2024年各地高考數(shù)學分類匯總合集

1.集合與常用邏輯用語.........................................................1

2.不等式與不等關(guān)系..........................................................4

3.復數(shù)和平面向量...........................................................13

4.數(shù)列......................................................................18

5.三角函數(shù)與解三角形.......................................................36

6.空間向量與立體兒何.......................................................49

7.空間向量與立體幾何.......................................................70

8.計數(shù)原理與概率統(tǒng)計.......................................................91

9.函數(shù)與導數(shù)...............................................................109

1.集合與常用邏輯用語

一、單選題

1.（2024?全國1卷）已知集合力=卜|-5</<5}*={-3,-1,0,2,3},則力06=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2（

2.（2024?全國2卷）已知命題p：VXGR,|X+1|>1；命題g3x>0,/=%，則（）

A.〃和g都是真命題B.T7和q都是真命題

C.p和E都是真命題D.「P和r?都是真命題

3.（2024?全國甲卷文）集合力={123,4,5,9},8=卜卜+1丘力},則力口8=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9}

4.（2024?全國甲卷理）集合力={1,2,3,4,5,9},8=k則刎/C為=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

5.（2024?全國甲卷理）已知向量￡=（x+I,x）,B=（x,2）,則（）

A.“x=-3”是F_LB”的必要條件B.“x=-3”是〃石”的必要條件

C.“x=0”是的充分條件D.“x=-l+6”是“工〃廠的充分條件

6.（2024?北京）已知集合M={x|-4<xW1},N={x[-I<x<3},則MuN=（）

A.{x|-4<x<3）B.{x|-I<x<l}

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4}

7.（2024?北京）已知向量b?則“（口+彼）倒-3）=0"是=B或7=-3”的（）條件.

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2024?天津）集合4={1天,3,4},5={2,3,4,5},則如3=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

9.（2024?天津）設(shè)a,beR,則是“3。=3〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

10.（2024?上海）設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合4={2,4},則力=.

參考答案：

1.A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【解析】因為4={x|-指＜X＜%},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1＜后＜2,

從而＜A5={T,O}.

2.B

【分析】對于兩個命題而言，可分別取產(chǎn)-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】對于〃而言，取尸-1,則有卜+1|=0＜1,故P是假命題，力是真命題，

對于4而言，取X=l，則有丁=13=1=x，故q是真命題，是假命題，

綜上，~^p和q都是真命題.

3.A

【分析】根據(jù)集合8的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計算.

【解析】依題意得，對于集合6中的元素X，滿足x+l=l,2,3,4,5,9,

則x可能的取值為01,2,3,4,8,即3={0』,2,3,4,8},

于是4cB={1,2,3,4}.

4.D

【分析】由集合8的定義求出8,結(jié)合交集與補集運算即可求解.

【解析】因為<={1,2,3,4,5,9},8=卜|五6彳卜所以6={1,4,9,16,25,81},

則/口4={1,4,9},6,(/105)={2,3,5)

5.C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.

【解析】對A,當時，則=

所以x.(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯誤：

對C,當x=0時，￡=(1,0)3=(0,2),故>5=0，

所以￡_LB，即充分性成立，故c正確；

對B，當"時，貝|J2(X+1)=/，解得入=1土百，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當x=T+百時，不滿足2(x+l)=f,所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.

6.A

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【解析】由題意得MuN=(-4,3),

7.A

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知值+6)?倒-6)=0等價于同叩|，結(jié)合充分、必要條件分

析判斷.

【解析】因為(4+1)(力)=-2孑=o,可得/=片，即同=跖

可知(2+B)G-B)=o等價于同=忖，

若1書或”4,可得同=忖，即僅+孫口-5)=0,可知必要性成立；

若伍+B).R-B)=o,即同=跖無法得出IB或￡=—兀

例如i=(l,o),E=(o,i),滿足同=忖，但且￡工—九可知充分性不成立；

綜上所述，”(。+》).(。一4=()”是'工工6且3工一戶’的必要不充分條件.

8.B

【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.

【解析】因為集合4={1,2,3,4},5={2,3,4,5),

所以/1CI4={2,3,4},

9.C

【分析】說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.

