第一講

第一章有理數(shù)

知識點:

’正整數(shù)(如:1,2,3…)

整數(shù)零（0）

負整數(shù)（如2,3…）

有理數(shù)

.正分數(shù)（如：g,5.3,3.8…）

刀數(shù)負分數(shù)（如：―不，——,—2.3,—4.8…）

1.數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（三者缺一不可）。

2.相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

3.絕對值的定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕對值

記作|a|o

4.正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的數(shù)；0的絕對值是0。

a(a>0)_一.越來越太一〉

a(a>0)

0(〃=0)或|Q|<???????

-a(a<0)-3-2-10123

-a(a<0)

絕對值的性質(zhì)：除0外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù);

互為相反數(shù)的兩數(shù)（除0外）的絕對值相等；

任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù)，Wial^O

②若|a|=0,則a=0,

③若|a|=b,則a=±b

④對任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a]

二、有理數(shù)的運算

2.1有理數(shù)加法法則：

加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運算中同樣適用。

靈活運用運算律，使用運算簡化，通常有下列規(guī)律：①互為相反的兩個數(shù)，可以先相加;

②符號相同的數(shù)，可以先相加；

③分母相同的數(shù)，可以先相加；

④幾個數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。

2.2有理數(shù)減法法則：同加法法則

【隨堂練習(xí)】

1.(1)45+(-30)(2)(-EIH-0)(3)(3-11)-(11-2)

(4)22.54+(-4.4)+(-12.54)+4.4(5)(-23)+|—63|+|一

371+(-77)

3+771

⑹(一二8—五)X(一9)(7)—64-(-0.25)X(一

444

(8)(-7)X(--)+13X(--)-6X(--)

2.3有理數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。

②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。

如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1。（如：-2與-、…等）

乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運算中同樣適用。

有理數(shù)乘法運算步驟：

①先確定積的符號；

②求出各因數(shù)的絕對值的積。

乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。

注意：

①零沒有倒數(shù)

②求分數(shù)的倒數(shù)，就是把分數(shù)的分子分母顛倒位置。一個帶分數(shù)要先化成假分數(shù)。

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。

2.4有理數(shù)除法法則：

①兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。

【隨堂練習(xí)】

......2..0

…4..EI

5.....6..團

2.5有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念

求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕。在中，a叫做底數(shù)，n叫

做指數(shù)。

2.乘方的性質(zhì)

(1)負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次累的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次事都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕都是0

注意：

①一個數(shù)可以看作是本身的一次方，如5=51；

②當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。

乘方的運算性質(zhì)：

①正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

②負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)；

③任何數(shù)的偶數(shù)次累都是非負數(shù)；

@1的任何次事都得1,0的任何次幕都得0；

⑤T的偶次累得1;-1的奇次累得T;

⑥在運算過程中，首先要確定幕的符號，然后再計算幕的絕對值。

2.7有理數(shù)混合運算法則：

①先算乘方,再算乘除,最后算加減。

②如果有括號,先算括號里面的。

2.8

科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)和有效數(shù)字

①任何一個數(shù)都可以表示成整數(shù)數(shù)位是一位數(shù)的數(shù)乘以10的n次舞的形式。用字母N表示

數(shù)，則N=aX10n（lW|a|<10,n是整數(shù)），這就是科學(xué)記數(shù)法。

②近似數(shù)和有效數(shù)字

一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。這是，從左邊第一個不是

0的數(shù)字起，到精確的數(shù)為止，所有的數(shù)學(xué)，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

例1.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

（1）水星和太陽的平均距離約為57900000km。（2）冥王星和太陽的平均距離約為

5900000000km。

例2.用四舍五入法，按括號里的要求對下列各數(shù)取近似值。

（1）0.9541（精確到十分位）；（2）2.5678（精確到0.01）；（3）14945（精

確到萬位）；

（4）4995（保留三個有效數(shù)字）；（5）1.00253（保留三個有效數(shù)字）。

練習(xí)：

1.302400=（科學(xué)記數(shù)法表示），

2.近似數(shù)3.10有效數(shù)字是

3.下列四個近似數(shù)中，含有三個有效數(shù)字的是（）

A、0.3140B、0.03140C、1.314D、314

第二講

第二章整式的加減

（用字母表示數(shù)）

代數(shù)式：用基本運算符號把數(shù)和字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，如n,-l,2n+500,abco單獨

的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

單項式：表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)和

多項式：幾個單項式的和叫做多項式。每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)

項。

多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。常數(shù)項的次數(shù)為0。

整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

①代數(shù)式書寫規(guī)范：

②數(shù)與字母、字母與字母中的乘號可以省略不寫或用“表示，并把數(shù)字放到字母前；

③出現(xiàn)除式時，用分數(shù)表示；

帶分數(shù)與字母相乘時，帶分數(shù)要化成假分數(shù)；

若運算結(jié)果為加減的式子，當(dāng)后面有單位時，要用括號把整個式子括起來。

合并同類項

同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。

合并同類項的法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

合并同類項的步驟：（1）準確的找出同類項；（2）運用加法交換律，把同類項交換位置后結(jié)

合在一起；（3）利用法則，把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變；（4）寫出合并后

的結(jié)果。

去括號的法則

（1）括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項的符號都不變；

（2）括號前面是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項的符號都要改變。

整式的加減：進行整式的加減運算時，如果有括號先去括號，再合并同類項。

整式加減的步驟：（1）列出代數(shù)式；（2）去括號；（3）合并同類項。

隨堂練習(xí)：

1.代數(shù)式-7,x,-m,x2y,葉2,-5abd,-中，單項式有____個,其中系數(shù)為1的有_____.

