專題18立體幾何綜合

母題呈現(xiàn)

【母題來源一】【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】如圖，直四棱柱ABCD-A^iCiDi的底面是菱形,

A4i=4,ZBAD=60Q,E,M,N分別是BC,4。的中點(diǎn).

（1）證明：MN〃平面GDE；

（2）求二面角A-MA]-N的正弦值,

【答案】（1）見解析；（2）典.

5

【解析】（1）連結(jié)BiC,ME.

因?yàn)镸,E分別為88,8。的中點(diǎn)，

所以ME〃8C,且

2

又因?yàn)镹為40的中點(diǎn)，

所以

2

由題設(shè)知可得故ME&ND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN〃￡D

又MMZ平面EOG,

所以MN〃平面GQE.

(2)由已知可得OE_LD4.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方的方向?yàn)椋葺S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫2,

則A(2,0,0),A1(2,o,4),MQ萬⑵，N(1,0,2),

平二(0,0,T),輛=(—1,71—2),卒二(—1,0,—2),麗=(0,—6,0).

M?AM-0

設(shè)機(jī)二(屈居Z)為平面4MA的法向量，則，_

m^A=0

所以.一"+6y-2z=o,可取而=(在］⑼

-4z=0.

n-MN-0>

設(shè)〃=(p,q,r)為平面4MN的法向量，則｛___

"AN=0.

所以「包二"可取〃二（2,0,-1）.

-p-2r=0.

旦inn_23V15

]cos（/w,ii）=—-—=---產(chǎn)=----,

\m\\n\2x755

所以二面角A—MA—N的正弦值為巫.

5

【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵

是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的

正弦值，屬于常規(guī)題型.

【母題來源二】【2018年高考全國(guó)【卷理數(shù)】如圖，四邊形A6CO為正方形，E,尸分別為

AD,8c的中點(diǎn)，以。尸為折痕把△。打。折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PF上BF.

（1）證明；平面?平面A3R）；

（2）求OP與平面A8底。所成角的正弦值.

【答窠】（1）見解析；（2）在

4

【解析】方法一：（1）由已知可得，BF1PF,BFLEF,

所以8尸_L平面PEF.

又6bu平面ASFU

所以平面PM_L平面ABFD.

（2）在平面0E尸中，過P作PH1EF于點(diǎn)H,連接。從如圖,

p

由于EF為平面ABCD和平面PEF的交線，PH1EF,

則P，_L平面ABFD,故PH1DH.

則。尸與平面ABFD所成的角為ZPDH

在三棱錐P-Z)EF中，可以利用等體積法求PH.

因?yàn)?E〃BFjlPr_L5F,所以PF1DE,

又△尸DF3CDF，所以NFPZ)=/FCO=90。，

所以PF1PD,

由于OEnPD=C,則P/JL平面尸。瓦

故^F-PDE=]PF，S&PDE，

因?yàn)锽尸"0A且B/1平面PEF,

所以D4J_平面PEF,

所以。￡1￡戶，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2〃，則PD=2a,DE=a,

在△POE1中，PE=同，

所以％取=岑后,

故匕?一皿==/'

o

12

又S△DEF二］〃’2〃二〃，

所以?〃=乏2=也〃,

a22

所以在中，sinZPDH=—=—，

PD4

故OP與平面ABFD所成角的正弦值為—.

4

方法二：（1）由已知可得，BF1PF,BF1EF,

所以BF_L平面PEF.

又BFu平面ABF。，

所以平面PE凡L平面ABFD.

（2）作PH1EF,垂足為月.由（1）得，PH_L平面AW7）.

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，布的方向?yàn)椋?，軸正方向，|豌|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系H-xyz.

由（1）可得，DE1PE.

又DP=2,DE=1,所以PE=6

又P/=l,EF=2,故PE_LPE

可得PH二昱,EH工

22

則H（0Q0）,P（0,0,逆）,。（一1,一3,0）,9=（1=,且），所=（0,0,走）為平面48尸。的法

22222

向量.

3

而廊.|二五二"

設(shè)OP與平面4BF0所成角為e，MSin<9=|

\HP\\DP\也4

所以O(shè)P與平面ARFD所成角的正弦值為史.

