2023?2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙重點(diǎn)中學(xué)高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合“=卜|刀=4?—1,?62},則下列說法正確的是（）

A.3aMB.{3}eMC.3cMD.{3}￡M

2.已知集合”={x|%2一i式o},N={x|/_3x>0},則集合Mf]N=（）

A.{x|-1<x<0]B.{x[0<x<1}C.{x|-1<%<0}D.{x|0<x<1}

3.如圖，/是全集，M、P、S是/的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（）

A.（MnP）nsB.（MnP）uSC.（MnP）nCZSD.（MnP）ucfS

4.設(shè)集合P=（m\m=++；*￡N},Q={m\m=g+6N},則下列關(guān)系正確的是（）

A.P=QB.PfQC.Q曝PD.P與Q無包含關(guān)系

5.設(shè)U為全集，A,8是集合，則“存在集合C,使得AGC,是“4nB=?！钡模ǎ?/p>

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.若a,b,c>0且+b+c）+be=4,則2a+b+c的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

7.若%的不等式%2+（7n+1）%+血vo的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.—2<m<—1B.—2<m<-1

C.-2<m<—1或3<?nW4D.-2<m<-1或3<m<4

8.若a>0,b>（Mia+b=3,則+言的最小值為（）

aD+1

A.1B.2C.3D.4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知a,b,c是實(shí)數(shù)，下列說法正確的有（）

11

-<-

QbB.^ac2>be2,則Q>b

C.若a>b月.kWN*,則D.若c>Q>b>0,則旦>-4

c—ac-b

10.關(guān)于％的不等式a%2一2%+1V0的解集為非空集合的一個(gè)必要不充分條件是()

A.a<0B.a<1C.a<2D.a<3

IL已知集合4={0,1},B={x\xEAfxEN}1C=[x\xQA]t則關(guān)于集合4、B、C之間的關(guān)系，下列說法

正確的有()

A.4=BB.A麋BC.AECD.AQC

12.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“③”，具有以下三條性質(zhì)：

①對(duì)任意aER,00a=a；②對(duì)任意a,bER,a?b=b?a\

③對(duì)任意a,b,cER,(a?b)?c=c?(ab)4-(a0c)+(60c)-2c.

以下正確的選項(xiàng)是()

A.20(002)=0

B.(200)?(200)=8

C.對(duì)任意的a,b,cER,有a區(qū))(b區(qū))c)=b區(qū))(cG)Q)

D.存在a,b,cER,有(a+/?)③cH(a二c)+(b③c)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.不等式豈I>1的解集是____.

3x4-1

14.某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物

理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有

4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人.

15.當(dāng)a6[0,2]時(shí)，不等式ax?+(a+l)x+1—|a<0恒成立，則x的取值范圍為.

16.設(shè)a>0">0,稱緇為a,b的調(diào)和平均數(shù).如圖，C為線段4B上的點(diǎn)，且4c=a,/----

CB=6,。為中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓.過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于。.連接OD,/\\

AD,BD.過點(diǎn)C作。。的垂線，垂足為E.則圖中線段。。的長(zhǎng)度是a,b的算術(shù)平均數(shù)，AOCR

線段的長(zhǎng)度是a,b的幾何平均數(shù)，線段的長(zhǎng)度是a,b的調(diào)和平均數(shù).

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知A={xeR\x2+2x+m=0},B-{x\x>0}且AflB-e),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.（本小題12.0分）

設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，A={x|2x2-7x+3<0},B={x\x2+a<0].

(1)當(dāng)a=-4時(shí)，求anB和AUB；

(2)若(C/)CB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.

(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

(2)若使每間虎籠面積為247n2,則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長(zhǎng)度最小？

20.(本小題12.0分)

已知y=%2—(a+2)x+4(a6R).

(1)若關(guān)于％的不等式y(tǒng)<0的解集為｛x|l<x<b)(b>1),求a和b的值；

(2)若對(duì)任意1WxW4,y2-a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

若正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=l.

(1)求ab+be+ca的最大值；

(2)求證：-Hi++_±>1.

b+cc+aa+b2

22.(本小題12.0分)

設(shè)數(shù)集4由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若xeAQKl且XK0),則達(dá)64

(1)若364試證明4中還有另外兩個(gè)元素；

(2)集合4是否為只含有兩個(gè)元素的集合，并說明理由；

(3)若4中元素個(gè)數(shù)不超過8個(gè)，所有元素的和為與，且4中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合4.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合M=[x\x=4n-l,nGZ},

當(dāng)n=l時(shí)，x=3,即3CM,故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤；

又{3}呈故B錯(cuò)誤，。正確.

故選：D.

根據(jù)元素與集合，集合與集合的關(guān)系逐一檢驗(yàn)即可.

