淺談高等代數(shù)在中學數(shù)學中的應用目錄TOC\o"1-2"\h\u3978淺談高等代數(shù)在中學數(shù)學中的應用 1178981前言 2276381.1研究背景 237151.2課題的研究意義 284452高等代數(shù)與中學數(shù)學的聯(lián)系 347702.1行列式在中學數(shù)學的應用 3154032,2矩陣在中學數(shù)學中的應用 759112,3多項式在中學數(shù)學中的應用 9318154參考文獻 9摘要：本文通過分析《高等代數(shù)》與中學數(shù)學的學習內容的密切聯(lián)系，論述了高等代數(shù)對于中學數(shù)學的教學所起到的重要指導作用和輔助作用。通過學生運用高等代數(shù)的思想和研究方法，課程學習內容，實際發(fā)展理論與重要觀點來解析中學數(shù)學文化相關的各種社會實際問題，從而可以加強中學數(shù)學的教學的理論與實際的聯(lián)系，深化中學數(shù)學中的有關內容，促進高等代數(shù)在中學數(shù)學知識教育中的改革與實踐。關鍵詞；高等代數(shù)，中學數(shù)學，數(shù)學教育1前言1.1研究背景至2000年到2020年時間段，伴隨著科技的進步，經(jīng)濟的發(fā)展，社會的變化堪稱日新月異。這就造成了社會對學生綜合能力素質過硬的新型人才的需求，同時我們就是發(fā)展要求初等教育為高等院校輸送更多的人才，且最終培養(yǎng)自己成為中國社會所需要的各級各類的人才。這就對數(shù)學文化教育提問題出更多的要求，我們國家需要從教學設計思想，教學研究內容，課程設置和教學方式方法等方面都需要發(fā)展做出一系列的改革與創(chuàng)興，做到與時俱進。隨著課程改革的不斷改革，中學教育將多科數(shù)學整合到一門數(shù)學教材中，更加注重各個學科之間的交流和內在聯(lián)系，更加注重數(shù)學知識的應用。基于時代的不斷發(fā)展，對于我們傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學中，需體現(xiàn)情感態(tài)度以及價值觀的要求也越來越高；科學研究價值方面也有更高的要求，對其學生的數(shù)學問題意識的著重培養(yǎng)有了前所未有的要求，新課程的內容有著巨大的變化，無論是內容的更新，還是形式的處理要求、內容的變化都對教師提出了新的挑戰(zhàn)，老師需要更加仔細的理解，更加仔細的分析。在現(xiàn)代數(shù)學教育中，中學數(shù)學教學以現(xiàn)代數(shù)學思想為基礎，使高等數(shù)學與中學數(shù)學的關系更加的密不可分。行列式、線性方程組和矩陣理論都是中國高等教育數(shù)學的基本信息內容，這些研究內容的發(fā)展與完善絕對離不開初等數(shù)學的有力推動社會作用。同時有許許多多的中學數(shù)學概念也很需要借助高等數(shù)學的教學內容內容才能夠解釋得清楚。1.2課題的研究意義近年來，隨著數(shù)學知識在高考中所占比重的提高，新的數(shù)學課程標準和新的考試大綱必須對高中數(shù)學新知識進行更加認真的分析和研究?；诟叩葦?shù)學知識理論，來運用于中學數(shù)學課堂知識點的講解，越來越廣闊。高等代數(shù)是在中等數(shù)學的基礎上不斷發(fā)展結合起來的，高等教育數(shù)學與初等數(shù)學教育有著密不可分的聯(lián)系。許多初等教育數(shù)學解決不了的問題，高等學校數(shù)學都給出了一個完美的解答。因此，在中學數(shù)學教育中普及高等數(shù)學的知識內容，有助于學生學會運用高等數(shù)學的思想和方法作為工具，從不同的角度去思考初等數(shù)學中的難題。借助高等教育數(shù)學的知識有利于提高學生從另外一個具有更高的思維發(fā)展角度進行重新認識初等數(shù)學中的重要概念與理論實質及其背景。綜上所述，高等數(shù)學在中學數(shù)學中的應用有助于學生更深入地理解初等數(shù)學的內在本質以及高等代數(shù)與低等代數(shù)之間的內在聯(lián)系。本論文在前人著述的基礎之上，運用高等數(shù)學的先進觀點居高臨下的處理中學數(shù)學的內容與問題，對中學數(shù)學的教育指導、教學方向和教學深度具有參考和借鑒作用。