4

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的證明以及線面

角的正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，

這里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果：

對(duì)于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來完成，注意相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系即可.

【母題來源三】【2017年高考全國(guó)I卷理數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且

ZBAP=ZCDP=90.

（1）證明：平面以3_L平面用D；

（2）若止PD=AB=DC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）上.

3

【解析】（1）由已知NBA尸=/Q）尸=90。，得4BJ_AP,CD1PD.

由于,故AB_LPD,

從而AB_L平面PAD.

又ABU平面用氏所以平面朋B_L平面PAD.

（2）在平面尸AD內(nèi)作尸產(chǎn)J_A0，垂足為尸，

由（1）可知，48_1平面24。，

故居1戶戶，可得件1平面A3CZ).

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗的方向?yàn)榇筝S正方向，|而|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

F-xyz.

由(D及已知可得從(岑,。,。),P(0,0,串,B吟,1,0)，C(-y,l,O).

所以定=(一立,1,一立)，CS=(V2,0,0),E4=(—,0,--).AB=(0,1,0).

222

設(shè)m=(無,y,2)是平面PCB的法向量,

斤n\[1

nPC-0,-------x+y-------2=0,/-

則一即〈22可取〃=((),近).

1"@=0，瓜二°

設(shè)m=(x,y,z)是平面PAB的法向量

”國(guó)=0J變至z=0,

則，一即〈22可取m=(1,0,1).

tn?AB-0,

ly=n0.

則cos<n,/n>="小=--.

1n||m|3

在

所以二面角A—PB—C的余弦值為一

31

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題設(shè)條件可以得出48_LAP,CDLPD.而AB〃CD,就可證明出A8_L平面

PAD,進(jìn)而證明出平面以B_L平面以D

(2)先找出4。中點(diǎn)，找出相互垂直的線，建立以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，成的方向?yàn)楣ぽS正方向,

|而|為單位長(zhǎng)的空間直角坐標(biāo)系，列出所需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)〃二(x,y,z)是平面PC8的法

向量，m=(x,y,z)是平面叢5的法向量,根據(jù)垂直關(guān)系，求出/I=(0LL-J5)和加=(1,0,1),

利用數(shù)量積公式可求出二面角的平面角.

【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角：

②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；

③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)

是解題的關(guān)鍵.

母題褐秘

【命題意圖】

高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點(diǎn)考杳線面關(guān)系、面面關(guān)系、線面角及二面角的求解，

考查數(shù)形結(jié)合的思想，空間想象能力及運(yùn)算求解能力等.

【命題規(guī)律】

高考對(duì)該部分內(nèi)容的考查主要有兩種形式:一是利用立體幾何的知識(shí)證明線面關(guān)系、面面關(guān)系；

二是考查學(xué)生利用空間向量解決立體幾何的能力，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面的法向

量等，難度屬于中等偏上，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握空間向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，把空間立體幾

何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.

【答題模板】

運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：

(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)寫出向量坐標(biāo);

(4)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；

(5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

【方法總結(jié)】

1,直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量判定方法

設(shè)直線/的方向向量為。二31，加,C|)?平面Q,0的法向量分別為里二(。2，班,C2),v=(〃3，歷,

⑸,則

(1)線面平行：/〃a=a_L"04/=0今am+加比+ciC2=0;

(2)線面垂直：l1a=a〃p0a=kp=a產(chǎn)kg,bi=kb^,Ci二姐；

(3)面面平行；(X〃少=〃〃了="=%=僅=加3，歷=勸3，C2=ZC3；

(4)面面垂直：〃_1_夕0"，吠0〃，后00。2〃3+歷歷+0。3=:0.

注意：用向量知識(shí)證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需

要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明

直線?！◤闹恍枳C明向量。二勸(xeR)即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明

線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

2.利用向量求異面直線所成的角

把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，"轉(zhuǎn)化''是求異面直線所成角的關(guān)鍵，一般地，異面直線AC,BD

UUUUUO

的夾角p的余弦值為cosfl=-uilF端.

\ACi\BD\

注意：兩條異面直線所成的角a不一定是兩直線的方向向量的夾角成，即cosa=|co*夕

3,利用向量求直線與平面所成的角

(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或

其補(bǔ)角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就

是斜線和平面所成的角.