【解析】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，/=//和3“=3,，都當且僅當〃=人，所以二者

互為充要條件.

10.{1,3,5}

【分析】根據(jù)補集的定義可求7.

【解析】由題設(shè)有，={1,3,5},

2.不等式與不等關(guān)系

一、單選題

1.(2024?全國1卷)已知函數(shù)為“X)的定義域為R,/(.r)>/(x-l)+/(x-2),且當x<3時

/(x)=.V,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

一x2—2at—cix<0

2.(2024?全國1卷)已知函數(shù)為/(、)='一，、'八，在R上單調(diào)遞增，則。取值的

er+ln(x+l),x>0

范圍是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.D.[0,+oo)

3.(2024?全國2卷)已知命題p：VxeR,|x+l|>l；命題g：3x>0,x3=x,則()

A.p和g都是真命題B.-'P和q都是真命題

C.〃和F都是真命題D.「P和「夕都是真命題

4.(2024?全國2卷)設(shè)函數(shù)/3=。+幻的。+與，若/(x)20,則/+/的最小值為()

11

A-B-

84D.

4x-3y-3>0

5.（2024?全國甲卷文）若實數(shù)再丁滿足約束條件-一2），一24。，則z=x—5y的最小值為（）

2x+6^-9<0

A.5B.7C.-2D.」

22

6.（2024?北京）已知集合A/={x|-4<x?1},N={x[-I<x<3},則A/uN=（）

A.{Y|-4<r<3}B.{x\-\<r<l}

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4}

C_1

7.（2024?北京）記水的質(zhì)量為d=U，并且d越大，水質(zhì)量越好.若S不變，且4=2.1,

Inn

4=2.2,則勺與巧的關(guān)系為（）

A.4<%

B.

C.若Svl,則〃]<〃2：若S>1,則〃]>&；

D.若S<1,則〃1>巧；若S>1,則〃]<〃2：

8.（2024?北京）已知（4乂），（占多）是函數(shù)y=2'圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）

A.]嗚中>審B.bg,中〈審

一.y,+y,

C.log,J>內(nèi)+%D.log]"昔〈再+x2

9.（2024?天津）若。=4.243,6=4.2°3,c=log420.2,則b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

一、填空題

10.（2024?上海）已知xwR,則不等式--2x-3<0的解集為

三、解答題

II.（2024?全國甲卷文）已知函數(shù)f（x）=a（x-l）-lnx+l.

⑴求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若。<2時，證明：當x>l時，/（x）<ei恒成立.

12.(2024?全國甲卷理)已知函數(shù)〃x)=(l-at)ln(l+x)-x.

⑴當a=—2時，求/")的極值；

(2)當時，/(X)之。恒成立，求。的取值范圍.

參考答案：

1.B

【分析】代入得至1」/(1)=1,/(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【解析】因為當x<3時/(x)=x,所以/⑴=1,"2)=2,

又因為2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>7(4)4-/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)4-/(14)>1597>1000,則依次下去可知f(20)>1000,則B正確;

且無證據(jù)表明ACD一定E確.

2.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【解析】因為/(x)在R上單調(diào)遞增，且xNO時，/a)=e*+ln(x+l)單調(diào)遞增，

-一>0

則需滿足彳2x(-1),解得TKaKO,

-t?<e°+In1

即。的范圍是

3.B

【分析】對于兩個命題而言，可分別取x=T、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】對于P而言，取尸-1,則有|x+l|=0vl,故P是假命題，"是真命題，

對丁夕而言，取人=1,則有/=/=1=工，故夕是真命題，「夕是假命題，

綜上，「P和9都是真命題.

4.C

【分析】解法一：由題意可知：/(x)的定義域為(-"+8),分類討論-。與的大小關(guān)

系，結(jié)合符號分析判斷，即可得力=。+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析ln(x+b)的符號，進而可得x+a的符號，即可得力=。+1,代入可得最值.