2高等代數(shù)與中學數(shù)學的理論聯(lián)系2.1高等代數(shù)與中學數(shù)學的地位與聯(lián)系基于大數(shù)據(jù)，統(tǒng)計研究表明，建立在高等數(shù)學知識理論體系下來探究初等數(shù)學，更有利于學生將中學數(shù)學知識點理解透徹。了解學生數(shù)學學習知識的本質和背景，有利于從更高的角度來看待初級中數(shù)學，有利于拓展中學數(shù)學教師的視野和數(shù)學核心素養(yǎng)，有利于不斷提高自己解決這些問題的能力，更好的把握數(shù)學的學與教。高等代數(shù)知識普及可以拓展我們中學數(shù)學教師的視野、指導中學生解決這些問題。站在中國高等學校教育學生數(shù)學的角度進行分析來看初等數(shù)學中的難題與知識，會有更深刻的理解，更全的發(fā)展認知。有關中學數(shù)學解方程組，其實就是高等代數(shù)里有關行列式的縮影等等。這些高等數(shù)學與初等數(shù)學的異曲同工之妙，是數(shù)學獨特的魅力，我們從幼兒園就開始接觸，它從幼兒園，小學，中學直到大學都有著一套完整的知識理論及教學教研的體系，其中簡單的一部分留在了中學數(shù)學的教學內容里面了，較難的放在了高等數(shù)學里。中學數(shù)學里的分析主體，與大學數(shù)學的分析主體，有著極高的相似程度，堪稱大學數(shù)學是中學數(shù)學里知識的拓展與遞進.在下面的文章論述里，我們共同來探究不同的研究對象和不同對象的特點以及在他們在定義方法上的不同.關于研究對象，在我們中學的時代里，了解到的通常是常見的幾何體，以及其中的數(shù)量關系，而我們大學數(shù)學里學習到的知識大多是中學數(shù)學里的延伸與拓展，比如中學時代里我們最多研究到了三維領域，以及常見幾何圖形，然而大學便進行了進一步拓展到了n維空間，再比如我們中學數(shù)學里最多了解到了三元一次方程組的求解，然而在我們大學的高等代數(shù)研究里，不僅僅只限于三二個方程的求解，更多的是對于多個方程聯(lián)合而成的方程組的求解，再比如，我們中學時代里僅限于四則運算的求解，而高等代數(shù)里更是拓展到了行列式的求解，固然我們的研究領域更為寬廣，研究對象更加豐富，傳統(tǒng)的運算法則必將滿足不了我們對大學知識領域的研究。比如數(shù)的一些運算法則不再適用矩陣的運算，中學的空間知識不再適用于向量空間、歐氏空間等等。充分認識這些觀念的轉變，有助于指導中學數(shù)學的教學工作。大學數(shù)學相對于當代中學生而言，具有不同于中學數(shù)學，抽象、邏輯強和應用性廣泛的特點，這些大學數(shù)學所具備的獨具特色的特點，深刻的蘊含在教研的各個領域中。下面，我們將從三個方面分別探討中學數(shù)學與高等代數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。首先，中學數(shù)學通過把數(shù)字和表達式抽象化成字母，大大簡化計算量，這是抽象化帶給我們的第一個“甜頭”。顯然，中學數(shù)學中的這種抽象程度并不能幫助我們理解抽象化真正的意義和作用。由于我國高等代數(shù)處于一個具有更高的研究水平,所以它更能幫助學生，我們可以更加直觀的理解抽象化的本質。例如，通過一個向量的加法與數(shù)乘的共性，將平面向量進行抽象為空間向量，通過將內積的共性與實數(shù)域上的向量空間結合，就抽象表現(xiàn)出了歐氏空間?？梢姡橄蟠龠M了數(shù)學的發(fā)展，不斷提高抽象性，讓我們更容易觸及到問題的本質。基于目前中學生的理解能力與知識領域受限的因素，我們很少對某些知識點做出嚴格的定義。因此在很多層面上我們的同學能領會到的都只是停留在知識點的表層，當我們遇到真正的問題時能靈活的運用，才談得上理解。比如在幾何知識領域，我們在證明某些關系時需要我們能做到不僅知其然，而且知其所以然，同時還需要依靠空間理解力。顯然，在數(shù)學上這還是不夠嚴謹。這在高等代數(shù)中就不會出現(xiàn)，所有的證明都需要嚴格的定義和推里的，可以得到相關結論，最終形成理論體系。最后，中學數(shù)學主要用于教育，可以解決少一些簡單的問題，比如，面積、體積和行程計算，但不能用于更復雜的問題。相對的，高等代數(shù)除去教育功能，在應用的廣度和難度上更勝于中學數(shù)學教學內容。隨著您了解的更多，您就會發(fā)現(xiàn)高等代數(shù)應用范圍會增大。