注意：直線和平面所成的角的正弦，直等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，

即注意函數(shù)名稱的變化.設(shè)直線/的方向向量為。二(⑶，加，ci),平面Q的法向量為〃二(。3,加,

C3),直線/與平面。的夾角為則$in"小W-cos0,"〉|.

I2)Ml川

4.利用向量求二面角

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的

法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是說角還是鈍角.

注意：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角.設(shè)平面

。，S的法向量分別為4=(〃3,①，Q),v=(O4,A,C4),平面G,6的夾角為先兀)，則

|cos昨"2=|cos?,y〉］.

5.用向量解決探索性問題的方法

(1)確定點(diǎn)在線段上的位置時(shí)，通常利用向量共線來求.

(2)確定點(diǎn)在平面內(nèi)的位置時(shí)，充分利用平面向量基本定理表示出有關(guān)向量的坐標(biāo)而不是直接

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)

的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問感的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用

這一方法解題.

1.【陜西省漢中市2019屆高三全真模擬考試數(shù)學(xué)】如圖，四邊形ABC。為矩形，平面ABEPJ_

平面ABC。，EF//AB,/胡尸=90。，AD=2,AB=AF=\^點(diǎn)P在線段。尸上.

(1)求證；平面ABCZ)；

(2)若二面角?！狝P-C的余弦值為邁，求P尸的長(zhǎng)度,

3

【答案】(1)見解析；(2)叵

3

【解析】(1)???NBAF=90°,??.

又平面A8Eb_L平面ABCO,平面ABEFCI平面ARCD=AB，Abu平面ASK”，

平面A8CO.

(2)以4為原點(diǎn)，以48,4D，AF所在直線分別為4,丁，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),5(1,0,0),CQZ0),0(020),F(0,0,l),

?,?麗二(0,2,-1),祝=(1,20),通二(1,0,0),

由題知，46_1平面4。尸，

AAB=(l,0,0)為平面AQ尸的一個(gè)法向量，

設(shè)/=4而(OM4<1),則P(0,24l—4),,?,福=(0,241一力,

m-AP=0

設(shè)平面APC的法向量為加二(兄y,z),則?

?前二0,

2Ay+(l-A)z=0/24

，令y=1，可得陽(yáng)二一2』,不；

*x+2y=0k4一］J

2_V6

cos

2A"3'

L,4+1+

解得;1=§或力=一1(舍去),

??PF=——?

3

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間垂直關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些

知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

2.【廣東省肇慶市2019屆高中畢業(yè)班第三次統(tǒng)一槍測(cè)數(shù)學(xué)】如圖，在三棱柱4BC-A4G中，

側(cè)面是菱形，N6AA=60。，E是棱防1的中點(diǎn)，CA=CB,/在線段AC匕

且A/二2/C.

（1）證明；平面AEF；

（2）若C4_LC8,平面C48_平面A68M，求二面角尸一兒￡—A的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）拽9.

29

【解析】（1）連接人用，交AE于點(diǎn)G，連接尸G.

AG4A

因?yàn)椤鰽G4S/\4GE,所以左二次:2,

]CrD|

Ap力/AG

又因?yàn)?；二?,所以后二=■,所以尸G〃CB「

FCrCCJD1

又CB,（Z平面AEF,FGu平面AEF，

所以cq〃平面

（2）過。作C0_L4B卜。,

因?yàn)镃4=CB,所以。是線段AB的中心.

因?yàn)槠矫鍯A6_L平面平面CABCI平面A54A=A5,

所以C01平面AB4,連接。4,

因?yàn)椤鳌?A是等邊三角形，。是線段A3的中點(diǎn)，所以。4,4反

如圖，以。為原點(diǎn)，。4,。4,。。所在直線分別為x軸，》軸，z軸建立空間直角坐標(biāo),

不妨設(shè)鉆=2,則A（l,0,0）,A（O,Q,O），GO，。，。，B（TQO），F(xiàn)（1,0,1）,

由M=甌，得4（一2,6,0），

則8片的中點(diǎn)或_2,@,0）,

22

從而4七=（一T，一日，。），

設(shè)平面A尸￡的法向量為四=a,兇,4），則,

3后n

"2^"Ty,=0

即《

]_揚(yáng)1+：4=0

百=-1

得一組解為八=6即/=（T65）.

z尸5

易知平面43A的一個(gè)法向量為%二（0,0,1）,

n..a5>/29

則COS<M，〃2>=—^=——

1nlM|29

所以二面角尸—AE—A的余弦道為上場(chǎng).

