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文檔簡(jiǎn)介
專題10統(tǒng)計(jì)
考情概覽
命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)
1.高考對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查,重點(diǎn)是以下考點(diǎn)2022?新高考n卷,19(1)
(1)分層隨機(jī)抽樣頻率分布直方圖、頻數(shù)分布表2023?新高考n卷,19(1)
(2)統(tǒng)計(jì)圖表2024?新高考n卷,4
(3)會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì),獨(dú)立性檢驗(yàn)2022?新高考I卷,20(1)
會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).
(4)能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)
和總體離散程度.
(5)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征2023?新高考I卷,9
(6)理解一元線性回歸模型和2x2列
聯(lián)表,會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際
問題.
2024年真題研析
命題分析
2024年高考新高考I卷未考查統(tǒng)計(jì)相關(guān)內(nèi)容,n卷中考查了頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的求法。統(tǒng)計(jì)
的考查應(yīng)關(guān)注:相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析等。這些考驗(yàn)的是學(xué)
生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的數(shù)字特
征,可以多留意方差的計(jì)算方法!
試題精講
一、單選題
1.(2024新高考n卷—4)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的
畝產(chǎn)量(均在[900,1200)之間,單位:kg)并部分整理下表
畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)
頻數(shù)612182410
據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)論中正確的是()
A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
近年真題精選
一、多選題
1.(2023新高考I卷-9)有一組樣本數(shù)據(jù)看,無2,…,%,其中X1是最小值,%是最大值,則()
A.無2,%,%4,尤5的平均數(shù)等于西,龍2,「無6的平均數(shù)
B.々,當(dāng)多,Z的中位數(shù)等于玉,々,…,乙的中位數(shù)
C.X2,X3,JC4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于再,馬,…,Z的標(biāo)準(zhǔn)差
D.尤2,工3戶4,匕的極差不大于占,工2,…,無6的極差
二、解答題
1.(2022新高考I卷20)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為
良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時(shí)在未患該
疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):
不夠良好良好
病例組4060
對(duì)照組1090
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?
附片=______〃(〃—姐之______,
(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)
P(K2>k0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
2.(2022新高考n卷?19)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下
的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
3.(2023新高考n卷-19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性,小于或等于C的人判
定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為"(c);誤診率是將未患病者判定為陽
性的概率,記為式C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)當(dāng)漏診率P(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);
必備知識(shí)速記
一、分層隨機(jī)抽樣
1、分層隨機(jī)抽樣的概念
一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總
體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為
分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.
2、分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算
在分層隨機(jī)抽樣中,以層數(shù)是2為例,如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為拉和N,抽取的樣本量分
別為根和〃,第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為口y,樣本平均數(shù)位右,則
—―N_772—77————
3=------x+------V=——x+------y.我們可以采用樣本平均數(shù)①估計(jì)總體平均數(shù)W
M+NM+Nm+nm+n
二、樣本的數(shù)字特征
1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù),眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.
(2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列,把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均
數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.
(3)平均數(shù):"個(gè)樣本數(shù)據(jù)占,…戶”的平均數(shù)為最=%%…,反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平,公式變
形:="X.
1=1
2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差
(1)標(biāo)準(zhǔn)差:標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是否,々,…,當(dāng),
2
表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則標(biāo)準(zhǔn)差S=、匕(&<)2+每一井+…+(Xn-x)].
Vn
(2)方差:方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方,即Y=」(X「X)2+(X2-X)2+-+(X“-X)2].顯然,在刻畫樣本數(shù)據(jù)
n
的分散程度上,方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.在解決實(shí)際問題時(shí),多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
(3)數(shù)據(jù)特征
標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,則數(shù)據(jù)的離散程度越大;
標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小.
三、頻率分布直方圖
1、頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法
頻率
①而X組距=頻率?
頻數(shù)頻數(shù)
②"+…裊=頻率,寸=樣本容量,樣本容量X頻率=頻數(shù).
樣本容量頻率
③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于1.
2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算
(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左(右)側(cè)矩形面積之和等
于0.5,即可求出x.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中
點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和,即有(=國(guó)口+國(guó)回+…+X”0”,其中當(dāng)為每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn),已為每個(gè)小長(zhǎng)方形
的面積.
四、百分位數(shù)
1、定義
一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少
有(100-0%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
2、計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的的第2百分位數(shù)的步驟
(1)按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
(2)計(jì)算i=〃x〃%.
