第二章整式的乘法（知識歸納+題型突破）1、了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；會用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)（包括在計(jì)算器上表示）．2、理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號的法則；能進(jìn)行簡單的整式加減運(yùn)算，能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算（多項(xiàng)式乘法僅限于一次式之間和一次式與二次式的乘法）．3、理解乘法公式a+ba?b=1、概念（1）單項(xiàng)式：像x、7、，這種數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的次數(shù)：一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù)。單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。（2）多項(xiàng)式：幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式的次數(shù):多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個多項(xiàng)式的次數(shù)。不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。升（降）冪排列：把一個多項(xiàng)式按某一個字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗?xiàng)式按這個字母升（降）冪排列。（3）同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。2、運(yùn)算（1）整式的加減：合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項(xiàng)都不變；括號前面是“–”號，把括號和它前面的“–”號去掉，括號里的各項(xiàng)都變號。添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項(xiàng)都不變；括號前面是“–”號，括到括號里的各項(xiàng)都變號。整式的加減實(shí)際上就是合并同類項(xiàng)，在運(yùn)算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項(xiàng)。（2）整式的乘除：冪的運(yùn)算法則：其中m、n都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘：；同底數(shù)冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個單項(xiàng)，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，題型一同底數(shù)冪的乘法【例1】（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【例2】（2023上·海南海口·八年級?？计谥校┰诘仁街?，括號內(nèi)所填的代數(shù)式應(yīng)當(dāng)是（

）．A． B． C． D．【例3】（2024上·上海浦東新·七年級?？计谀┑挠?jì)算結(jié)果是（

）A． B． C． D．【例4】（2023上·河南周口·七年級周口市第四初級中學(xué)校考期中）在學(xué)習(xí)第一章有理數(shù)時，類比小學(xué)兩個正數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減法、有理數(shù)的乘除法，在第二章整式的加減時，類比第一章有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程學(xué)習(xí)了整式的加減，那么整式的乘法是否可以類比有理數(shù)的乘法進(jìn)行學(xué)習(xí)呢?我們從特殊情況入手對兩個同底數(shù)冪相乘進(jìn)行探究．（1）探究根據(jù)乘方的意義填空，觀察計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?①，②，③，（2）規(guī)律（都是正整數(shù)）．即______．（文字表達(dá)）（3）應(yīng)用①計(jì)算；②把看成一個整體，計(jì)算．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·重慶江北·八年級?？计谥校┯?jì)算：的結(jié)果是（

）A． B． C． D．a(chǎn)2．（2024上·上海浦東新·七年級校考期末）已知，則下列給出之間的數(shù)量關(guān)系式中，錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）已知，，m，n為正整數(shù)，則為（

）.A． B． C． D．4．（2023上·甘肅武威·八年級?？计谀┮阎?，求的值是（

）A．5 B．10 C．15 D．205．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）若，則．6．（2023上·上海浦東新·七年級校聯(lián)考期末）已知：，那么．7．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼市四中校考期中）若，，則；當(dāng)時，則．8．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高達(dá)米，底邊長米，用了約塊大石塊，每塊重約千克，請問：胡夫金字塔總重約為多少千克？9．（2023上·四川涼山·七年級校考階段練習(xí)）請閱讀以下材料解決相關(guān)問題：已知，，例如，．(1)①_____．②______________．③(2)，(3)若，求的值題型二冪的乘方與積的乘方【例1】（2024上·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）已知，，為正整數(shù)，則（）A． B． C． D．【例2】（2023上·天津?yàn)I海新·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果等于（）A． B． C． D．【例3】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·八年級?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A．16 B．25 C．32 D．64【例4】（2023上·河南洛陽·八年級?？计谥校┮阎?，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級?？计谀?/p>