29

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，二面角的余弦值的求解，考查空間想象能力

以及推理計(jì)算能力.

3.【湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三考前演練（五）】在五邊形AE8CO中，BC1CD,

CD//AB,AB=2CD=2BC,AEA,BE,AE=BE（如圖）,將沿A8折起，

使平面ABE_L平面A8C。，線段AB的中點(diǎn)為0（如圖）.

（1）求證：平面ABE_L平面DOE；

（2）求平面EAB與平面EC。所成的銳二面角的大小.

【答案】（1）見解析；（2）45。.

【解析】（D由題意AB=2CZ），。是線段的中點(diǎn)，則。B=CZ>.

又CO〃A6,則四邊形O6CO為平行四邊形，

又BC_LC。，則AB_LOD，

由A￡=BE，OB=OA、得EO_LAB.

又￡。（1。。=。，則A8_L平面E。。.

又ABi平面ABE,

故平面ABE1平面EOD.

（2）由（1）易知OB,。。，OE兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OD,OE所在直線分別

為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-四，

△E4B為等腰直角三角形，且,18=2CD=2BC,

則。4=Q?=0D=0￡，

取CO—,

則0(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1),

則麗=(-1,0,0),DE=(0,-l,l),

設(shè)平面ECD的法向量為〃=(%"z),

n-CD-0,-x=0

則一即《

〃Z)E=0,一y+z=0

取z=l，得平面ECO的一個(gè)法向量"=(0,1,1)，

因?yàn)?0J_平面ABE,所以平面ABE的一個(gè)法向量為而=(0,1,0)，

設(shè)平面ECD與平面ABE所成的說二面角為仇

nlIq\|10x0-1-1x1+0x11>/2

則cos。=cos(OD,w)------,——=—,

Z

\LIXVPTF2

因?yàn)?。w(0,90。)，所以。=45°,

故平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為45。.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的

空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握直線與直線、直線與平面、平

面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法,

通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

4.【河南省百校聯(lián)盟2019屆高三考前仿真試卷數(shù)學(xué)】如圖，在幾何體ACD-ABCR中，四

邊形4QQA，為矩形，平面AOAA1平面CD.q,84，平面4。44，

AO=CD=1,A4=4B]=2,￡為棱人4的中點(diǎn).

(1)證明：4G1平面CC￡；

(2)求宜線4G與平面B|CE所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析：(2)獨(dú).

7

【解析】(1)因?yàn)?A_L平面ADRA，

所以4A，。。，

又￡)Aj.AA，4AnAA=A，

所以。平面AEGA,

又因?yàn)镈Dj/cq,

所以CG1平面4MGA，

又4Gu平面所以cq，用G，

因?yàn)槠矫鍭DDlAi1平面CDD￡,平面ADD^D平血CDD￡=DD1,C。]DD、,

所以GA1平面

經(jīng)計(jì)算可得8退=6BG=6EC產(chǎn)也,

從而4￡2=5￡2+￡。：，

所以在△4EC1中,B,C.IC.E,

又CG，GEu平面CC[E,CC]。?！?。1，

所以Be，平面CGE.

（2）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，4DM所在的直線分別為尤丁軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依

題意得A(OQO),C(1,O,O),耳(0,2,2),C,(1,2,1),E(O,1,O).

則雇第=(1,-2,-1)，

設(shè)平面B}CE的法向量為m=（尢,y,z）,

陽(yáng)二0,

則《

mCE=0,

x-2y-z=0?

即《消去X,得y十2z=0,

-x+y-z=Of

不妨設(shè)z=l，可得陽(yáng)=（一3「2,1）,

又弱二（1,0,-1），

設(shè)直線4G與平面B￡E所成的角為e.

