：

(1)若直線AB的方程設(shè)為y=kx+m,％),B(x2,y2\則

—

|A5|=Jl+k??[X]x2|=Jl+，2?J(X1+)2-4X/2=Jl+，2?

回

(2)若直線AB的方程設(shè)為x=rvy+t,A(Xl,必),B(x2,%),，則

|A目=71+m2?一上|=Vl+m2?+4%%=Vl+m2?旨

注:其中。指的是將直線的方程代入圓錐曲線方程后，化簡(jiǎn)得出的關(guān)于x或y的一元二

次方程的平方項(xiàng)系數(shù)，△指的是該方程的判別式.通常用|A耳=石笆.甘或

rl

|A圈=』1+而?g計(jì)算弦長(zhǎng)較為簡(jiǎn)便

【例1.】設(shè)拋物線。：/=羽直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)且與拋物線交于A、5兩點(diǎn)，證

明：次?麗為定值。

13

【例2.]已知橢圓C:，+[=l(a〉6〉0)的離心率為

ab’

J3

-y,A(a,Q),B(0,6),0(0,0),AA05的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P為。上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)直線？B與x軸交于點(diǎn)N.求證:

?怛?yàn)槎ㄖ怠?/p>

專(zhuān)題練習(xí)

22

Xy=l(a>b>0)的離心率為字，且過(guò)點(diǎn)(、歷,1)。

1.已知橢圓。：丁+

a

(1)求橢圓。的方程;

(2)設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作斜率為弓的直線/交橢圓C于A,3兩點(diǎn),求證:

歸甲+儼@2為定值。

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2.已知點(diǎn)P（l,o）,直線=。為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作直線/的垂線，垂足為點(diǎn)。,

且灰礪=京而。

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)尸的直線交軌跡C與A,3兩點(diǎn)，交/于點(diǎn)若阪4=44工M3=；123/，

求％+石的值。

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3.已知拋物線C:/=2Px經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,2）過(guò)點(diǎn)2（0,1）的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)且直線？A交y軸于V,直線交y軸于N。

（1）求直線/的斜率的取值范圍；

---?------?--?11

（2）設(shè)。為原點(diǎn)，QM=AQO,QN=jLtQO,求證：:+一為定值。

A〃

22

4.已知橢圓￡:、+5=1（。>/7>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)

a1b1

頂點(diǎn)，直線/:丁=一X+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)7\

16

（1）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線廠平行于。丁，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,5,且與直線/交

于點(diǎn)P,證明：存在常數(shù)4,使得伊12=川胡.歸同，并求;t的值。

22

5.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓。：一+二=l(a>Z?>0)過(guò)點(diǎn)1右焦點(diǎn)為41,0）,

erb2

過(guò)焦點(diǎn)尸且與x軸不重合的直線與橢圓。交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)6關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為尸，直

線分別交直線％=4于V,N兩點(diǎn)。

（1）求橢圓。的方程；

（2）若8的坐標(biāo)為,求直線？A的方程;

（3）記A/,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為VM/N，問(wèn)：YMYN是不是定值?

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6.過(guò)拋物線產(chǎn)=4光上一定點(diǎn)。（2,2后）作兩條直線分別交拋物線于不與尸重合的

■（和為），夙孫為）兩點(diǎn)。

（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離d；

（2）當(dāng)75A與的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明直線AB的斜率為非零的常

數(shù)，并求出此常數(shù)。

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因錐曲線中的最值問(wèn)題

解題技巧

求最值（范圍）問(wèn)題是圓錐曲線?？碱}型,這類(lèi)題解題的一般步驟是：

⑴設(shè)出直線的方程y=左％+6或1="9+八點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）將直線的方程代入圓錐曲線中，計(jì)算弦長(zhǎng)、點(diǎn)到直線的距離等中間量;

⑶將求范圍的目標(biāo)量表示成直線中引入的參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

⑷運(yùn)用函數(shù)、均值不等式等基本方法求出最值（范圍）.