【解析】解法一：由題意可知：/(X)的定義域為(-8+8)，

令x+a=()解得x=-a；令ln(x+6)=0解得工=1一〃；

若-aW-b,當xe(-Z>/一b)時，可知x+a>O,ln(x+/>)<0,

此時/(x)<0,不合題意；

若-b<-a<1-b,當xe(-4,l-b)時，可知x+a>O,ln(x+b)<0,

此時/(x)vO,不合題意;

若-a=1-b,當xe(一41一人)時，可知x+a<0,ln(x+〃)<0,此時/'a)>0；

當xw[l-〃,+8)時，可知x+qNOJn(x+/))NO,此時/(x)20；

可知若-a=l-b，符合題意；

若-a>1-b,當工￡(1-1),-4)時，可知x+“0,ln(x+6))0,

此時/(x)<0,不合題意；

綜上所述：一。=1-〃，即/)=a+l,

則/+/=/+(4+1)2=2(4+_1]+_12_!.,當且僅當"=一!*=:時，等號成立,

v7{2)2222

所以/+〃的最小值為g；

解法二：由題意可知：/⑴的定義域為(-"+8),

令x+a=0解得X=~a.令\n(x+b)=0解得x=1—8；

則當xe(-6,"力)時，ln(x+b)<0,故x+a<0,所以1-b+aWO；

xe(l—4+8)時，\n(x+b)>0,故x+a20,所以1一萬+“20：

故1—力+”=0,貝I]+/)，=a?+(〃+1)2=2(〃+；)

當且僅當。=-；,力=；時，等號成立，

所以/+〃的最小值為1

5.D

【分析】畫出可行域后，利用z的幾何意義計算即可得.

4x-3y-3>0

【解析】實數(shù)MN滿足,x-2y-2W0，作出可行域如圖:

2x+6y-9<0

由z=x-5y可得y=3一卜,

即z的幾何意義為y=的截距的—"

則該直線截距取最大值時，z有最小值，

此時直線y=過點A,

3

4x-3v-3=0右,2,即才4,1),

聯(lián)立2?6；.9力解得

y=l8)

37

則Nmin=--5x1=--

6.A

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【解析】由題意得MUN=(-4,3),

7.C

S-1

【分析】根據(jù)題意分析可得"=e'，討論S與1的大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析

/?-,=e22

判斷.

/S-1115-1

4=------=2.1丁

Inn.n.=e2,1

【解析】由題意可得s_；，解得組

^2=------=2.2=1

In-

若S>1,則可得察〉皆，即

2.12.2c八

C_1C_1

若s=l,則笠=合=0,可得〃廣〃2=1；

4?14?4

若S<1,則三丁<三不~，可得e*ve^，即勺<〃2；

2.12.2cy

結(jié)合選項可知C正確，ABD錯誤；

8.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【解析】由題意不妨設(shè)玉</，因為函數(shù)y=2'是增函數(shù)，所以0<2”<2占，即?！幢亍礊?，

7-r>4-a2/-----把力V4.I，91

對于選項AB：可得上―>J2%2"=22,即21±21>22>0,

22

,再死I

根據(jù)函數(shù)少=log?X是增函數(shù)，所以log?及尹>log?22="^.,故A正確，B錯誤；

對于選項C：例如*=。,巧=1,則凹=1,必=2,

可得1。82匕產(chǎn)=1。&：￡(0,1)，即log?丐"■<1=再+與，故C錯誤：

對于選項D：例如玉=一1,X2=-2,則乂=g,必=:,

可得log?必：%=k)g2]=log23-3e(-2,-l),即log?」：%>—3=&+々,故D錯誤，

2o2

9.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【解析】因為y=42，在R上遞增，月「0.3<0<0.3,

所以0<4.2一°3<4.2°<4.2心，

所以0<4.2~03<1<4.2°3,即0<a<1<〃，

因為y=logsx在(°，+4上遞增，Jao<o.2<i,

所以log420-2<lognl=。，即c<0,

所以b>a>c,

10.{x|-l<x<3}

【分析】求出方程--2X-3=O的解后可求不等式的解集.

【解析】方程X2一2工一3=0的解為工=一1或x=3,

故不等式1—2x—3<0的解集為{刈-1<%<3},

故答案為：{x|7<x<3}.