2y

系數(shù)為-1的有,次數(shù)是1的有.

2.把4x2y3,-3x2y4,2x,-7y3,5這幾個單項式按次數(shù)由高到低的順序?qū)懗鍪?

3.當(dāng)5-|x+1|取得最大值時,x=,這時的最大值是.

4.不改變2-xy+3x2y-4xy2的值,把前面兩項放在前面帶有“+”號的括號里，后面兩項放在前

面帶有“-”號的括號里，得.

5.五個連續(xù)奇數(shù)中，中間的一個為2n+l,則這五個數(shù)的和是.

6.某音像社對外出租光盤的收費方法是:每張光盤在租出后的頭兩天每天收0.8元，以后每

天收0.5元,那么一張光盤在租出的第n天（n是大于2的自然數(shù)），應(yīng)收租金_____元.

7.如果m-n=50,則n-m=,5-m+n=,70+2m-2n=.

8,設(shè)M=3a3-10a2-5,N=-2a3+5-10a,P=7-5a-2a2,那么M+2n-3P=.M-3N+2P=.

9.下列判斷中，正確的個數(shù)是（）

①在等式x+8=8+x中,x可以是任何數(shù);②在代數(shù)式一1—中,x可以是任何數(shù)；

x+8

③代數(shù)式x+8的值一定大于8;④代數(shù)式x+8的相反數(shù)是x-8

A.0個B.1個C.2個D.3個

10.一種商品單價為a元,先按原價提高5%,再按新價降低5%,得到單價b元,則a、b的大小

關(guān)系為（）

A.a>bB.a-bC.a<bD.無法確定

11.若x<y<z,貝!J|x-y|+|y-z|+|z-x|的值為（）

A.2x-2zB.0C.2x-2yD.2z-2x

12.對于單項式UV/z的系數(shù)、次數(shù)說法正確的是（）

A.系數(shù)為-2,次數(shù)為8B.系數(shù)為-8,次數(shù)為5

C.系數(shù)為-2*次數(shù)為4D.系數(shù)為-2,次數(shù)為7

13.下列說法正確的有（）

①-1999與2000是同類項②4a2b與-ba?不是同類項

③-5x6與-6x5是同類項④一3g一b）2與（b-a）?可以看作同類項

A.1個B.2個C.3個D.4個

14.己知x是兩數(shù),y是一位數(shù),那么把y放在x的左邊所得的三位數(shù)是（）

A.yxB.x+yC.10y+xD.lOOy+x

15.如果m是三次多項式,n是三次多項式,則m+n一定是（）

A.六次多項式B,次數(shù)不高于三的整式

C.三次多項式D.次數(shù)不低于三的多項式

b

16.若2ax2—x+2=-4x-x+2對任何x都成立,則a+b的值為（）

3

A.-2B.-lC.0D.1

第三講

一元一次方程

知識點：

1.等式及其性質(zhì)

1.1等式

用等號表示相等關(guān)系的式子叫等式。

2.2等式的性質(zhì)

等式性質(zhì)1等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果

仍相等。

a=b,那么a±c=b±c

等式性質(zhì)2等式兩邊乘以同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

a=b,那么ac=bc；如果a=b,那么a/c=b/c（c=0）。

注意：①等式兩邊除以一個數(shù)時，這個數(shù)必須不為0;②對等式變形必須同時進行，且

是同一個數(shù)或式。

1.2含有未知數(shù)的等式叫做方程。

1.3只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫做一元一次方程.

【典型例題】

1.判斷下列各式是不是方程：

(1)-7x+3(2)1+4=5(3)2x+1^3

2.判斷下列方程中是不是一元一次方程:

①％-2=2

②0.1尸1③下一1

@x-2y=0(5)x?-x+2=x?+3x

3.若方程是關(guān)于X的一元一次方程，則1<=

2.解一元一次方程

2.1使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解；求方程解的過程，叫做解方

程。

2.2解一元一次方程的一般步驟：去分母一去括號一移項一合并同類項一系數(shù)化1

例：223

解：第一次去分母，得

42x-3[x-—(%-1)]=4(x-1)

第一次去括號，得

第二次去分母，得

78%+3x—3-8x—8

移項，合并同類項,

73%=-5

把系數(shù)化為1,得

一元一次方程的應(yīng)用1

解題思路

①審題：弄清題意；

②找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

③設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已

找出的等量關(guān)系列出方程；

④解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值;

⑤檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出

答案。

列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：

(1)“找”：看清題意，分析題中及其關(guān)系，找出用來列方程的等量關(guān)系；

(2)“設(shè)”：用字母(例如x)表示問題的未知數(shù)；

(3)“列”：用字母的代數(shù)式表示相關(guān)的量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)“解”：解方程；

(5)“檢”：檢查求得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案;

(6)“答”：答出題目中所問的問題。

一元一次方程應(yīng)用2

【一元一次方程應(yīng)用題的幾種類型】

1.數(shù)量關(guān)系問題

增長量=原有量X增長率現(xiàn)在量=原有量+增長量

2.等積變形問題

常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積義高=S?h="r2h

②長方體的體積丫=長*寬*高=2h

3.數(shù)字問題

一般可設(shè)個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.

