第05講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的

數(shù)列解答題綜合訓(xùn)練

(15類核心考點(diǎn)精講精練)

I他.考情探究?

在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一

場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。

當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)

量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

(1)三考

題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)

際水平。

(2)三重

強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)

特見解和創(chuàng)造力。

(3)三突出

試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無(wú)法提前預(yù)知。數(shù)列版塊作

為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，

易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時(shí)的分

值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。

面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新

結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，

以期在新高考中取得更好的成績(jī)。

12?考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)15數(shù)列與新定義綜合

考點(diǎn)一、構(gòu)造等差數(shù)列

1.（2024?河北衡水?三模）己知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為5"，

2

⑴證明：［務(wù)］是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列［號(hào)］的前〃項(xiàng)積.

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛g｝滿足％=1,詈

(1)求證：數(shù)列｛叫為等差數(shù)列；

(2)設(shè)*=-~~,求數(shù)列圾｝的前”項(xiàng)和卻

anan+l+anan+\

,、1?！耙?

3.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)的積記為7“，且滿足書=；一?

n

(1)證明：數(shù)列｛1｝為等差數(shù)列;

(2)設(shè)么=,求數(shù)列出｝的前”項(xiàng)和S,.

4.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝滿足q=4,%+1-("+1)。“=2小+1).

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)么=行，求數(shù)列加“｝的前”項(xiàng)和(.

5.(2024?新疆?一模)非零數(shù)列｛q｝滿足(4+i-a.)(2a,+i-%+2)=a“(4+2-a“+J(”eN*),且6=1，4=2.

⑴設(shè)么=":，證明：數(shù)列也,｝是等差數(shù)歹U;

an+lan

1(、

(2)設(shè)1=-------，求匕｝的前"項(xiàng)和Tn.

anan+l

考點(diǎn)二、構(gòu)造等比數(shù)列

1.(2024?四川成都?二模)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為3,且滿足a用+?！?3?2”.

⑴求證：｛4-2"｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列｛%｝是否是等比數(shù)列.

2.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))設(shè)數(shù)列｛七｝的前”項(xiàng)和為S,,己知S?+2+3S,=4Sn+l-2a?,q=1,g=3.

⑴證明：數(shù)列｛。“+1-2%｝是等差數(shù)列；

勿-I-2

(2)記&+1地“=:—，北為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,求

n+〃

3.(2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，S“=2a,+2〃-6(〃eN*).

⑴求證數(shù)列｛q-2｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式％.

3

+1

（2）若數(shù)列I——2"I的前m項(xiàng)和，=12￡7,求機(jī)的值，

aa

[??+lJ258

7.4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）記S“為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知4=1,2an-Sn=n.

⑴證明數(shù)列｛4+1｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若久—一數(shù)列抄“｝的最大項(xiàng)為外，求％的值.

Sn+n+Z

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S“滿足2s“=3%-2%

⑴令么=?！?1,求｛2｝的通項(xiàng)公式;

210g3（4+1）+3.、

⑵令，設(shè)｛g｝的前〃項(xiàng)和為求證：Tn＜\.

考點(diǎn)三、等差數(shù)列前n頂和

1.（23-24高三上?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝中，已知5fl是其前〃項(xiàng)和，4=-9,9-+=2求?！芭c

S”）

2.（23-24高三上?遼寧?階段練習(xí)）記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，已知％=T8,S2=5a6.

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

⑵求3的最小值.

3.（23-24高二上?甘肅金昌?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,%=-2,%=25.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S”的最小值及取得最小值時(shí)n的值.

4.（23-24高三上,遼寧朝陽(yáng)?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，。8-3%=18,S4=S5.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

s

（2）求使二＜1成立的n的取值集合.

an

5.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛〃〃｝滿足〃2=3,%=2%-5.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為小且么=曙「%，若圖＞360,求機(jī)的最小值.

