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文檔簡介
2021級高三一診模擬考試
數(shù)學(xué)(文史類)
本試卷共4頁,23小題,滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷選擇題(60分)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要
求的.
2AI
1A.A^[X\-3<X<2\B={X|X+2X-3<0}
1.己知集合11J,11J,則IR)()
A.(1,2]B.[1,2]
C.[-3,1)D.[-3,1]
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合B,用補(bǔ)集和交集的運算性質(zhì)計算即可.
[詳解]因為集合5=卜|尤2+2%_3?。}={刃—3KxKl},所以a5=卜上(—3或.
又4={%|—3VxV2},所以Ac(a3)={尤[1<尤<2}.
故選:A.
2.復(fù)數(shù)z=(21)(3+0的共輾復(fù)數(shù)為()
1+i
A.3+4iB.3—4i
C.l+2iD.l-2i
【答案】A
【解析】
【分析】進(jìn)行分母有理化,利用共軌復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【詳解】由題知,Z=(2T)(3+I)
1+i
6+2i—3i—i?
1+i
7-i
T+7
1
」7-
(l+i)。-i)
7-8i+i2
1-i2
6-8i
一2
=3—4i.
所以復(fù)數(shù)z=(2—"(3+1)的共輾復(fù)數(shù)為:z=3+4i.
1+i
故選:A.
3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又是周期函數(shù)的是
A.y=sin|%|B.y=cos(2x+g)
C.y=x3D.y=cos(x-7i)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意,依次分析選項中函數(shù)的周期與奇偶性,綜合即可得答案
【詳解】對于A,y=sin兇是偶函數(shù),但不是周期函數(shù),則A錯誤;
對于B,y=cos12x+m]為周期為無的函數(shù),但不是偶函數(shù),則B錯誤;
對于C,>=/既不是偶函數(shù)也不是周期函數(shù),則C錯誤;
對于D,y=cos(x—兀)=—co&x,即為周期為2兀的周期函數(shù),且為偶函數(shù),則D滿足.
故選:D.
4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()
1*2*1
側(cè)視圖
俯視圖
2
A.B.8C.32D.16\/2
【答案】C
【解析】
【分析】由三視圖可知,幾何體為斜棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)利用棱柱體積公式計算體積.
【詳解】由幾何體的三視圖可知幾何體的直觀圖如下:
/E視方向
圖形為底面是矩形的斜棱柱,底面矩形長為4寬為2,棱柱的高為4,
所以幾何體的體積為7=5/2=2x4x4=32.
故選:C
cos6—2sine
5.已知tan。=2,則()
cos6+sin6
51
A.0C.-1D.
33
【答案】C
【解析】
【分析】分子分母同時除以cose進(jìn)行弦切互化即可求解.
【詳解】由題知,tan6=2,
cos32sin。
則cose—2sinecos。cos。_l—2tan8
sin。
cose+sinScos6-J-1+tan6
cos。cos3
_l-2x2_-3_1
1+23
故選:c.
6.若函數(shù)/(x)=a+——是奇函數(shù),則。=()
4-1
A.2B.1C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)小)="+£是奇函數(shù)’則八為一⑴構(gòu)造方程’解得"的值.
3
1
【詳解】解:因為函數(shù)/(x)=a+是奇函數(shù)
4T-1
11
所以/(一彳)=一/(處即/(—x)=。+aH-------=-一/(x)
4"—1
14X
得......—=1
1-4"1—4”
1
CI=一
2
故選:B
【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì),其中根據(jù)定義域為火的奇函數(shù)圖象必要原點,構(gòu)造出一
個關(guān)于。的方程,是解答本題的關(guān)鍵.
7.某汽車在平直的公路上向前行駛,其行駛的路程y與時間力的函數(shù)圖象如圖.記該車在時間段[彳冉],
%,司,則平均速度最小的是()
D.v4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平均速度的定義和兩點求斜率公式,可得平均速度為經(jīng)過兩點所對應(yīng)直線的斜率,結(jié)合圖形
即可求解.