本題考查元素與集合，集合與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：M=(x\x2—1<0}={x|—1<x<1},N={x\x2—3%>0}={x\x<0或x>3},

MCl/V={x|-1<%<0].

故選：A.

由已知求出集合M,N,然后根據(jù)交集的定義即可求解.

本題考查了集合的運(yùn)算關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

3.【答案】C

【解析】解：依題意，由圖知，

陰影部分對(duì)應(yīng)的元素a具有性質(zhì)a€M,aeP,aGC,S,

所以陰影部分所表示的集合是(MnP)nC/S,

故選：c.

觀察陰影部分所表示的集合中元素的特點(diǎn)，它具有在集合P和M中，不在集合S中，利用集合元素的含義即

可解決.

本題主要考查了Verm圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：集合P={zn|m=2eN}={m[m=keN},

Q={m\m=g+",keN}={m\m=keN],

又「keN,：./:+2表示自然數(shù)，而2k+1表示正奇數(shù)，

所以Q5P

故選：c.

分別化簡(jiǎn)集合P,Q，進(jìn)而可判斷兩集合的關(guān)系.

本題考查集合間關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：v/1cC,8=《1/。)即41。且80。=0

AnB—0,

則“存在集合C,使得4CC.BC(QC)”是“力CB=0”的充分條件；

當(dāng)月ClB=0,存在一個(gè)集合C=4使得4UC,Bc(CyC),

則“存在集合C,使得4cc.Bc(QC)”是“4CB=0”的必要條件；

所以則“存在集合C,使得4cf,Bc(QC)”是“4nB=0”的充要條件.

故選：A.

根據(jù)條件可得4UC且BCC=0,從而得到AnB=0,當(dāng)4Cl8=0,存在一個(gè)集合C=A使得AUC,BQ

(CyC)，結(jié)合充要條件的定義可判定.

本題主要考查了充分條件必要條件的判定，解題的關(guān)鍵是弄清哪個(gè)能推導(dǎo)哪個(gè)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：若a，b,c>0且a(a+b+c)+be=a(a+b)+ac+be=(a+c)(a+b)=4,

所以2a+b+c=a+b+(a+c)22j(a+b)(a+c)=4,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c,即b=c時(shí)取等號(hào).

故選：D.

對(duì)已知等式進(jìn)行變形可得(a+b)(a+c)=4,然后結(jié)合基本不等式即可求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：關(guān)于x的不等式/+(zn+i)x+m<0可化為

(%+1)(%4-m)<0,

當(dāng)m>l時(shí)，—mV—1,解不等式得—m<xV—1；

當(dāng)m<1時(shí)，—m>—1,解不等式得—1Vx<—m；

由不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，

貝1-4<-m<-3或1<-m<2,即3<m<4或一2<m<-1.

所以m的取值范圍是[一2,—1)U(3,4].

故選：C.

不等式化為(％+1)。+m)<0,只需討論znvl時(shí)，求出不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集中恰

有兩個(gè)整數(shù)，求出a的取值范圍.

本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：???a>0,h>0,a+b=3,

b33-a311311

ab+1ab+1+4'八ab+1，

=2+今+熱）-142+2]#3）-1=2,

當(dāng)且僅當(dāng)空1且a+b=3,即a=2,b=l時(shí)，等號(hào)成立.

ab+1

.??々+言的最小值為2.

ab+1

故選：B.

-+7T7=—+7^7=3（-+^）-1=2（?+h++士）-1='?+絲+指）-1，利用基本不等

ab+1ab+1'ab+r4、八ab+174、ab+r

式即可.

本題考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,若a>0>b,

則工>T>

ab

即選項(xiàng)4錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,^ac2>be2,

則a>b,

即選項(xiàng)8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若0>a>b且k為正偶數(shù)，

則a"<bk,

即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,若c>a>b>0,

則0<c—a<c—b,

即選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

結(jié)合不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.

本題考查了不等式的性質(zhì)，屬中檔題.

10.【答案】CD

【解析】解：若關(guān)于x的不等式。產(chǎn)一2x+1<0的解集為空集，

二彳>:4℃，解得021，

14=4-4a<0

???關(guān)于x的不等式a》2一2x+1<0的解集為非空集合，

a<1,

?.?關(guān)于x的不等式a/-2x+1<。的解集為非空集合的一個(gè)必要不充分條件，

.1.a<2或a<3都滿足.

故選：CD.

若關(guān)于x的不等式以2一2%+1<0的解集為空集，求出a的范圍，則可得到為非空集的a的范圍，根據(jù)充分

必要條件的定義即可判斷.

此題主要考查必要條件和充分條件的判斷問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)學(xué)生分析應(yīng)用能力要求較高，屬于中

檔題目.