11.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)求導，含參分類討論得出導函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當時，尸-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)/(x)定義域為(0,+00),f\)=--=—

xaxx

當時,廣(用="二1<0,故〃*)在(0,*o)上單調(diào)遞減;

x

當。>0時，時，八外>0，/(X)單調(diào)遞增，

(1、

當xe0-時，/'(%)<0,7W單調(diào)遞減.

ka)

綜上所述，當。工0時，/⑴在(0,+8)上單調(diào)遞減；

+8)上單調(diào)遞增，在1、

a>0時，/(x)在0-上單調(diào)遞減.

a)

(2)a<2,且x>l時，e'-1-f(x)=e'1-a(x-1)+Inx-1>ev-1-2x+1+Inx,

令g(x)=ex-'-2x+1+Inx(x>1),下證g(x)>0即可.

g\x)=e-l-2+-,再令方(x)=g'(x),則l(x)=ci—二，

XX

顯然h'(x)在。,內(nèi))」:遞增，則l(x)>/f(l)=e0-l=0,

即g'(x)=〃(x)在(l,+oo)上遞增,

故g'(x)>g'(l)=e°-2+l=0,即g(x)在(1,XO)上單調(diào)遞增，

故g(x)>g⑴=c°-2+l+lnl=0,問題得證

12.(1)極小值為0,無極大值.

⑵心-；

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.

(2)求出函數(shù)的二階導數(shù)，就-2<a<0、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

22

【解析】(1)當。=—2時，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故/'(x)=21n(l+x)+^^^-l=21n(l+x)-一—+1,

1+x1+x

因為y=21n(l+x),y=-」一+1在(-1,+8)上為增函數(shù)，

11X

故/(X)在(—1,+8)上為增函數(shù)，而/'⑼=0,

故當T<x<0時，當x>()時，/'?>0,

故/(工)在x=0處取極小值且極小值為/(o)=0,無極大值.

(2)//(.r)=-flln(l+.r)-haX-\=-aln(l0,

i殳s(x)——aIn(l+x)―,x>0,

,/、_-a("I)_4(x+l)+〃+l_ax+2(7+1

則S㈤一x+l(1+力2-(1+x)2_(l+x)2，

當時，s'(x)>0,故S(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

故s(x)>s(O)=O,Bp/(x)>0,

所以/(x)在［0,18)上為增函數(shù)，故/(x"/(O)=O.

當—<4<0時，當0<x<------時，<0,

2a7

故s(x)在(0,-"里)上為減函數(shù)，故在(0,-即里)上s(x)<s(O),

即在(0,-等)上/'(x)〈o即/⑴為減函數(shù)，

故在(0,-即里］上/(x)</(0)=0,不合題意，舍.

當a20,此時s'(x)<0在(0,+。)上恒成立，

同理可得在(0,+8)上/卜)</(0)=0恒成立，不合題意，舍；

綜上，a^>――.

2

3,復數(shù)和平面向量

一、單選題

1.（2024?全國）若二一二l+i,貝ljz=（）

z-1

A.-1-iB.-l+iC.1-iD.1+i

2.（2024?全國）已知向量值=（0.1）3=（2,外,若5_L@-41）,則-=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024?全國）已知z=-l-i,則|z|二（）

A.0B.1C.V2D.2

4.（2024?全國）已知向量滿足,=1,3+2*2,且2））。，則B卜

B歷

A.yc.8D.1

222

5.（2024?全國）設(shè)z=J5i，則z?5二（）

A.-iB.1C.-1D.2

6.（2024?全國）設(shè)z=5+i,則i（z+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.-2

7.（2024?全國）已知向量a=（x+l,x）［=（x,2）,貝ij（）

A.“x=-3”是“￡j_戶的必要條件B.“工=-3”是“2/歹的必要條件

C.“x=0”是“的充分條件D.“x=T+石”是“2/宮”的充分條件

8.（2024?北京）已知：=i-l,則？=（）.

1

A.1-iB.-iC.-1-iD.1

9.（2024?北京）已知向星九人則“伍+5）僅一9=0”是5=族或￡=1”的（）條件.