(3)若,不是整數(shù)而大于z?的比鄰整數(shù)則第p百分位數(shù)為第,項(xiàng)數(shù)據(jù);若,是整數(shù),則第p百分位數(shù)為
第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
3、四分位數(shù)
我們之前學(xué)過的中位數(shù),相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中,除了中位數(shù)外,常用的分位數(shù)還有第25
百分位數(shù),第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).
五、變量間的相關(guān)關(guān)系
1、變量之間的相關(guān)關(guān)系
當(dāng)自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性,則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于相關(guān)
關(guān)系的不確定性,在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中,統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收集大
量的數(shù)據(jù),在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,對(duì)它們的關(guān)系作出判斷.
注意:相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的,相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系,函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而且
函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.
2、散點(diǎn)圖
將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(士,%)(,=1,2,…,〃)描在平面直角坐標(biāo)系中,所得圖形叫做散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)
的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系.
(1)如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為
正相關(guān),如圖(1)所示;
(2)如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為
負(fù)相關(guān),如圖(2)所示.
⑴⑵
3、相關(guān)系數(shù)
若相應(yīng)于變量x的取值玉,變量歹的觀測(cè)值為乂(14話〃),則變量x與歹的相關(guān)系數(shù)
“__〃___
Z(玉一X)(B-y)ZXiyi-nxy
r=下皂-----------------F==皂=F----------,通常用r來衡量x與y之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱,r
(匕-力(%_y)2、位X2,--nx2l^y\-ny
Vz=lz=lVi=lVi=l
的范圍為-1V"1.
(1)當(dāng)r>0時(shí),表示兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).
(2)同越接近1,表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);卜|越接近0,表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)
系.當(dāng)川=1時(shí),所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上.
(3)通常當(dāng)上|>0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
六、線性回歸
1、線性回歸
線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)的方法.
對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi,yj),(必,>2),…,y?),其回歸方程了=A+a的求法
為
〃__“__
E(%-x)(y,-y)Z〃孫
2=^---------------——=三-----—
£(x,-x)2^X,2-nx"
i=li=l
a=y-bx
_1n_1n__
其中,%=—y%,.,y=—,(%,了)稱為樣本點(diǎn)的中心.
n,=in,=1
2,殘差分析
對(duì)于預(yù)報(bào)變量y,通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值%,通過回歸方程得到的i稱為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值減去預(yù)
測(cè)值等于殘差,g稱為相應(yīng)于點(diǎn)(8%)的殘差,即有。=%-%一殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果,通過對(duì)殘差
的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱為殘差分
析.
(1)殘差圖
通過殘差分析,殘差點(diǎn)(與自)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適,其中這樣的帶
狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型擬合精確度越高;反之,不合適.
(2)通過殘差平方和。=-%)2分析,如果殘差平方和越小,則說明選用的模型的擬合效果越好;反
Z=1
之,不合適.
(3)相關(guān)指數(shù)
(?.-%)2
用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果,其計(jì)算公式是:R2=l-V.
£(凹-歹)2
1=1
爐越接近于1,說明殘差的平方和越小,也表示回歸的效果越好.
七、非線性回歸
解答非線性擬合問題,要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型,設(shè)出回歸方程,通過換元將陌生的非線性回
歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.
求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值,然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù),還原后即
可求出非線性回歸方程,再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè),注意計(jì)算要細(xì)心,避免計(jì)算錯(cuò)誤.
1、建立非線性回歸模型的基本步驟:
(1)確定研究對(duì)象,明確哪個(gè)是解釋變量,哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量;
(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖,觀察它們之間的關(guān)系(是否存在非線性關(guān)系);
(3)由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系,一般選用反比例函數(shù)、二次函
數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)模型等);
(4)通過換元,將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型;
(5)按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法),得到線性回歸方程;
(6)消去新元,得到非線性回歸方程;
(7)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否合適等.
八、獨(dú)立性檢驗(yàn)
1、分類變量和列聯(lián)表
(1)分類變量:
變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量.
(2)列聯(lián)表:
①定義:列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.
②2x2列聯(lián)表.
一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為{%,%}和{必,%},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為
2x2列聯(lián)表)為
必>2總計(jì)
再aba+b
%Cdc+d
總計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d
從2x2列表中,依據(jù),二與,的值可直觀得出結(jié)論:兩個(gè)變量是否有關(guān)系.
a+bc+d
2、等高條形圖
(1)等高條形圖和表格相比,更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響,常用等高條形圖表示列聯(lián)
表數(shù)據(jù)的頻率特征.
