第五章質(zhì)量評(píng)估（B）

（時(shí)間：120分鐘分值：150分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.sin1110°=（）

A.iB.-iC.—D.--

2222

解析：sin1110°=sin(3X360°+30°)=sin30°三，故選A-

答案:A

2.若弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）

2

A.2B.—C.2sin1D.sin2

sinl

解析:如圖，由題意知”1,小1,圓的半徑r滿足sin”sin1三,所以廣焉，?的

2

長(zhǎng)為2夕?尸-----.

sinl

答案:B

3.若角，的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-當(dāng)。則tan8=（）

A-1B--T。,8D-v

解析:因?yàn)榻?的終邊經(jīng)過點(diǎn)（日,|）-,所以根據(jù)正切的概念,知tan9七故選

D.

答案:D

4.函數(shù)尸l-2sin5了的最小值和最大值分別是（）

A.-1,3B,-1,1C.0,3D.0,1

解析:因?yàn)閤GR,所以sin[-1,1],

所以當(dāng)sin時(shí)，％m=T,

當(dāng)sin女=T時(shí),m*=3,故選A.

答案:A

5.車流量被定義為單位時(shí)間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù),單位為輛份.上班高峰期某十

字路口的車流量由函數(shù)6"）=50+4sin]（0WtW20）給出，尸（。的單位是輛為"的單位是分,

則下列時(shí)間段內(nèi)，車流量是增加的為（）

A.[0,5]B.[5,10]

C.[10,15]D.[15,20]

解析：由2kn+-,jtGZ可知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為m,4-n+n],4G

Z.當(dāng)心1時(shí)，大G[3n,515]c[3n,5Jt],故選C.

答案:C

6.(全國(guó)卷III)函數(shù)/'(x)=2sinx-sin2x在區(qū)間[0,2m]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

解析：由f(x)=2sinksin2A=2sin『2sinxcos^=2sinx(l-cosx)=0,得sinA=0

或cosA=1.因?yàn)閤C[0,2m],所以A=0,Ji或2n.

所以/1(x)在區(qū)間[0,2■上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是三個(gè).故選B.

答案:B

7.(2020年新課標(biāo)全國(guó)I卷?理科)設(shè)函數(shù)F(x)=cos(3久+勻在[-”，n]的圖象大致

如下圖,則F(x)的最小正周期為()

9632

答案:C

8.若cos4=-|,4￡§兀)，sin￡二—|,￡是第三象限角，則cos(￡-。)=()

A.--B.—

6565

C.—D.--

6565

解析：由題意，知?！辍熵?，故sin。＞0,所以sin。=同理，由sin

￡二-1|,￡是第三象限角，得cos￡=譚.由兩角差的余弦公式可得cos(￡-q)=cos6cos

a+sin￡sina=~^X(-|)+(-i|)X^=-H，A.

答案:A

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.若sin。三,且。為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的有()

43

A.tana--B.cosa--

35

C.sina+cos^=-D.sin"cosa=--

55

答案:AB

10.下列選項(xiàng)中，值為1的是（）

1V3

A.+B-sin券in571

sin5O°cos50°12

C.cos72°cos36°D-HCOS

答案:BC

11.下列關(guān)于函數(shù)尸tan（嗎）的說法正確的是)

A.在區(qū)間（-管白上單調(diào)遞增

B.圖象關(guān)于G，0）成中心對(duì)稱

C.最小正周期是兀

D.圖象關(guān)于直線下f寸稱

6

答案:AC

12.（2020年新高考全國(guó)I卷）右圖是函數(shù)尸sin（3x+0）的部分圖象,則sin（GX+。）二

)

A.sin(%+

B.sin魯-2%)

C.cos(2%+

D.cos管-2%)

答案:BC

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.若扇形的周長(zhǎng)為4cm,半徑為1cm,則其圓心角的大小為

解析:設(shè)扇形的周長(zhǎng)為C,弧長(zhǎng)為1,圓心角為。，根據(jù)題意可知周長(zhǎng)俏2+片4,所以1=2,

而/=|a|尸aXI,所以a=2.

14.若sin。=三，ae(-,n),則tana---.

52F

解析:因?yàn)閟ina=|,n),

所以cosQ=-Vl-sin2a=-^,

r-r以rut,ana=-si-n-a——3.

cosa4

15.(本題第一空2分,第二空3分)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+?,g(x)=sinx,要得到函

數(shù)g(x)的圖象,只需將函數(shù)/1(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,再向右平移三個(gè)

單位長(zhǎng)度.

解析:把函數(shù)f(x)=sin(2對(duì)序的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,得到

尸sin(x+a的圖象,再向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)=sinx的圖象.

16.如圖,扇形小8的半徑為1,圓心角為全若尸為弧前上異于48的點(diǎn),且PQLOB,交

出于點(diǎn)Q,當(dāng)△尸。。的面積大于,時(shí)，N/W的大小范圍為用.

解析：設(shè)/?叱9,貝ijM=sinQ,給cos9,0<

所以6A/>W=|Sin9cos?=[sin20,

由二sin2”玄，得sin2e>—.

482

又因?yàn)?咤(0,n),所以$29年

則會(huì)飛.