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

10.（2024?天津）已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)（石+）（石-2i）=

11.（2024?天津）在邊長為1的正方形力8C。中，點E為線段CO的三等分點，

1UUTUUTUUU'

CE=QDE,BE=^BA+〃BC,則％+〃=；若尸為線段上的動點，G為力產(chǎn)中點,

則AF-DG的最小值為.

12.（2024?上海）已知丘R,,=（2,5）,5=（6,R）,且1/而，則左的值為.

2

13.（2024?上海）已知虛數(shù)z,其實部為1,且z+—=加（〃蚱R）,則實數(shù)〃，為

Z

參考答案：

1.C

【分析】由復數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.

【解析】因為‘T、="7—714-11=l+」17=l+i，所以z=l+1L"i.

z-1z-1z-\1

2.D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求r的值.

【解析】因為-所以"僅―4G）=0,

所以/一4工$=0即4+/-4X=0,故X=2,

3.C

【分析】由復數(shù)模的計算公式直接計算即可.

【解析】若2=-1-i,則目=/1）2+（_1）2=五.

4.B

【分析】由（B—2外出得片=21心結(jié)合,卜巾+2可=2,得1+4石+店=1+6片=4,

由此即可.得解.

【解析】因為R—23_1兀所以0-2￡”=0,即片=2"，

又因為卜卜1,卜+2閘=2,

所以1+44.B+4斤=1+6月=4，

從而忖=孝.

5.D

【分析】先根據(jù)共扼復數(shù)的定義寫出三，然后根據(jù)復數(shù)的乘法計算.

【解析】依題意得，；=心,故「=-2i?=2.

6.A

【分析】結(jié)合共挽復數(shù)與復數(shù)的基本運算直接求解.

【解析】由z=5+in三=5—i7+彳=10,則i仁+z）=IOi.

7.C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.

【解析】對A,當右時，則右=0，

所以x-（x+l）+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當x=0時，a==（0,2）,故7B=o，

所以Z_LB,即充分性成立，故C正確；

對B,當￡〃5時，則2（x+l）=f,解得X=1±G，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當x=-l+百時，不滿足2（x+l）=f,所以￡〃分不成立，即充分性不立，故D錯誤.

8.C

【分析】直接根據(jù)復數(shù)乘法即可得到答案.

【解析】由題意得z=i（i-1）=-1,

9.A

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知（不+3＞（1-彼）=0等價于同=問，結(jié)合充分、必要條件分

析判斷.

【解析】因為伍+5）.（力）=-2孑=0,可得/=片,即同=同，

可知（不+孫e_8）=0等價于同二忖，

若或￡=_九可得同=W，即伍+5）.（萬＞）=0,可知必要性成立;

若（方+6）傘一6）=0,即同=W，無法得出￡=B或￡=一兀

例如1=(1,0),5=(0/)，滿足同=W，但［/且］工―?？芍浞中圆怀闪?

綜上所述，肛倒-B)=o”是且力的必要不充分條件.

10.7-5/5i

【分析】借助復數(shù)的乘法運算法則計算即可得.

［解析］(x/5+i)-(>/5-2i)=5+^i-2x^+2=7-.

故答案為：7-x/5i.

45

11.--一

318

【分析】解法一：以｛函,3心｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求樂，即可得義+〃，設(shè)

BF=kBE，求4EQG，結(jié)合數(shù)量積的運算律求酢?麗的最小值；解法二：建系標點，根

/\11UlUuuu

據(jù)向量的坐標運算求而，即可得4”,設(shè)廠(％3。)田€3，°，求“尸,。G，結(jié)合數(shù)量積

的坐標運算求~AF-DG的最小值.