考點(diǎn)四、等比數(shù)列前n項(xiàng)和

1.（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前"項(xiàng)和為S“，且2%+4=13,$7=49.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)〃=an+2%,求數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和T,.

4

2.(23-24高三上?河南?階段練習(xí))己知等比數(shù)列｛q｝的公比4=2,記其前，項(xiàng)和為S,,且外,%+3,%成等

差數(shù)列.

⑴求｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛Sj的前〃項(xiàng)和卻

3.(23-24高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))在數(shù)列｛4｝中q=1,且滿足=2j+〃-2(neN*n>2).

⑴證明:數(shù)列｛4+“｝為等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,.

4.(20-21高一下,貴州黔東南?階段練習(xí))已知等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為5“，且%=5,邑=9.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若也｝是等比數(shù)列，且偽=%,b3=a5,求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和卻

5.(23-24高二上?北京?期中)已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，滿足4=3,4=24,數(shù)列也｝滿足乙=4,b,=22,

設(shè)c,=a“-2，且匕,｝是等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求圾｝的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和T?.

考點(diǎn)五、裂項(xiàng)相消求和

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛叫的各項(xiàng)均不小于1,前”項(xiàng)和為5,9=1,｛25“-叫是公差為1的等

差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

(2)求數(shù)列g(shù)］的前”項(xiàng)和Tn.

2.(2024?山西臨汾?一模)已知數(shù)列｛5｝,｛，｝滿足巧=1也=2%,仿她…2=(2+1)上

(1)計(jì)算出,。3，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛q｝滿足C"="”+2,求數(shù)列｛cj的前"項(xiàng)和Z,.

an,an+l,°n

1Q

3.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知S”為正項(xiàng)數(shù)列｛.“｝的前w項(xiàng)和，4=3且S“+S向-

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若d=(T嚴(yán)瑞宙，求帆｝的前10項(xiàng)和。.

4.(2024?河北邯鄲?二模)已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，出=3,且宿=￡+6.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

5

4s

(2)若由=—一求數(shù)列色｝的前”項(xiàng)和夕.

anan+\

nIi

21i

5.(23-24高二下,四川成都,期中)已知數(shù)列｛凡｝滿足：al+5a2+5a3+-+5'-an=—(〃eN*).

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

173

(2)設(shè)2=尹(_,)(_〃j(〃eN*),數(shù)列也｝前“項(xiàng)和為％試比較S.與品的大小并證明.

考點(diǎn)六、錯(cuò)位相減求和

1.(2024?浙江寧波?二模)已知等差數(shù)列｛%｝的公差為2,記數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S.,4=0力2=2且滿足

b2S+a

n+l=??-

⑴證明:數(shù)列也+1｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛a1A｝的前〃項(xiàng)和T..

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，關(guān)于x的方程依2+2#；x+〃+i=()("eN*)有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若d=(。"+1>2,，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和1.

3v1

3.(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))記用為數(shù)列｛瑪｝的前〃項(xiàng)和.已知—+〃=3a“+l,?1=--.

n3

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足b“=??-3"+1,求色｝的前"項(xiàng)和Ty

4.(2024?四川涼山二模)設(shè)等比數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S"，q=g,叫=7星.

⑴求4；

(2)設(shè)°==—,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和月.

同

5.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿足3s“+a,=l(?eN*),數(shù)列也｝滿足

4=bg2aa+l。.

⑴求｛%｝,｛2｝的通項(xiàng)公式.

(2)求數(shù)列｛舊也｝的前〃項(xiàng)和7“.

考點(diǎn)七、周期與類周期求和

1.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿足。角=1—，且4=2,求數(shù)列｛4｝的前2023項(xiàng)和S.

1an

6

2.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足卬=。（。為實(shí)數(shù)），a“二上產(chǎn)—（n>2）,求出皿.

、3一%

6.3.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）己知數(shù)列｛叫中，％=工。用=2為-辰os（r€1

236

njr

⑴證明：數(shù)列｛4“-8$行｝為常數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛nan｝的前2024項(xiàng)和.