十位數(shù)可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

4.市場經(jīng)濟問題

商品利潤

(1)商品利潤=商品售價一商品成本價(2)商品利潤率=商品成本價X100%

(3)商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

(4)商品的銷售利潤=(銷售價一成本價)X銷售量

(5)商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標

價的80%出售.

5.行程問題：路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路程+時間

(1)相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關(guān)系.

6.工程問題：工作量=工作效率X工作時間

完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

7.儲蓄問題

每個期數(shù)內(nèi)的利息

利潤=本金X100%利息=本金X利率X期數(shù)

8.比例問題：若甲、乙的比是3:5,可設(shè)甲為3x,乙為5x

9.分配問題：注意調(diào)配前的數(shù)量關(guān)系，調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系

第四講

圖形的初步認識

知識點：

一、多姿多彩的圖形

（一）知識回顧

1.立體圖形：長方體、正方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等都是立體圖形。

2.平面圖形：三角形、四邊形、多邊形、圓等都是平面圖形。

3.三視圖：從正面看到的圖形稱為正視圖；從上面看到的圖形稱為俯視圖；

4.立體圖形的平面展開圖，正方體的展開圖方式

1.（二）、例題與練習(xí)：

2.畫出下列幾何體的三視圖

g

2.下列幾何體的展開圖是什么

3.(1)以長方形的一邊為軸把長方形繞軸一周得到的立體圖形是什么？

(2)把直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體又是什么？以斜邊呢？

7、填空題.

(1)在立體圖形中，面與面相交成，線與線相交成

(2)圓柱體由個面圍成，圓錐是個面圍成，它們的底面都是，側(cè)面都

是

(3)三棱柱有個頂點，條棱.

⑷圓錐的側(cè)面與底面相交成條線，這條線是線.(填“曲”、“直”)

8.如圖，這是一個由小立方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)

字表示在該位置的小立方體的個數(shù)，請你畫出它的主視圖與左視圖

二、直線、射線和線段

(一)、知識回顧

1.點的表示方法：常用英文大寫字母表示，一個大寫字母表示一點，不同的點要用不同的字母

來表示

2.直線的表示方法：①一條直線可以用在這條直線上的兩個點來表示，如"直線AB"；②一條

直線可以用一個小寫字母來表示,如"直線a"

3.射線的表示方法：

①一條射線可用它的端點和射線上的另一點來表示，端點必須寫在前面，如射線0A；

②一條射線也可用一個小寫字母來表示，如射線b.

4.直線的性質(zhì)：經(jīng)過過兩點有一條直線，并且只有一條直線?；蛘哒f兩點確定一條直線。

5.線段的表示方法：

①一條線段可用它的的兩個端點的兩個大寫字母表示，如線段AB或線段BA；②一條線段

也可用一個小寫字母來表示，如線段a

①注意：①表示直線、射線和線段時，都要在字母的前面寫上直線、射線或線段；②用兩

個大寫字母表示直線或線段時，兩個字母的地位平等，可以交換位置；表示射線的兩個

字母不能交換位置，必須把端點字母放在前面

②6.線段的畫法、連接AB的意義、線段的延長線

③用直尺可以畫出以A.B為端點線段,畫時注意不要向任何一方延伸；

連接A.B的意義就是畫出以A.B的線段；

③線段的延長線:延長AB是指由A到B的方向延長,延BA是指由B到A的方向延長(也可說成反

向延長AB）,注意延長線應(yīng)畫成虛線.

7.畫一條線段等于已知線段：①度量法②尺規(guī)作圖

8.線段的中點及等分點的概念：如圖，

點B把線段AC分成相等的兩條線段,點B叫線段AC的中點，這時有AC=2AB=2BC,AB=BC=AC；

點B和點C把線段AD分成等的三段，點B和點C叫線段AD的三等分點；類似的，還有線段的

四等分點等.

9.線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短。

10.兩點的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點間的距離。

（二）例題分析

例1.如圖，已知CB=4,DB=7,D是AC的中點，則AC=.

例2.如圖，M是AB的中點，AB=BC,N是BD的中點，且BC=2CD,如果

AB=2cm,求AD、AN的長.

三、角

（一）、知識回顧

1.角的概念：（1）有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角。這個公共端點叫做角的頂點，這兩

條射線叫做角的兩條邊，（2）也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形。（4）射

線0A繞點0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OC和起始位置0A成一條直線時