Iuur2uwUJTuiiruuriuuruuur

【解析】解法一：因為CE=-OE,即。萬=一84，貝ijB￡=8C+C￡=-8/l+8C,

233

I4

可得4=§，〃=1，所以4+〃=］；

由題意可知：|瑟卜|茄卜1,0?團=0,

因為歹為線段8E上的動點，設(shè)^^人出后二!&互5+A4乙Ac［0,l］,

則/二刀+而=而+*礪=(g左一1)BA+kRC,

則旃昉+前=_比+萍=叩+［*一時

又因為G為AF中點,

可得萬?麗

乂因為％?0』］,可知：當女=1時，布加取到最小值-3；

1O

解法二：以4為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示,

則4(T0),8(0,0),c((M),o(TiI，

可得而=(-1,0),元=(O,l),而二(一,”,

因為麗=4函+〃脛=(—4〃)，則(一=-3,所以4+〃=；；

〃二1

因為點尸在線段8￡:y=-3X,X€-1,0上，設(shè)廠(凡一?0),〃e-；,0

且G為力F中點，則G(?,j),

可得而=(。+1,-3力麗=(等”11

則"?麗=("1)+(一力5(a+-1--,

2V\2)[5)\0

且“W，所以當。=-!時，酢?萬取到最小值為-3

J31o

12.15

【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示得到方程，解出即可.

【解析】:。//坂，.，.2"=5x6,解得4=15.

13.2

【分析】設(shè)z=l+6i,直接根據(jù)復數(shù)的除法運算，再根據(jù)復數(shù)分類即可得到答案.

【解析】設(shè)z=l+〃i,且小了0.

27b2+3(b3-b}.

Mz+rl+Z,i+-1=m.

b2+3

=m

\+b2

inGR,解得利=2,

b^-b

=0

\+b2

故答案為：2

4.數(shù)列

一、單選題

1.（2024?全國）等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.，若Sg=l,/+%=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

2.（202牛全國）等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若$5=幾，%=1,貝ijq=（）

7

A.-2B.-C.1D.2

二、填空題

3.（2024?全國）記S”為等差數(shù)列?｝的前〃項和，若％+4=7,3%+%=5,則

Sio=-

4.（2024?北京）已知歷="&=&｝,%,“不為常數(shù)列且各項均不相同，下列正確的

是.

①為，2均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素：

②為，包均為等比數(shù)列，則M中最多三個元素：

③?！盀榈炔顢?shù)列，4為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；

④?！皢握{(diào)遞增，以單調(diào)遞減，則M中最多一個元素.

5.（2024?上海）無窮等比數(shù)列｛叫滿足首項6>0,4>1,記/。=卜一），卜,），?囚,。2]3。"％+1]｝，

若對任意正整數(shù)〃集合/“是閉區(qū)間，則的取值范圍是.

三、解答題

6.（2024?全國）設(shè)加為正整數(shù)，數(shù)列％,出，…，”.+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去

兩項《和%（，?<_/）后剩余的4〃?項可被平均分為機組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，

則稱數(shù)列%嗎,…，/叱2是（M）一可分數(shù)列.

⑴寫出所有的億））,13<，46,使數(shù)列小生，.…牝是億力一可分數(shù)列：

⑵當〃吐3時，證明：數(shù)列。2,…，％+2是(2,13)-可分數(shù)列；

(3)從1,2,...,4m+2中一次任取兩個數(shù)i和；(/<j),記數(shù)列％用，…,。+2是(，'，/)-可分數(shù)列的

概率為匕，證明：匕》"

O

7.(2024?全國)已知雙曲線。：/一/=加(〃?>0),點分5,4)在。上，％為常數(shù)，OvCvl.按

照如下方式依次構(gòu)造點勺(〃=2,3,...),過2T作斜率為k口勺直線與C的左支交于點Qz，令E

為關(guān)于y軸的對稱點，記匕的坐標為(X”,以).

(I)若衣=~>求超，y2；

乙1

(2)證明：數(shù)列門“一以｝是公比為界的等比數(shù)列；

1—K

(3)設(shè)S”為AEE+M+2的面積，證明：對任意的正整數(shù)〃,SN=SN.

8.(2024?全國)已知等比數(shù)列｛《｝的前〃項和為S“，且2s,=36用-3.

(I)求｛牝｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛S“｝的通項公式.

9.(2024?全國)記g為數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，且4S“=3%+4.

(1)求｛o”｝的通項公式；

(2)設(shè)“=(-1嚴〃%，求數(shù)列也｝的前〃項和為看.

