最近五年江蘇高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考題評析2007年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)注：當(dāng)年全卷共21道題10道選擇題6道填空題5道解答題分?jǐn)?shù)5+5+5+5+16=36分6．設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，它的圖像關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，，那么有〔〕A．B．C．D．【解析】依題意，有，〔點評：先求的解析式，再將“式”統(tǒng)一〕所以，，即，當(dāng)x＜1時，－x＞－1，即2－x＞1，所以，故〔x＜1〕,，，，所以，選〔B〕8．設(shè)是奇函數(shù)，那么使的的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【解析】依題意，得，即，所以，，，〔點評：定義域中含0，要用好〕又，所以，，解得：－1＜x＜0，應(yīng)選〔A〕9．二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意實數(shù)，都有，那么的最小值為〔〕A．3B．C．2D．【解析】，，依題意，有，可得，＝＝＋1＋1＋1＝2，應(yīng)選〔C〕〔點評：注意用好每一個條件，都是常數(shù)，帶字母的常數(shù)，此處是特殊的常數(shù)，相對來說的，之后又成準(zhǔn)變數(shù)了〕13．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，那么【解析】令，得：，,，，，，所以，.〔點評：此題比第9題容易多了，但是最值是整體考慮的，可能在端點處取得，而極值是局部，極值只能在區(qū)間中間取得，端點處無極值〕21．是不全為的實數(shù)，函數(shù)，，方程有實根，且的實數(shù)根都是的根；反之，的實數(shù)根都是的根；〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)，求的取值范圍；〔3〕假設(shè)，求的取值范圍．【解析】此題主要考查函數(shù)、方程、不等式的根本知識，考查綜合運用分類討論、等價轉(zhuǎn)化等思想方法分析問題及推理論證的能力．解：〔1〕設(shè)是的根，那么，那么是的根，那么，即，所以．〔2〕因為，所以，〔注：〔1〕中已得〕那么方程：==0的根也是方程的根．〔a〕假設(shè)，那么，此時的根為0，而的根也是0，所以，〔b〕假設(shè)，那么當(dāng)時，的根為0，而的根也是0，當(dāng)時，的根為0和，而的根不可能為0和，所以必?zé)o實數(shù)根，所以，所以，從而；〔注：此時要同解，只能一個同解，另一個無解〕綜合上述可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，．〔3〕由，知：，即的根為0和1，又由，∴=0必?zé)o實數(shù)根．〔a〕當(dāng)時，；〔注：配方，按作三類討論〕即函數(shù)在，恒成立，又，所以，即，所以；〔b〕當(dāng)時，即函數(shù)在，恒成立，又，所以，，而，所以，所以不可能小于0；〔c〕，那么，這時的根為一切實數(shù)，而，∴，適合；綜上所述：所求的取值范圍為．〔點評：盡管是壓軸題，但是方法常規(guī)〕2008年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)注：從這一年開始，全卷共20道題14道填空題6道解答題分?jǐn)?shù)5+5+18=28分8．設(shè)直線是曲線的一條切線，那么實數(shù)的值是解：，令得，故切點坐標(biāo)為〔2，ln2〕，代入直線方程得；〔點評：此題只考導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率〕14．設(shè)函數(shù)，假設(shè)對于任意的都有成立，那么實數(shù)的值為解：假設(shè)，那么不管取何值，顯然成立；當(dāng)即時，，可化為：；設(shè)，那么，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而；當(dāng)即時，可化為：，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而，綜上．〔點評：此題我們常用方法是函數(shù)值域法，先討論，再將除過去，求值域〕20．函數(shù)，〔為常數(shù)〕．函數(shù)定義為：對每個給定的實數(shù)，〔1〕求對所有實數(shù)成立的充分必要條件〔用表示〕；〔2〕設(shè)是兩個實數(shù)，滿足，且．假設(shè)，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為〔閉區(qū)間的長度定義為〕解：〔1〕由的定義可知：〔對所有實數(shù)〕等價于：〔對所有實數(shù)〕這又等價于：，〔注：這一步很重要，下手的地方啊〕即對所有實數(shù)均成立.〔*〕由于的最大值為，故〔*〕等價于，即，這就是所求的充分必要條件．〔注：絕對值不等式派上用場了〕〔2〕分兩種情形討論：〔i〕當(dāng)時，由〔1〕知〔對所有實數(shù)〕〔承上〕Oyx(a,Oyx(a,f(a))(b,f(b))圖1得，從而可知：，再由的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度為：〔如圖1〕〔ii〕當(dāng)時，不妨設(shè)，那么，〔有序化處理〕當(dāng)時，有，從而；當(dāng)時，有從而；Oyx(a,f(Oyx(a,f(a))(b,f(b))(x0,y0)(p2,2)(p1,1)圖2從而由方程：，解得圖象交點的橫坐標(biāo)為：①顯然，這說明在與之間；由〔1〕易知：綜上可知，在區(qū)間上，〔如圖2〕故由函數(shù)及的單調(diào)性可知：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得：②故由上述①、②得：；綜合〔i〕〔ii〕可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為．〔點評：①根據(jù)第1題的結(jié)論分兩類討論；②注意有序化處理；③數(shù)形結(jié)合，由抽象變形象思考；④吃透增區(qū)間長度的真正含義〕2009年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)分?jǐn)?shù)5+5+5+16+16=47分3．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.【解析】，由得單調(diào)減區(qū)間為．亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間．〔點評：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)區(qū)間〕9．在平面直角坐標(biāo)系中，點P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，曲線C在點P處的切線的斜率為2，那么點P的坐標(biāo)為.【解析】，又點P在第二象限內(nèi)，∴點P的坐標(biāo)為〔-2，15〕．〔點評：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的斜率〕10．，函數(shù)，假設(shè)實數(shù)、滿足，那么、的大小關(guān)系為.【解析】，函數(shù)在R上遞減；由得：m<n．〔點評：估值法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性〕19．按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件本錢為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為元，那么他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價為元，那么他的滿意度為；如果一個人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，那么他對這兩種交易的綜合滿意度為．現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為元和元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為；〔1〕求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時，求證：；〔2〕設(shè)，當(dāng)、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？