）A．1 B． C． D．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．（2024上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）已知，，則，的大小關(guān)系是（請用字母表示，并用“＜”連接）．4．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如果，，則．5．（2024上·天津河西·八年級統(tǒng)考期末）若，則．6．（2024上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校校考期中）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）7．（2023上·陜西西安·七年級校考階段練習(xí)）已知，則之間的等量關(guān)系是．8．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）“數(shù)與式大小的比較”一直是數(shù)學(xué)體系中的一個重要的研究課題．七年級的時候?qū)τ跀?shù)的大小比較，我們借助數(shù)軸獲取了“數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的大”進(jìn)而得出“正數(shù)大于零大于一切負(fù)數(shù)”．本學(xué)期我們研究了代數(shù)式大小比較，通?？梢钥紤]將兩個代數(shù)式作差和0比較或者作商和1比較．更是通過靈活運(yùn)用整式的乘除對于一些特殊的數(shù)與式進(jìn)行了大小比較，例如：比較和的大?。覀兪沁@么做的“∵，∵∴∴”問題得以解決，請同學(xué)們完成下面3個小題：(1)試比較和的大??；(2)若，，試比較a，b的大小；(3)若，且，試比較與的大小．9．（2024上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校校考期中）已知，求的值．10．（2023上·廣東惠州·八年級?？计谥校?）若，，求的值；（2）已知，求的值．題型三單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法【例1】（2024上·天津西青·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【例2】（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）計(jì)算：．【例3】（2023上·廣東廣州·八年級廣東廣雅中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南商丘·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：．2．（2023上·江西贛州·八年級校考階段練習(xí)）已知與的積與是同類項(xiàng)，求m，n的值．3．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知單項(xiàng)式與的積與是同類項(xiàng)，求，的值．4．（2023上·吉林·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．5．（2023上·福建龍巖·八年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．6．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．7．（2023上·四川瀘州·八年級四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：題型四不含某項(xiàng)求字母的值【例1】（2024上·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）若的展開式中不含x的二次項(xiàng)，則（）A．0 B．2 C．2.5 D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若的結(jié)果不含x的一次項(xiàng)，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．2．（2023上·河南洛陽·八年級校考期中）的乘積中不含和項(xiàng)，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023上·江西南昌·八年級校考期末）若的乘積中不含x二次項(xiàng)，則a的值為．4．（2024上·北京海淀·八年級北京市師達(dá)中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于的多項(xiàng)式展開后不含有一次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)的值為．5．（2023上·河南南陽·八年級校考階段練習(xí)）若的展開式中不含和項(xiàng)，求m，n的值．題型五多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積【例1】（2023上·河南商丘·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個長為，寬為的大長方形，則需要B類卡片（

）A．2張 B．3張 C．5張 D．7張【例2】（2024上·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）千年古鎮(zhèn)趙化開發(fā)的鑫城小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長為米，寬為米的長方形地，物業(yè)部門計(jì)劃將內(nèi)壩進(jìn)行綠化（如圖陰影部分），中間部分將修建一仿古小景點(diǎn)（如圖中間的長方形），則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)，時的綠化面積．

鞏固訓(xùn)練1．（2024上·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長為的正方形場地上，修建兩條寬為的甬道，其余部分種草，則甬道所占的面積（單位：）是（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海青浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，現(xiàn)有邊長為a的正方形A、邊長為b的正方形B和長為2b寬為a的長方形C的三類紙片（其中）．用這三類紙片拼一個長為、寬為的長方形（不重疊且不留縫隙），那么需要C類紙片張．3．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有甲、乙、丙三種卡片各若干張，其中甲、丙為正方形卡片，乙為長方形卡片，卡片的邊長如圖1所示（）．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個長方形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為．(1)①請用含的式子分別表示，即______，______；②當(dāng)時，求的值；(2)比較與的大小，并說明理由．4．（2023上·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進(jìn)行改造，計(jì)劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計(jì)劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？題型六多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：化簡求值【例1】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級?？茧A段練習(xí)）化簡，其中【例2】（2023上·北京海淀·八年級北大附中?？计谥校┮阎?，求的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東德州·八年級?？计谥校┫然?，再求值：，其中．2．（2023上·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期中）先化簡，再求值：，其中．3．（2023上·廣西南寧·八年級南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┫然?，再求值：，其中．4．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┗喦笾担?，其中，5．（2023上·北京海淀·八年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知，求的值．6．（2023上·北京海淀·八年級北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎?，求的值．7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┗喦笾担?，其中．題型七多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題【例1】（2023上·廣東廣州·八年級廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項(xiàng)和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請你利用楊輝三角，計(jì)算的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（

）1…………1…………………1

1………1

2

1………………1

3

3

1……1

4

6

4

1A．15 B． C．6 D．【例2】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是(

)A． B．0 C．1 D．【例3】（2023上·北京東城·八年級匯文中學(xué)校考期中）已知，，，根據(jù)前面各式的規(guī)律，可得：的值是．【例4】（2023下·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)，，，…的規(guī)律，則可以得出的末位數(shù)字是．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅定西·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”根據(jù)“楊輝三角”請計(jì)算的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．45 B．55 C．2017 D．20182．（2023上·山西臨汾·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是．3．（2023下·山東青島·七年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)：利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求：．4．（2023上·河南許昌·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚談到，我國古代數(shù)學(xué)的許多成就和發(fā)展都居世界前列，“楊輝三角”就是一例。如下圖所示的“楊輝三角”告訴了我們二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，如：第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1恰好對應(yīng)著的系數(shù)．根據(jù)數(shù)表中前四行的數(shù)字所反映的規(guī)律計(jì)算求值：．5．（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習(xí)）我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，下面的圖表是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了為非負(fù)整數(shù)）、的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，由此規(guī)律可解決如下問題：(1)展開式共有_______項(xiàng)，第19項(xiàng)系數(shù)為_______；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式：_______；(3)利用上面的規(guī)律計(jì)算：；(4)假如今天是星期四，那么再過天是星期_______．6．（2023上·新疆喀什·八年級期末）（1）計(jì)算并觀察下列各式：；；；（2）從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格．；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．7．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下列解題過程：