(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)4與,相差很大,就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.
a+bc+d
3、獨(dú)立性檢驗(yàn)
計(jì)算隨機(jī)變量/=-----"(ad-bcf-------利用力2的取值推斷分類變量》和y是否獨(dú)立的方法稱為*獨(dú)
(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)
立性檢驗(yàn).
a0.100.050.0100.0050.001
Xa2.7063.8416.6357.87910.828
【統(tǒng)計(jì)常用結(jié)論】
均數(shù)、方差的性質(zhì):如果數(shù)據(jù)……,%的平均數(shù)為嚏,方差為$2,那么
①一組新數(shù)據(jù)x,+b,x2+b,……xn+b的平均數(shù)為x+b,方差是G.
②一組新數(shù)據(jù)辦],辦2'...的平均數(shù)為4X,方差是42s2.
③一組新數(shù)據(jù)%+b,ax2+b,...,axn+b的平均數(shù)為ax+b,方差是a2s2.
常見的非線性回歸模型
(1)指數(shù)函數(shù)型歹=0優(yōu)(Q>0且QWl,C>0)
兩邊取自然對(duì)數(shù),lny=ln(ca"),即Iny=Inc+xlna,
令1"',原方程變?yōu)閖/=lnc+x」nQ,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y=blnx+Q
令,原方程變?yōu)閥'=6/+a,然后按線性回歸模型求出b,a.
x=lnx
(3)幕函數(shù)型歹="'
兩邊取常用對(duì)數(shù),lgy=lg(ax〃),即Igy=〃lgx+lgq,
令,原方程變?yōu)榱?謁+Iga,然后按線性回歸模型求出”,Iga.
[x=lgx、
(4)二次函數(shù)型y=6x2+。
令,原方程變?yōu)榱?及'+。,然后按線性回歸模型求出6,a.
[x=x
(5)反比例函數(shù)型y=a+2型
X
yf=y
令,1,原方程變?yōu)閂=b£+。,然后按線性回歸模型求出6,
X=—
、X
名校模擬探源
一、單選題
1.(2024?河南?三模)已知某學(xué)校高三年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)分別為40,30,50,學(xué)校計(jì)劃采用按
比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個(gè)班級(jí)中評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生,已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人,則
高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為()
A.16B.30C.24D.18
2.(2024?山東?二模)某校高三共有200人參加體育測(cè)試,根據(jù)規(guī)則,82分以上的考生成績(jī)等級(jí)為A,則
3.(2024?浙江紹興?三模)有一組樣本數(shù)據(jù):2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)
字特征中,數(shù)值最大的為()
A.第75百分位數(shù)B.平均數(shù)C.極差D.眾數(shù)
4.(2024?山西?三模)某次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì),設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門,學(xué)生守門.已知參與射門比賽
的教師有60名,進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13,其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8,
女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2,則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為()
A.15B.16C.17D.18
5.(2024?四川涼山?三模)樣本數(shù)據(jù)西,々,…,x”的平均數(shù)元=4,方差s?=l,則樣本數(shù)據(jù)2%+1,2x2+l,
…,2x“+l的平均數(shù),方差分別為()
A.9,4B.9,2C.4,1D.2,1
6.2024?四川成都?三模)“數(shù)九”從每年冬至”當(dāng)天開始計(jì)算,每九天為一個(gè)單位,冬至后的第81天,“數(shù)
九”結(jié)束,天氣就變得溫暖起來.如圖,以溫江國(guó)家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023—2024年從“一九”
至IJ“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”(單位:℃),下列說法正確的是()
數(shù)九寒天氣溫對(duì)比
^平均氣溫匚二1多年平均氣溫單位:℃
一九二九三九四九五九六九七九八九九九
A.“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升
B.“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1”℃
C.“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差
D.“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差
7.(2024?陜西?三模)2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu),其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下:①本題共
3小題,每小題6分,滿分18分;②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng),全部選對(duì)得6分,有
選錯(cuò)的得。分;③部分選對(duì)得部分分(若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè),漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分;若某小題正
確選項(xiàng)為三個(gè),漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分,漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分).已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考