以實現(xiàn)中學式思維發(fā)展方式向大學式思維教學方式的過度與轉變?yōu)槟繕?，引導學生在二者相互之間建立一座橋梁.從教師的方面來看，有利于幫助中學教師整合中學數(shù)學教學的相關內容,有利于中學教師運用高等數(shù)學的相關理論、方法和觀點解決來中學數(shù)學的相關問題，從學生的角度來看，有利于激發(fā)學生的學習興趣，提高他們的高等數(shù)學知識，深化高等代數(shù)知識與中學數(shù)學的關系，在理解中學數(shù)學與高等代數(shù)之間的聯(lián)系后，中學數(shù)學教師也能更好地展開研究相關技術教學管理工作，學生也能更好的完成自己學習目標任務。2.2高等代數(shù)對中學數(shù)學的拓展集合:有關于集合，我們都知道他是我們中學數(shù)學乃至大學數(shù)學領域里相對基礎的一個知識點，而且有關集合也沒有一個特別明確的定義，通常情況下是將具有某類共同特征的有機體組合在了一起，而我們的集合卻又貫穿于我們的整個學習生涯。比如在我們小學的學習領域里，我們就開始學習分類，把具有相同特征的個體組合到一起。到了高中我們開始慢慢的學會了用集合語言來探究問題，經(jīng)過高中學習生涯的認真研修，我們學會了有關集合的一些基本知識，比如我們能對集合進行簡單的基本運算，映射，以及基本的表示法，同時還加深了我們對其他知識領域的深層次理解。有關集合的定義，描述，以及研究將在大學的高等代數(shù)里得到進一步的升華，同時將不斷學習集合的有關其他的知識，同時還將領會無限領域里大小的比較，同時讓原本我們了解過的知識結合上集合這種特殊的數(shù)學架構(如代數(shù)結構、測度結構、拓撲)，探索不同的數(shù)學架構與集合之間的雙向聯(lián)系。例如，抽象代數(shù)主要通過研究代數(shù)的結構，進一步探索具有映射效應的集合關系，如同態(tài)、同構、群、環(huán)、域等，而實變函數(shù)領域主要研究通過具有映射效應的集合來探究勒貝格測度，如可測函數(shù)。函數(shù)及其性質:函數(shù)是數(shù)學里面的一個基本而重要的概念。從中學數(shù)學到高等數(shù)學，函數(shù)概念逐步從直觀發(fā)展到抽象。變量說、對應說(映射說)、關系說是三種質，因而常成為研究抽象函數(shù)的例子、模型。微積分中函數(shù)的主體是初等函數(shù)，由基本初等函數(shù)到初等函數(shù)，銜接是比較緊密的。數(shù)列、極限與級數(shù):中學數(shù)學中講到數(shù)列的定義，等差、等比數(shù)列以及它們的前n項的和與數(shù)列極限，這是數(shù)學分析中級數(shù)論的基礎。極限法是數(shù)學分析的一個主要方法，貫穿于數(shù)學分析的始終。中學數(shù)學中再給極限精確的定量定義。級數(shù)論中將研究無窮數(shù)列與函數(shù)列的和(級數(shù))的收斂與發(fā)散，部分數(shù)列和的求法，以及函數(shù)級數(shù)的和函數(shù)的分析性質，把函數(shù)展成級數(shù)。復數(shù)與復變函數(shù)論:中學數(shù)學中講了復數(shù)的概念、表示法(代數(shù)形式、向量形式、三角形式)、運算。復數(shù)的引進，完滿的證明了高等代數(shù)的基本定理及多元二次型的分解等。另外，復變函數(shù)論研究的一類重要函數(shù)解析函數(shù)(包括初等函數(shù)),只有在復數(shù)域中來討論才能徹底弄清楚。因此，中學數(shù)學中的復數(shù)是復變函數(shù)論的一個重要基礎，它們之間最好是按“螺旋式”上升方式來銜接。排列、組合、二項式定理與概率論:中學數(shù)學中排列、組合、二項式定理及概率是高等數(shù)學中概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎。由于這部分內容與其它內容聯(lián)系較少，學生普遍感到難學，有的教師也可能降低要求。但大部分概率與統(tǒng)計的教材，都是在中學的基礎.上來編寫的，它們是對隨機現(xiàn)象演繹的研究與對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納研究。因此，中學排列、組合、二項式定理的內容--點都不能削弱。