故宜線B￡與平面BtCE所成角的正弦值為苧.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，平面與平面垂直的性質(zhì)，直線

與平面所成角的向量求法，屬于中檔題,解題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，注意合理轉(zhuǎn)化，計(jì)算準(zhǔn)確,

5.【安徽省1號(hào)卷A10聯(lián)盟2019屆高考最后一卷數(shù)學(xué)】如圖，在四棱錐S-A6C。中，△6CO

為等邊三角形，AD=AB=SD=SB,ZBAD=120°.

（1）若點(diǎn)M,N分別是線段SC,CD的中點(diǎn)，求證：平面BMN〃平面SAQ：

（2）若二面角S—8Q—C為直二面角，求直線4c與平面SCD所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）叵.

13

【解析】（1）???△BCO為等邊三角形，且N是線段CO的中點(diǎn)，.,./8M）=90Q,

???AD=AB，N&W=120°，,..ZAD3=ZAB0=3O°，/.ZAfiC=90°,

:.BN//AD,

?「BNa平面SAQ,4）u平面SAO，「.BN〃平面S4。，

???點(diǎn)M,N分別是線段SC,CZ）的中點(diǎn)，.?.MN〃S0,

???MN2平面SAO,8。匚平面$4。，」.m7〃平面$4。，

,/MNnBN=N、：.平面BMN〃平面SAD-

（2）如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)0,連接SO,

由對(duì)稱性知，。為BO的中點(diǎn)，且AC_LB。，SO上BD，

??,二面角S-BD-C為直二面角，，SOJ?平面ABCD，

不妨設(shè)他=2，則S0=40=l，BO=DO=6CO=3,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OB,OS所在直線分別為兄y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

則S（0,0』），A（—l,0,0）,C（3,0,0）,0（0,-后0卜

;.DC=（3,^,0）,由二（0,⑸），AC=（4,0,0）,

設(shè)平面SCD的法向量為n=（再必z）,

\nDC=03X+A/3J=0

則即《

[nDS=QV3y+z=0

令y二G，得x=-]，z=—3,=

.|c°s＜?！?巫

T‘卜團(tuán)/4x后一13'

直線AC與平面SCD所成角的正弦值為姮.

13

【名師點(diǎn)睛】本題考查面面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解直線與平面所成角的問題，關(guān)

鍵是能夠利用面面垂直的性質(zhì)證得線面垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),

利用空間向量法來求解線面角.

6.【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三第五次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)】如圖，三棱柱

A8C-A4G中，平面ACGA，平面ABC，AA]=AC=2CB,Z4Cfi=90°.

4

（1）求證：平面A4GJL平面A4C；

（2）若AA與平面A5C所成的線面角為60。，求二面角G—A4-C的余弦值.

【答案】⑴見解析；⑵昱

4

【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭CGA1平面ABC，平面ACGAPI平面ABC=AC,

SCu平面ABC,ZACB=90°,所以6C_L平面ACQA，

因?yàn)锳Cu平面ACC；A，所以6C_LAC.

因?yàn)?C〃BC,所以ACIB?.

因?yàn)锳CGA是平行四邊形，且AA二AC，

所以四邊形ACGA是菱形，則AC，4G.

因?yàn)?Gn8￡=G，所以ACL平面AB|C.

又ACu平面AB。，所以平面AB￡1平面A/C.

（2）如圖，取4c的中點(diǎn)M，連接&M,

因?yàn)樗倪呅蜛CC同是菱形，NAAC=60°,

所以是正三角形，所以AM1AC,且AM=#AC.

令"=AC=2CB=2,則AM=&.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C4所在直線為x軸，CB所在直線為N軸，過點(diǎn)C且平行于A"的直

線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則C（0,0,0）,4（2,0,0）,。（一1，0，6），5（0,1,0）,4（1，。，6）,

G4=（2,0,0）,^=^+C^=Cq+Cfi=（-l,0,V3）+（0,h0）=（-l,l,x/3）,

以=0,0詞.

nCA=0

設(shè)平面ACq的法向量為〃=(.y,z),則，

".函=0'

2x=0

所以1r,得上=0,

-X+）J+V32=0

令z=L則y=一JJ，所以弁=(0,一百1)

由(1)知AC上平面ABC，所以四二(1,0,6)是平面ASC的一個(gè)法向量，

所以cos<CA],〃>=73_V3

CApH_71+3x^71-4，

所以二面角C.-AB.-C的余弦值為也.