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【例1.】已知點(diǎn)A（0,-2）,橢圓E:5+當(dāng)=1（?！?〉0）的離線率為四，E是橢圓

ab2

的焦點(diǎn)，直線Ab的斜率為迪，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

3

（1）求E方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線/與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)AOPQ的面積最大時(shí)，求/的方

程。

專(zhuān)題練習(xí)

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1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0,—l）,3點(diǎn)在直線y=—3上，M點(diǎn)滿足

MBHOA^MA9~AB=MB9~BA,M點(diǎn)的軌跡為曲線C。

（1）求。的方程；

（2）尸為。上的動(dòng)點(diǎn)，/為。在P點(diǎn)處的切線，求。點(diǎn)到/距離的最小值。

2.已知橢圓匕=l（a>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為尸（一1,0）,左、右頂點(diǎn)分別為A,3經(jīng)

a3

過(guò)點(diǎn)廠的直線/與橢圓M交于C,。兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程；

（2）記AA5D與AABC的面積分別為防和與，求圖一S21的最大值。

21

3.已知拋物線C:九2=2py(p>0),過(guò)其焦點(diǎn)作斜率為1的直線/與C交于M,N兩點(diǎn),

\MN\=16□

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知?jiǎng)訄A尸的圓心在C上，且過(guò)定點(diǎn)。(0,4),若動(dòng)圓尸與x軸交于A,3兩點(diǎn)，

r)A

\DA\<\DB\,求防的最小值。

22

4.已知橢圓C:'+'=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為與，為，左頂點(diǎn)為4,離心

a1b1

J?J?-1

率為三，點(diǎn)B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，AAB瓦面積的最大值為七一。

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線苴的直線/與橢圓。相交于不同的兩點(diǎn)M,N,線段MN的中垂

線為若直線/'與/相交于點(diǎn)P,與直線x=2相交于點(diǎn)Q,的最小值。

23

5.設(shè)圓P+y2+2九-15=0的圓心為A,直線/過(guò)點(diǎn)3(1,0)且與X軸不重合，/交圓A

于C,。兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交于點(diǎn)E。

(1)證叫￡4|+|班|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線Q,直線/交G于M,N兩點(diǎn)，過(guò)8且與/垂直的直線與圓A

交于P,。兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

6.已知橢圓G:亍+y2=1,過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓/+廿=1的切線/交橢圓G與A,8兩點(diǎn)。

(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

(2)將表示為m的函數(shù)，并求|A同的最大值。

24

7.如圖，已知點(diǎn)M1，O)為拋物線V=2py(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)廠的

直線交拋物線與4,3兩點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線上，使得AABC的重心G

在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)。，且。在點(diǎn)E右側(cè)，記

AAFG,ACQG的面積分別為,S?。

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;

(2)求區(qū)的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)。

52

25

常見(jiàn)幾何關(guān)系的代數(shù)化方法

解題技巧

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，因此，積累一些

常見(jiàn)的幾何關(guān)系的代數(shù)化方法是有必要的，本專(zhuān)題歸納了一些常見(jiàn)的

幾何關(guān)系的處理方法：

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(1)以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)PoR4?尸3=0;

(2)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi)o西.而＜0;

(3)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓外o西?麗〉0;

(4)四邊形PQRS為平行四邊形o對(duì)角線PR與QS互相平分；

(5)四邊形PQRS為菱形o對(duì)角線PR與QS互相垂直平分；

(6)四邊形PQRS為矩形o對(duì)角線PR與QS互相平分且相等；

(7)|尸曰=|尸目=而?Q=0,其中M為AB的中點(diǎn)；

(8)直線AB與直線MN關(guān)于水平線或豎直線對(duì)稱o*+GN=。；

(9)F為APQM的垂心。麗?麗=0、礪?瓦7=0且加?而=0.

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【例一】已知圓C：(X+1)2+V=12及點(diǎn)F(l,0),點(diǎn)P在圓上，M,N分別為PF,

PC上的點(diǎn)，且滿足河江=而，加?而=0.

(1)求N的軌跡W的方程；

(2)是否存在過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線/與曲線W相交于A,B兩點(diǎn)，并且與曲線W

上一點(diǎn)Q,使得四邊形0AQB為平行四邊形？若存在，求出直線/的方程；若不存

在，說(shuō)明理由。

一X

【例二】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:y=1與直線I:=kx+a(a>0)交于M,N

兩點(diǎn)。

(1)當(dāng)上=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=NOPN?說(shuō)明理由。

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專(zhuān)題練習(xí)

1.已知A,B,C是橢圓亞：一+丫2=1上的三個(gè)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)。

4'

（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形。43C為菱形時(shí)，求此菱形的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，判斷四邊形。45c是否可能為菱形，并說(shuō)明理由;

29

22

2.已知橢圓=+二=l（a〉6〉0）的右焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

ab

△ONE的面積為工，且橢圓的離心率為遮。

22

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線/交橢圓于P,。兩點(diǎn)，且E點(diǎn)恰為APQM的垂心？若存在，

