計算方法第2章解線性方程組直接法2.3舍入誤差對解影響第1頁1范數(shù)“范數(shù)”是對向量和矩陣一個度量,實際上是二維和三維向量長度概念一個推廣數(shù)域:數(shù)集合,對加法和乘法封閉線性空間:可簡化為向量集合,對向量加法和數(shù)量乘法封閉,二維向量和三維向量都能夠度量其大小和長度高維向量"長度"能否定義呢?也稱為向量空間第2頁定義1.一、向量和矩陣范數(shù)第3頁--------(1)--------(2)--------(3)第4頁顯然而且因為--------(4)第5頁例1.求以下向量各種慣用范數(shù)解:第6頁

定義2:設(shè)｛xk｝是Rn上向量序列，令xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ,k=1,2，….,又設(shè)x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上向量.假如limxki=xi對全部i=1,2,…，n成立，那么,稱向量x*是向量序列｛xk｝極限，若一個向量序列有極限,稱這個向量序列是收斂.第7頁定義2.第8頁例2.不難驗證其滿足定義24個條件稱為Frobenius范數(shù),簡稱F-范數(shù)而且能夠驗證tr為矩陣跡--------(5)--------(6)類似向量2-范數(shù)第9頁例5:設(shè)A＝(aij)∈M.定義證實：這么定義非負實數(shù)不是相容矩陣范數(shù).證實：設(shè)從而第10頁定義3.--------(7)簡稱為隸屬范數(shù)或算子范數(shù)第11頁顯然，由定義不難推出定義4.由(8)式,可知算子范數(shù)和其對應(yīng)向量范數(shù)是相容--------(8)--------(9)第12頁依據(jù)向量慣用范數(shù)能夠得到慣用矩陣算子范數(shù)--------(10)--------(11)--------(12)第13頁例4.求矩陣A各種慣用范數(shù)解:因為第14頁特征方程為第15頁輕易計算計算較復(fù)雜對矩陣元素改變比較敏感不是隸屬范數(shù)較少使用使用最廣泛性質(zhì)很好第16頁定義5.而所以--------(13)顯然第17頁即所以定理2.--------(14)定理1.第18頁定義6.即有--------(15)2舍入誤差對解影響第19頁--------(16)--------(17)--------(18)所以又因為可得(16)和(17)兩式相乘,得相對誤差第20頁(18)式表明,由常數(shù)項產(chǎn)生誤差,最多可將解相對誤差放大倍在上式能直接使用范數(shù)嗎？--------(19)第21頁假如假設(shè)則由定理1.,可知且(19)式化為--------(20)--------(21)第22頁--------(22)定義7.--------(23)第23頁顯然即任意方陣條件數(shù)必大于1依據(jù)算子范數(shù)不一樣也有不一樣條件數(shù):第24頁------