〔3〕記〔2〕中最大的綜合滿意度為，試問能否適中選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由．【解析】此題主要考查函數(shù)的概念、根本不等式等根底知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力．〔1〕，，當(dāng)時，；；所以：．〔點評：考查閱讀理解能力和處理字母的能力〕〔2〕當(dāng)時，；由，得，故當(dāng)即時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為．〔點評：注意與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化到一個變量的問題處理〕〔3〕由〔2〕知：；由，得：，令，那么，即：；同理，由，得：；另一方面，，，；從而，由，；知當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號；所以不能否適中選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立．〔點評：不等式中等號成立的條件，常常是解題杠桿的支點，用得準(zhǔn)，輕松獲解〕20．設(shè)為實數(shù)，函數(shù)；〔1〕假設(shè)，求的取值范圍；〔2〕求的最小值；〔3〕設(shè)函數(shù)，直接寫出〔不需給出演算步驟〕不等式的解集．【解析】此題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等根底知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力．〔1〕假設(shè)，那么．〔2〕當(dāng)時，，；當(dāng)時，，綜上可得：．〔注：二次函數(shù)的靈魂永遠(yuǎn)是開口方向與對稱軸，最終解決單調(diào)性的問題〕〔3〕當(dāng)時，得：；當(dāng)或時，，得；當(dāng)時，，得；討論得：當(dāng)時，解集為;當(dāng)時，解集為;當(dāng)時，解集為.〔點評：重點是分類討論，思考入手處是數(shù)形結(jié)合〕2010年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)分?jǐn)?shù)5+5+5+5+16=36分5．設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，那么實數(shù)【解析】設(shè)為奇函數(shù)，由，得．〔點評：此題考查函數(shù)的奇偶性的知識〕8．函數(shù)的圖像在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為，為正整數(shù)，，那么【解析】在點處的切線方程為：，當(dāng)時，解得，∴．〔點評：此題考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項〕11．函數(shù)，那么滿足不等式的x的范圍是【解析】．〔點評：此題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，注意從圖像特征考慮，才能快速獲解〕14．將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，那么S的最小值是【解析】設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，那么．〔法一〕利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值．由，得；當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；故當(dāng)時，S的最小值是．〔法二〕利用函數(shù)的方法求最小值．令，那么；故當(dāng)時，S的最小值是．〔點評：此題考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想；一題多解．〕20．設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，那么稱函數(shù)具有性質(zhì)．〔1〕設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)；(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．〔2〕函數(shù)具有性質(zhì)；給定設(shè)為實數(shù)，，，且，假設(shè)||<||，求的取值范圍．【解析】此題重點考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等根底知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力．〔1〕(i)；∵時，恒成立，∴函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)當(dāng)時，對于，；所以，故此時在區(qū)間上遞增；當(dāng)時，圖像開口向上，對稱軸：，方程的兩根為：，而；當(dāng)時，，，故此時有：在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增．綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間上遞增；當(dāng)時，在上遞減；在上遞增．〔2〕由題意，得：；又對任意的都有；所以對任意的都有，在上遞增．又；當(dāng)時，，且；∴；∴或，假設(shè)，那么∴，不合題意；∴，即，解得；∴．當(dāng)時，，，符合題意．當(dāng)時，，且，同理有：，即，解得，∴；綜合以上討論，得：所求的取值范圍是〔0，1〕．2011年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)分?jǐn)?shù)5+5+5++14+16=45分2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________【解析】〔點評：送分題〕11．實數(shù)，函數(shù)，假設(shè)，那么a的值為________【解析】當(dāng)時，有，∴〔舍去〕當(dāng)時，，∴．〔點評：分段函數(shù)，分類討論〕12．在平面直角坐標(biāo)系中，點P是函數(shù)的圖象上的動點，該圖象在P處的切線交y軸于點M，過點P作的垂線交y軸于點N，設(shè)線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t，那么t的最大值是_____________【解析】設(shè)，那么，過點P作的垂線方程為：，；，所以，t在上單調(diào)增，在單調(diào)減，．〔點評：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用〕17．請你設(shè)計一個包裝盒，如下圖，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=xcm；〔1〕假設(shè)廣告商要求包裝盒側(cè)面積S〔cm〕最大，試問x應(yīng)取何值？〔2〕假設(shè)廣告商要求包裝盒容積V〔cm〕最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．【解析】〔1〕，〔0<x<30〕，所以x=15cm時側(cè)面積最大；〔2〕，所以，；當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減；所以，當(dāng)時，V最大；此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為．〔點評：又是一道十足的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題〕19．a(chǎn)，b是實數(shù)，函數(shù)，和是的導(dǎo)函數(shù)，假設(shè)在區(qū)間I上恒成立，那么稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致；〔1〕設(shè)，假設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，求實數(shù)b的取值范圍；〔2〕設(shè)，且，假設(shè)函數(shù)和在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值．