方程與方程組:中學數(shù)學中重要講了一元一-次、二元、三次方程及簡單高次方程的解的情況，并沒有對一-般高次方程作深入討論，方程組也大多是二元線性或三元線性方程組.高等數(shù)學中將對中學數(shù)學中的方程與方程組作推廣，高等代數(shù)對高次方程的解(根)的情況將作全面討論，明確五次(含五次)以上的方程無公式解，復系數(shù)一元二次方程必有2個根。用行列式和矩陣理論來討論-元線性方程的解(存在性、解法、結構)，用微積分研究微分方程與方程組的解等。3高等代數(shù)在中學數(shù)學的應用我們知道，高等數(shù)學與初等數(shù)學不僅在知識難度上有很大的不同，而且在知識觀點上也有著很大的不同。有的人覺得:中學生不需要增加負擔，不需要學習這些難學的數(shù)學知識，老師講課就按教科書照本宣科就行了。我認為我們這是一種方法錯誤的觀點，在課堂上不把高等教育數(shù)學的知識傳授給學生，教師所授課的內容不能僅僅停留在課本范圍內，這很明顯是不夠的，教師通過自己有時候都覺得很費解的一些研究題目對于提高學生發(fā)展來說就很有難度了。一方面，高等數(shù)學是初等數(shù)學的推廣和續(xù)集，一方面，有很多初中數(shù)學里面的難題是必須在高等數(shù)學中才能解答清楚，因此，高等代數(shù)在初等數(shù)學中的作用是不可小覷的，接下來我們淺談一下高等代數(shù)在中學數(shù)學中的作用。3.1行列式在中學數(shù)學的應用隨著中學數(shù)學新課程的實施，行列式在中學數(shù)學中的應用和滲透越來越受到重視。行列式是在求線性方程組公式的過程中誕生的。行列式是線性代數(shù)的最基本工具之一，有著許許多多的應用范圍。這里我們結合中學數(shù)學課堂教學內容來著重的探討一下行列式的應用。本文從三個方面淺析其在中學數(shù)學中的應用。3.1.1用行列式證明等式例題3.1.1若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求證:z+x=2y。

證明

:(z

-x)2-4(x

-y)(y

-z)=z?x=z+x?2y=(z+x-2y)1=z又由已知可得(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z=0所以

z即z證畢例題3.1.2已知a+b+c=0，求證a3+b3+c3=3abc.證明：令D=a3+b3+c3-3abc,則D=a=a+b+c=0=0即a3+b3+c3-3abc=0例題3.1.3在三角形ABC中，求證cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC.證明：由于cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC-1=?1=1=1=0所以在三角形ABC中，cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC成立。3.1.2行列式在幾何中的應用定理1REF_Ref24906\r\h[1]在同一平面內三點，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),以這三點為頂點所組成的三角形，其面積為S=1/2x1y11x2y21x3y31的絕對值，例題3.1.4求過點（4,5）和點（5,6）的直線方程。解由xy可得直線的方程式為x-y+1=0.（2）平面內的三條直線L1:A1X+B1Y+C1=0;L2:A2X+B2Y+C2=0,L3:A3X+B3Y+C3=0,相交一點或者互相平行的充要條件是：A1推論1經(jīng)過平面上的三點A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)的圓的方程為X23.1.3行列式證明因式分解此外行列式可運用到學習因式分解里面，眾所周知對于一個研究行列式與一個等式都有著一一對應的關系。因式分解就是等式的某一種操作，因此在一般的計算中我們可以構立一個或者幾個相應的行列式，然后根據(jù)行列式的基本性質進行求解REF_Ref24962\r\h[6]。例題3.1.5對a3+b3+c3-3abc因式分解.解D=abccabbcD=a+b+c=(a+b+c)11依第一行展開的，D=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).3.2矩陣在中學數(shù)學中的應用矩陣作為高等代數(shù)的主要的研究對象和最重要的工具，矩陣的運算充分的體現(xiàn)了解決抽象內容問題通的重要思想和方法。