11.【答案】AC

【解析】解：集合4={0,1},B=[x\xeA,x&N}=[0,1]=A,選項(xiàng)4正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C={x|%UA}={0,{O},{l},{O,l}},則SEC,選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

分別化簡(jiǎn)集合B,C,逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可.

本題考查集合間的關(guān)系，考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BCD

【解析】解：由題意可得，a?h=a?(b?0)=0?(ah)+a00+b00-2x0=ab+a+b,

因?yàn)?(g)2=2x2+2+2=8,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?200)?(200)=202=8,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于任意a,b,ce/?,a?(b?c)=a?(he+b+c)=a(bc+b+c)+a+bc+b+c=abc+ab+ac+

be+a+b+c,

而b?(c?a)=b?(ac+a+c)=b(ac+a+c)+b+ac+a+c=abc+ab+ac+be+a+b+c,

故a?(/)?c)=b?(c0a),故選項(xiàng)C正確；

取a=b=1,c=1,

則(1+1)01=2x1+2+1=5,而(101)+(101)=2(1x1+1+1)=6,

故(1+1)⑤1*(1g1)+(1X1),故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

根據(jù)給定的新運(yùn)算得到a(8)b的計(jì)算方法，再逐項(xiàng)計(jì)算并判斷相應(yīng)的結(jié)論是否成立，即可得到答案.

本題考查的是新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、

定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

13.【答案】｛%|-2<%<-芻

【解析】解：不等式舞>1，

移項(xiàng)得：念1一1>°'

即于。，

可化沏圖？2或Ct冷

解得：一2<x<—抻無解,

則原不等式的解集是｛x|-2<x<-芻.

故答案為：｛x|-2<%<-；｝

把不等式右邊的“1”移項(xiàng)到不等式左邊，通分后根據(jù)分母不變只把分子相減計(jì)算后，在不等式兩邊同時(shí)除

以-1，不等號(hào)方向改變，然后根據(jù)兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)，根據(jù)商為負(fù)數(shù)得到x+2與3x+l異號(hào)，可化為兩

個(gè)不等式組，分別求出兩不等式組的解集，求出兩解集的并集即可得到原不等式的解集.

此題考查了其他不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是高考中?？嫉幕A(chǔ)題.學(xué)生做題時(shí)

注意在不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變.

14.【答案】8

【解析】解：由條件知，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，,\

故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，(45)

設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為4,B,C,

則card(ACBnC)=0,card(AC\B)=6,card(BnC)=4,\'/

由公式card(4UBUC)=card｛A)+card(B)+card(C)—card(AnB)—

card｛AAC)—card(BAC)

知36=26+15+13—6—4—cctrd^AnC)

故card(4nC)=8即同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人.

故答案為：8.

畫出表示參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組集合的Venn圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析求解即可.

本小題主要考查Uemi圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算、Penn圖的應(yīng)用、集合中元素的個(gè)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(-2,-1)

【解析】解：因?yàn)镼E[0,2]時(shí)，不等式Q%2+(a+1)%+1V0恒成立，

令f(a)=(%2+x—1)a+%+1,

則不等式可轉(zhuǎn)化為f(a)<。對(duì)于QE[0,2]恒成立，

皿l/(0)=%+1<0黜出今,『1

則L/Co2Ioo/八，解彳寸—2<%<—1,

1/(2)=2xz4-3%—2<0

所以》的取值范圍為(一2,—1).

故答案為：(一2,—1).

將不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)/9)=(/+乂一|)。+“+1,則轉(zhuǎn)化為，((1)<0對(duì)于&6[0,2]恒成立，列出

不等式組，求解即可.

本題考查了不等式恒成立問題，一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，要掌握不等式恒成立問題的一般求解方法：參變量

分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔題.

16.【答案】CD；DE

【解析】解：在RMADB中DC為高，則由射影定理可得CD?=AC-CB,

CD=yTab<即CO長(zhǎng)度為a,b的幾何平均數(shù)，

將OC=a-亨=^,CD=\Tab,OD=竽代入OD-CE=OC-CD

可得CE=ab

a+b

2

故OE=VOC2-CE2=手％

2(a+b)

ED=OD-OE=維，

a+b

OE的長(zhǎng)度為a,b的調(diào)和平均數(shù).

故選C￡)；DE

在直角三角形中，由DC為高，根據(jù)射影定理可得CM=AC.CB,變形兩邊開方，得到CD長(zhǎng)度為a,b的幾

何平均數(shù)；根據(jù)a,b與0C之間的關(guān)系，表示出0C的長(zhǎng)度，根據(jù)直角三角形。CE和直角三角形CDE之間邊的

關(guān)系得到CE的長(zhǎng)，得到0E進(jìn)而ED,得到結(jié)果.