．．．．．．(1)試求的值(2)判斷的值的個位數(shù)是幾？8．（2023上·四川內(nèi)江·八年級?？计谥校╅喿x下列材料，并解決有關(guān)問題．我們知道展開后等于，我們可以利用多項(xiàng)式乘法法則將展開．如果進(jìn)一步，要展開，，你一定發(fā)現(xiàn)解決上述問題需要大量的計(jì)算，是否有簡單的方法呢？我們不妨找找規(guī)律！如果將（n為非負(fù)整數(shù)）的每一項(xiàng)按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：計(jì)算

結(jié)果的項(xiàng)數(shù)

各項(xiàng)系數(shù)

1

1

2

1

1

3

1

2

1

4

1

3

3

1(1)你能根據(jù)上表的規(guī)律寫出，的結(jié)果嗎？=__________________；=_____________________；(2)請你利用上表的規(guī)律求出下式的計(jì)算結(jié)果：．9．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習(xí)）探索題：

……(1)當(dāng)時，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個位數(shù)字是．題型八平方差公式【例1】（2024上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【例2】（2024上·天津河西·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【例3】（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┱J(rèn)真觀察下面這些等式，按其規(guī)律，完成下列各小題：①；②；③；④______；…(1)將橫線上的等式補(bǔ)充完整；(2)驗(yàn)證規(guī)律：設(shè)兩個連續(xù)的正偶數(shù)為，（n為正整數(shù)），則它們的平方差是4的倍數(shù)；(3)拓展延伸：判斷兩個連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)嗎？并說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南商丘·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：．2．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）若，，則．3．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）用簡便方法計(jì)算：(1)；(2)．4．（2024上·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）求證：當(dāng)是整數(shù)時，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個奇數(shù)的和的倍．5．（2023上·吉林·八年級?？计谥校倪呴L為a的正方形減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述過程所揭示的因式分解的等式是______；(2)若，，求的值；(3)．6．（2022上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）實(shí)踐與探索：如圖1，在邊長為的大正方形里挖去一個邊長為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：______（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)請應(yīng)用這個等式完成下列各題：①已知，則______．②計(jì)算：．題型九求完全平方公式中的字母系數(shù)【例1】（2019上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）若是完全平方式，則m的值等于（

）A．8 B． C．16 D．8或鞏固訓(xùn)練1．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如果二次三項(xiàng)式是一個完全平方式，那么m的值是（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于m的二次三項(xiàng)式是完全平方式，那么a的值為（

）A．1 B．4 C． D．3．（天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是完全平方式，則．4．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知代數(shù)式是一個完全平方式，則有理數(shù)的值為．5．（2024上·北京豐臺·八年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于的多項(xiàng)式是完全平方式，那么的值是．6．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）已知關(guān)于的代數(shù)式是一個完全平方式，則的值為7．（2021上·遼寧鞍山·八年級校考期中）若是關(guān)于的完全平方式，則．8．（2012上·八年級課時練習(xí)）若多項(xiàng)式是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式Q是．題型十完全平方公式與對稱式【例1】（2024上·天津?yàn)I海新·八年級?？计谀?）已知，，則的值為．（2）已知，，則的值為．（3）已知滿足，則的值為．【例2】（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習(xí)）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）若，求鞏固訓(xùn)練1．（天津市和平區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，那么的值為（

）A． B． C． D．2．（2024上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式的值是（

）A．12 B．16 C．24 D．363．（2023上·四川攀枝花·八年級?？计谥校┮阎?，，求下列各式的值：(1)；(2)．4．（重慶市合川區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）解決下列問題：(1)已知，分別求和的值；(2)若，，求的值．5．（2024上·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，所以請仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．6．（2023上·湖北孝感·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)求的值．7．（2023上·四川宜賓·八年級四川省宜賓市第二中學(xué)校?？计谥校┙鉀Q下面的問題：①，求和的值；②已知，求的值．題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【例1】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）圖①是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積．方法1：；方法2：；(2)觀察圖②請你寫出下列三個代數(shù)式；之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，求：的值；②已知：，求：的值．【例2】（2023上·浙江臺州·八年級臺州市書生中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．

(1)觀察圖，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片張，號卡片張，號卡片______張．(3)根據(jù)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形．