4.（22-23高三上?貴州遵義階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足％=2,??+1=1-—,MN*.

an

⑴求出，的,4,并寫出一個(gè)符合題意的｛4｝的通項(xiàng)公式（不需要證明）；

（2）設(shè)〃=2",記S"為數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和，求心.

5.（22-23高三上?山東青島?期中）已知正項(xiàng)數(shù)列｛。“｝滿足1叫4+2+（-1）"1鳴4=1，且4=1,?2=2-34

⑴已知%=%“-「，求也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛q｝的前2023項(xiàng)和邑cm.

考點(diǎn)八、奇偶并項(xiàng)求和

1.（2024?福建莆田?二模）已知等差數(shù)列｛““｝的前”項(xiàng)和為S“，公差d*0,且%，%，■成等比數(shù)列，S5=15.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

惠器,求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和三.

（2）若包=

a-3,"為奇數(shù),

2.（2024?河北石家莊?二模）已知數(shù)列｛““｝滿足"=7,“用n

2an,"為偶數(shù).

⑴寫出%,〃3，。4；

⑵證明:數(shù)列｛%T-6｝為等比數(shù)列；

⑶若b?=a2n,求數(shù)列\(zhòng)n-（b?-3））的前n項(xiàng)和S?.

3.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%=7,品=81.等比數(shù)列也｝是正項(xiàng)遞增數(shù)

列，且-她=8,/+&+4=7.

⑴求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)％和數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)5；

力版數(shù)求數(shù)列匕｝的前2〃項(xiàng)和?

(2)若％=

2a-1,〃為奇數(shù)，

4.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an

n+l3為+3,"為偶數(shù)..

⑴記0=%-，證明數(shù)列也｝是等比數(shù)列，并求圾｝的通項(xiàng)公式;

7

⑵求｛%｝的前2〃項(xiàng)和S2?,并證明2s2,>的用-2.

5.(2023?山東?模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S“，6=%=3且臬-邑=27,數(shù)列｛&｝滿足

'2cli，”是偶數(shù),

Cn1=1.*料，設(shè)2=C2n+C?-l.

+[%-L”是B奇數(shù)，2

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式，并證明：bn+l=2bn-3；

(2)設(shè)4=%。“一3),求數(shù)列乩｝的前〃項(xiàng)和Q,,.

考點(diǎn)九、數(shù)列與不等式

1.(2024?河北秦皇島?二模)已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%且數(shù)列⑸+2｝是公比為2的等比數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

7〃+2,、1

⑵若包=商工，數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為九求證：Tn<~.

2.(2024?江蘇?三模)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和為5“,工=5.

⑴若｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，且小，。7，。9成等比數(shù)列，求"；

2

(2)若Sn=nan,求證:S?<6.

3.(23-24高二下?福建福州,期中)記數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和S“，S“=(〃+l)a,-"(〃+1).

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)歹的前“項(xiàng)和為[，證明：i<7；<i

[ana?+lJ84

4.(23-24高二下?江西吉安,期末)已知S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且a“+2S”=l.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，為數(shù)列｛(2〃-1)?！埃那啊?xiàng)和，求證：

5.(2024.天津?模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前w項(xiàng)和為S“，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，S3-S2=3,

%+%=3,bn>。，bx-b2=b3,2bx+b2=b3,

⑴求數(shù)列｛%｝、｛2｝的通項(xiàng)公式；

的前〃項(xiàng)和7.，求證：3Tli<2.

考點(diǎn)十、數(shù)列與極限、放縮

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和s,=24-〃.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

8

6Z.+1%+1見+1CL+15

(2)證明：--+—+--+…+n—<-.

出4a6a2n4

2.(23-24高三上?云南昆明,階段練習(xí))已知數(shù)列｛叫滿足(2〃+1)%=(2"+3)%+1,4=1.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若%=1嗎10+(,證明：也｝的前〃項(xiàng)和7；<|.