4

【名師點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的判定，二面角的求解，考查空間想象能力與思維能

力，訓(xùn)練了利用空間向量法求解空間角，是中檔題.

7.【山東省淄博市部分學(xué)校2019屆高三5月階段性檢測(cè)（三模）數(shù)學(xué)】已知正方形的邊長(zhǎng)為

4,E,F分別為AD,8c的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形A8CO折成如圖所示的60°的二面角,

點(diǎn)M在線段A8上.

（1）若M為AB的中點(diǎn)，且直線由A七三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為0,試確定點(diǎn)

。的位置，并證明直線OD〃平面EMC；

（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線。E與平面EMC所成的角為6（）。；若存在，求此時(shí)二面角

M—EC—產(chǎn)的余弦值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】（1）因?yàn)橹本€0'u平面人班五，

故點(diǎn)。在平面ABFE內(nèi)也在平面ADE內(nèi)，

所以點(diǎn)。在平面ABFE與平面AOE的交線上，如圖所示，

因?yàn)镸為48的中點(diǎn)，所以△OAM四

所以O(shè)M=MF,AO=BF.

所以點(diǎn)。在E4的延長(zhǎng)線上，且4。=2,

連結(jié)DF，交E。于N，

因?yàn)樗倪呅伪谽尸為矩形，所以N是比的中點(diǎn)，

連結(jié)MN,因?yàn)镸N為的中位線，所以MN40D,

又因?yàn)镸Nu平面EMC，所以直線平面EMC.

（2）由已知可得，EFLAE，EFIDEi所以即J_平面A0E，

所以平面ABEFJ_平面ODE，

取4E的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所小?的空間直角坐標(biāo)系，

所以￡(—1,0,0),D(0,0,6),C(o,4,6)，尸(一1,4,0),

所以麗二(1,0,萬)，磅=(1,4,萬)，

設(shè)M("0)(0?Y4),則麗=(2/,0),

?W=0{2x+ty=0

設(shè)平面EMC的法向量為初二（兀乂z）,則《加

mEC=0x+4y+/z=0

8-z

取丁二一2,則工二/,不

所以平面EMC的?個(gè)法向量為加=八一2,一廣，

I叢）

8平

因?yàn)榕c平面EMC所成的角為60。,所以一）-------------

2^^2

所以7效=?=*，所以/-4/+3=0,

J/.&+192

解得r=l或f=3,

所以存在點(diǎn)M，使得直線OE與平面EMC所成的角為60。，

取即的中點(diǎn)0,則麗為平面CE尸的法向量，

因?yàn)?2一，所以QA=3,0,—^~,ni=八一2,(1,

設(shè)二面角M—EC—尸的大小為兄

「「皿…小I◎.刈⑵—4||/-2|

\QM-\m\碎?4?(87占--+19

因?yàn)楫?dāng)/=2時(shí)，cos<9=0,平面或(_1_平面8所，

所以當(dāng)1=1時(shí),。為鈍角，所以cos8=--.

4

當(dāng)1=3時(shí),。為銳角，所以cos9=-.

4

【名師點(diǎn)睛】此題考查了線面平行的證明，用空間向量法解決線面所成的角，二面角等，綜

合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能尢，難度適中.

親愛的，你要努力

你想要的，你要自己給自己

數(shù)學(xué)二級(jí)結(jié)論高考的應(yīng)用

第一結(jié)論

不動(dòng)點(diǎn)通法數(shù)列通項(xiàng)放縮問題

國(guó)一各種數(shù)列壓軸題通殺

不動(dòng)點(diǎn)的求法：比如X(n+l)=f(Xn)

令f(Xn)=Xn解出Xn=a或者a,b兩解

那么a,b就為Xn不動(dòng)點(diǎn)

不動(dòng)點(diǎn)意義是什么呢？就是Xn的極限即Xnva

高考里你只需要取大根就好，小根忽視

比如10年國(guó)一22(2)看解法你可以選0807的國(guó)一照套用

核心思想：有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)的相關(guān)問題，先化簡(jiǎn)Xn-a(a為不動(dòng)點(diǎn))會(huì)得到很多Xn的性質(zhì)