試中,小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分,第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng),第三小題隨機(jī)地選了
一個(gè)選項(xiàng),則小明同學(xué)多選題所有可能總得分(相同總分只記錄一次)的中位數(shù)為()
A.9B.10C.11D.12
8.(2024?浙江?三模)在對(duì)某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中,采用樣本量比例分配的分層隨
機(jī)抽樣,如果不知道樣本數(shù)據(jù),只知道抽取了男生80人,女生120人,其方差分別為15,10,由此估計(jì)樣
本的方差不可能為()
A.11B.13C.15D.17
9.(2024?安徽安慶?三模)已知一組數(shù)據(jù)%,Z,的平均數(shù)為"另一組數(shù)據(jù)M,的平均數(shù)為
歹⑸R刃.若數(shù)據(jù)再,Z,…,%必匕的平均數(shù)為牙=加+(1-。)》,其中g(shù)<a<l,則加,"的大小關(guān)系
為()
A.m<nB.m>nC.m=nD.犯〃的大小關(guān)系不確定
10.(2024?陜西榆林?三模)在一次數(shù)學(xué)模考中,從甲、乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績(jī),甲班的十個(gè)人成
績(jī)分別為石、々、…、石。,乙班的十個(gè)人成績(jī)分別為必,%,…,必。.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同、方差也相同,則把
這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后()
A.中位數(shù)一定不變,方差可能變大
B.中位數(shù)可能改變,方差可能變大
C.中位數(shù)一定不變,方差可能變小
D.中位數(shù)可能改變,方差可能變小
二、多選題
11.(2024?全國(guó)?三模)在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中,甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)情況如下表:
班級(jí)人數(shù)平均分方差
甲45881
乙45902
記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)的總平均分為,總方差為則()
A.x=88B.x=89C.?=8.6D.$2=2.5
12.(2024?廣東廣州?三模)在某次學(xué)科期末檢測(cè)后,從全部考生中選取100名考生的成績(jī)(百分制,均為
整數(shù))分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)五組后,得到如下圖的頻率分布直方圖,則
B.低于70分的考生人數(shù)約為40人
C.考生成績(jī)的平均分約為73分D.估計(jì)考生成績(jī)第80百分位數(shù)為83分
13.(2024?河北?三模)根據(jù)中國(guó)報(bào)告大廳對(duì)2023年3月?10月全國(guó)太陽能發(fā)電量進(jìn)行監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì),太陽能
發(fā)電量(單位:億千瓦時(shí))月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表:
月份3456
發(fā)電量/億千瓦時(shí)242.94230.87240.59259.33
月份78910
發(fā)電量/億千瓦時(shí)258.9269.19246.06244.31
關(guān)于2023年3月?10月全國(guó)太陽能發(fā)電量,下列四種說法正確的是()
A.中位數(shù)是259.115B.極差是38.32
C.第85百分位數(shù)是259.33D.第25百分位數(shù)是240.59
14.(2024?廣東汕頭?三模)下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖,下列說法判斷正確的是()
A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差
B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)
C.樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差
D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)
15.(2024?黑龍江?三模)在某市初三年級(jí)舉行的一次體育考試中(滿分100分),所有考生成績(jī)均在[50,100]
內(nèi),按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成五組,甲、乙兩班考生的成績(jī)占比如圖所示,則
下列說法錯(cuò)誤的是()
60.00%
50.00%
40.00%
30.00%
20.00%
10.00%
0.00%
[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
甲班成績(jī)占比乙班成績(jī)占比
A.成績(jī)?cè)冢?0,80)的考生中,甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)
B.甲班成績(jī)?cè)冢?0,90)內(nèi)人數(shù)最多
C.乙班成績(jī)?cè)冢?0,80)內(nèi)人數(shù)最多
D.甲班成績(jī)的極差比乙班成績(jī)的極差小
三、解答題
16.(2024?青海海南?二模)某青少年跳水隊(duì)共有100人,在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后,教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)
試,分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖,如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.
頻率頻率
圖2
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
⑵我們規(guī)定得分80分以上(含80分)的為“優(yōu)秀”,低于80分的為“非優(yōu)秀”.
優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)
強(qiáng)化訓(xùn)練前
強(qiáng)化訓(xùn)練后
合計(jì)
將上面的表格補(bǔ)充完整,并回答能否有99.5%的把握認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).
?n(ad-be)2,,
Bff:K2=---------------------------------,n=a+b+c+d.