本題是一個(gè)新定義問題，解題過程中主要應(yīng)用直角三角形邊之間的比例關(guān)系，得到比例式，本題是一個(gè)平

面幾何與代數(shù)中的平均數(shù)結(jié)合的問題，是一個(gè)綜合題.

17.【答案】解：；A={x\x2+2x+m=0},B={x\x>0}且AnB=0,

.1.①A=0時(shí)，4=4—4m<0,解得m>1；

②4#0時(shí)，4=4-4m=0時(shí)，m=1,得出4={-1},滿足力nB=0；

4=4—4m>0即m<1時(shí)，設(shè)/'(x)=x2+2x+m,則/'(0)=m>0,即0<zn<1,

綜上得，m的取值范圍為：[0,+8).

【解析】根據(jù)AnB=0討論集合A是否為空集，4=0時(shí)滿足題意；AK0時(shí)，4=0時(shí)滿足題意，4>0時(shí),

結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可得出m的范圍，最后求并集即可得出m的取值范圍.

本題考查了交集的定義及運(yùn)算，一元二次方程解的情況，分類討論的思想，是中檔題.

18.【答案】解：(1M={X|2X2-7X+3W0}={XGWX￡3}.

當(dāng)a=-4時(shí)，={x|-2<%<2},

???AC\B=(x\^<x<2},

AB={x\—2<x<3}.

(2)CRA={x\x<g或%>3).

當(dāng)(CRA)nB=B時(shí)，BaCRA,

即4QB=0.

①當(dāng)8=。，即aNO時(shí)，滿足

g)當(dāng)B*0,即aVOB寸，B={%|—N—CLV%VJ_Q},

要使BUCRA,需

解得—，<a<0.

綜上可得，a的取值范圍為a2-；.

【解析】(1)推導(dǎo)出4={%弓三X43},當(dāng)。=一4時(shí)，B=[x\-2<x<2},由此能求出ZnB,AUB.

(2)先求出CR4由(CR4)C8=B,得到BUCR4從而4n8=0,由B=0,求出a20,由8R0,求出

-7<a<0,由此能求出a的取值范圍.

4

本題考查交集、并集、補(bǔ)集、實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集、補(bǔ)集、

并集定義的合理運(yùn)用.

19.【答案】解：設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為xm,寬為ym,

(1)由題意可知：4%+6y=36,即2x+3y=18.

,:2x+3y22yl6xy,:.2J6xyW18,xy<^=y,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)取等號(hào).

解方程組配=18可得y=3?

??.每間虎籠長(zhǎng)|m,寬3nl時(shí)，虎籠面積最大.

(2)由題意可知孫=24,設(shè)鋼筋總長(zhǎng)度為

貝股=4%+6yN2j24xy=2x24=48,當(dāng)且僅當(dāng)4%=6y時(shí)取等號(hào).

解方程組可得x=6,y=4.

;每間虎籠長(zhǎng)6m,寬4米時(shí)，鋼筋總長(zhǎng)度最小.

【解析】(1)設(shè)長(zhǎng)xm,寬ym，則4x+6y=36,根據(jù)基本不等式求出盯取得最大值時(shí)的條件即可得出答案；

(2)設(shè)長(zhǎng)xm,寬ym,則xy=24,鋼筋總長(zhǎng)1=4x+6y,根據(jù)基本不等式得出?取得最小值時(shí)的條件即可得

出答案.

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)丫不等式/(4)<0的解集為(1,6),即「一(a+2)x+4<0的解集為(1泊),

?,.1,b為/一(a+2)%+4=0的兩根，

???由根與系數(shù)的關(guān)系知1+b=Q+2且1xb=4,Q=3,6=4；

(2)對(duì)任意％6[1,4],/(%)>-a-1恒成立，

???a(x-1)<%2-2%4-5對(duì)任意的xE[1,4]恒成立，

當(dāng)％=1時(shí)，0W4恒成立，符合題意，

，Q€R；

當(dāng)*6(1,4]時(shí)，問題等價(jià)于aW史卓恒成立，即(立竽缶/

x—lvX—1八31

,.x-l+^->2I(x-l)xA=4>當(dāng)且僅當(dāng)即x=3時(shí)取等號(hào),

x-l717x-lX-l

???a<4,

綜上a的取值范圍為(-8,4].

【解析】(1)由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得a與b的值；

(2)討論％=1和IV%44兩種情況，當(dāng)1VXW4時(shí)，將Q分離，即可得Q的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由(a+b+c)2=a2+&2+c2+2(ah+be+ca)=1(2a2+2b2+2c2)+2(ab+be+

ca),

所以(a+b+c)2>3(ab+8c+ca),

即ab+be+ca<僅當(dāng)a=b=c=，時(shí)等號(hào)成立,

所以ab+be+ca的最大值為g；

(2)證明：由衛(wèi)+空3I衛(wèi).空