【詳解】由題意知,汽車在時間也4],上2,加,上3,。],[,/4]的平均速度大小分別為匕加2,匕,%,
設(shè)路程y與時間t的函數(shù)關(guān)系為y=f(t),
一f)-/a)
則匕二八2,即為經(jīng)過點&"(。)),?2,/?2))的直線的斜率匕,
12Tl
同理v2為經(jīng)過點a2,/a2)),a3,/a3))的直線的斜率◎,
匕為經(jīng)過點?3,/(,3)),?4,/(。))的直線的斜率43,
v4為經(jīng)過點(4"(%)),&"&))的直線的斜率>,如圖,
4
。|介hti(4t
由圖可知,網(wǎng)最小,即匕最小.
故選:C.
8.如圖,正方體ABC?!睦忾L為1,。是底面A4G2的中心,則點。到平面ABCQi的距離
為()
A.6B.旦C.4D.在
2423
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意,分析可得,要求的。到平面ABC1。的距離,就是A到平面A3G2的距離的一半,
就是A到ADI的距離的一半,計算可得答案.
因為。是AG的中點,求。到平面ABGA的距離,
就是A到平面ABGR的距離的一半,
就是A到的距離的一半.
5
所以,連接4。與AR的交點為P,
則A?的距離是。到平面ABG2的距離的2倍
AP=與,。到平面A3GA的距離:孝.
故選:B.
9.濟(jì)南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務(wù)院列為全國重點文物保護(hù)單位.它是典型的哥特式建筑.哥
特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型,其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2,
AC和所在圓的圓心都在線段16上,若NACB=/ad,=6,則AC的長度為()
20b
D.3
cos—
2
【解析】
【分析】過。作CDJ_AB,設(shè)圓弧47的圓心為。,半徑為H,則AO=CO=H,表示出AD、CD,由
R---------
求出0,再進(jìn)一步求出NCOD=e,即可求出答案.
2sin—
2
【詳解】過。作CDLA8,設(shè)圓弧的圓心為。,半徑為R,則AO=CO=R,
在,ACD中,ZACD=-,所以AD=ACsin—=bsin—,C£>=ACcos-=Z?cos-,
22222
CD2+DO2=CO2>所以+(R—Z?sin"|]=R2,所以
所以在直角三角形CD。中,
CDbcos~-g°
R:bsinZCOD=----=——-2-=2sin—cos—=sin8
—c.。,而
2sm—COb22
22sin—
2
6
be
所以NCOD=e,所以=
T2s~mo—-
2
故選:A.
10.已知三棱錐底面/歐是邊長為2的等邊三角形,頂點S與邊中點2的連線園垂直于底面且
SD=?,則三棱錐S一外接球的表面積為()
420
A.—71B.—71C.12"D.60"
33
【答案】B
【解析】
【分析】由題意畫出圖形,找出四面體外接球的球心,求解三角形可得外接球的半徑,代入球的表面積公
式求解即可.
【詳解】如圖:
設(shè)底面正三角形A5C的外心為E,三角形S45的外心為F,
分別過E、R作所在面的垂線相交于。,則。為三棱錐S-ABC外接球的球心,
_2_2后
再設(shè)底面正三角形外接圓的半徑為「,則'=1^=亍.
2sin-
3
由已知求得SA=S3=73+1=2,可得ASAB也為邊長是2的正三角形,
7
所以△S4B外接圓的半徑為4=友,則。石=/。=百—冥3=@
1333
5
所以三棱錐S-ABC外接球的半徑滿足:R2=
3
二。八
則三棱錐s-ABC外接球的表面積為4兀X2=*.
33
故選:B.
2tanA-tanB
11.在三角形上中,a,b,。分別是角4H°的對邊,若"〃=2024/,則方不而工嬴司的
值為()
A.2023B.2022C.2021D.2024
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)6?+〃=2024/,利1用余弦定理得至!J2abcosC=2023c2,再利用三角恒等變換,結(jié)合正弦
定理求解.