題目再現(xiàn)；al=la(n+l)=c-l/an

求使不等式an<an+l<3的c的取值范圍

解an=c-l/an令an=x得x=(c+sqrt(cA-4))/2

顯然就是證x<3嘛，但是不能直接書寫，看以下書寫通法

a(n+l)?x=c-l/an-x化簡(jiǎn)(注意化簡(jiǎn)技巧，目標(biāo)是得到a(n+l)?l=k(an-l),注意化簡(jiǎn)的時(shí)候要用到

cx-xA2=l)

an+1-x=(can-l-xan)Zan

即an+1-x=(can-cx+xA2-xan)/an

即an+1-x=[c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x)

(c-x)/an是一個(gè)正數(shù)根據(jù)【同號(hào)性】(極其重要)an+1-x和an-x同號(hào)

al-x=l-x

因?yàn)閍n+l>ana2=c-l/al=c-l

c-l>l所以c>2

所以al-x=l-x<0

回頭看這個(gè)：

即an+1-x=[c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x)

(c-x)/an是一個(gè)正數(shù)根據(jù)【同號(hào)性】(極其重要)an+1=x和an?x同號(hào)

al-x<0所以a2-x<0....an+l-x<0

即an+l<x

即題H變成an〈an+l<x<3恒成立求x的范圍

解x<3得到答案

這是真正的通法是所有考察數(shù)列通項(xiàng)問題的通法，這是高數(shù)內(nèi)容別忘了是誰出的題……大學(xué)

教授，都帶有高數(shù)味兒得

小結(jié)論

C:yA2=2px

過x軸上(a,0)點(diǎn)與C相交，存在

x1x2=aA2

無數(shù)小題用此結(jié)論減免思維強(qiáng)度

連10年解幾第一問也可以用這個(gè)證明(三點(diǎn)共線那個(gè))你想想過(-p/2,0)的直線交C于A(xl,

yl)B(x2,y2)B'(x2,-y2)讓你證AB過焦點(diǎn)