(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗(yàn)證的等式是：（請選擇正確的一個）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向上分別作正方形和正方形，連接．若，求的面積．2．（2023下·陜西西安·七年級陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖②），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為．

(1)用含a、b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代數(shù)式表示，并當(dāng)時，求出圖③中陰影部分的面積．3．（2023下·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期中）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即：，又因，所以根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若，，則的值為______；(2)拓展：若，則______．(3)應(yīng)用：如圖，在長方形中，，，點(diǎn)E、F是、上的點(diǎn)，且，分別以、為邊在長方形外側(cè)作正方形和正方形，若長方形的面積為160，求圖中陰影部分的面積和．4．（2023上·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中陰影部分的正方形的周長為；(2)觀察圖2，請寫出下列三個代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系；(3)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．5．（2023下·廣東韶關(guān)·七年級校考期中）在學(xué)習(xí)“整式的乘除”這一章時，我們經(jīng)常構(gòu)造幾何圖形來對代數(shù)式的變形加以說明，借助直觀，形象的幾何模型加深對乘法公式的認(rèn)識和理解．閱讀下列材料：材料1：如圖1，現(xiàn)有甲，乙，丙三種型號的卡片若干張，其中甲型號卡片是邊長為的正方形，乙型號卡片邊長為的正方形，丙型號卡片是長為寬為的長方形．

材料2：用張甲，張乙和張丙型號的卡片，拼成正方形，可以驗(yàn)證：，驗(yàn)證如下：從整體看是一個邊長為的正方形，所以．從正方形的分割情況看，它的面積是由張甲，張乙和張丙卡片的面積之和，所以，比較兩種不同的計(jì)算方法，可得．根據(jù)以上材料，解答以下問題(1)用圖中的卡片，拼成圖所示長方形，可以驗(yàn)證的等式為：；

(2)用張丙型號的卡片拼成圖所示正方形框，中間的陰影部分是邊長為的正方形，現(xiàn)用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式為：；(3)已知圖中的紙片(足夠多)，利用種卡片設(shè)計(jì)一個幾何圖形來計(jì)算畫出圖形，寫出驗(yàn)過程．題型十二利用配方法求最值、解方程【例1】（2023下·湖南郴州·七年級?？计谥校╅喿x下列材料：，我們把形如“”或“”的多項(xiàng)式叫做完全平方式，因?yàn)槭且粋€數(shù)的平方，具有非負(fù)性，我們常利用這一性質(zhì)解決問題，這種解決問題的思路方法叫做配方法．例如．可知當(dāng)，即時，有最小值，最小值是2，根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)有最小值______．(2)當(dāng)a，b為何值時，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個最小值．(3)已知a，b，c為的三邊，且滿足，試判斷此三角形的形狀．【例2】（2019·吉林長春·八年級校聯(lián)考期末）閱讀下列解題過程，再解答后面的題目.例題：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.題目：已知，求的值.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）我們定義：如果兩個多項(xiàng)式與的和為常數(shù)，則稱與互為“對消多項(xiàng)式”，這個常數(shù)稱為它們的“對消值”．如與互為“對消多項(xiàng)式”，它們的“對消值”為．(1)下列各組多項(xiàng)式互為“對消多項(xiàng)式”的是（填序號）；與；與；與(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式（，為常數(shù)）互為“對消多項(xiàng)式”，求它們的“對消值”；(3)關(guān)于的多項(xiàng)式與互為“對消多項(xiàng)式”，“對消值”為．若，，求代數(shù)式的最小值．2．（2023上·湖北荊州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項(xiàng)式變形為的形式，然后由就可求出多項(xiàng)式的最小值．

例：求多項(xiàng)式的最小值．解：．因?yàn)樗援?dāng)時，，因此有最小值，最小值為1，即的最小值為1．通過閱讀，理解材料的解題思路，請解決以下問題：(1)【理解探究】已知代數(shù)式，求A的最小值；(2)【類比應(yīng)用】張大爺家有甲、乙兩塊長方形菜地，已知甲菜地的兩邊長分別是米、米，乙菜地的兩邊長分別是米、米，試比較這兩塊菜地的面積和的大小，并說明理由；(3)【拓展升華】如圖，中，，cm，cm，點(diǎn)M，N分別是線段AC和BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向C點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)以的速度向B點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t，則當(dāng)t的值為多少時，的面積最大，最大值為多少？3．（2023下·廣東佛山·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成（、是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椋允恰巴昝罃?shù)”．【解決問題】(1)數(shù)61“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】(2)已知，則；(3)已知（、是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的值；【拓展結(jié)論】(4)已知、滿足，求的最小值．4．（2022上·四川巴中·八年級統(tǒng)考期中）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于．(2)觀察圖2你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系．(3)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式的最小值．5．（2023下·遼寧沈陽·七年級沈陽