【詳解】解:因為〃+/=202402,
由余弦定理得c?=/+/-2"cosC=2024c2-2abcosC,
所以2MCOSC=2023C2,
2sinAsinB
2tanA-tanB_cosAcos5__________
所以
tanC(tanA+tanB)sinCsinAcosB+sinBcosA'
cosCcosAcosB
2sinA-sinBcosClabcosC
sin2Cc2
202?c'=2023,
c
故選:A
2X-1LX<1/、
12.已知函數(shù)/(%)={1*1,函數(shù)y=/(x)一〃有四個不同的的零點不,巧,工3,X4,且
(X-2)2,X>1
%1<%2<X3<%4,則()
A.a取值范圍是(0,g)B.%—占的取值范圍是(0,D
8
C.x3+x4—2D.-------=—
%,+x42
【答案】D
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“無)與y=a有四個不同的交點,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷各交點橫坐標(biāo)的范圍及數(shù)量
關(guān)系,即可判斷各選項的正誤.
【詳解】y=/(x)—。有四個不同的零點與、*2、七、%,即y(x)=a有四個不同的解.
〃無)的圖象如下圖示,
由圖知:
0<a<l,xl<0<x2<1,
所以%>0,即%—玉的取值范圍是(0,+°°).
由二次函數(shù)的對稱性得:x3+x4=4,
2xi+2%1
因為1-2為=2也一1,即2%+2*2=2,故--------=-
x3+x42
故選:D
【點睛】關(guān)鍵點點睛:將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點橫坐標(biāo)的范圍或數(shù)量關(guān)系.
第1/卷非選擇題(90分)
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分
13.已知點乎]在幕函數(shù)y=/(x)的圖象上,則Ax)的表達(dá)式是
3
【答案】=
【解析】
【分析】本題首先可根據(jù)累函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)設(shè)為y=/(x)=x",然后帶入點2,,通過計算即可得
出結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)y=/(x)幕函數(shù),
9
所以設(shè)y=/(x)=x",
因為點2,在幕函數(shù)y=/(x)的圖像上,
所以2"=正=竺3_3
a=-],即/(x)=『5
一422
3
故答案為:f(x)=X-
14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③,且定義域為實數(shù)集R的函數(shù)/(%)=.
①最小正周期為2;②/(—x)+/(x)=2;③無零點.
【答案】|sin(7u)+l(答案不唯一)
【解析】
【分析】根據(jù)周期,對稱性,零點等性質(zhì)判斷寫出符合條件的一個函數(shù)即可.
【詳解】〃x)=;sin(m)+l的定義域為R,
2Tx
最小正周期為T='l=2,
71
f(-x)+f(x)=~sin(-7Lx)+1+gsin(7cr)+1=—gsin(*+1+^-sin(時+1-2
i3
因為一iWsinjtxWl,所以/(%)<—,
所以/(x)無零點,
綜上,/(x)=;sin(7tx)+l符合題意
故答案為:〃x)=gsin(7tx)+l.
15.若sin]tz—則cos[2a+的值為
7
【答案】一一
9
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式得出結(jié)果.
詳解]由,由N―正]=孑,得cos(2a_g]=]_2sin2=]_2xg]=g,
10
LLIc兀c3兀c3兀/
所以cos2。+—=cos2。+兀----=-cos2a-----=——.
I6;I6)I6)9
7
故答案為:—.
9
16.已知函數(shù)/'(x)=ex—《+sinx,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),若〃2a)+/(/)4。,則實數(shù)”的取值
范圍是.
【答案】[-2,0].
【解析】
【分析】利用奇偶性及單調(diào)性去函數(shù)符號解一元二次不等式即可.
【詳解】易知/(—x)=e-*—一+sin(-x)=-eT+^-sinx=-/(x),且無eR,
ee
即“X)為奇函數(shù),
(x)=e*H——+cosx22^exx——+cosx=2+cosx〉0,
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取得等號,故了(x)為增函數(shù),
對于/(2a)+/(a2)<on/(2a)<—/(")=/(—片),
所以2aW-a2=>ae[—2,0],
故答案為:[-2,0].
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題,每個試題考
生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:共60分.