你想想xlx2只和M2有關(guān)，也就是在xlx2相同時(shí)a有兩個(gè)解一個(gè)解已知是-p/2另一個(gè)解必

然是p/2啊……

極坐標(biāo)：秒殺焦點(diǎn)弦

我們是大綱版不學(xué)極坐標(biāo)，所以考試小題常出焦點(diǎn)弦問題

沒學(xué)過極坐標(biāo)的別記專有名詞這樣記以下公式

橢圓過F作直線交C于AB,設(shè)AF=riBF=r2

目測(cè)誰比較長(zhǎng)如H比較長(zhǎng)則rl=ep/Lecos日

日為過F的直線的傾斜角

p為焦準(zhǔn)距

雙曲線

單支和橢圓一樣

交于兩支時(shí)r=ep/ecos口+-1比較長(zhǎng)的那個(gè)取負(fù)短的那個(gè)取正

拋物線

r=p/l-+cos日

（拋物線6=1）

以上三者的焦點(diǎn)弦R=rl+r2長(zhǎng)為

R=|2ep/l-eA2cosA2日|

這個(gè)公式和焦半徑公式相輔相成輪換使用解幾小題任意秒

另附焦半徑公式中雙曲線的速記口訣

左加右減套絕對(duì)值，同邊開負(fù)，異邊開正

舉例解釋

比如在雙曲線右支到右焦點(diǎn)的距離I?二懷exO|（左加右減套絕對(duì)值）

由于是同邊（右支右邊）所以絕充值開負(fù)號(hào)r=exO-a

技巧

09山東22題告訴我們……

過原點(diǎn)的兩條線段”r2相互垂直時(shí)，A點(diǎn)可設(shè)為A（rlcos日jlsin日）B（-r2sin日,r2cos日）

——因?yàn)锳OBO垂直這些關(guān)系可以用傾斜角表示

S（2n-l）=（2n-l）an

這種強(qiáng)大的公式不懂你就虧了

四面體體積公式

V=l/6（abhsin日）

a,b是兩條對(duì)楞的長(zhǎng)，h是對(duì)棱的異面距離，日是對(duì)棱的夾角

這個(gè)公式異常重要，比如10年國(guó)一12題，用這題套公式秒殺

有關(guān)立體幾何中的開放式問題（極值，交點(diǎn)個(gè)數(shù)，還有北京卷那個(gè)與xyz哪個(gè)有關(guān)的）

近年來的熱點(diǎn)這類題基本出在正方體或者長(zhǎng)方體中

用退化的空間解析幾何處理這類題可以秒殺，這個(gè)要畫圖有需要的童鞋回一下我就畫圖

還有這個(gè)

在O-xyz坐標(biāo)系中某條過0的直線和xyz分別成abc度角

有

cosA2a+cosAb+cosA2c=1

這個(gè)有什么用呢？

已知兩個(gè)角求第三個(gè)角用于有些圖形惡心的立幾大題中建立坐標(biāo)系

雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離=b

過雙曲線兩頂點(diǎn)作垂直于x軸的直線和漸近線交與四點(diǎn)形成一個(gè)矩形

則斜邊為c另一條直角邊為b

我們來看看圓錐面

是一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一周所得

意味著該圓錐母線和底面所成的角恒為定值

所以【研究線面成定角問題可以用圓錐面分析】

立體幾何中解析幾何中凡涉及線段中點(diǎn)問題的絕大多數(shù)和三角形中位線有關(guān)

遇到排列組合難題尤其是三個(gè)限制條件的一定要用容斥原理

舉個(gè)例子：

P要滿足A,B,C,求P的方法數(shù)

畫個(gè)韋恩圖

U是全集畫個(gè)大框框在上面畫3個(gè)圈非A非B非C（要看看他們是否有交集，一般是有

的）

看到圖你知道該怎么算了吧

P=U-（A+B+C）+A交B+A交C+B交C-A交B交C

兩個(gè)條件的我就懶得打字啦

有關(guān)離心率問題很多命題點(diǎn)在這里

橢圓離心率eA2=l-(b/a)A2

雙曲線：eA2=l+(b/a)A2

看到了吧都和一個(gè)參數(shù)I=(b/a)有關(guān)

雙曲線漸近線方程可設(shè)為bA2xA2-aA2yA2=0

看到了么這可是二次方程形式喲可以避免討論一些東西

比如有兩焦點(diǎn)可以舍而不求的聯(lián)立使用韋達(dá)定理2

畫一個(gè)雙曲線，比如P在右支上連接PF1PF2

1.若P0=F10=F20則<F1PF2為90。

2.PO<OF1則<F1PF2為鈍角

3.PO>OF1則，一，為銳角

導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)注意原函數(shù)有極值的條件是在定義域內(nèi)△>()

【這是一個(gè)你死也要記住的不等式錐】

sqrt[(aA2+bA2)/2]>=(a+b)/2>=sqrt(ab)>=2/(l/a+1/b)

注意2/(l/a+1/b)也就是2ab/a+b

這個(gè)不等式鏈在配湊性消元正負(fù)對(duì)消上有很大用途

但是均值不等式一定是單向放縮的一般求雙最值問題一定要涉及到求導(dǎo)

平面中任意共起點(diǎn)的兩條向量所組成的三角形面積為

設(shè)向量OA=(a,b)

向量OB二(c,d)

ab

()

cd

即ad-bc

證明可用S=l/2absin日證

平行四邊形ABCD中

1?若|AB|=|AD|<=>(向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=0

2.若AB_LAD<=>|向量AB+向量AD|=|向量AB響量AD|

用向量構(gòu)筑不等關(guān)系

若題目求ac+bd這類的最大值可以構(gòu)筑

向量m=(a,c)

向量n=(c,d)

向量m*向量n=ac+bd<=[sqrt(aA2+cA2)][sqrt(bA2+dA2)]

y=f(a+x)和y=(b-x)關(guān)于x=(b-a)/2對(duì)稱

y=f(wx+a)和y=f(b-wx)關(guān)于x=(b-a)/2w對(duì)稱

切記

等差數(shù)列Sn=(d/2)M2+(al-d/2)n這是二次