求出直線/的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

30

3.直線/:x+y+8=0,圓0:爐+/=36,其中。是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓

4+￡=1(°>“0)的離心率為e="，直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)與橢圓C的長(zhǎng)軸

ab2

長(zhǎng)相等。

(1)求橢圓。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)的直線r與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，設(shè)函=而+方.是否存在

直線/'，使|OS|=|A目？若存在，求出直線/'的方程；若不存在，說(shuō)明理由。

31

22

4.設(shè)耳,工分別是橢圓E:=+1=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)與作斜率為1的

ab

直線/與E相交于A,3兩點(diǎn)，且|A片A耳忸閭成等差數(shù)列。

(1)求橢圓E的離心率；

(2)設(shè)點(diǎn)尸(0,-1)滿足|叫=|尸耳求E的方程。

5.已知橢圓C:9x?+_/=根2(根〉0),直線/不過(guò)原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與。

有兩個(gè)交點(diǎn)A,3,線段A3的中點(diǎn)為

(1)證明：直線的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(2)若/過(guò)點(diǎn)［/即)，延長(zhǎng)線段與。交于點(diǎn)尸四邊形OAP5能否為平行四

32

邊形？若能，求此時(shí)/的斜率；若不能，說(shuō)明理由。

22

6.設(shè)分別為橢圓二+當(dāng)=1(“＞匕＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦

ab

距，且過(guò)點(diǎn)血，手;

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)P為直線％=4上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線AR5P分別與

橢圓相交于異于的點(diǎn)證明：點(diǎn)6在以MN為直徑的圓內(nèi)。

33

點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題

解析技巧

設(shè)直線與圓錐曲線交于A,3兩點(diǎn)，中點(diǎn)為這類(lèi)與圓錐曲線的弦和弦中點(diǎn)有關(guān)

的問(wèn)題，一般叫做中點(diǎn)弦問(wèn)題，點(diǎn)差法是解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的重要方法。其解題的一般步

驟是：

（1）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（無(wú)］,?）、3（X2，、2）；

（2）代入圓錐曲線的方程；

yM=力+-2

（3）將所得方程作差，結(jié)合中點(diǎn)公式［”2、斜率公式3B='二2等化簡(jiǎn)，

尤_'+-2刈一冏

改-2

得出結(jié)果。

34

【例一】已知雙曲線＞2=1,點(diǎn)尸（4,1）是雙曲線一條弦的中點(diǎn)，則該弦所在直

線的方程為.

X01

【例二】已知橢圓一+產(chǎn)=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)43關(guān)于直線y=m+—對(duì)稱，求實(shí)數(shù)

22

m的取值范圍。

專(zhuān)題練習(xí)

22

1.過(guò)橢圓器+Y=1內(nèi)一點(diǎn)“（2,1）引一條弦AB，使弦A3被〃點(diǎn)平分，則直線AB的

方程為.

2.已知拋物線C:y2=6x,過(guò)點(diǎn)尸（4,1）引拋物線C的一條弦AB，使該弦被P點(diǎn)平分，

35

則這條弦所在直線的方程為.

3.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=—1,直線/與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)"

線段的中點(diǎn)為（1,1）,則直線/的方程為.

4.橢圓_?+今2=36的弦43被點(diǎn)（4,2）平分，則直線的方程為.

5.已知拋物線。：/=2*（；?>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)R（2,l）的直線/與拋物線。交于

+=5

兩點(diǎn)，>|7M|=|7?4IMIFSI-則直線/的斜率為（）

A.-B.lC.2D.-

22

22

6.橢圓C:二+”=1的斜率為3的弦的中點(diǎn)"的軌跡方程為.

42

7.拋物線C:y2=龍上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線/:y=/”（x-3）對(duì)稱，則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍為.

8.已知橢圓C:9_?+y2=m2（m>0）,直線/不過(guò)原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有

兩個(gè)交點(diǎn)線段AB的中點(diǎn)為V。證明：直線。河的斜率與/的斜率的乘積為定

值。

36

9.已知雙曲線”一千=1,是否存在過(guò)點(diǎn)尸（1,1）的直線/與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，且P

恰為的中點(diǎn)？

10.已知橢圓E:+卷=1（。＞人＞0）的半焦距為c,原點(diǎn)。到經(jīng)

a1b1

過(guò)兩點(diǎn)（c,0）,（0,b）的直線的距離為；。

（1）求橢圓E的離心率;

