2024年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項符合題意的。請在答題卡中

填涂符合題意的選項。本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列實數(shù)中，為有理數(shù)的是（）

A.V3B.nC.^2D.1

2.如果分式，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則工的取值范圍是（）

x-1

A.xWlB.x>lC.全體實數(shù)D.x=l

3.下列立體圖形中，俯視圖與主視圖不同的是（）

4.下列說法正確的是（）

A.打開電視機，正在播放“新聞聯(lián)播”是必然事件

B.天氣預(yù)報說“明天的降水概率為65%”，意味著明天一定下雨

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更穩(wěn)定

D.數(shù)據(jù)5,6,7,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7

5.2023年前三季度全國GDP30強城市排名已經(jīng)揭曉，長沙GDP約為10800億

名列第十五，同比增速為6.32%,數(shù)據(jù)10800用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.108X105B.10.8X103C.1.08Xio4D.1.08X103

6.下列運算正確的是（）

A.tz2,tz3=tz6B.a2+crl=a5

C.（a+b）2=a2+b2D.（蘇）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2,-3）關(guān)于原點的對稱點位于哪個象限？（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.如圖，已知點E、F、G、H分別是四邊形A3CD各邊的中點，則四邊形

是（）

D

H

A.正方形B.矩形

C.菱形D.平行四邊形

9.如圖所示，四邊形ABCD為O。的內(nèi)接四邊形，ZBCD=12Q°,則N30D

的大小是（）

10.我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題:

“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠

日自半，問何日相逢，各穿幾何”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠

從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠

加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研

究，現(xiàn)將墻的厚度改為20尺，則需要幾天時間才能打穿（結(jié)果取整數(shù)）（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：l-f=.

12.如圖，在O。中，圓心角NAO3=70°,那么圓周角NC=.

13.睡眠管理作為“五項管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)校教育重點關(guān)注的內(nèi)

容.某老師了解到某班40位同學(xué)每天睡眠時間（單位：小時）如下表所示，

則該班級學(xué)生每天的平均睡眠時間是小時.

睡眠時間8小時9小時10小時

人數(shù)62410

14.已知關(guān)于x的方程f+3x-m=0的只有一個解，則根的值是

k

15.如圖所示，點A是反比例函數(shù)yq圖象上一點，作軸，垂足為點5,

若△AOB的面積為2,則k的值是

16.若一次函數(shù)y=x+l與y=-xT交于A點，則A點的坐標(biāo)為.

三、解答題（本大題共9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每

小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。解答

應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

o

17.計算：|2-K|+（±）-（V2-2024）°W3-tan30-

12上

18.先化簡，再求值：（1」-）+「產(chǎn)—,其中x=2.

x-1x-2x+l

19.如圖所示，湘府中路是一段東西走向的公路，在省政府（A處）測得小明家

（P處）在北偏東60°方向上，繼續(xù)往東走女機到了德思勤（3處）測得我

家（尸處）在北偏東30°方向上，請問小明家到湘府路有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：

、巧心1.73,結(jié)果精確到0.1版）

20.“胸藏文墨懷若谷，腹有詩書氣自華”，某校舉辦了首屆“中國詩詞大會”，

經(jīng)選拔后有50名學(xué)生參加決賽，根據(jù)測試成績繪制出如圖所示的部分頻數(shù)分

布直方圖.請根據(jù)圖中信息完成下列各題：

(1)將頻數(shù)分布直方圖補充完整；

(2)若測試成績不低于80分為優(yōu)秀，則本次測試的優(yōu)秀率是多少？

(3)現(xiàn)將從包括小明、小強、小紅、小麗在內(nèi)的4名成績優(yōu)異的同學(xué)中隨機

選取兩名參加市級比賽，求小明與小強同時被選中的概率.

506070S090100

21.如圖，在平行四邊形ABCD中，/B=/AFE,EA是的角平分線.求

證：

(1)AABE^AAFE；

(2)ZAFD=ZECD.

22.為了響應(yīng)“足球進校園”的目標(biāo)，某校計劃為學(xué)校足球隊購買一批足球，已

知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元；購買4個A品牌

的足球和2個3品牌的足球共需360元.

(1)求A,3兩種品牌的足球的單價.

(2)2023年學(xué)校購買足球的預(yù)算為6400元，總共購買100個球且購買A品

牌足球的數(shù)量不多于B品牌足球數(shù)量的2倍，有幾種購買方案.

23.如圖，已知O。是△ABC的外接圓，AD是OO的直徑，且延長

AD至UE,且有NE3D=NC4B.

(1)求證：3E是O。的切線；

(2)若3c=W§，AC=10,求圓的直徑AD；

(3)在(2)的條件下求切線BE的長.

24.我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)yi=ai/+"ix+ci與同時滿足

aiWO,。2。0,⑶+㈤+亞二/+(C1+C2)2=0,則稱函數(shù)力與"互為"回旋"

函數(shù).根據(jù)該約定，解答下列問題：

(1)求二次函數(shù)y=f-4x+3的“回旋”函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=af+2ax+c的頂點在它的“回旋”函數(shù)圖象上，

且當(dāng)￡<x4且二時，-4W”W4,求a,c的值；

aa

(3)關(guān)于x的函數(shù)yiuaf+bx+c(a>0)的圖象頂點為M,與x軸的交點為

A、B,當(dāng)它的“回旋”函數(shù)>2的頂點為N,與x軸的交點為C、D,從左往右

依次是A、B、C、D,若AC=33C,是否存在》使得AMDN為矩形？

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A(1,0),B(R,0),P(x,y)為平面坐標(biāo)

系中任意一點且左>0,21.

(1)若左=2且P(&,我)，求證：PA=1-PB；