17.已知a是第二象限內(nèi)的角,tana.
2
(1)求cos[2a的值;
.2%1-IXV\兀]JLL/士
(2)已知函數(shù)/(%)=sin]COS]-sin-+-,求/a+不的值.
222\12/
【答案】(1)_巫
3
11
⑵髭
【解析】
【分析】(1)利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及平方和關(guān)系即可求得sina=?3,cosa=-X5,再利用誘
33
導(dǎo)公式及二倍角公式可計算出結(jié)果.
—sinfx+-71\代入計算可求出答案.
(2)根據(jù)二倍角公式化簡可得〃x)=
24
【小問1詳解】
因為。是第二象限內(nèi)的角,tana=-正,即sina=—走
2costz一工'
又sin?a+cos2a=l^所以可得sina=^-,cosa=
33
2A/2
所以cos2a~—\=sin2a=2sindzcoscif=-
I2亍
即cos(2a272
【小問2詳解】
?.^.7X1.1-cosx1
易知y(x)=esinx-----------+-
一i兀,
=-sinx+-cosx=
2224
\
1.
—sina+cosa
22
7
兀
即
I12J122
1
18.已知函數(shù)/(x)=x29+4x-31nx
(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)F⑴在區(qū)間上J+1]上不單調(diào),則t的取值范圍.
12
【答案】(1)小)在(0,1)和(3,+8)上單調(diào)遞減,在(1,3)上單調(diào)遞增
(2)(0,1)_(2,3)
【解析】
【分析】(1)求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間,進(jìn)而確定了*)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)求導(dǎo)得到函數(shù)的極值點,利用極值點在區(qū)間(t,t+1)內(nèi)可滿足條件,再建立不等式即可求解.
小問1詳解】
由題意知f\x)=-x+4--=-(l)(x-3)(%>0),由/(了)=o得了=i或了=3,
XX
/(龍)>0時,1<X<3;/'(x)<0時,O<X<1或x>3,
所以/a)在(0,1)和(3,+8)上單調(diào)遞減,在(1,3)上單調(diào)遞增,
【小問2詳解】
由(1)函數(shù)f(x)的極值點為X=l,3.
t<1,ft<3,
因為函數(shù)/'(X)在區(qū)間",右+1]上不單調(diào),所以〈,,或4,.解得0<f<l或2<f<3,即力的取
t+l>l匕+1>3,
值范圍為(0,1).(2,3)
19.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB〃DC,AD±DC,AB=AD=2,DC=3,平面PDCJ_平面ABCD,E
在棱PC上且PE=2EC.
()證明:BE〃平面PAD;
(1)若APDC是正三角形,求三棱錐P-DBE的體積.
【答案】⑴見證明;⑵73
【解析】
【分析】⑴作EF〃DC交PD于點F,連接AF,利用PE=2EC可得FE=2,再利用AB〃DC即可證得四邊形ABEF
為平行四邊形,問題得證.
(2)利用平面PDC_L平面ABCD及AD_LDC即可證得:AD_L平面PDC,利用體積轉(zhuǎn)化可得:
13
y?=y?=ty-再利用錐體體積計算公式即可得解.
【詳解】(1)證明:作EF〃DC交PD于點F,連接AF,
因為E在棱PC上且PE=2EC,
2
所以FE=]DC=2,
又因為AB〃DC,AB=2,
所以AB〃FE,且AB=FE,
所以四邊形ABEF為平行四邊形,
從而有AF〃BE
又因為BE<Z平面PAD,AFu平面PAD,
所以BE〃平面PAD
(2)因為平面PDC_L平面ABCD,且交線為DC,AD±DC,ADu平面ABCD
所以AD_L平面PDC.
因為PE=2EC
x
所以Vp-OBE=%-POE=§!-/1比=^APBCXA£>=-x—x2=百
即三棱錐P-DBE的體積為G.
【點睛】本題主要考查了線面平行的證明,還考查了面面垂直的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化能力及錐體體積計算公式,
屬于中檔題.