所以/戶。0的大小范圍為G5).

63

四、解答題:本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知tan^=2.

⑴求tan1。+與的值;

4

⑵求:6sinct+cosct的值.

3sinct-2cosa

解：⑴因?yàn)閠an|=2,

2tanf2X24

所以tan

TT4

tana+tanitana+l二/二

所以tan(a+￡)

1-tanatan-1-tanai+-7

43

(2)由(1),知tanci

4

er6sina+coscr6tana+l6x(-7)+17

所以—-------=------=——\—二一.

3sina_2cosa3tana-23x(--)-26

sin(a-^)cos(等+a)tan(n-a)

18.(12分)已知f(a)=.，其中aW/rJi(A￡Z).

tan(-a-Tt)sin(-a-ir)

⑴化簡(jiǎn)f(a)；

(2)若/(：+￡)=-/，￡是第四象限角，求sin(2￡+e的值.

sin(a--)cos(—+a)tan(Tt-a)

解：(1)/(a)=----z----2---------

tan(-a-ir)sin(-a-ir)

(-cosa)?sina,(-tana)

(-tana)-sina-C°Sa.

(2)由A=+￡)=-cosq+￡)=*得

.oV3

sin

P--——3.

又因?yàn)椤晔堑谒南笙藿牵?/p>

所以cos一號(hào)2等

所以sin2￡=2sinfcos

cos2￡=2cos?

3

=12

所以sin(2￡+])=sin2￡cos^+cos2ssinX-^+|x|6^?

19.(12分)已知函數(shù)F(x)=sinx+sin(x+：),x￡R.

⑴求Hx)的最小正周期；

⑵求Ax)的最大值和最小值；

(3)若/(。)蕓,求sin2a的值.

4

解：(1)因?yàn)?'(x)=sinx+sin(田?)=sinx+cosV2sin(^+^),

所以函數(shù)_f(x)=sinx+sin(x+5)的最小正周期是2兀.

(2)因?yàn)閤￡R,TWsinxWl,

_f(x)=V2sin(x+孑),

所以Hx)的最大值為V2,最小值為-V2.

⑶因?yàn)镠。)=sina+sin(a+1)=sin〃+cos

所以(sina+cosa/'sir?a+cos?a+2sinacos^=l+sin2a--,

16

所以sin2a^--1=--.

1616

20.(12分)已知函數(shù)尸/sin(ox+0)(4>0,?>0,2「(0,Jt))的一段圖象如圖所示.

⑴求此函數(shù)的解析式；

(2)求此函數(shù)的遞增區(qū)間.

解：⑴由題圖可知A=2,由--詈”,得及2m,

所以口=1,此時(shí)函數(shù)解析式為廣2sin(x+0).

因?yàn)辄c(diǎn)(號(hào),0)在函數(shù)尸2sin(x+0)的圖象上，

所以2sin年+0)=0,所以乎+0="(AGZ).

所以O(shè)二4打-史(A《Z).

4

又因?yàn)?G(0,“)，所以6吟,

故所求函數(shù)的解析式為尸2sin(x+?).

4

(2)由24n4Wx+EW24n+2("GZ),

242

得—巴+24兀2A兀(4￡Z),

44

所以函數(shù)尸2sin(x+9的遞增區(qū)間是［-亨+20,3+20］(右Z).

21.(12分)為迎接夏季旅游旺季的到來,某景區(qū)設(shè)置了一個(gè)專門安排游客住宿的旅館.

景區(qū)的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少,浪費(fèi)很嚴(yán)重,為了控制經(jīng)營(yíng)

成本,減少浪費(fèi),就想適時(shí)調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù),發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月

來旅館入住的游客人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化,并且有以下規(guī)律：

①每年相同的月份,入住旅館的游客人數(shù)基本相同；

②入住旅館的游客人數(shù)在2月最少,在8月最多,相差約400人；

③2月入住旅館的游客約為100人,隨后逐月遞增,直到8月達(dá)到最多.

(1)試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住旅館的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系.

(2)請(qǐng)問哪幾個(gè)月要準(zhǔn)備400份以上的食物？

解：(1)設(shè)該函數(shù)解析式為/tx)=Zsin(3x+0)+8(冷0,3>0,I0|〈兀)，

根據(jù)①可知,該函數(shù)的周期是12,所以生二12,

3

所以。小

6

根據(jù)②可知，/'(2)最小，/<8)最大,且/"(8)-『(2)=400,故力=200;

根據(jù)③可知，/'(x)在區(qū)間⑵8］上單調(diào)遞增，且/"(2)=100,所以/'(8)=500.可得加后500,

所以戶500-200=300.

可知函數(shù)F(x)=200sinCx+0)+300.

因?yàn)楫?dāng)戶8時(shí)，f(x)取得最大值,

所以2X8+0=24n+三,"GZ,

62

所以d>^2k^~—,AEZ.

6

又因?yàn)镮0|〈"，所以。=

6

所以f(x)=200sinCx-§+300,xdN*,1WK12.

(2)由題知,200sin(Vy)+3002400,

化簡(jiǎn)，得sin&^)蕓,

662

所以2An+工忘與-空?2次加+—,k^Z,

6666