10.(2024?北京)設(shè)集合M={(jj,s,小w{l,2}Je{3,4},sw{5,6},/w{7,8},2|(i+/+s+/)}.對

于給定有窮數(shù)列力：｛叫（1。48）,及序列叫=&/,鼻，4）eM,定義變

換人將數(shù)列A的第/；",$"項加1,得到數(shù)列4（4）；將數(shù)列1（㈤的第邑人次，G列加1，得

到數(shù)列以（力）…；重復上述操作，得到數(shù)列4…也⑷，記為。（力）.

（1）給定數(shù)列4132,4,6,3,1,9和序列C:（l,3,5,7）,（2,4,6,8）（1,3,5,7）,寫出C（4）；

⑵是否存在序列C,使得Q（力）為％+2,%+6嗎+4M#2,牝+8,4+2,%+4M8+4,若存在,

寫出一個符合條件的O：若不存在，請說明理由；

（3）若數(shù)列A的各項均為正整數(shù)，且勺+%+%+%為偶數(shù)，證明；”存在療列C，使得。（/）

為常數(shù)列”的充要條件為“％+a2=%+4=%+4=%+

11.（2024?天津）已知數(shù)列也,｝是公比大于0的等比數(shù)歹U.其前〃項和為S”.若4=1,

（1）求數(shù)列｛%｝前〃項和5“；

⑵設(shè)“=：'”"：；,"=1,其中左是大于1的正整數(shù).

（i）當〃=&+i時,求證：如之勺也;

（ii）求之”.

/=!

參考答案:

1.D

【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題FI條件全轉(zhuǎn)化成6和d來處理，亦可用等差數(shù)

列的性質(zhì)進行處理，或者特殊值法處理.

【解析】方法一：利用等差數(shù)列的基本量

9x8

由、=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，+d=lo9q+364=1,

2

22

又小+%=q+2d+q+6d=2q+8"=§(9q+36d)=—.

方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由Sg=l,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,

9(。+旬)9(%+%)

故“％+生=§2?

-2---2-

方法三：特殊值法

12

不妨取等差數(shù)列公差4=0,則59=1=94]=%=§,則/+%=2《=§.

2.B

【分析】由$5=品結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得仆=0,即可計算出公差，即可得4的值.

【解析】由50-55=4十%+。8+49十％0=5。3=0,則6=0,

則等差數(shù)列｛4｝的公差”=色9=一；，故6=%-44=1—4x(

JJ'J/J

3.95

【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即

可得到答案.

【解析】因為數(shù)列見為等差數(shù)列，則由題意得J,上型＜，解得',，

3(%+4)+%+4"=5[d=3

10x9

則品=10%+=—d=10x(-4)+45x3=95.

4.①③④

【分析】利用兩類數(shù)列的敵點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合

通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.

【解析】對于①，因為｛?｝,｛4｝均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在宜線上，

而兩條直線至多有一個公共點，故”中至多一個元素，故①正確.

對于②,取q=2"T也=-(-2廣,則｛%｝,｛4｝均為等比數(shù)列,

但當〃為偶數(shù)時，有%=2"7="=-(-2廣，此時M中有無窮多個元素，

故②錯誤.

對于③，設(shè)，=陽"(陽W±l),4.+wO),

若M中至少四個元素，則關(guān)于〃的方程4/"=左〃+。至少有4個不同的正數(shù)解，

若g>O,qwl,則由夕=附”和y=&〃+b的散點圖可得關(guān)于〃的方程/+b至多有兩個

不同的解，矛盾；

若夕<0,夕*±1,考慮關(guān)于〃的方程//=5+方奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，

當Aq''=kn+b有偶數(shù)解，此方程即為川/=的+力，

方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時Ak\n\q\>0,

否則Ak\n\q\<Ot因y=川//=加+6單調(diào)性相反,

方程川同”=加+6至多一個偶數(shù)解，

當=6+6有奇數(shù)解，此方程即為一川夕『=kn+b,

方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時一*ln》|>0即4In|^|<0

否則AkIn|^|>0,因尸-川心=M+b單調(diào)性相反，

方程力同"=￡〃+6至多一個奇數(shù)解，

因為*1川司>0,*ln9|<0不可能同時成立，

故Aqn=kn+力不可能有4個不同的正數(shù)解，故③正確.