37

(2)如圖，是圓M:(x+2)2+(y—l)2=g的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),

求橢圓E的方程。

圓錐曲線中的非對(duì)稱韋達(dá)定理問(wèn)題處理技巧

解析技巧

在圓錐曲線問(wèn)題中，將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去工或丁，得到關(guān)鍵方程(不

妨設(shè)方程的兩根為刈和弱)，結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)進(jìn)行其他的運(yùn)算是常見(jiàn)的解題方法。能

X]+—---1---

夠利用韋達(dá)定理計(jì)算的量一般有修等，但在某些

38

問(wèn)題中，可能會(huì)涉及需計(jì)算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式，例如，運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)了

勺-2X2,2丑+3均等結(jié)構(gòu)，且無(wú)法直線通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)化為系數(shù)相同的情況處理，像這

種非對(duì)稱的韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)，通常是無(wú)法根據(jù)韋達(dá)定理直接求出的，那么一般的處理方法

是局部計(jì)算、整體約分。需要通過(guò)適當(dāng)?shù)呐錅?，將分子和分母這種非對(duì)稱的結(jié)構(gòu)湊成一

致的，剩下的一般可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱的韋達(dá)定理加以計(jì)算，最后通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)分子、分

母可以整體約分，從而解決問(wèn)題。下面通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)詳細(xì)介紹這類(lèi)的解題方法。

1.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A(O,-1),5(0,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)都滿足直線AM與直線

的斜率之積為-g,過(guò)點(diǎn)F(l,0)的直線/與橢圓交于兩點(diǎn)，并與y軸交于點(diǎn)P,

直線AC與6D交于點(diǎn)Q.

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)P異于兩點(diǎn)時(shí)，求證：麗?麗為定值。

39

【例1.】已知橢圓C:工+斗=1(?！?〉0)過(guò)點(diǎn)P(2,石，且離心率為先.

ab2

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A3,過(guò)點(diǎn)(0,4)斜率為左的直線與橢圓。交于V,N

兩點(diǎn)。求證：直線5M與AN的交點(diǎn)G在定直線上。

【例2.】橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),5(1,0),過(guò)其焦點(diǎn)廠(0,1)的直線/與橢圓交于C,。兩點(diǎn)，

并與尤軸交于點(diǎn)P,直線AC與交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)|C"=半時(shí)，求直線/的方程;

（2）當(dāng)p點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：OP?OQ為定值。

專(zhuān)題練習(xí)

1.已知A,3分別是橢圓彳+V=1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，C,。在橢圓上，且CD〃A瓦

設(shè)直線AC,5。的斜率分別為的和42,證明：后左2為定值。

41

2.已知橢圓C:、+5=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為用(―c,0),為(c,O),M,N分

abz

V3

別為左、右頂點(diǎn)，直線/:x=)+l與橢圓。交于A,3兩點(diǎn)，當(dāng)/=—：-時(shí)，A是橢圓C

的上頂點(diǎn)，且AA?約的周長(zhǎng)為6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線AM,5N交于點(diǎn)T,求證：點(diǎn)T的橫坐標(biāo)打?yàn)槎ㄖ怠?/p>

42

3.已知產(chǎn)為橢圓?+q=1的右焦點(diǎn)，A,3分別為其左、右頂點(diǎn)，過(guò)E作直線/交橢

圓于不與4,3重合的監(jiān)N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM,3N的斜率分別為月和心，求證：與為

一比2

定值。

43

園錐曲線中的三點(diǎn)共線問(wèn)題

解題技巧

平面解析幾何中三點(diǎn)共線相關(guān)問(wèn)題

44

三點(diǎn)共線問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，大題小題都有涉及。這類(lèi)題處理的方法一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè):

①斜率相等；②向量共線。

證明三點(diǎn)共線問(wèn)題的解題步驟：

（1）求出要證明共線的三點(diǎn)的坐標(biāo)；（如果已給出，則無(wú)需這一步）

（2）運(yùn)用斜率相等或向量共線來(lái)證明三點(diǎn)共線。

特別提醒：三點(diǎn)共線問(wèn)題的兩個(gè)處理方法中，向量共線往往更方便，因?yàn)闊o(wú)需考慮斜率不存

在的情形，所以大題一般用向量共線，小題用斜率相等。

1丫，

【例1.1拋物線G：y=——/（〃〉0）的焦點(diǎn)與雙曲線c,：上—/=1的右焦點(diǎn)的連線交

2p3

G于第一象限的點(diǎn)"，若G在點(diǎn)”處的切線平行于的一條漸近線，則〃=（）

【例2.】已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為過(guò)尸的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)