(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)
2
p(K>k0)0.050.0100.0050.001
3.8416.6357.87910.828
17.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))某公司新研發(fā)了一款智能燈,此燈有拍照搜題功能,學(xué)生遇到疑難問題,通過
拍照搜題后,會(huì)在顯示屏上顯示該題的解答過程以及該題考查的知識(shí)點(diǎn)與相應(yīng)的解題方法該產(chǎn)品投入市場(chǎng)
三個(gè)月后,公司對(duì)部分用戶做了調(diào)研:抽取了200位使用者,每人填寫一份評(píng)分表(滿分為100分),現(xiàn)
從200份評(píng)分表中,隨機(jī)抽取40份(其中男、女使用者的評(píng)分表各20份)
作為樣本,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的數(shù)據(jù):
女生使用者評(píng)分:67,71,72,75,80,83,83,83,84,84,85,86,88,90,90,91,92,92,92,
92
男生使用者評(píng)分:67,68,69,69,70,72,72,73,74,75,76,76,77,78,79,82,84,84,89,
92
記該樣本的中位數(shù)為“,按評(píng)分情況將使用.都對(duì)該智能燈的態(tài)度分為兩種類型:評(píng)分不小于”的稱為"滿
意型”,其余的都稱為“不滿意型”.
⑴求”的值,填寫如下2x2列聯(lián)表
女生評(píng)分男生評(píng)分合計(jì)
“滿意型”人數(shù)
“不滿意型”人數(shù)
合計(jì)
(2)能否有99%的把握認(rèn)為滿意與性別有關(guān)?
參考公式與數(shù)據(jù):K2=(a+?(,d)(a/c)伍+d)
P(K2>Q0.10.050.0250.01
2.7063.8415.0246.635
18.(2024?河南鄭州?三模)按照《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定,每年生態(tài)環(huán)境部都會(huì)會(huì)同國(guó)家發(fā)
展改革委等部門共同編制《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》,并向社會(huì)公開發(fā)布.下表是2017-2021年五年《中國(guó)
生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國(guó)土面積的百分比(%%):
年份2017年2018年2019年2020年2021年
年份代碼七12345
X-6.45.55.04.83.8
(1)求2017—2021年年份代碼若與%的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);
(2)請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中V與x之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述,并求出了關(guān)于x的
經(jīng)驗(yàn)回歸方程;
(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比.
(回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
,可包-刃/55
2
b=-^-i---------------,a=y-bx,\工毛乂=70.6,^^=133.69
Z=1
J^7364?
附:樣本相關(guān)系數(shù),r=
方(%-元)藝(乂一刃2
z=li=\
19.(2024?陜西渭南?三模)某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí),舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽,從
所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本,將100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90]分成6組,并整理得到如下頻率分布直方圖.
(1)請(qǐng)通過頻率分布直方圖估計(jì)這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
和中位數(shù);
(2)該市決定表彰知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排名前30%的市民,某市民知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)是78,請(qǐng)估計(jì)該市民能否得到表
彰.
20.(2024?江西九江?三模)車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素,汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室
通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù),如下表所示:
行駛里程X/萬km0.00.41.01.62.42.83.44.4
輪胎凹槽深度〃/mm8.07.87.26.25.64.84.44.0
其也=79.68,£(尤,-可2=16.24岳(%-寸應(yīng)%-盯”1656
z=lz=lVz=lVi=l
(1)求該品牌輪胎凹槽深度〃與行駛里程X的相關(guān)系數(shù)/,并判斷二者之間是否具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性;(結(jié)
果保留兩位有效數(shù)字)
(2)根據(jù)我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:轎車輪胎凹槽安全深度為1.6mm(當(dāng)凹槽深度低于1.6mm時(shí)剎車距離增大,駕
駛風(fēng)險(xiǎn)增加,必須更換新輪胎).某人在保養(yǎng)汽車時(shí)將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎,請(qǐng)問在
正常行駛情況下,更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對(duì)輪胎再次更換?
附:變量X與歹的樣本相關(guān)系數(shù)廠=/回〃-/-可--;臥對(duì)于一H組數(shù)據(jù)(七,必),(X2,%)’........................................................,
(%,%),其線性回歸方程夕的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
八-于)(%-刃.
g二旦。-----------,a^y-bx
t(巧-亍『
Z=1
21.(2024?內(nèi)蒙古?三模)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了甲12次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙8次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù),得到如下
數(shù)據(jù):
甲777377818581778593737781
乙7181737371738573
已知甲12次投籃次數(shù)的平均數(shù)80,乙8次投籃次數(shù)的平均數(shù)京=75.