許許多多的數(shù)學模型都可以用矩陣的方法來表示，矩陣是研究圖形變換和向量變換的重要工具，有著非常重要且廣泛的應用。在中學數(shù)學的新教學研究內容中，“矩陣與變換”是選修的重要工作內容之一REF_Ref25119\r\h[2]，它通過運用平面圖形的變換來探討二階矩陣的乘法與特征向量、還有逆矩陣和矩陣的性質等概念與定義，初步的展示了矩陣的應用具有廣泛性。因為幾何圖形的變換包含了相似變換、反演變換和合同變換等等，所以幾何變換與矩陣密切相關，矩陣是表示變換的重要形式。矩陣的乘積可以用來表示變換的組成。此外矩陣在圓錐曲線和二次曲線的分類和化簡，以及學生計算數(shù)列的通項公式中都是一個有巨大作用的計算計算工具。3.2.1利用正定和半正定矩陣證明不等式對于實二次型fX1,X2,X3,…,Xn=XAA’來說，其中X=(X1,X2,X3,...,Xn),A=a11a12…a1na21a22…a2n?an1??a例題5設X1,X2,X3,..,Xn≥0,證明對于任意的n≥4(n∈N),有：（X1+X2+X3++Xn)2≥4(X1X2+X2X3+X3X4++XnX1).證明：設f(X1,X2,X3,..,Xn)=(X1+X2+X3+,,,+Xn)2-4(X1X2+X2X3++XnX1)=(X1,X2,X3,...,Xn)1?1?1計算可得，矩陣A=1?1?1?11?1?1?1???1的一切K級子式都大于或者等于0，從而矩陣A半正定，所以就有F(X1,X2,X3,..,Xn)=(X1+X2+X3+...+Xn)2-4(X1X2+X2X3+X3X4+...+XnX1)，為半正定二次型，所以（X1+X2+X3+...+X例題3.2.1請問H取何值的時候不等式x2+y2+5z2>2xz-Hxy-4yz總能成立。解：設f(x,y,z)=(x2+y2+5z2)-(2xz-Hxy-4yz)=xyz1H要使上面等式成立，只需要A=112?11212.2.2中學數(shù)學中的矩陣與變換在中學數(shù)學中，由矩陣建立的變換本質上就是平面上的坐標變換，其中矩陣具有、有著“對應法則”的功能，用二階矩陣A=abcd來確定的變換，就是映射的構造，將平面上的點xy變換成點XY=a3.3線性變換面積定理定理1REF_Ref25324\r\h[5]線性變換將平面上的所有圖形的面積放大或者縮小相同的倍數(shù)，這就是變換行列式的絕對值。例題3.2.2在平面直角坐標系xoy里面，已知平面區(qū)域A={（x,y）|x+y≤1且x≥0,y解由題意可得，平面區(qū)域A是用O（0,1）、C(1,0）、D(0,1)所圍成的三角形，其面積S是12,平面區(qū)域A變換成平面區(qū)域B其對應的變換矩陣是111?13.4多項式在中學數(shù)學中的應用多項式是中學代數(shù)的重要研究內容問題之一，在中學學生數(shù)學的教學工作內容中它主要的側重點在于多項式的運算。多項式是高等代數(shù)的重要教學內容之一，相對來說比較獨立且完備，但它也為高等代數(shù)的基本教學內容提供了理論依據(jù)。它能夠解決許許多多初等數(shù)學關于多項式所留下的難題，例如多因式的根及因式分解理論，對于中學數(shù)學中的難題有著簡化的作用。例題2.4.1將一元多項式f(x)=x5解顯然f(1)≠0,f(?1)≠0,從而由余數(shù)定理REF_Ref24962\r\h[6]，f(x)無一次因式，那么f(x)可約，則f(x)可約，則f(x)必有二次因式。設；f(x)=x5+x4+1=(x2+ax+b)例題2.4.2已知a,b,c為整數(shù)，且滿足ab+b證明；設fx=就有fx由已知條件可得f(x)是首項系數(shù)為1的整系數(shù)多項式，且ab，bc，在現(xiàn)行的中學數(shù)學教材中都對于因式分解進行了一定的特殊化，簡便化，講授了一些因式分解的運算技巧與方法，但是都不涉及因式分解的理論問題。高等代數(shù)在最大公因式的理論和解法、不可約多項式的類型判別、以及因式分解的存在唯一性和可行性等問題都進行了理論的探討，所以高等代數(shù)在中學數(shù)學的教學中有著重要的理論指導作用。3.5歐式空間理論在中學數(shù)學中的應用中學數(shù)學通過坐標系建立了點的坐標。高等代數(shù)則通過公理化方