為M,A,B,M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為C,D,M

（1）求直線尸N與直線AB所成的夾角。的大?。?/p>

（2）證明：3,0,。三點(diǎn)共線。

45

專(zhuān)題習(xí)題

O?22

1.拋物線G：/=京'的焦點(diǎn)廠與雙曲線。2：?—方=1出〉0）的右焦點(diǎn)丁的連線交

G于第一象限的點(diǎn)四，若G在點(diǎn)/處的切線平行于02的一條漸近線，則沙=（）

A.2B.V3C.V2DA

22

2,已知橢圓土+匕=1的右焦點(diǎn)為E，設(shè)直線/:x=5與X軸的交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)尸的直

54

線4與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，/為線段￡歹的中點(diǎn)。

（1）若直線4的傾斜角為45°,求的面積S；

（2）過(guò)點(diǎn)8作直線3N，/與點(diǎn)N,證明：A,M,N三點(diǎn)共線。

46

3.已知橢圓E：I+當(dāng)=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)的連線構(gòu)成

ab

一個(gè)等邊三角形，且面積為

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/:%="y+q（根wO）與橢圓E1交于不同的兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于橢圓長(zhǎng)軸的

對(duì)稱點(diǎn)為A，試求A,尸,B三點(diǎn)共線的充要條件。

4,已知橢圓M:=+當(dāng)=1（?！?〉0）的離心率為—,焦距為2JL斜率為k的直線I與

a~b3

橢圓/有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,Bo

（1）求橢圓M的方程；

（2）若左=1,求目的最大值；

（3）設(shè)P（-2,0）,直線PA與橢圓〃的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線P5與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)

47

71

為。，若C,。和點(diǎn)。（-一,一）共線，求左.

44

5.已知曲線C:（5—根）/+（加一2）/=8（根eR）.

（1）若曲線。是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求的取值范圍；

（2）設(shè)機(jī)=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)分別為A,3（點(diǎn)A位于點(diǎn)8的上方），直線y=kx+4

與曲線C交于不同的兩點(diǎn)”,N,直線y=l與直線交于點(diǎn)G,求證：A,G,N三點(diǎn)共線。

48

6.已知兩個(gè)定點(diǎn)M（—1,O）,N（1,O）,動(dòng)點(diǎn)P滿足戶用=四忸2。

（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡。的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)〃的直線/與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,3,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為。

（A,Q兩點(diǎn)不重合），證明：3,N,。三點(diǎn)在同一直線上。

49

50

巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題

解題技巧

圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題在高考中是一大難點(diǎn)，應(yīng)用曲線系方程可以很好地解決這類(lèi)問(wèn)題。

1.曲線系方程：設(shè)/(x,y)=O和g(x,y)=O分別表示平面上的兩條曲線，則經(jīng)過(guò)兩曲線

交點(diǎn)的曲線系方程可以為"(x,y)+g(x,y)=0.

2.高考中常見(jiàn)的四點(diǎn)共圓問(wèn)題是兩條直線與圓錐曲線交于不同的四點(diǎn)，判斷四點(diǎn)是否在同

一圓上，如果是，需求出圓的方程。應(yīng)用曲線系方程求解這類(lèi)四點(diǎn)共圓問(wèn)題的解題步驟是：

(1)設(shè)經(jīng)過(guò)圓錐曲線和兩直線交點(diǎn)的曲線系方程為"(x,y)+g(x,y)=0.,其中

f(x,y)=0表示圓錐曲線方程，g(x,y)=0表示兩直線構(gòu)成的曲線的方程；

(2)將"(x,y)+g(x,y)=0.展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，與圓的一般方程

/+/+以+或+/=()比較系數(shù)，求出；I的值；

(3)將2反代回方程4(左,丁)+8(%,y)=0.的展開(kāi)式，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得出四點(diǎn)

共圓且求出了圓的方程。

3.圓錐曲線中四點(diǎn)共圓問(wèn)題的結(jié)論：設(shè)兩條直線和圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)交

于四點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)圓上的充要條件是兩直線的傾斜角互補(bǔ)。

【例1.】已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)p且斜率為1的直線/與拋物線C交

于4,3兩點(diǎn)，線段A3的中垂線和拋物線C交于兩點(diǎn)，證明A,5,M,N四點(diǎn)共圓，

并求出該圓的方程。

51

【例2.]設(shè)橢圓E:]+/=l的右焦點(diǎn)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且斜率為左的直線/與橢圓C交

于A,3兩點(diǎn)，直線y=2x與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)，若A,dC,。四點(diǎn)共圓，求左的值以及

該圓的方程。

52

【例3.］已知T(g,O),Q是圓尸：(x+0)2+/=16上一動(dòng)點(diǎn)，線段。T的中垂線與直線

PQ交于點(diǎn)S.