3.(2024?全國(guó)■模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛q｝滿足3"-4+3"-+…++?！?4",?eN*.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1117

(2)若-1,證明：-+-+

4.(23-24高三上?河北?期末)設(shè)S“為數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和，已知［為等比數(shù)列，且

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

1

⑵已知％=1,設(shè)萬(wàn)廣黑,記1為數(shù)列｛2｝的前九項(xiàng)和，證明：Tn>T+^-1.

an2

5.(2021?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛%｝中，％=1,%=2,數(shù)列｛qj%+J是公比為式4>0)的等比數(shù)歹!J.

(1)求使巴an+l+an+lan+2>an+2an+3(〃eN)成立的q的取值范圍；

(2)若)=%,一1+%(〃€』),求二的表達(dá)式;

1

(3)若5.=々+%+???+%求理不.

考點(diǎn)十一、數(shù)列與參數(shù)綜合

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S“，且出=3,25"=〃(%+2).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若存在“eN*,使得」一+」一+,一+—"—W2a“+i成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

2.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S",數(shù)列是公差為g的等差數(shù)列，且弓=2.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

一111、，

(2)若存在〃wN*,使得---+----+…+-----成立，求實(shí)數(shù)幾的取值范圍.

3.(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))己知數(shù)列｛4｝滿足％+率+與+…+?=2小—*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

9

（2）已知數(shù)列帆｝滿足2=3.

①求數(shù)列出｝的前w項(xiàng)和1;

②若不等式（-1）"彳<（+學(xué)對(duì)任意“eN*恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

4.（2024?江蘇無(wú)錫?二模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為S",滿足2sn=+°“-2.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)*Z為數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和.若型對(duì)任意的"N*恒成立，求左的取值范圍?

2"23〃

5.（2024?天津?二模）設(shè)｛叫是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和S“，也｝是等比數(shù)列，且q=4=3,a4=b2,S3=15.

⑴求｛4｝與｛2｝的通項(xiàng)公式；

。也，〃為奇數(shù)

（2）設(shè)c,=（3-4哂”為偶數(shù)，求數(shù)列匕｝的前2n項(xiàng)和Q;

⑶若對(duì)于任意的〃wN*不等式-刈%-4"+2）-12<。恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

考點(diǎn)十二、數(shù)列與三角綜合

1.（2022?江西贛州?一模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前，項(xiàng)和為5“，已知2S“=d+a”.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記"=a；cos等，1,是數(shù)列加“｝的前〃項(xiàng)和，求&.

2.（2024?浙江臺(tái)州?二模）已知數(shù)列｛%｝滿足q=g,?n+1=.

⑴求。2必（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；

⑵若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)可以表示成4=，氐in（0〃+0）［o<0<3,oe的形式，求。，夕.

3.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%="+1

,兀2

（1）求證：sm—>一；

冊(cè)an

（2）設(shè)數(shù)列‘sin的前〃項(xiàng)和為S“，求證：（<S,<g.

aa

I?n+lJ32

4.數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集的特殊函數(shù)，具有函數(shù)的性質(zhì)特征，有些周期性的數(shù)列和三角函數(shù)緊密

相連.記數(shù)列2,-1,2,-I,2,，-1,...為｛q｝,三角形式可以表達(dá)為4,=Asin（@7+0）+B,

TT

其中A>0,①>0,|^|<—.

（1）記數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,求$7，$8，￡及%

10

（2）求數(shù)列｛4,｝的三角形式通項(xiàng)公式.

5.已知函數(shù)/（x）=（sin；+cosx）：-l,方程“無(wú)）=g在（0,+◎上的解按從小到大的順序排成數(shù)列｛4｝

cosx-sinx

（"eN*）.

3）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（H）設(shè)2=&/二；3…,數(shù)列圾｝的前“項(xiàng)和為九求5”的表達(dá)式.