(1)求這20次投籃次數(shù)的中位數(shù)加,估計(jì)甲每次訓(xùn)練投籃次數(shù)超過機(jī)的概率;
(2)求這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)嚏與方差$2.
22.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))近年來,馬拉松比賽受到廣大體育愛好者的喜愛.某地體育局在五一長(zhǎng)假期
間舉辦比賽,志愿者的服務(wù)工作是成功舉辦的重要保障.現(xiàn)抽取了200名候選者的面試成績(jī),并分成六組:
第一組[40,50),第二組[50,60),第三組[60,70),第四組[70,80),第五組[80,90),第六組[90,100),繪制
成如圖所示的頻率分布直方圖.
男生女生合計(jì)
被錄取20
未被錄取
合計(jì)
⑴求加;
(2)估計(jì)候選者面試成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)在抽出的200名候選者的面試成績(jī)中,若規(guī)定分?jǐn)?shù)不低于80分的候選者為被錄取的志愿者,已知這200
名候選者中男生與女生人數(shù)相同,男生中有20人被錄取,請(qǐng)補(bǔ)充2x2列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)
為“候選者是否被錄取與性別有關(guān)”.
“2______"(ad-6cA_______,
附:K-:~r~,\,~7\,其中〃=a+6+c+d.
(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)
2
p(K>k0)0.050.0100.0050.001
k03.8416.6357.87910.828
專題10統(tǒng)計(jì)
考情概覽
命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)
1.高考對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查,重點(diǎn)是以下考點(diǎn)2022?新高考n卷,19(1)
(1)分層隨機(jī)抽樣頻率分布直方圖、頻數(shù)分布表2023?新高考n卷,19(1)
(2)統(tǒng)計(jì)圖表2024?新高考n卷,4
(3)會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì),獨(dú)立性檢驗(yàn)2022?新高考I卷,20(1)
會(huì)求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).
(4)能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)
和總體離散程度.
(5)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征2023?新高考I卷,9
(6)理解一元線性回歸模型和2x2列
聯(lián)表,會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際
問題.
2024年真題研析
命題分析
2024年高考新高考I卷未考查統(tǒng)計(jì)相關(guān)內(nèi)容,n卷中考查了頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的求法。統(tǒng)計(jì)
的考查應(yīng)關(guān)注:相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析等。這些考驗(yàn)的是學(xué)
生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的數(shù)字特
征,可以多留意方差的計(jì)算方法!
試題精講
一、單選題
1.(2024新高考n卷—4)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的
畝產(chǎn)量(均在[900,1200)之間,單位:kg)并部分整理下表
畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)
頻數(shù)612182410
據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)論中正確的是()
A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
【答案】C
【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A;計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù),再計(jì)算比例即可判斷B;根據(jù)極差計(jì)
算方法即可判斷C;根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,6+12+18=36<50,
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,
所以低于1100kg的稻田占比1為00-3愣466%,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確;
對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得,畝產(chǎn)量在[1050,1100)的頻數(shù)為100-(6+12+18+24+10)=30,
所以平均值為焉x(6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067,故D錯(cuò)誤.
故選;C.