(1)求動(dòng)點(diǎn)S的軌跡的E方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)且斜率為2的直線4與軌跡E交于A,3兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)且斜率為-2的直線6與

軌跡E交于M,N兩點(diǎn)，判斷A,5,四點(diǎn)是否在同一圓上，若是，求出圓的方程。

專(zhuān)題練習(xí)

53

1.已知拋物線E:V=8x的焦點(diǎn)為R,過(guò)E作兩條互相垂直的直線分別與拋物線E交于

和3,。.問(wèn)：A,3,C,￡>四點(diǎn)是否共圓？若是，求出圓的方程；若不是，說(shuō)明理由。

2.已知雙曲線。：三—[=1（?！?,6〉0）的一條漸近線方程為百》—2>=0,且過(guò)點(diǎn)

ab

（4,3）.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）斜率為-；的直線4過(guò)點(diǎn)（-1,0）且與雙曲線C交于A,3兩點(diǎn)，斜率為左的直線4過(guò)原

點(diǎn)且與雙曲線。交于M,N兩點(diǎn)，若四點(diǎn)是否在同一圓上，求左的值及該圓的

方程。

54

3.已知拋物線C:/=2px(p〉0)的焦點(diǎn)為尸，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交

點(diǎn)為。，且耳=：|尸@

(1)求C的方程；

(2)過(guò)尸的直線/與C相交于A,3兩點(diǎn)，若的垂直平分線與C相交于M,N兩點(diǎn)，且

A,M,3,N四點(diǎn)在同一圓上，求/的方程。

55

拋物線中的阿基米德三角形

解題技巧

56

阿基米德三角形：如圖，拋物線的一條弦以及弦端點(diǎn)處的兩條切線所圍成的三角形，叫做拋

物線中的阿基米德三角形。下面給出阿基米德三角形的一些常見(jiàn)性質(zhì)。

如圖，不妨設(shè)拋物線為；？=2py（夕>0）,拋物線上A,3兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P,則

（1）設(shè)43中點(diǎn)為河，則平行（或重合）于拋物線的對(duì)稱軸；

（2）的中點(diǎn)S在拋物線上，且拋物線在S處的切線平行于弦A5；

（3）若弦A3過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)。，則點(diǎn)尸的軌跡是直線；特別地，若弦A6過(guò)定點(diǎn)

（0,>0）,則點(diǎn)P的軌跡是直線y=—m；

（4）若弦A3過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)Q,則以。為中點(diǎn)的弦與（3）中P點(diǎn)的軌跡平行；

（5）若直線/與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，點(diǎn)P在直線/上運(yùn)動(dòng)，則以尸為頂點(diǎn)的阿基米德三角形

的底邊過(guò)定點(diǎn)；

（6）若過(guò)焦點(diǎn)/，則P點(diǎn)的軌跡為拋物線準(zhǔn)線，PAI.PB,PF±AB,且APA5面積

的最小值為p2；

（7）NPFA=NPFB；

（8）\AF\-\BF\=\PF^.

很多高考試題都以阿基米德三角形為背景命制，熟悉這些性質(zhì)對(duì)解題是有必要的，下面通過(guò)

57

實(shí)例來(lái)證明上面的部分結(jié)論。

【例一】已知拋物線C:九2=4y的焦點(diǎn)為尸，拋物線上A,3兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)尸，AB

中點(diǎn)為河O

(1)證明：尤軸；

(2)設(shè)尸M的中點(diǎn)為S,證明：S在拋物線上，且拋物線在S處的切線平行于直線AB；

(3)證明：NPFA=NPFB；

(4)證明：斗忸耳=歸葉

(5)若A3過(guò)點(diǎn)求點(diǎn)尸的軌跡E的方程；當(dāng)。恰為A6中點(diǎn)時(shí)，判斷與軌跡

E的位置關(guān)系；

(6)若過(guò)點(diǎn)尸，求點(diǎn)尸的軌跡方程，并證明以_1。5,。/_1_4區(qū)求出八以5面積的

最小值。

58

59

【例二】已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸是直線/:y=x—