20.從①csinC-asinA=(瘋:-占卜也^;②sin2A+百cos2A=君條件中任選一個,補(bǔ)充到下面橫
線處,并解答
在,ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角4B,C對邊,,AB=2g.
(1)求角4
(2)若」WC外接圓的圓心為。,cosNAO6=巳,求理的長.
14
注:如果選擇多個條件分別解答;按第一個解答計分.
TT
【答案】(1)A=—
6
(2)BC=2不
【解析】
【分析】(1)選擇條件①可以用正弦定理進(jìn)行角化邊即可求解,選擇條件②利用輔助角公式進(jìn)行三角恒等
變換即可.
(2)利用圓的角度關(guān)系和正弦定理即可求解.
【小問1詳解】
解:選擇條件①:
因為csinC-asinA=—A卜in5,由正弦定理,可得一〃=8(如(?-什,
即b2+c2—/=耳',所以cos,="+2cbc'-/2bc=B2
因為Ae(O,7i),所以A=g.
選擇條件②:
因為sin2A+Gcos2A=A/3
所以2sin[2A+]]=6,即sin[2A+m]=孚.
因為人£(0,兀)
?一C4兀/兀7兀)
所以2A+;£——
3(3?3J
兀2兀71
所以2A+—=—,A=—.
336
【小問2詳解】
由題意,。是外接圓的圓心,所以NAOfi=2C,
所以cosNAQB=cos2c=1—2sin?C=U
14
故此sinC=叵.
14
15
ABBC=l
在-ABC中,由正弦定理,——=——,即J五—1,解得BC=28.
smCsmA-———
142
21.已知函數(shù)/(%)=』"+a(%2—l),aeR.
⑴若a=g,求/(x)的最小值;
(2)若當(dāng)4>1時,y(x)>,+lnx恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)1(2)
【解析】
【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)后,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而可求出函數(shù)的最小值,
(2)設(shè)g(x)=ei+a(x2—i)—J__]nx,由題意g(x)>。對任意xe(l,+oo)恒成立,然后利用導(dǎo)數(shù)求出
函數(shù)g(x)的最小值大于零即可
【小問1詳解】
當(dāng)a=g時,/(X)=e1-x+|(x2-l),
所以/'(x)=—e1+x,易知/'(x)單調(diào)遞增,且尸(1)=0,
當(dāng)xe(一<x>,l)時,f\x)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時,f\x)>0,
所以f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減,在(1,”)上單調(diào)遞增,
所以的最小值為/(1)=1.
【小問2詳解】
設(shè)g(x)=+a卜2_i)一J__也x,由題意g(x)>0對任意%e(1,+oo)恒成立.
X
g'(jv)=—c1%+2axH-----,
XX
若貝|g'(l)=2a-lv。,則存在%>1,使得當(dāng)X£(l,%o)時,g\x)<0,
所以g(x)在(1,%)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)X£(l,%o)時,g(X)Vg(l)=0,不符合題意.
若azL由e'>尤+1知當(dāng)兀>0時,e"T>x>0,所以
2x
16
2
、1,1n,,/、i-xcllIII—2x+1%—2x+1
當(dāng)x>l時,g(x)=—e+2axH--—>----FXH—豆—=---------->---------->0,
XXXXXXX
因此g(x)在(l,y)上單調(diào)遞增.又g(l)=O,
所以當(dāng)x>l時,g(x)>0.
綜上,。的取值范圍是
【點睛】關(guān)鍵點點睛:此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式
恒成立問題,第(2)問解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x)=ei+a(%2—1)—工―也工,將問題轉(zhuǎn)化為g(x)>0
X
11
對任意xe(l,+co)恒成立,然后分?!匆缓汀獌煞N情況利用導(dǎo)數(shù)求g(x)的最小值,使其大于零即可,考
22
查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思,屬于較難題
(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.
[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
22.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
x=tcosa
在直角坐標(biāo)系中,曲線G:「.'(t為參數(shù),且/wO),其中0Wa<7r,在以。為極點,x軸正
y=/sintz,
半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線G:/=2sin仇C;:2=26cos夕
(I)求G與G交點的直角坐標(biāo);
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