對于④，因為｛〃“｝為單調(diào)遞增，｛"｝為遞減數(shù)列，前者放點圖呈上升趨勢，

后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.

5.q>2

【分析】當〃22時，不妨設(shè)xNy,則x-yw[O,生一結(jié)

合/“為閉區(qū)間可得夕-22-^下對任意的〃22恒成立，故可求q的取值范圍.

【解析】由題設(shè)有?！?%尸，因為6>0國>1,故。T>%,故[凡此+1]=[4，1,?！盵，

當〃=1時，肛)，Uq,4]，故—)，<=[〃]一〃2，〃2-"]，此時1為閉區(qū)間，

當〃之2時，不妨設(shè)xNy,若則x-ye[0?2-。』，

若)，?%,生]戶6&,%+1，則”-)，E&-。2嗎+「?！弧?/p>

若x,yw值,4+J,則x-ye[^an+i-an],

綜上，x-y?0M2-6]U[q,-%，-

又/“為閉區(qū)間等價于[0,生一一心，一。J=[°，。用一見]為閉區(qū)間，

而M+i>%+「%>%-《，故。川一凡之冊一。2對任意〃22恒成立,

故?！?1-2〃“+生20即。網(wǎng)"'(^-2)+?2>0,故q"~~(^-2)+1>0,

故q-?N--二對任意的〃N2恒成立，因，/>1,

q'

故當〃->+8時，j->0,故g_2NO即gN2.

q

6.(1)(1,2),(1,6),(5,6)

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)直接根據(jù)億力-可分數(shù)列的定義即可:

(2)根據(jù)(3)-可分數(shù)列的定義即可驗證結(jié)論；

(3)證明使得原數(shù)列是(。)-可分數(shù)列的(。)至少有(〃?+1)2-〃?個，再使用概率的定義.

【解析】(1)首先，我們設(shè)數(shù)列入。2,…，巴7的公差為〃，則丘0.

由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當且僅當該數(shù)列是等差數(shù)

列,

故我們可以對該數(shù)列進行適當?shù)淖冃?=%馬+1（攵=1，2，-，4，〃+2），

得到新數(shù)列4=攵（〃=1,2,...,4加+2）,然后對.，必+2進行相應(yīng)的討論即可.

換言之，我們可以不妨設(shè)4=〃（"=1,2,...,4〃?+2）,此后的討論均建立在該假設(shè)下進行.

問到原題，第1小問相當于從L2,3,4,5,6中取出兩個數(shù)i和/?（，</）,使得剩下四個數(shù)是等差

數(shù)列.

那么剩下四個數(shù)只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的（盯）就是（1,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于從數(shù)列1,2,...,4川+2中取出2和13后，剩余的4〃?個數(shù)可以分為以下兩個部分，共

機組，使得每組成等差數(shù)列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3組；

②{15,16,17,18},{19,20,21、22},...,{4〃?一1,4m,4相+1,46+2},共〃「3組.

（如果加-3=0,則忽略②）

故數(shù)列1,2,...,癡+2是（2,13）一可分數(shù)列.

（3）定義集合力={4%+1|左=0,1,2〉..,〃“={1,5,9』3,…,4加+1},

B={軟+2K=0,1,2,...,w}={2,6,10,14,...,4w+2）.

下面證明，對lKi</K4m+2,如果下面兩個命題同時成立，

則數(shù)列12...,4〃?+2一定是（力）-可分數(shù)列：

命題1：f€力,/€3或i€B,./€力：

命題2：j-i^3.

我們分兩種情況證明這個結(jié)論.

第一種情況：如果且_/—工3.

此時設(shè)i=4占+1,j=4k2+2,&],內(nèi)￡{0,1,2,...,〃”.

則由?可知44+1<4片2+2,即刈一尢>一5，故左2之片.

此時，由于從數(shù)列+2中取出i=他+1和/=*+2后,

剩余的4〃?個數(shù)可以分為以卜.三個部分，共機組，使得每組成等差數(shù)列:

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{軼「3,44—2,他—1,他},共匕組;

②

{4勺+2,4勺+3,4勺+4,4勺+5},{4勺+6,4用+7,4勺