近年真題精選
一、多選題
1.(2023新高考I卷勺)有一組樣本數(shù)據(jù)再廣2,…其中占是最小值,%是最大值,則()
A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于%,Z,…多的平均數(shù)
B.工2,無3,七,%的中位數(shù)等于尤1,工2,…,%的中位數(shù)
C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于再,馬,…區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)差
D.工2,9,匕,匕的極差不大于國(guó)也,…,迎的極差
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:設(shè)工2用,無4,%的平均數(shù)為加,無,1%,…,%的平均數(shù)為",
貝0龍]+X?++X4++%6*2+X3+X4+尤52(X[+工6)一+X2++)
〃一"’―64-12
因?yàn)闆]有確定2(%+乙),x5+x2+x3+X4的大小關(guān)系,所以無法判斷孫力的大小,
例如:1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5;
例如1,1,1,1,1,7,可得冽=1,〃=2;
例如1,2,2,2,2,2,可得加=2,〃=?;故A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B:不妨設(shè)再<x2<x3<x4<x5<x6,
可知為2戶3,期,%的中位數(shù)等于國(guó),…,X6的中位數(shù)均為玉產(chǎn),故B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)閄1是最小值,苫6是最大值,
則工2,W,匕,毛的波動(dòng)性不大于玉,3,…,Z的波動(dòng)性,即X2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于國(guó),3,…,X6的標(biāo)準(zhǔn)差,
例如:2,4,6,8,10,12,貝!I平均數(shù)”=^(2+4+6+8+10+12)=7,
6
標(biāo)準(zhǔn)差S|=^1[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]=,
4,6,8,10,貝1|平均數(shù)機(jī)=;(4+6+8+10)=7,
標(biāo)準(zhǔn)差S2二^1[(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2]=,
顯然?1>右,即電>S2;故C錯(cuò)誤;
3
對(duì)于選項(xiàng)D:不妨設(shè)玉Ax24%WXs4%,
則%-占2%-馬,當(dāng)且僅當(dāng)國(guó)=Z65=%時(shí),等號(hào)成立,故D正確;
故選:BD.
二、解答題
1.(2022新高考I卷20)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為
良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時(shí)在未患該
疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):
不夠良好良好
病例組4060
對(duì)照組1090
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?
n(ad-bcf
附片=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
【答案】⑴答案見解析
【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值,將其與臨界值比較大小,由此確定是否有99%的把握認(rèn)為
患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異;(2)⑴根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明;(ii)
根據(jù)(i)結(jié)合已知數(shù)據(jù)求心
n(ad-be)2200(40x90-60x10)^_
【詳解】(1)由已知小24
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100'
XP(A:2>6.635)=0.01,24>6,635,
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
2.(2022新高考II卷?19)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下
的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
【答案】⑴47.9歲;
【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出;
【詳解】(1)平均年齡元=(5X0.001+15X0.002+25X0.012+35X0Q17+45X(1023
+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).
3.(2023新高考n卷?19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差
異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性,小于或等于C的人判
定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為"(c);誤診率是將未患病者判定為陽
性的概率,記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率
【答案】(l)c=97.5,#)=3.5%;
【分析】(1)根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出c,再根據(jù)第二個(gè)圖求出c297.5的矩形面積即可解出;
【詳解】(1)依題可知,左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,
所以(c-95)x0.002=0.5%,解得:c=97.5,
q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0,002=0.035=3.5%.
必備知識(shí)速記
一、分層隨機(jī)抽樣
1、分層隨機(jī)抽樣的概念
一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總
體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為
分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.
2、分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算
在分層隨機(jī)抽樣中,以層數(shù)是2為例,如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N,抽取的樣本量分
別為機(jī)和〃,第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為口y,樣本平均數(shù)位右,則
—_N—YYI—H———
@=------X+-------v=-----X+-----工我們可以采用樣本平均數(shù)Q估計(jì)總體平均數(shù)少
M+NM+Nm+nm+n
二、樣本的數(shù)字特征
1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù),眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.
(2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列,把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均
數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.
(3)平均數(shù):"個(gè)樣本數(shù)據(jù)占x”的平均數(shù)為1%%…^,反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平,公式變
n
形:="X.
i=l
2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差
(1)標(biāo)準(zhǔn)差:標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用S表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是4%,…,當(dāng),嚏
表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則標(biāo)準(zhǔn)差5=、,(再4)2+&F+…+(%-初.
Vn
1___
(2)方差:方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方,即s2=—[(X]-x)2+(%-x)2+-+(x,-x)2].顯然,在刻畫樣本數(shù)據(jù)
n
的分散程度上,方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.在解決實(shí)際問題時(shí),多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
(3)數(shù)據(jù)特征
標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,則數(shù)據(jù)的離散程度越大;
標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小.
三、頻率分布直方圖
1、頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法
②母+…裊=頻率,而葺=樣本容量,樣本容量X頻率=頻數(shù).
樣本容量頻率
③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于1.
2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算
(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左(右)側(cè)矩形面積之和等
于0.5,即可求出x.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中
點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和,即有(=再月+%月+…+XM“,其中斗為每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn),%為每個(gè)小長(zhǎng)方形
的面積.
四、百分位數(shù)
1、定義
一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少
有(100-0%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
2、計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的的第?百分位數(shù)的步驟
(1)按從
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