考點(diǎn)十三、數(shù)列與概率綜合

1.（23-24高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）某商場(chǎng)擬在周末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出"玩游戲,

送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，

并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束.已知該游戲第一次獲勝的概率是與，若上一次獲勝則下一

次獲勝的概率也是若上一次失敗則下一次成功的概率是］.記消費(fèi)者甲第，次獲勝的概率為P“，數(shù)列

｛七｝的前“項(xiàng)和tp?=T?,且T,的實(shí)際意義為前幾次游戲中平均獲勝的次數(shù).

Z=1

⑴求消費(fèi)者甲第2次獲勝的概率％;

（2）證明：［p為等比數(shù)列；并估計(jì)要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎(jiǎng).

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回地從裝有大

小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)40元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)

勵(lì)20元的獎(jiǎng)券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)20

元的獎(jiǎng)券.記顧客甲第八次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額X“（14〃46）的數(shù)學(xué)期望為E（XJ.

⑴求E（XJ及X2的分布列；

（2）寫出E（X"）與E（X,i）（"22）的遞推關(guān)系式，并證明但（XJ+20｝為等比數(shù)列；

⑶若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值.（參考數(shù)據(jù)：1：：。5.62）

3.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）某工廠在2020年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一

年可以到原單位領(lǐng)取工資的100%,從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資的（領(lǐng)取工資.該廠

根據(jù)分流人員的技術(shù)特長(zhǎng)，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲

得6元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50%,如果某人分流前工資收入為每年

“元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第〃年的收入為?！霸?

⑴求｛4“｝的通項(xiàng)公式.

11

(2)當(dāng)6=去時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？

⑶當(dāng)62當(dāng)時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過(guò)分流前的年收入？

O

4.(23-24高二下,陜西西安,期末)某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每位顧客只用一個(gè)會(huì)員號(hào)登

陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會(huì).已知顧客第一次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為*從第二次摸球開始，若

前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為:，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為二.記該顧客第〃次

摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為P”.

⑴求BE的值；

(2)探究數(shù)列花)的通項(xiàng)公式，并求該顧客第幾次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大，請(qǐng)給出證明過(guò)程.

5.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))在足球比賽中，有時(shí)需通過(guò)點(diǎn)球決定勝負(fù).

⑴撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門

將(也稱為守門員)也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確

也有:的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分

布列和期望；

(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，

等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地

傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為P"，易知”=1,2=0.

①試證明：｛p“-?為等比數(shù)列；

②設(shè)第"次傳球之前球在乙腳下的概率為,比較P2024與外。24的大小.

考點(diǎn)十四、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合

1.已知函數(shù)/(%)=x—l—aln%.

(1)若/(xRO,求a的值；

⑵設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n,(1+3(1+占)…(1+2)<〃2,求m的最小值.

222

2.(2022?全國(guó)?高考真題)復(fù)知函數(shù)/(x)=xem-e。

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(尤)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(%)<-1,求。的取值范圍;

,1+,1+…+.1>ln(w+1)

⑶設(shè)〃eN*,證明:

A/12+1也+2yin2+n

3.已矢口函數(shù)尤)=alnx+x2,其中awR.

(1)討論〃尤)的單調(diào)性；

12

（2）當(dāng)a=l時(shí)，證明：/（尤）vV+x-l；

（3）試比較竽+竽+竽+…+半與（力eN*且“22）的大小，并證明你的結(jié)論.

4.（22-23高二下?四川成都?期末）已知函數(shù)/（x）=ta—ln（x+a）（a￡R）.

⑴當(dāng)〃=2時(shí)，求〃%）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/（X）2。-:恒成立，求a的取值范圍;

"2

⑶若數(shù)列｛%｝滿足q=1,。角，記S”為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.證明:5?>2H-1.

n2冊(cè)+12

122

5（2。22廣西來(lái)賓?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列也｝滿足:…其中S“為數(shù)列"的前〃項(xiàng)和.

⑴求數(shù)列｛￡｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)機(jī)為正整數(shù)，若存在首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列｛g